... Đặt t = x2 + y , ϕ(t) = t2 e−t Đạo hàm ϕ (t) = 2t(1 − t2 )e−t Đồ thị hàm ϕ với t 0: Đồ thị hàm f mặt cong (S) sinh đường cong đồ thị hàm ϕ quay quanh trục Oϕ Hàm f đạt cực đại địa phương điểm ... có điều kiện Những phát biểu sau trường hợp tổng quát hàm f theo n + p biến với p điều kiện Tuy nhiên ta xét đơn giản cho trường hợp ba biến với điều kiện 7.1 Định nghĩa Định nghĩa Cho D tập ... (0, 0) = 2, ∂ P (0, 0) = 1, ∂ P (0, 0) = Tính ∂P (1, 1), ∂x∂y (1, 2) ∂x2 ∂y ∂x 2) Khai triển Taylor f (x, y) = y sin(x2 − xy) đến bậc lân cận (0, 0) Tính ∂ f (0,0) ∂ f4(0,0) ∂x2 ∂y ∂x ∂y 3)...
... Chứng minh hàm số sau không liên tục R2 : (x + y ) cos , x2 + y > f (x, y) = x + y2 , x=y=0 HD: Hàm f (x, y) tương đương với hàm g(x, y) = x2 + y x2 + y → +∞ II - Sự khả vi Đạo hàm riêng: ... ϕ(h) = h→ORn Viphân f x, ký hiệu df (x), định bởi: n df (x) = i=1 ∂f (x)hi = ∂xi n i=1 ∂f (x)dxi thay hi dxi ∂xi Tính chất:Nếu f khả vi x f liên tục x ∂f Điều kiện đủ: Nếu đạo hàm riêng , i ... y) = (f1 (x, y), f2 (x, y), , fp (x, y)) Các hàm f1 , f2 , , fp : A × B → R gọi hàm thành phần f Mỗi hàm thành phầnhàm số thực theo n + p biến số thực (x, y) = (x1 , x2 , , xn , y1 ,...
... Chứng minh hàm số sau không liên tục R2 : (x + y ) cos , x2 + y > f (x, y) = x + y2 , x=y=0 HD: Hàm f (x, y) tương đương với hàm g(x, y) = x2 + y x2 + y → +∞ II - Sự khả vi Đạo hàm riêng: ... ϕ(h) = h→ORn Viphân f x, ký hiệu df (x), định bởi: n df (x) = i=1 ∂f (x)hi = ∂xi n i=1 ∂f (x)dxi thay hi dxi ∂xi Tính chất:Nếu f khả vi x f liên tục x ∂f Điều kiện đủ: Nếu đạo hàm riêng , i ... y) = (f1 (x, y), f2 (x, y), , fp (x, y)) Các hàm f1 , f2 , , fp : A × B → R gọi hàm thành phần f Mỗi hàm thành phầnhàm số thực theo n + p biến số thực (x, y) = (x1 , x2 , , xn , y1 ,...
... 2f = ftt + ftv y + ftv y + fvv y ∂x2 = ftt + 2yftv + y 2fvv , ∂ 2f = ftt + ftv x + ftv y + fvv xy + fv ∂x∂y = ftt + (x + y)ftv + xyfvv + fv , ∂ 2f = ftt + ftv x + ftv x + fvv x2 ∂y = ftt + 2xftv ... o a a a o a ’ dy vi phˆn df l` h`m cua x v` y a a a a ´ ’ ıa: a u a a Theo dinh ngh˜ Vi phˆn th´ hai d2 f (hay vi phˆn cˆp 2) cua o.c dinh ngh˜a nhu l` vi phˆn cua vi ’ h`m f (x, y) tai ... ∂t ∂v = ftt + 2yftv + y 2fvv dx2 + ftt + 2xftv + x2fvv dy + ftt + (x + y)ftv + xyfvv + fv dxdy 133 ´ ` e ınh a a e e Chu.o.ng Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn 134 ´ ’ ` u V´ du Ap dung vi phˆn dˆ...
