1 CHƯƠNG 5 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 5.1.1. Tích phân kép 5.1.1. Khái niệm tích phân kép 1. Định nghĩa Cho hàm số f(x,y) xác định trên miền đóng, bị chặn D.  Chia miền D một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ có diện tích ),1( niS i   Trong mỗi mảnh, lấy 1 điểm tùy ý M i (x i ,y i ) ),1( ni   Tổng I n = i n i ii Syxf    ),( 1 được gọi là TỔNG TÍCH PHÂN của hàm số f(x,y) trong miền D.  Nếu n d I 0 lim  tồn tại không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm M i trong mỗi mảnh thì nó được gọi là TÍCH PHÂN KÉP của hàm số f(x,y) trong miền D và ký hiệu: I =  D dSyxf ),( o D : miền lấy tích phân o f(x,y) : hàm dưới dấu tích phân o dS : yếu tố diện tích Ghi chú :  Tích phân kép tồn tại thì hàm số f(x,y) gọi là khả tích trên miền D.  Nếu chia miền D bằng 2 họ đường thẳng song song với các trục tọa độ thì dS = dxdy nên : I =  D dxdyyxf ),( 2. Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trong miền bị đóng và bị chặn D thì f(x,y) khả tích trên miền D 3. Tính chất: (1)     DDD dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf ),(),()],(),([ (2)    DD dxdyyxfkdxdyyxkf ),(),( (3) Nếu D có thể chia thành 2 miền D 1 và D 2 thì : 2    12 ),(),(),( DDD dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf (4) Nếu f(x,y)  g(x,y) , Dyx   ),( thì    DD dxdyyxgdxdyyxf ),(),( (5) Nếu m  f(x,y)  M, Dyx   ),( , m và M là hằng số thì mS    D MSdxdyyxf ),( với S là diện tích của miền D. (6) Nếu f(x,y) liên tục trong miền bị chặn D thì trong D có ít nhất một điểm ),( yx sao cho Syxfdxdyyxf D ).,(),(   với S là diện tích của miền D. 5.1.2. Cách tính tích phân kép 1. Trong tọa độ ĐềCác a. Miền lấy tích phân l hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ Tính I =  D dxdyyxf ),( với D =   dycbxaRyx  ,/),( 2 I=         d c b a b a d c b a d c dxyxfdydyyxfdxdxdyyxf ),(),(),( b. Miền lấy tích phân là miền bất kỳ  D=   )()(,/),( 21 2 xyyxybxaRyx  với y 1 (x) và y 2 (x) liên tục trên [a,b] I =  b a xy xy dyyxfdx )( )( 2 1 ),( Ví dụ 1: 2 D I xydxdy  , trong đó D giới hạn bởi parapol x = y 2 và đường thẳng y = x.  Tìm giao điểm: 22 0 0 x xy yy y yx yx           hoặc 1 1 x y      .  Suy ra 11 2 00 22 x x x D x I xydxdy xydydx xy dx     1 11 34 22 00 0 1 () 34 12 x x xx xy dx x x x dx      . Ví dụ 2: (1 2 ) D I xdxdy  , trong đó D giới hạn bởi parapol x = y 2 và đường thẳng y = x - 2. 3  Tìm giao điểm: 2 2 2 1 1 2 20 xy x xy y yx yy                   hoặc 4 2 x y      .  Suy ra 14 012 (1 2 ) (1 2 ) xx x x I x dydx x dydx       11 2 00 (2) (2) xx xx yxydx yxydx     11 2 00 14 13 1 3 2 22 2 2 01 (2) (2) (2 4 ) (2 2 2 2 4 ) xx xx yxydx yxydx x xdx x x x x xdx        189 10  .  D=   )()(,/),( 21 2 yxxyxdycRyx  với x 1 (y) và x 2 (y) liên tục trên [c,d] I =  b a xy xy dyyxfdx )( )( 2 1 ),( Ví dụ 3: Tính tích phân ở VD2 theo miền nằm ngang đơn giản: 2 2 12 yxy D y       . Suy ra: 2 2 2 22 2 2 11 (1 2 ) ( ) y y y y I xdxdy x x dy        22 224 4 11 2(2) 65 189 10 y yy ydy yydy        Ví dụ 4: Tính tích phân ở VD1 theo miền nằm ngang đơn giản 2 2 12 yxy D y       . Suy ra: 2 2 11 2 00 22 y y y D y I xydxdy xydxdy x y dy     4 11 24 35 00 1 ()() 12 yy y dy y y dy  .  