Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Chương I: Phép tính vi phân hàm một biến 1.1 Hàm số và giới hạn của hàm số: 1.1.1 Hàm số: Định nghĩa: Cho X là một tập con của tập số thực ¡ Một hàm số xác định trên X là một quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm x ∈ X với một giá trị duy nhất f(x) ∈ ¡ Ký hiệu: f : X → ¡ x a y = f (x) X được gọi là tập xác định của hàm số f Tập hợp { f (x) x ∈ X} được gọi là tập giá trị của hàm số f Đồ thị của hàm số: Cho hàm số f có tập xác định X Tập hợp tất cả các điểm ( x, f ( x ) ) với x ∈ X được gọi là đồ thị của hàm số f Hàm số đơn điệu: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) ■ Nếu ∀x1 , x 2 ∈ ( a, b ) , x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ) thì f được gọi là hàm số tăng trên khoảng (a, b) ■ Nếu ∀x1 , x 2 ∈ ( a, b ) , x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 ) thì f được gọi là hàm số giảm trên khoảng (a, b) Hàm số chẵn, hàm số lẻ: Cho hàm số xác định trên tập hợp X ∀x ∈ X ⇒ − x ∈ X f ( − x) = f (x) ■ f được gọi là hàm số chẵn nếu  ∀x ∈ X ⇒ − x ∈ X f ( − x) = −f (x) ■ f được gọi là hàm số lẻ nếu  1 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy, còn đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ 1.1.2 Giới hạn của hàm số một biến: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) có thể trừ ra điểm x 0 ∈ ( a, b ) Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là A khi x tiến tới x 0 nếu với mọi dãy { x } ⊂ ( a, b ) \ { x } , lim x n 0 n→ ∞ n = x 0 ta đều có lim f ( x n ) = A n→ ∞ Ký hiệu: lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 0 < x − x 0 < δ ⇒ f (x) − A < ε x→ x 0 Các phép toán về giới hạn: Cho f(x), g(x) là hai hàm số có giới hạn khi x → x 0 Khi đó: i) lim [ f (x) ± g(x) ] = lim f (x) ± lim g(x) x→ x0 x → x0 x → x0 ii) lim [ f (x)g(x) ] = lim f (x).lim g(x) x→ x x→ x x→ x 0 0 f (x) lim f (x) x→ x iii) lim = x→ x g(x) lim g(x) x→ x 0 0 0 ( lim g(x) ≠ 0) x→ x0 0 iv) lim [ f (x) ] x→ x g( x ) 0 =  lim f (x)   x→ x  lim g( x ) x → x0 0 Một số giới hạn cơ bản: a) Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp và x 0 thuộc miền xác định của nó thì: lim f (x) = f ( x 0 ) x→ x 0 x x b) xlim e = +∞ , xlim e = 0 →+ ∞ →− ∞ lim c) x → 0 ln x = − ∞, xlim ln x = + ∞ →+∞ + d) lim c = c x→ x 0 e) lim x→ 0 s inx =1 x 2 Vương Vĩnh Phát f) lim x→ 0 Toán cao cấp ex − 1 =1 x x  1 g) lim 1 + ÷ = e x→ ∞  x Ví dụ: Tính các giới hạn sau: 2 − x +2 x +1 a) lim e x→ ∞ b) lim ( 1 + sinx ) x→ ∞ 1 x c) lim x→ 0 sin5x x Giải Ta có: − x + 2 x +1 =0 a) lim e x→ ∞ 2 b) lim ( 1 + sinx ) = lim ( 1 + sinx ) x→ ∞ x→ ∞   1 x c) lim x→ 0 1 sin x    sinx x =  lim ( 1 + sinx )  x→ ∞  1 sin x    lim x→ ∞ sinx x =e sin5x  sin5x   sin5x  = lim 5. ÷ = 5lim  ÷ = 5.1 = 5 x→ 0 x→ 0 x  5x   5x  1.2 Vô cùng bé, vô cùng lớn: 1.2.1 Vô cùng bé: Định nghĩa: Hàm α ( x ) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x → x 0 nếu lim α ( x ) = 0 x→ x 0 Cho α ( x ) , β ( x ) là hai VCB khi x → x 0 Giả sử tồn tại lim x→ x 0 α( x) β( x) =A ♦Trường hợp 1: Nếu A = 1 thì α ( x ) , β ( x ) là hai VCB tương đương Ký hiệu: α ( x ) : β ( x ) khi x → x 0 ♦ Trường hợp 2: Nếu A ∈ ¡ , A ≠ 1, A ≠ 0 thì α ( x ) , β ( x ) là hai VCB cùng cấp ♦ Trường hợp 3: Nếu A = 0 thì VCB α ( x ) gọi là cấp cao hơn VCB β ( x ) khi x → x 0 Ký hiệu: α ( x ) = O ( β ( x ) ) khi x → x 0 3 Vương Vĩnh Phát Ví dụ: Ta có: lim x→ 0 Toán cao cấp s inx = 1 ⇒ s inx : x khi x → 0 x x2 = 0 nên x 2 cấp cao hơn x Ví dụ: Ta có: lim x→ 0 x 1.2.2 Vô cùng lớn: Định nghĩa: Hàm α ( x ) gọi là vô cùng lớn ( VCL ) khi x → x 