... cc tr cú iu kin ca cỏc hm sau õy a) z = xy vi x + y = b) z = cos x + cos y vi y x = c) z = x + y vi x + y = d) z = http://kinhhoa.violet.vn 1 1 + vi + = x y x y a 10 Li gii a) Do x + y = y ... 1) = + ữ vi zmin = + 2 v t cc i cú iu kin ti 1 cos ( 2m ) = + + m, + m ữ vi zmax = + 2 c) Hm Lagrange ( L ( x, y , ) = x + y + x + y ) Tỡm im ti hn http://kinhhoa.violet.vn 11 ... y ) vi D c gii hn bi cỏc ng x = 0, y = 0, x + y = 2 c) z = x y vi D = ( x, y ) Ă : x + y b) z = sin x + sin y + sin ( x + y ) vi D = ( x, y ) Ă d) z = e ( x2 + y ) { ( 2x ) + y vi D =...
... = =3 h c2 o ih u V Suy Viphân cấp cao Cho hàm ị biến z ụ fậxờ yấề Bản thân hàm theo ị biến xờ y nên ta xét viphân nóề ỷếu dfậxờ yấ có viphânviphân ðó ðýợc gọi viphân cấp fậxờ yấờ ký hiệu ... yo số tính ðạo hàmhàmbiến fậxờ yo) x ụ xo Týõng tựờ ðể tính ðạo hàm riêng theo biến y ậxo, yo) ta tính ðạo hàmhàmbiến fậxờ yo) y ụ yo (xem x = xo sốấề Ví dụầ ih u V 1) Cho z = x2y Tính z’x ... ữ miền ðóng bị chặnề , ta có tính chất ðạt III ÐẠO HÀM VÀ VIPHÂN Ðạo hàm riêng Ðể ðõn giản cho vi c trình bàyờ ðây ta xét ðạo hàm riêng hàm ị biến Ðối với hàm n biến hoàn toàn týõng tựề Sýu...
... f x cos( xy ) Tương tự: y Ghi Chú : Tính đạo hàm riêng hàmnhiềubiến thực chất tính đạo hàm theo biếnbiến không đổi Ví dụ Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số sau a f(x,y) = x2 + 3xy + 2y2 + 4x ... Nếu đạo hàm hỗn hợp ta có : d 2f = 2 f 2 f 2 f dx + dxdy + dy xy x y 4.1.5 Đạo hàmhàm số hợp hàm ẩn Đạo hàmhàm hợp Nếu f(x,y) khả vi miền D x = x(t) y = y(t) khả vi khoảng (a,b) hàm hợp ... x Tìm viphân toàn phầnhàm số z x y Ta có: z x Vậy: dz x x y x x2 y2 ; z y dx y x y2 y x2 y2 dy 4.1.4 Đạo hàmviphân cấp cao Đạo hàm riêng cấp cao ta có Đạo hàm riêng...
... : Tìm viphân toàn phầnhàm số : a) f(x,y) = x4 + 3xy + 2y2 + arctgx b) f(x,y) = arctg x+ y x− y Đạo hàmviphân cấp cao : Đạo hàm riêng cấp cao : Đạo hàm riêng cấp hai đạo hàm riêng đạo hàm riêng ... đạo hàm riêng theo biến x hàm f(x,y) điểm (xo,yo) , ký hiệu : f’x(xo,yo) ∂f ( x0 , y ) ∂x Tương tự ,ta có đạo hàm riêng theo biến y hàm f(x,y) : f’y(xo,yo) ∂f ( x0 , y ) ∂y Ghi Chú : Tính đạo hàm ... hàm số f : D (D ⊂ R2 ) R ⎧ x2 y ⎪ f(x,y) = ⎨ x + y ⎪0 ⎩ ( x, y ) ≠ (0, 0) ( x, y ) = (0, 0) Xét tính liên tục hàm số f (0,0) 5.2 Đạo hàm riêng viphân toàn phần : 5.2.1 Đạo hàm riêng : Cho hàm...
... Đạo hàm riêng hàm số n biến số định nghĩa tương tự Khi tính đạo hàm riêng f biến số đó, ta xem biến số khác số tính đạo hàm f biến số Ví dụ 18: Tính đạo hàm riêng hàm số z e x y Đạo hàm ... với hàm số n biến số, định nghĩa hàm số khả vi, điều kiện khả vihàm số, công thức viphân toàn phần tương tự hàm số hai biến số Ví dụ 24: Tínhviphần toàn phầnhàm số u xe yz Hàm số ... khả vi 0, 3.2 Điều kiện khả vihàm số nhiềubiến số 3.2 Định lý Nếu hàm số f x, y có đạo hàm riêng miền D chứa điểm M x0 , y0 đạo hàm riêng liên tục M hàm số f x, y khả vi M , vi...
