Phép tính vi phân hàm nhiều biến.pdf

Phép tính vi phân hàm nhiều biến

- B(x, r) = {y ∈ Rn/d(x, y) < r} là quả cầu mở tâm x, bán kính r.

Cho D ⊂ Rn, điểm x ∈ Rn được gọi là điểm biên của D nếu với mọi r > 0 thì B(x, r) ∩ D 6= Ø và B(x, r) ∩ (Rn\ D) 6= Ø.

Nếu x là điểm biên của D thì x cũng là điểm biên của Rn\ D Tập tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D, ký hiệu ∂D Ta có:

∂D = ∂(Rn\ D)

Tập D được gọi là mở nếu mọi x ∈ D, có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ D Nếu D là tập mở, x ∈ D thì x không là điểm biên của D Vậy nếu D là tập mở thì D không chứa điểm biên của D và ngược lại.

Tập A ⊂ Rn được gọi là đóng nếu Rn\ A là tập mở A là tập đóng ⇔ ∂A ⊂ A Đặt :

• D = D \ ∂D là tập mở lớn nhất chứa trong D và gọi là phần trong của D.0 • D = D ∪ ∂D là tập đóng bé nhất chứa D và gọi là bao đóng của D−

Tâp D được gọi là bị chặn nếu có M ≥ 0 sao cho ||x|| ≤ M với mọi x ∈ D Định lý:

1) Rn là không gian đầy đủ, nghĩa là mọi dãy cơ bản trong Rn đều hội tụ.

2) Cho A là tập đóng bị chặn trong Rnvà (xk)k là dãy trong A Khi đó có dãy con (xk i)i của dãy (xk)k sao cho lim

x0là điểm giới hạn của D nếu và chỉ nếu có dãy (xk)k trong D, xk 6= x0, lim

Ta có: Nếu x0 ∈ D và x0 là điểm giới hạn của D thì: f liên tục tại x0 ⇔ lim

Cho A là tập đóng bị chặn trong Rn và f : A → R liên tục Khi đó: a) f liên tục đều trên A

b) f đạt cực đại, cực tiểu trên A, nghĩa là có x0, y0 ∈ A sao cho : f (x0) = max{f (x), x ∈ A}

f (y0) = min{f (x), x ∈ A}

c) Nếu giả sử thêm A liên thông và đặt :

Thật vậy , với (x, y) ∈ [0, 1]2 và r > 0, trong quả cầu mở tâm (x, y) bán kính r, gọi D là hình vuông mở chứa trong quả cầu D = x − r

Do D là tập đóng, bị chặn nên f đạt cực đại, cực tiểu trong D.

3.5 Cho D là tập đóng trong Rn và x0 ∈ Rn Chứng minh: có x1 ∈ D sao cho :

Do f liên tục đều trên tập đóng, bị chặn B0(0, M + 1) nên có δ > 0 sao cho khi x, y ∈ B0(0, M + 1), d(x, y) < δ thì |f (x) − f (y)| < ε Vậy f liên tục đều trên Rn.

4 - Chứng minh hàm số sau không liên tục đều trên R2:

Đặt ei = (0, , 0, 1, 0, , 0) (thàng phần thứ i bằng 1) Với x ∈ D, đạo hàm riêng của f tại x theo biến xi, ký hiệu ∂f Tính chất:Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x.

Điều kiện đủ: Nếu các đạo hàm riêng ∂f

Định nghĩa: Cho A ⊂ Rn, B ⊂ Rp, mỗi phần tử của A × B ghi là (x, y) với x ∈ A, y ∈ B Cho f : A × B → Rp Mỗi (x, y) ∈ A × B, f (x, y) ∈ Rp ghi là:

f (x, y) = (f1(x, y), f2(x, y), , fp(x, y))

Các hàm f1, f2, , fp : A × B → R được gọi là hàm thành phần của f Mỗi hàm

Khi nào từ phương trình vectơ (1) có thể giải được y = ϕ(x) ?

Ánh xạ ϕ xác định trong tập con của Rncó giá trị trong Rp, nếu có, được gọi là ánh xạ ẩn suy ra từ phương trình vectơ (1).

Điều này tương đương với bài toán: khi nào từ hệ phương trình (2) có thể giải được

Các hàm ϕ1, ϕ2, , ϕp, nếu có, được gọi là hàm ẩn suy ra từ hệ phương trình (2) Sau đây là định lí hàm ẩn cho trường hợp đặc biệt

Định lý:

Khi đó có một lân cận mở D của (x0, y0) và hai hàm u, v : D → R có đạo hàm riêng liên tục theo x, y thỏa mãn:

u(x0, y0) = u0, , v(x0, y0) = v0,  f (x, y, u(x, y), v(x, y)) = 0

g(x, y, u(x, y), v(x, y)) = 0 , với ∀(x, y) ∈ D Các đạo hàm riêng ∂u

3- Cho u = u(x, y), v = v(x, y), z = z(x, y) là hàm ẩn suy ra từ:

∂y tại điểm u = 1, v = 1.

4- Cho u = u(x, y), v = v(x, y) là hàm ẩn suy từ:

∂y(1, 2), biết u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0

HD: Sau khi đạo hàm riêng hai phương trình theo x, y thay điều kiện u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0.