0 nếu lim α ( x ) = +∞ x→ x 0 1 là VCB, ngược lại nếu α ( x ) là VCB thì α( x) Dễ thấy rằng nếu α ( x ) là VCL thì 1 là VCL ( α ( x ) ≠ 0 ) α( x) Như vậy, việc nghiên cứu các VCL có thể chuyển sang các VCB 1.3 Hàm số một biến liên tục: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b), x 0 ∈ ( a, b ) Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f (x) = f (x 0 ) x→ x 0 Trường hợp xlim f (x) = f (x 0 ) thì ta nói hàm số liên tục bên trái tại điểm x 0, →x − 0 lim f (x) = f (x 0 ) thì ta nói hàm số liên tục bên phải tại điểm x0 + x→ x 0 Vậy f liên tục tại x0 ⇔ xlim f (x) = xlim f (x) = f (x 0 ) →x →x + 0 − 0 Nếu hàm số không liên tục tại x0 thì f được gọi là gián đoạn tại điểm x 0 Vậy f gián lim lim đoạn tại điểm x0 khi không tồn tại x→ x f (x) hoặc x → x f (x) ≠ f (x 0 ) 0 0 Định lí: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] Khi đó: i) f bị chặn trên đoạn [a, b], nghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho: f (x) ≤ M ∀x ∈ [ a, b ] ii) f có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a, b] iii) ∀c ∈ [ f (a), f (b) ] , ∃x 0 ∈ [ a, b ] : f ( x 0 ) = c iv) Nếu f(a).f(b) < 0 thì tồn tại x 0 ∈ [ a, b ] : f (x 0 ) = 0 4 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp v) 1.4 Đạo hàm: 1.4.1 Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b), x 0 ∈ ( a, b ) Cho x0 một số gia ∆x Đặt ∆y = f ( x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) Nếu tồn tại giới hạn f ( x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) ∆y thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số = ∆lim0 x→ ∆x ∆x y = f(x) tại điểm x0 lim ∆ x→0 Ký hiệu: f ′ ( x 0 ) = lim ∆ x→0 f ( x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) ∆y = ∆ x→0 lim ∆x ∆x Hàm số có đạo hàm gọi là hàm khả vi Đạo hàm của hàm số y′ được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) Ký hiệu: y′′ = f ′′(x) Tổng quát: đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) là y( n ) = y ( n −1) ′ ( ) 1.4.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thì tiếp tuyến của hàm số tại điểm M ( x 0 , f (x 0 ) ) có phương trình: y − y0 = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 1.4.3 Cách tính đạo hàm: 5 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp ( c ) ′ = 0 ( c = const ) ( x ) ′ = nx n n −1 ( a ) ′ = a ln a ( 0 < a ≠ 1) x Các đạo hàm cơ bản: x 1 x ( ln x ) ′ = ( x > 0) ( sinx ) ′ = cosx ( tgx ) ′ = 1 cos 2 x ( cosx ) ′ = − sinx ( cotgx ) ′ = − 1 sin 2 x Các quy tắc tính đạo hàm: ( cu ) ′ = c.u′ ( c = const ) ( u ± v ) ′ = u ′ ± v′ ( uv ) ′ = u′v + v′u  u ′ u ′v − v′u  ÷= v2 v Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau: x2 + x −1 c) y = x 2e x d) y = x.sinx 2x + 5 1.4.4 Vi phân của hàm một biến: Định nghĩa: Hàm f khả vi tại x0 nếu và chỉ nếu f có đạo hàm tại x0 dy = f ′( x ) Vi phân của hàm y = f(x) là dy = f ′(x)dx ⇔ dx Vi phân cấp cao: Nếu hàm số f có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số f a) y = x 3 − 3x 2 + 1 b) y = ( n) n n là: d y = f ( x ) dx 3 Ví dụ: Cho hàm số y = x + 2x + 1 2 2 2 Khi đó: dy = ( 3x + 2 ) dx , d y = 6xdx 1.5 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân: 1.5.1 Khử dạng vô định trong tính giới hạn: 6 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Định lí: Quy tắc L’Hospital ϕ(x) ϕ(x) ϕ′(x) 0 ∞ lim lim = x→x lim Nếu x → x có dạng hoặc thì x → x ψ (x) ψ (x) ψ′(x) 0 ∞ 0 0 0 Ví dụ: ∞ 2x 3 − 3x + 3 lim a) Tính x → ∞ 3 (dạng ) 2 ∞ -x + 2x + x ∞ x 3 − 3x + 3 lim b) Tính x → ∞ 2 (dạng ) ∞ 4x + x + 2 lim c) Tính x → ∞ ∞ −3x 2 + 3 (dạng ) ∞ 3 − x + 5x 3 1.5.2 Cực trị của