D giới hạn trong hình chữ nhật có các cạnh xác định bởi a  x  b , c  y  d . PNM  : y = y 1 (x) , PQM  : y = y 2 (x) QMN  : x= x 1 (y) , QPN  : x = x 2 (y) I =  b a xy xy dyyxfdx )( )( 2 1 ),( =  d c yx yx dxyxfdy )( )( 2 1 ),( Ghi chú :     b a d c b a d c dyygdxxfdyygxfdx )()()().( c. Đổi biến số trong tích phân kép Cho tích phân kép  D dxdyyxf .),( Giả sử tồn tại hàm 2 biến x = x(u,v) và y=y(u,v) có các đạo hàm riêng liên tục trên miền D’ của mpO’uv sao cho tương ứng (u,v)  (x,y) là một song ánh từ D’ đến D và định thức Jacobi: (, ) 0 (,) xx Dxy uv J yy Duv uv       . Ta có công thức đổi biến số trong tích phân kép : dudvJvuyvuxfdxdyyxf DD //)],(),,([),( '    Ví dụ : D I dxdy  , trong đó D giới hạn bởi các đường thẳng: y = 1 – x, y = 2 – x, y = 2x – 1, y = 2x – 3. Ta có các đường thẳng viết lại: x + y = 1, x + y = 2, 2x – y = 1, 2x – y = 3. Đặt 2 uxy vxy      thì: J = 1 3  và   (,):1 2;1 3 uv Duvu v    Vậy: 23 11 12 dud 33 D Idxdy v     . 5 r  M (x,y) 2. Trong tọa độ tọa độ cực:  Tọa độ cực : r = | OM |  = ( Ox ,OM )  Công thức liên hệ giữa tọa độ Đề-các và tọa độ cực        sin cos ry rx Xem x, y như hàm 2 biến theo r và  ta áp dụng công thức đổi biến số : J = 0 cossin sincos   r r r   I =    DD rdrdrrfdxdyyxf ' )sin,cos(),(  Nếu D’ được xác định bởi      và r 1 ( )  r  r 2 ( ), ta có: I =     D r r rdrrrfddxdyyxf      )(2 )(1 )sin,cos(),( Ví dụ 1 22 xy D I edxdy    , với D là hình tròn 22 2 x yR   . Chuyển sang hệ tọa độ cực, ta có:   (, ):0 ;0 2 r Dr rR     Do đó: 22 2 2 00 drd (1 ) r R rr R D Iedrd e e          . Chú ý: Nếu dùng phép đổi biến sang tọa độ cưc suy rộng: os sin xarc J abr ybr         Khi đó: (, ) (arcos, rsin) f x y dx dy f b abr dr d R R       6 Ví dụ 2 Tính 22 sin 3 I x y dx dy R   R là miền cho bởi: 222 2 4xy    Giải: Chuyển sang tọa độ cực os 0 2 : sin 2 xrc RR yr r            22 2 2 s inr dr d ( osr) 3 00 2 2 2( osr sinr) 6 Ir drdc rc               Ví dụ 3 Tính 22 1 4 22 xy I dx dy R ab   D là miền cho bởi: 22 1( 0, 0) 22 xy ab ab   Giải: Chuyển sang tọa độ cực suy rộng os 0 2 ;: sin 0 1 xarc J abr R R ybr r           1 21 1 222 2 1-r r a bdr (1 ) (1 ) 00 0 1 3 22 2 (1 ) 33 0 I dabrdr ab ab r           Ví dụ 4 Tính diện tích miền giới hạn bởi Lemnixcat 222 222 ()2()(0)xy axy a   Giải: Ta có: Diện tích A dxdy R   Chuyển sang tọa độ cực phương trình của Lemnixcat là: 4222 2 22 2 (cos sin ) 2 cos 2rar ra    Do tính đối xứng của miền cần tìm diện tích nên. 2os2 2os2 444 222 4rdr2 22os2d2 0 00 0 0 ac ac Ad r d ac a          7 5.1.3. Ứng dụng của tích phân kép 1. Ứng dụng hình học a. Tính thể tích của vật thể Thể tích của vật thể hình trụ m mặt xung quanh l mặt trụ có đường sinh song song với Oz, đáy là miền D trong mặt phẳng Oxy, phía