... x Ta có f 0, y nên f 0,0 f x, x Hàmbiến y đạo hàm x nên không tồn 0 c/ f x, y 1 f 0, x xy Hàm gián đoạn 0, xy 1 1 1 1 , ... 0, n Tuy nhiên hàm có đạo hàm riêng 0, , f x,0 f 0,0 f 00 f lim lim 0,0 x0 0,0 x 0 x x x y Bài 8: Dùng định nghĩa, tính a/ f 1,1 với f ... x 1 x 1 3 b/ f x,0 f 0,0 f lim 0,0 lim x 0 x 0 x x x0 Bài 9: Tính đạo hàm riêng hàm số sau: a/ f x, y ln x y 2x b/ f x, y arctg x y c/ f x,...
... lý 1: Hàm f x có đạo hàm x0 f x có đạo hàm bên trái, phải x0 đạo hàm - ý nghĩa hình học, học - Định lý 2: Hàm f x có đạo hàm x0 liên tục x0 - Định lý 3: Nếu f x g x hàm có đạo hàm x ... điểm x0 , hàm z g x xác định khoảng chứa y0 f x0 có đạo hàm y0 Khi hàm gf x có đạo hàm x0 gf x0 g ' y0 f x0 ' - Định lý 5: Cho hàm y f x liên tục đồng biến ( nghịch biến ) khoảng ... x, x Hàm y biến đạo hàm x nên không tồn c/ f x, y xy Hàm gián đoạn 0, xy f 0, x 1 , 0, n n 1 nh-ng f , không dần đến f 0, n n n Tuy nhiên hàm có đạo hàm riêng...
... ∂z ∂z = ∂x ∂y Vi tích phân A2 Hàm số nhiềubiến ∂z ∂z x+y thỏa x +y =0 x−y ∂x ∂y ∂u ∂u ∂u (c) u = x2 + yz thỏa x +y +z = 2u ∂x ∂y ∂z (b) z = (d) z = f (x2 + y ) f hàm khả vi theo biến thỏa y Tìm ... (x, y) = ln(x2 + y ) (1, −2) x ĐS: i − j, y = − 5/2 5 15 Tìm tốc độ biến thiên hàm điểm hướng cho: Vi tích phân A2 Hàm số nhiềubiến (a) f (x, y) = x2 y (−1, −1) theo hướng vector v = i + 2j √ ĐS: ... 2 Hàm số nhiềubiến x2 y (x, y) = (0, 0) x4 + y (b) f (x, y) = (x, y) = (0, 0) Đáp số: (a) liên tục (b) không liên tục Tính đạo hàm riêng hàm số sau: y √ (a) z = x...
... o e a o a a vi phˆn cˆp n cua h`m f (x) chia cho l˜y th`.a bˆc n cua vi ´ ´ ’ ’ a a a u u a sˆ gi˜ o u ´ ´ phˆn cua dˆi sˆ a ’ o o 8.2 Vi phˆn a 79 ´ CAC V´ DU I ´ V´ du T´ vi phˆn df nˆu ... 8.2.1 Vi phˆn a ´ Vi phˆn cˆp a a ’ ’ ’ a a Gia su h`m y = f(x) x´c dinh lˆn cˆn n`o d´ cua diˆm x0 v` a a a o ’ e a ´ ´ ´ ’ ∆x = x − x0 l` sˆ gia cua biˆn dˆc lˆp H`m y = f (x) c´ vi phˆn ... + df(x0 ) ´ ´ Vi phˆn cˆp c´ c´c t´ chˆt sau a a o a ınh a + d(αu + βv) = αdu + βdv, d(uv) = udv + vdu, vdu − udv u = d , v v2 v = (8.5) 8.2 Vi phˆn a 77 ´ a ’ a 2+ Cˆng th´.c vi phˆn dy = f...