hàm một biến: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và x 0 ∈ ( a, b ) Điểm x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại khoảng mở I ( x 0 ∈ I ) sao cho: f(x) < f ( x 0 ) ∀x ∈ I \ { x 0 } Điểm x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại khoảng mở I ( x 0 ∈ I ) sao cho: f(x) > f ( x 0 ) ∀x ∈ I \ { x 0 } Điểm x0 được gọi là điểm cực trị nếu nó là điểm cực đại hoặc cực tiểu Định lí: Nếu x0 là điểm thỏa f ′ ( x 0 ) = 0 và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số Nếu x0 là điểm thỏa f ′ ( x 0 ) = 0 và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm x0 là điểm cực đại của hàm số Định lí: Nếu x0 là điểm mà tại đó f ′ ( x 0 ) = 0 và f ′′ ( x 0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 7 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Nếu x0 là điểm mà tại đó f ′ ( x 0 ) = 0 và f ′′ ( x 0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 1.5.3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định là liên tục trên đoạn [a, b] và f khả vi trong (a, b) Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a, b] ta làm như sau: Bước 1: Tính y′ Bước 2: Giải phương trình y′ = 0 tìm các nghiệm x i ∈ [ a, b ] Bước 3: Tính f(a), f(b), f(xi) Khi đó: max] f (x) = max { f(a), f(b), f(x i ) } x ∈[ a, b min f (x) = min { f(a), f(b), f(x i ) } x ∈[ a, b ] 3 Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 3x + 3 trên đoạn [ 0, 2] 2 Ta có: y′ = 3x − 3 x = 1 ⇒ y = 1 y′ = 0 ⇔ x 2 = 1 ⇔   x = −1 ⇒ y = 5 Mặt khác: f (0) = 3, f (2) = 5 Vậy max] f (x) = 5 x ∈[ 0, 2 ( x = 2 ∨ x = −1) min và x ∈[ 0, 2] f (x) = 1 ( x = 1) Ví dụ: Một nhà máy sản xuất máy tính xác định rằng để bán x sản phẩm mới, giá mỗi sản phẩm phải là: p = 1000 – x Nhà sản xuất cũng xác định được tổng giá trị của x sản phẩm làm ra cho bởi C(x) = 3000 + 20x a) Tìm tổng thu nhập R(x) b) Tìm tổng lợi nhuận P(x) c) Nhà máy phải sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt max d) Lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu trong trường hợp câu c) Giá mỗi sản phẩm là bao nhiêu để lợi nhuận đạt max MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRONG KINH TẾ 8 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp 1.1 Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu: Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một năm, h là chi phí lưu kho cho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng, còn Q là kích thước của mỗi chuyến đặt hàng ( kích thước của mỗi lô hàng ) Ta xem n, h, p là những hằng số, còn Q là biến số, lúc này tổng chi phí trong một năm của cửa hàng đối với loại hàng hóa trên là hàm số C ( Q ) bao gồm 2 loại chi phí: chi phí lưu kho và chi phí cho các chuyến hàng Q h ■ Chi phí lưu kho: 2 n p ■ Chi phí cho các chuyến hàng: Q Ví dụ: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm Chi phí gởi trong kho là $ 10 một cái trong một năm Để đặt hàng, chi phí cố định là $20, cộng thêm $9 mỗi cái Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ? Giải Ta có: n = 2500, h = 10 Gọi Q là số tivi mà cửa hàng đặt hàng mỗi lần Khi đó: Q ∈ [ 1;2500 ] Q Khi đó, số lượng tivi trung bình gởi trong kho là Do đó, chi phí lưu kho mỗi năm 2 Q là 10 = 5Q (1) 2 2500 Số lần đặt hàng mỗi năm là: Do đó, chi phí đặt hàng mỗi năm là: Q 2500 50000 (20 + 9Q) = + 22500 (2) Q Q Từ (1) và (2) suy ra chi phí của cửa hàng là: 50000 C(Q) = 5Q + + 22500 Q 50000 Ta có : C′ ( Q ) = 5 − Q2  Q = 100 C′ ( Q ) = 0 ⇔ 5Q 2 = 50000 ⇔ Q 2 = 10000 ⇔   Q = −100 Vì Q∈ [ 1;2500 ] nên ta loại Q = - 100 9 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp 100000 min > 0 với Q>0 nên Q∈[ 1;2500] C ( Q ) = C ( 100 ) = 23500 Q3 2500 = 25 Khi đó, số lần đặt hàng mỗi năm là 100 Vậy, để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi năm và mỗi lần đặt 100 cái tivi C′′ ( Q ) = Ví dụ: Số hàng hóa của một cửa hàng bán ra trong một năm là n = 400000 sản phẩm, chi phí lưu kho của mỗi đơn vị hàng hóa là $2, chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng là $10 Xác định kích thước lô hàng Q để tổng chi phí của cửa hàng là nhỏ nhất 1.2 Ý nghĩa của đạo hàm: Giả sử hai biến x và y có mối quan hệ hàm y = f(x) ( chẳng hạn x là giá của một loại hàng hóa và y là số lượng hàng đó bán ra ) Trong thực tế người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của biến y tại x0 khi x thay đổi một lượng nhỏ ∆x Lượng thay đổi của y khi x thay đổi một lượng ∆x là: ∆y = f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆y Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x trong khoảng từ x0 đến x0 + ∆x là: ∆x Tốc độ thay đổi tức thời của y theo x tại điểm x0 là: f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) ∆y lim = lim = f ′( x 0 ) ∆x → 0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆y ≈ f ′ ( x 0 ) hay ∆y ≈ f ′ ( x 0 ) ∆x Khi ∆x khá nhỏ thì ∆x Vậy x thay đổi một lượng ∆x thì y thay đổi một lượng xấp xỉ bằng f ′ ( x 0 ) ∆x ( chẳng hạn giá thay đổi một lượng ∆x thì số hàng bán ra thay đổi một lượng là f ′ ( x 0 ) ∆x ) Ví dụ: Hàm cầu của một loại sản phẩm là P = 50 − Q 2 Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu Q thay đổi Giá thay đổi như thế nào khi Q = 1 ? Giải Tốc độ thay đổi của giá P theo Q là: P′ = −2Q Do đó: P′(1) = −2.1 = −2 Điều này có nghĩa là khi lượng cầu tăng thêm 1 đơn vị sản phẩm thì giá giảm trên một đơn vị sản phẩm là 2 đơn vị tiền Ý nghĩa của vấn đề: Khi giá sản phẩm cao thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ giảm, ngược lại khi giá sản phẩm xuống thấp hơn thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ tăng lên Lãi suất ngân hàng cuối năm 2007 là 1,25% / tháng thì có nhiều người mua đất cất nhà hơn Đến tháng 5 năm 2008 lãi suất ngân hàng là 1,75% / tháng thì số người mua đất cất nhà sẽ giảm đi 10 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp 2.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao: ′ • Nếu hàm f x ( x, y ) có đạo hàm riêng theo biến x thì đạo hàm đó được gọi là đạo 2 ′′ ( x, y ) hoặc ∂ f (x, y) hàm riêng cấp hai theo biến x Ký hiệu: f xx ∂x 2 ′ • Nếu hàm f y ( x, y ) có đạo hàm riêng theo biến y thì đạo hàm đó được gọi là đạo ∂ 2 f (x, y) ′′ hàm riêng cấp hai theo biến y Ký hiệu: f yy ( x, y ) hoặc ∂y 2 ′ • Nếu hàm f x ( x, y ) có đạo hàm riêng theo biến y thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm hỗn hợp theo x và y ′′ Ký hiệu: f xy ( x, y ) hoặc ∂ 2 f (x, y) ∂x∂y ′′ ′′ Nếu f xx ( x, y ) và f yx ( x, y ) tồn tại và liên tục trong miền mở G thì chúng bằng nhau ′′ ′′ ′′ Ví dụ: Cho f (x, y) = x 2 − 3xy3 + sin y Tính f xx ( x, y ) , f yy ( x, y ) , f xy ( x, y ) Giải 2 ′ ′ Ta có: f x (x, y) = 2x − 3y 3 , f y (x, y) = −9xy + cosy ′′ ′′ ′′ ⇒ f xx (x, y) = 2,f yy (x, y) = −18xy − sin y,f xy (x, y) = −9y 2 2.5 Vi phân toàn phần của hàm hai biến: 2.5.1 Định lí: i) Nếu hàm số f(x, y) khả vi tại điểm (x 0, y0) thì f(x, y) có các đạo hàm riêng tại (x0, y0) ii) Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng trong một miền chứa (x 0, y0) và các đạo hàm riêng này liên tục tại (x0, y0) thì f(x, y) khả vi tại (x 0, y0) và ′ ′ df = f x ( x 0 , y 0 ) dx + f y ( x 0 , y 0 ) dy ♦ df được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại (x0, y0) ( ) 2 Ví dụ: Cho hàm số f ( x, y ) = sin x + y Tính df Giải ( ) ( ) 2 2 ′ ′ Ta có: df = f x ( x, y ) dx + f y ( x, y ) dy = 2xcos x + y dx + cos x + y dy 19 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp 2.5.2 Vi phân cấp cao: Vi phân cấp hai của hàm f là vi phân của df nếu coi dx, dy là hằng số d 2 f = d ( df ) = ⇔ d 2f = d ( df ) = ∂  ∂f ∂f  ∂  ∂f ∂f  dx + dy ÷dx +  dx + dy ÷dy ∂x  ∂x ∂y  ∂y  ∂x ∂y   ∂ 2f 2 ∂ 2f ∂ 2f dx + 2 dxdy + 2 dy 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂y ( n n −1 Tổng quát: Vi phân toàn phần cấp n được định nghĩa là: d f = d d f ) 2.6 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân của hàm hai biến: 2.6.1 Cực trị của hàm hai biến: Cho z = f (x, y) là một hàm hai biến xác định trong miền D, điểm ( x 0 , y0 ) ∈ D Điểm ( x 0 , y0 ) được gọi là điểm cực đại ( cực tiểu ) của hàm f nếu tồn tại miền con G ⊂ D, ( x 0 , y0 ) ∈ G sao cho: f (x, y) < f (x 0 , y 0 ) ( f (x, y) > f (x 0 , y 0 ) ) ∀(x, y) ∈ G \ { (x 0 , y 0 )} Nếu f có cực đại hay cực tiểu thì ta nói hàm số có cực trị tại điểm ( x 0 , y0 ) Định lí: Nếu f(x, y) có cực trị tại ( x 0 , y 0 ) mà tại đó tồn tại các đạo hàm riêng thì ′ ′ f x ( x 0 , y0 ) = f y ( x 0 , y 0 ) = 0 Các điểm ( x 0 , y0 ) mà ′ ′ tại đó f x ( x 0 , y0 ) = f y ( x 0 , y 0 ) = 0 gọi là các điểm dừng Đặt ′′ ′′ ′′ A = f xx ( x 0 , y0 ) , B = f xy ( x 0 , y 0 ) , C = f yy ( x 0 , y 0 ) Định lí: Nếu tại điểm dừng ( x 0 , y0 ) có: ■ ∆ = AC − B2 < 0 thì hàm số không có cực trị ■ ∆ = AC − B2 > 0 thì hàm số có cực trị Khi hàm số có cực trị và A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu, còn hàm số đạt cực đại tại ( x 0 , y0 ) 20 A < 0 thì Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Lưu ý: Khi ∆ = 0 thì chưa kết luận được cực trị, ta gọi đây là điểm nghi ngờ cần xét thêm Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: f (x, y) = x 3 + y3 − 3xy Giải f x ( x, y ) = 3x 2 − 3y = 0  y = x 2  x = 0 ⇒ y = 0  ′ ⇔ 4 ⇔ Ta có:  2 x − x = 0 x = 1 ⇒ y = 1 f y ( x, y ) = 3y − 3x = 0   ′ ′′ ′′ ′′ ⇒ f xx ( x, y ) = 6x,f yy ( x, y ) = 6y,f xy ( x, y ) = −3 Tại điểm O(0, 0) ⇒ ∆ = AC − B2 = −9 < 0 nên hàm số không có cực trị tại O(0, 0) Tại điểm M(1, 1) ⇒ ∆ = AC − B2 = 36 − 9 > 0 và A > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại M(1, 1) và f CT = f ( 1, 1) = −1 Ví dụ: Tìm cực trị của hàm z = x 2 y 2 Giải f x ( x, y ) = 2xy 2 = 0 x = 0  ′ ⇔ Ta có:  2 y = 0 f y ( x, y ) = 2yx = 0  ′ Vậy các điểm dừng nằm trên hai trục tọa độ ′′ ′′ ′′ f xx ( x, y ) = 2y 2 , f yy ( x, y ) = 2x 2 , f xy ( x, y ) = 4xy ⇒ AC − B2 = 4x 2 y 2 − 16x 2 y 2 = −12x 2 y 2 Tại các điểm dừng trên hai trục tọa độ thì AC − B2 = 0 2 2 Rõ ràng: z = x y ≥ 0 ∀ ( x, y ) , còn điểm tới hạn thì z = 0 Nên các điểm giới hạn đều là điểm cực tiểu và z CT = 0 2.6.2 Cực trị có điều kiện của hàm hai biến: Cho hàm z = f (x, y) xác định trên miền D, ϕ là một hàm xác định trên D Tìm cực trị của hàm z = f (x, y) với điều kiện ϕ ( x, y ) = 0 Phương pháp giải: Đặt L(x, y) = f (x, y) + λϕ ( x, y ) 21 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp  ∂L  ∂x = 0   ∂L Giải hệ phương trình:  = 0 (1) tìm x 0 , y 0 , λ Số λ được gọi là nhân tử ∂y  ϕ ( x, y ) = 0   Lagrange Giả sử tại điểm ( x 0 , y0 ) tồn tại vi phân cấp hai: d 2 L ( x 0 , y0 ) = L′′ ( x 0 , y 0 ) dx 2 + 2L′′ ( x 0 , y 0 ) dxdy + L′′ ( x 0 , y 0 ) dy 2 xx xy yy Định lí: Cho điểm ( x 0 , y 0 ) thoả hệ phương trình (1) Khi đó nếu: d 2 L ( x 0 , y 0 ) > 0 thì f(x, y) có cực tiểu d 2 L ( x 0 , y 0 ) < 0 thì f(x, y) có cực đại Ví dụ: Tìm cực trị