trên giới hạn bởi mặt cong z =f(x,y) , f (x,y)  0 và liên tục trên D cho bởi công thức : V =  D dxdyyxf ),( Ví dụ 1 : Tính thể tích V của phần hình trụ giới hạn bởi mặt x 2 + y 2 = 1 nằm trong mặt cầu x 2 +y 2 +z 2 = 4. Ví dụ 2 : Tính thể tích V của phần hình trụ giới hạn bởi mặt x 2 + y 2 = 2x nằm trong mặt cầu x 2 +y 2 +z 2 = 4. b. Tính diện tích hình phẳng S =  D dxdy Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x 2 và x + y – 2 = 0 Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 = 4x và y = 2x c. Tính diện tích của mặt Phương trình của mặt là z = f(x,y) D = dxdyqp D   22 1 D: là hình chiếu của mặt lên mặt phẳng Oxy và p = x f   , q = y f   Ví dụ : Tính diện tích phần của mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 nằm bên trên mp Oxy . 2. Ứng dụng cơ học a. Tính khối lượng của một bản phẳng không đồng chất m =  D dxdyyx ),(   (x,y ) : khối lượng riêng của bản phẳng tại M(x,y) 8 Ví dụ : Tính khối lượng của bản phẳng choán miền D xác định bởi: x 2 + y 2 –R 2  0, x 0, y 0 biết rằng khối lượng riêng là (x,y ) = xy. b. Moment quán tính của bản phẳng I x = dxdyyxy D ),( 2   I y = dxdyyxx D ),( 2   I o = dxdyyxyx D ),()( 22    Ví dụ 1 : Tính moment quán tính đối với gốc O của miền tròn D xác định bởi x 2 +y 2 -2Rx  0, biết khối lượng riêng (x,y) = 22 yx  Ví dụ 2: Tính moment quán tính đối với trục 0y của miền D xác định bởi 1 2 2 2 2  b y a x biết rằng (x,y)  1 c. Trọng tâm của bản phẳng Nếu bản phẳng D có khối lượng riêng là hàm liên tục (x,y) thì tọa độ trọng tâm : x G =   dxdyyx dxdyyxx ),( ),(   , y G =    dxdyyx dxdyyxy ),( ),(   Nếu bản phẳng đồng chất thì  không đổi ,ta có : x G =  D xdxdy S 1 , y G =  D ydxdy S 1 ( S là diện tích của miền D ). 5.2. Tích phân bội ba 5.2.1. Khái niệm tích phân bội ba 1. Định nghĩa Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đóng, giới nội V của không gian Oxyz. Chia miền V một cách tuỳ ý thành n miền nhỏ có thể tích là V i (i = n,1 ) Trong mỗi miền nhỏ  V i lấy một điểm tuỳ ý M i (x i , y i , z i ) 9 Tổng I n =    n i iiii Vzyxf 1 ).,,( được gọi là tổng tích phân của hàm f(x, y, z) trên miền V. Nếu n n I  lim tồn tại không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách lấy điểm M i thì nó được goi là TÍCH PHÂN BỘI BA của hàm f(x, y, z) trên miền V. Ký hiệu:  V dVzyxf ),,( Ghi chú : Nếu tích phân bội ba tồn tại, ta nói hàm f(x, y, z) khả tích trên miền V. Nếu chia miền V bằng những họ mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ thì dV = dxdydz nên ta có:    vV dxdydzzyxfdVzyxf ),,(),,( Tích phân bội ba cũng có các tính chất tương tự như tích phân kép. 2. Định lý. Nếu f(x, y, z) liên tục trên miền đóng, bị chặn V thì khả tích trên miền đó . 5.2.2. Cách tính tích phân bội ba 1. Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề Các  V dxdydzzyxf ),,(  Nếu miền V được giới hạn bởi các mặt z = z 1 (x, y), z = z 2 (x, y) trong đó z 1 , z 2 là những hàm liên tục trong miền D, D là hình chiếu của miền V trên mặt phẳng Oxy thì ta có:    D yxz yxz dzzyxfdxdyI ),( ),( ),,( 2 1  Nếu miền D được giới hạn bởi các đường y = y 1 (x), y = y 2 (x) trong đó y 1 , y 2 là những hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì ta có : I =  )( )( ),( ),( 2 1 2 1 ),,( xy xy yxz yxz b a dzzyxfdydx 10 Ví dụ 1 Xác định cận của tích phân: (, ,) , I f x y z dxdydz    , với  giới hạn bởi các mặt: x = 0, y = 0, z = 0, x + y + 2z = 0. Chiếu  xuống Oxy ta được miền   (, ):0 2;0 2Dxy x y x    . Giới hạn trên của :1 22 x y z , giới hạn dưới của :0z   Vậy: 1 22 22 00 0 (, ,) xy x I dx dy f x y z dz      . Ví dụ 2 Tính tích phân: , I xdxdydz    , với  giới hạn bởi các mặt: z = x 2 + y 2 , z = 4, x = 0, y = 0. Hình chiếu  xuống Oxy   2 (, ):0 2;0 4Dxy x y x. Giới hạn trên của :4z, giới hạn dưới của 22 : zx y   Vậy:  22 22 22 24 4 24 4 00 00 . xx z zx y xy I dx dy xdz dx x z         .  2 24 32 00 64 4 15 x dx x x xy dy    . 2. Đổi biến số trong tích bội ba I =  V dxdydzzyxf ),,( trong đó (,, ) (,, ) (,, ) x xuvw yyuvw zzuvw         . Giả sử : Các hàm x, y, z theo 3 biến u, v, w là những hàm số liên tục cùng với đạo hàm riêng cấp 1 của chúng trong miền đóng V’ của không gian O’uvw. Các công thức trên được xác định một song ánh từ miền V’ lên miền V của không gian Oxyz. Định thức Jacobi [...]... 2  4 x 1 Elip: 5. 3 Tính thể tích của khối giới hạn bởi các mặt y = 1+x2 , z = 3x , y = 5 , z = 0 và nằm trong góc phần tám thứ nhất 5. 4 Tính thể tích của khối giới hạn bởi hai mặt trụ x2 +y2 = a2 và x2 +z2 = a2 5. 5 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 4y-y2 , x+y = 6 5. 6 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x2+y2 = 2x , x2+y2 = 4x 5. 7 Tính diện tích của phần mặt... 2x 5. 8 Tính diện tích của phần mặt cầu x2+y2 +z2= 4 nằm bên trong hình trụ x2+y2 = 2x 5. 9 Tính các tích phân bội ba sau 1 Tính  dxdydz với V là vật thể giới hạn bởi mặt x + y + z = 1 và các mặt v phẳng tọa độ 2 Tính  xdxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt z = x2 + y2 , z = 4 , x = v 0 , y = 0 3 Tính  ydxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt y = x2, z + y = 1, z = 0 v 4 Tính. .. , z = 0 5 Tính  ( x 2  y 2 )dxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt v x2 + y2 = 1, z = 0 , z = 1 6 Tính  xyzdxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt 2 2 v x + y +z2=1, x  0 , y  0,z  0 7 Tính  zdxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt x2 + y2 +z2 = 2, v z = x2  y2 5. 10 Tính thể tích của phần hình chỏm cầu x2 + y2 +z2 = 4 phía trên mặt phẳng z=1 16 5. 11 Tính thể tích của... r2sin  Tích phân bội ba trong tọa độ cầu : I =  f(r sin cos, r sin sin, r cos) r2sin drdd V Ví dụ 1 Tính tích phân: I   ( x 2  y 2  z 2 )dxdydz, với  giới hạn bởi các 2 2 2 2 2  2 mặt: x + y + z = 1, x + y + z = 4 Chuyển sang hệ tọa độ cầu ta có: Miền  giới hạn bởi: 1  r  2, 0     , 0    2 2  2 0 Vậy: I  0 1 4  d  sin  d  r dr  124 5 Ví dụ 2Tính tích phân: ... phía trên mặt phẳng z=1 16 5. 