... 1.4.4 Viphânhàm biến: Định nghĩa: Hàm f khả vi x0 f có đạo hàm x0 dy = f ′( x ) Viphânhàm y = f(x) dy = f ′(x)dx ⇔ dx Viphân cấp cao: Nếu hàm số f có đạo hàm đến cấp n viphân cấp n hàm số ... biết hàm tổng chi phí là: a) C = Q − 5Q + 60Q b) C = Q − 21Q + 500Q 15 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Chương 2: Phéptínhviphânhàmnhiềubiến 2.1 Khái niệm hàm hai biến: Cho E tập hợp ¡ Một hàm ... ∂y ( n n −1 Tổng quát: Viphân toàn phần cấp n định nghĩa là: d f = d d f ) 2.6 Ứng dụng đạo hàmviphânhàm hai biến: 2.6.1 Cực trị hàm hai biến: Cho z = f (x, y) hàm hai biến xác định miền D,...
... tắt sau: Chương : Lý thuyết phéptínhviphânhàmbiến Trình bày kiến thức phéptínhviphânhàmbiến Chương 2: Ứng dụng đạo hàm Trình bày vài ứng dụng đạo hàm Chương : Phân loại tập Trình bày phương ... g 3.6 Viphân cấp cao Định nghĩa Nếu hàm số f ( x ) khả vi đến cấp n ( a, b ) Khi viphân df = f ′ ( x ) dx gọi viphân cấp hàm f ( x ) ; hàm x với dx không đổi Nếu df khả viviphân d ( ... x ) khả vi điểm x0 Chú ý Nhờ định lý ta đồng khái niệm khả vi tồn đạo hàm hữu hạn hàmbiến Tuy nhiên, ta xem dx biến độc lập mới, gọi viphân x , biến phụ thuộc dy , gọi viphân y , hàm x dx...
... gần giá trị hàm số cho - Từ giá trị f( ) cần tính rút dạng f(x) - Phân tích giá trị thành xo + x cho f(xo) tính x nhỏ - Tính f(xo) f’(xo) Ví Dụ Tính gần ln1.01 viphân Chọn hàm số f ( ... ln1 0.005 2 2.2.3 Các quy tắc tínhviphân Tương tự đạo hàm ta có quy tắc tínhviphân sau Nếu u, v khả vi tổng, hiệu, tích, thương( v ) chúng khả vi và: 1) d (u v) du dv 2) d (uv) ... 2.2.4 Đạo hàmviphân cấp cao Giả sử f ( x) có đạo hàm x (a, b) Khi f ( x) hàm số xác định x (a, b) nên ta tính đạo hàmhàm số f ( x) Một cách quy nạp, ta định nghĩa: Đạo hàm cấp 2:...
... )dxdydz v V Tích phân bội ba có tính chất tương tự tích phân kép Định lý Nếu f(x, y, z) liên tục miền đóng, bị chặn V khả tích miền 5.2.2 Cách tính tích phân bội ba Cách tính tích phân bội ba hệ ... x).g ( y )dy f ( x)dx g ( y )dy c Đổi biến số tích phân kép Cho tích phân kép D f ( x, y )dxdy Giả sử tồn hàmbiến x = x(u,v) y=y(u,v) có đạo hàm riêng liên tục miền D’ mpO’uv cho tương ... 15 Đổi biến số tích bội ba I = f ( x, y, z ) dxdydz V x x(u , v, w) y y (u, v, w) z z (u , v, w) Giả sử : Các hàm x, y, z theo biến u, v, w hàm số liên tục với đạo hàm riêng...
... x2 − m t phân th c h u t ( m t d ng c a hàm s sơ c p) x − 5x + nên hàm s xác nh, có gi i h n ∀x ∈ Df = » \ {2,3} Nên hàm s liên t c t i m i x thu c Df Riêng t i x=2, ta nghi ng r ng hàm s có ... = a 2 , x = , x ≤ 3 2.1 Tính ch t c a hàm s liên t c Các nh lý sau ây nêu lên nh ng tính ch t b n c a hàm s liên t c nh lý 14 N u hàm s f ( x ) liên t c o n [a, b] b ch n o ... f ( x ) gi i h n x → Ví d 15 Tính gi i h n hàm s sau x → : B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM x x b) f (x) = x Ví d 16 Tính gi i h n phía, phía hàm s sau: a) f (x) = 2x − x →+∞...