của hàm f(x, y) = 6 − 4x − 3y với điều kiện x2 + y2 = 1 Giải ( ) 2 2 Đặt L(x, y) = 6 − 4x − 3y + λ x + y − 1 Giải hệ phương trình: 2  ∂L  =0 x=  ∂x  λ −4 + 2λx = 0   3  ∂L   ⇔ −3 + 2λy = 0 ⇔  y =  =0 2λ  ∂y  2  x + y2 = 1  9 ϕ ( x, y ) = 0 4 + 2 =1   λ 2 4λ   5 4 3  λ = , x1 = , y1 =  2 5 5 ⇔ λ = − 5 , x = − 4 , y = − 3 2 2  2 5 5  Mặt khác: L′′ = 2λ, L′′ = 0, L′′ = 2λ xx xy yy ■ Với λ = 5 ⇒ d 2 L ( x1 , y1 ) = 5dx 2 + 5dy 2 > 0 2 22 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp  4 3 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại  , ÷ và fCT = 1 5 5 ■ Với 5 λ = − ⇒ d 2 L ( x 2 , y 2 ) = −5dx 2 − 5dy 2 < 0 2  4 3 Vậy hàm số đạt cực đại tại  − , − ÷ và fCĐ = 11  5 5 2.6.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến: Cho hàm z = f (x, y) liên tục trong miền đóng bị chặn D = D ∪ ∂D và có các đạo hàm riêng cấp 1 trên D Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm z = f (x, y) ta tìm các điểm dừng của hàm z = f (x, y) trong D Tìm các giá trị của hàm tại các điểm nghi ngờ có cực trị trên ∂D So sánh các giá trị trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm: f(x,y) = x + 2y − x trong hình tròn D : x 2 + y 2 ≤ 1 Các ứng dụng của hàm số nhiều biến số: 2.1 Cực trị của hàm nhiều biến: Ví dụ: Giả sử chi phí C của một công ty phụ thuộc vào hai biến số x và y là số lượng sản phẩm từng loại mà công ty sản xuất ra Giả sử bằng cách tính gần đúng ta xác định được công thức của hàm chi phí: C = f (x, y) = 2x 2 + y 2 − 4x − 8y Ví dụ: Lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo Giả sử xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo ( tức là nhà sản xuất phải bán hết sản phẩm với giá do thị trường quyết định) Cho biết giá bán của các sản phẩm trên là p1 ,p 2 , ,p n và hàm tổng chi phí trong một đơn vị thời gian là C = C ( q1 ,q 2 , ,q n ) Hãy lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp có lợi nhất 23 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Phương pháp giải: Gọi q1 ,q 2 , ,q n là số lượng các loại sản phẩm được sản xuất trong một đơn vị thời gian Khi đó doanh thu của xí nghiệp là: R = p1q1 + p 2 q 2 + + p n q n và lợi nhuận thu được là: N = R − C = p1q1 + p 2 q 2 + + p n q n − C(q1 ,q 2 , ,q n ) Mức sản lượng q = q(q1 ,q 2 , ,q n ) muốn tìm là q để N đạt max Ví dụ: Xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với giá bán p 1 = 8, p2 = 6 Hàm tổng chi 2 2 phí là: C ( q1 ,q 2 ) = 2q1 + 2q1q 2 + q 2 Tìm sản lượng q1, q2 để lợi nhuận đạt tối đa Giải 2 2 2 2 Hàm lợi nhuận là: N = p1q1 + p 2 q 2 − 2q1 − 2q1q 2 − q 2 = 8q1 + 6q 2 − 2q1 − 2q1q 2 − q 2  N′ = 8 − 4q1 − 2q 2 = 0 q = 1  q ⇔ 1 Khi đó:   N′ = 6 − 2q1 − 2q 2 = 0 q 2 = 2  q A = N′′ q = −4,B = N ′′ q = −2,C = N ′′ q = −2 q q q 1 2 1 1 ( q ,q ) 1 2 ⇒ 1 2 2 2 2 AC – B = 8 – 4 = 4 và A < 0 nên hàm số đạt cực đại = ( 1, 2 ) tại 2.2 Cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến: Cho hàm sản xuất P = f (x, y) = xy với điều kiện ràng buộc về ngân sách là: 2x + y = 6 Tìm điều kiện của x, y để sản xuất ra được nhiều sản phẩm nhất 24 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Chương 3: Phép tính tích phân hàm một biến 3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định: Định nghĩa: Cho hàm y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) Ta gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a, b) nếu F′(x) = f (x) ∀x ∈ ( a,b ) Ký hiệu: ∫ f (x)dx = F(x) + C với C là hằng số Tính chất: i) ii) ∫ αf (x)dx =α ∫ f (x)dx ( α là hằng số) ∫ [ f (x) ± g(x)] dx =∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx Tích phân một