11 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt parabolôit z = x2 + y2 và z = 1 5. 12 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt nón z2-x2-y2=0 (z>0) và mặt cầu x2 + y2 +z2 = 1 5. 13 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi : a2  x2 + y2 +z2  4a2 và z  0 5. 14 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt nón z = 17 x 2  y 2 và mặt z=x2+y2 ... 10 5. 2.3 Ứng dụng của tích phân bội ba 1 Ứng dụng trong hình học Thể tích V của vật thể :  V= dxdydz V Ví dụ 1 Tính thể tích hình cầu tâm O bán kính R Ta có thể tích hình cầu : V ()   dxdydz , với  : x 2  y 2  z 2  R 2  Chuyển sang hệ tọa độ cầu ta có: Miền  giới hạn bởi: 1  r  R, 0     , 0    2 2 Vậy: V ()   R  d  d  r 0 0 0 2 4 sin  dr   R 3 3 Ví dụ 2 Tính. .. BÀI TẬP CHƯƠNG 5 5.1 Tính các tích phân kép sau 1 I   x ln ydxdy với miền D là hình chữ nhật : 0  x  4 , 1  y  4 D 2 I   ( cos 2 x  sin 2 y )dxdy với miền D là hình vuông : 0  x  D  4 ,0  y  3 I   e x sin y cos ydxdy với miền D là hình chữ nhật : 0  x   , 0  y  D  2  4 4 I   (2 x  y )dxdy với miền D xác định bởi các đường : x = 1, x = 2 , y = x , y = x2 D 5 I  ... phẳng Oxy, z là tọa độ M theo trục z z x = r cos  y = r sin  z=z M (x, y, z) y x r  M’ cos  Định thức Jacobi : J = sin  0  r sin  r cos  0 0 0 r0 1 Tích phân bội ba trong tọa độ trụ : I=  f(r cos , rsin , z) r drddz V' Ví dụ 1 Tính tích phân: I   ( x 2  y 2 )dxdydz, với  giới hạn bởi các mặt:  2 2 z = x + y , z = 4 Hình chiếu  xuống Oxy là hình tròn: x 2  y 2  4 Chuyển sang tọa...  0 D 15 I   ( x 2  y )dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường: y  0, y  x 2 , x  y  2 D 16 I   ( x 2  xy )dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường: y  x 2 , y  x D 17 I   ln( x 2  y 2 )dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường: x 2  y 2  R 2 D 18 I   (12  3 x 2  4 y )dxdy với D là miền giới hạn bởi elip: D 5. 2 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi (các) đường 15 x2  y2...x u D ( x, y , z ) y I= = D (u , y , w) u z u x v y v z v x w y  0 trong miền V’ trừ một số hữu hạn điểm w z w Khi đó ta có công thức đổi biến số : I=  f [x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)] J dudvdw V' 3 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ Toạ độ trụ của điểm M (x, y, z) trong không gian Oxyz là bộ ba (r, , z) Trong đó (r,) là tọa độ cực của hình chiếu vuông góc M’ . 1 CHƯƠNG 5 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 5. 1.1. Tích phân kép 5. 1.1. Khái niệm tích phân kép 1. Định nghĩa Cho hàm số f(x,y) xác định trên miền đóng,. là TÍCH PHÂN KÉP của hàm số f(x,y) trong miền D và ký hiệu: I =  D dSyxf ),( o D : miền lấy tích phân o f(x,y) : hàm dưới dấu tích phân o dS : yếu tố diện tích Ghi chú :  Tích phân. ),,(),,( Tích phân bội ba cũng có các tính chất tương tự như tích phân kép. 2. Định lý. Nếu f(x, y, z) liên tục trên miền đóng, bị chặn V thì khả tích trên miền đó . 5. 2.2. Cách tính tích phân