số hàm sơ cấp: 1) ∫ αdx = αx + C x n +1 3) ∫ x dx = + C ( n ≠ −1) n +1 n 5) dx ∫ x = ln x + C ax x 4) ∫ a dx = +C ln a 2) ∫ sinxdx = −cosx + C 6) 1 ∫ sin 2 x dx = − cot gx + C dx 9) ∫ = arcsinx + C 1 − x2 u′ 11) ∫ dx = ln u u Tích phân xác định: 3.1.1 Định nghĩa: ∫ cosxdx = sin x + C 1 ∫ cos 2 x dx = tgx + C dx 10) ∫ = arctgx + C 1 + x2 7) 8) 25 Vương Vĩnh Phát Giả sử hàm b ∫ f (x)dx = [ F(x)] y b Toán cao cấp = f(x) có một nguyên hàm là F(x) Khi = F(b) − F(a) (1) Công thức (1) được gọi là công thức Newton a a Leibniz 3.1.2 Tính chất: a i) ∫ f (x)dx = 0 a c b b a ii) c a ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx ( c ∈ ( a,b ) ) b b a iii) a ∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx ( k = const ) b b b a iv) đó: a a ∫ [ f (x) ± g(x) ] dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx 3.2 Hai phương pháp tính tích phân xác định: 3.2.1 Phương pháp đổi biến số: b Để tính I = ∫ f (x)dx ta dùng phương pháp đổi biến số Có hai cách đổi biến: a Cách 1: Đặt x = u(t) ⇒ dx = u ′(t)dt Với x = a ⇒ u(t) = a ⇒ t = α Với x = b ⇒ u(t) = b ⇒ t = β β Khi đó: I = ∫ f (u(t)).u ′(t)dt α Lưu ý: Nếu tích phân có dạng Nếu tích phân có dạng ∫x ∫ 2 1 dx ta thường đặt x = atgt + a2 a 2 − x 2 dx ta thường đặt x = asint Cách 2: Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ′(x)dx Với x = a thì t = u(a) = α Với x = b thì t = u(b) = β 26 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp β Khi đó: I = ∫ g(t)dt α Ví dụ: Tính các tích phân sau: e ln x a) I = ∫ dx x 1 1 dx b) I = ∫ 1 + x2 0 1 c) I = ∫ 2x − 1 dx 0 3.2.2 Phương pháp tích phân từng phần: b b a a ∫ udv = [ uv] b − ∫ vdu a e Ví dụ: Tính I = ∫ x ln x dx 1 Ứng dụng của tích phân: 3.1 Tìm hàm tổng chi phí khi biết chi phí biên: TC = ∫ MC(Q)dQ Trong đó: TC là hàm tổng chi phí MC(Q) là chi phí biên của sản phẩm Ví dụ: Cho chi phí biên của một loại sản phẩm là: MC = 25 + 30Q − 9Q 2 và TC(0) = 55 Tìm hàm tổng chi phí TC Giải TC = ∫ MC(Q)dQ = ∫ ( 25 + 30Q − 9Q 2 ) dQ ⇔ TC = 25Q + 15Q 2 − 3Q3 + C Theo giả thiết: TC(0) = 55 nên 55 = C Vậy TC = 25Q + 15Q 2 − 3Q3 + 55 Ví dụ: Cho chi phí biên của một loại sản phẩm là: MC = 32 + 18Q − 12Q 2 và TC(0) = 43 Tìm hàm tổng chi phí TC Ví dụ: Cho chi phí biên của một loại sản phẩm là: MC = 2.e 0,2 Q và 90 Tìm hàm tổng chi phí TC 3.2 Xác định nguồn vốn đầu tư K(t) từ tốc độ thay đổi đầu tư I(t): 27 TC(0) = Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Công thức: K(t) = ∫ I(t)dt 1 Ví dụ: Tốc độ thay đổi đầu tư là: I(t) = 60t 3 và tại thời điểm K(1) = 85 Hãy tìm nguồn vốn K(t) = ? 3  I(t) = 140t 4 Ví dụ: Cho  Hãy xác định hàm K(t) K(0) = 150  3.3 Tính giá trị thặng dư của người tiêu dùng: Công thức tính giá trị thặng dư của người tiêu dùng: CS = Q0 ∫ P dQ − P Q d 0 0 0 2 Ví dụ: Cho hàm cầu Pd = 42 − 5Q − Q biết giá trị cân bằng là P0 = 6 Hãy tính giá trị thặng dư của người tiêu dùng Giải Khi P0 = 6 ⇒ 6 = 42 − 5Q 0 − Q ⇔ Q + 5Q 0 − 36 = 0 ⇔ Q0 =4, Q0 = - 9 (loại) 2 0 2 0 4 5 2 Q3   CS = ∫ ( 42 − 5Q − Q ) dQ − 6.4 =  42Q − Q −  − 24 2 3 0 0  64 338 ⇔ CS = 168 − 10 − − 24 = 3 3 3.4 Tính giá trị thặng dư của nhà sản xuất: 4 2 Công thức tính giá trị thặng dư của nhà sản xuất: CS = P0 Q 0 − Q0 ∫ P dQ s 0 2 Ví dụ: Tính giá trị thặng dư của nhà sản xuất khi Ps = ( Q + 3) và P0 = 81, Q0 = 6 2 Ví dụ: Cho hàm cung Ps = 2Q + 1 và hàm cầu Pd = 25 − Q Tính giá trị thặng dư của nhà sản xuất và của người tiêu dùng 3.5 Phương trình vi phân: Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng: F ( x, y, y′ ) = 0 (1) trong đó x là biến độc lập, y là hàm của x, y′ là đạo hàm của y theo x 28 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Nghiệm của phương trình vi phân là hàm y = y(x) hoặc ϕ(x, y) = 0 mà thế vào ta được đẳng thức đúng Thông thường phương trình vi phân cấp một có vô số nghiệm phụ thuộc vào một tham số Nhiều bài toán yêu cầu tìm nghiệm của (1) thỏa y(x 0 ) = y0 Phương trình (1) đôi khi được viết dưới dạng: y′ = f (x, y) hay dy = f (x, y) dx Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm: Cho phương trình vi phân cấp một y′ = f (x, y) Nếu f(x, y) liên tục trong một miền chứa (x0, y0) thì tồn tại một nghiệm y = y(x) thỏa mãn điều kiện đầu y x = x0 = y0 Ngoài ra nếu ∂f cũng liên tục thì nghiệm đó là duy nhất ∂y Phương trình có biến phân li: Phương trình có biến phân li là phương trình có dạng: f1 (x)dx + f 2 (y)dy = 0 Phương pháp giải: Lấy tích phân hai vế: ∫ f (x)dx + ∫ f 1 2 (y)dy = C Ví dụ: Giải phương trình: xdx + (y + 1)dy = 0 và tìm nghiệm riêng thỏa y x =0 = 0 Ví dụ: Giải phương trình: x2(y + 1)dx +(x3 - 1)(y - 1)dy = 0 29 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Bài tập Chương 1: Phép tính vi phân hàm một biến: 1 Tính các giới hạn sau: x3 + 1 x → −1 x 2 + x a lim x −1 2x + 7 − 3 3 b lim x →1 c lim x→ 0 tg x sin 5x − 2x d lim x→ 0 x 1 − cos x x +1  x + 3 e lim  ÷ x→ ∞ x − 1   2 Tính các giới hạn sau: x 5 − 2x + 1 lim a x → ∞ 2 ( x + 2) ( x 4 + x − 2) b xlim∞ →− c xlim∞ →− ( x 2 + 2x − x 2 − 2x ) 2x − 1 3x 2 + x + 1 30 Vương Vĩnh Phát d xlim∞ →+ ( Toán cao cấp x 2 + 4x − 2 x 2 + x + x ) Chương 2: Phép tính vi phân hàm nhiều biến ′ ′′ ′′ ′′ 1 Tìm f x′ ( x, y ) , f y ( x, y ) , f xx ( x, y ) , f xy ( x, y ) , f yy ( x, y ) của các hàm số sau: a f (x, y) = x 3 + y 2 + 6xy − 2x + 1 2 b f (x, y) = e x − y + 3x − 2y + sinx c f (x, y) = 2x 3 y 2 + y5 2 Tìm cực trị của các hàm sau: a f (x, y) = ( x + y − 94 ) ( 4x + 3y ) − 6xy 2 2 −x b f(x,y) = ( x + y ) e 2 − y2 c f (x, y) = x + y − ye x d f (x, y) = x2 1 y + + −4 2y x 2 3 Tìm cực trị của hàm z = 1 − x 2 − y 2 với điều kiện x + y – 1 = 0 4 Tìm cực trị của hàm f (x, y) = x + 2y với điều kiện x 2 + 2y = 2 4 5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của các hàm số sau: a z = x 2 − y 2 trong miền D xác định bởi: x 2 + y 2 ≤ 4 b z = x 2 + y 2 trong miền D xác định bởi: ( x − 2) + ( y − 2) 2 2 ≤9 2 c z = x y ( 4 − x − y ) trong miền đóng D giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, y = 0, x + y = 6 d z = x 2 + 2xy − 4x + 8y trong miền D giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, x = 1,y = 0,y = 2 Chương 3: Phép tính tích phân 1 Tính các tích phân sau: 1 3 7 4 a I = ∫ ( x + x ) ( x + 1) dx 7 0 31 Vương Vĩnh Phát e2 b I = ∫ 0 Toán cao cấp dx x ln x + 2 1 9 5 c I = ∫ x 1 + x dx 0 3 −1 ∫ d I = −1 dx x 2 + 2x + 1 1 x x e I = ∫ ( e − 5 ) e dx 0 e2 f I = ∫ 1 ln xdx x π 2 g I = x.sin xdx ∫ 0 1 2 −x h I = ∫ x e dx 0 2 Giải các phương trình vi phân sau: 1 a y′ = 1+ x b dy = x 2ex dx 2x y=0 1 + x2 3 Giải các phương trình vi phân, sau đó tìm nghiệm riêng thoả mãn điều kiện đầu: c y′ − a (1 – x)dy – ydx = 0 , y x = 0 = 1 b dx dy + = 0 , y x =1 = 1 x(y − 1) y(x + 2) c xy′ + y = y 2 , y x =1 = 1 2 32 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Tài liệu tham khảo 1 Đậu Thế Cấp Toán cao cấp ( Dùng cho ngành Đại học kinh tế ) NXB ĐHQG TP HCM, 2003 2 Vũ Tuấn - Phan Đức Thành - Ngô Xuân Sơn Giải tích toán học tập 1, 2, 3 NXBGD, 1977 3 Trắc nghiệm và đề mẫu Toán cao cấp B 2 và C2 (ngành QTKD) Đại học mở bán công TP HCM, 2001 33 ... 1.4.4 Vi phân hàm biến: Định nghĩa: Hàm f khả vi x0 f có đạo hàm x0 dy = f ′( x ) Vi phân hàm y = f(x) dy = f ′(x)dx ⇔ dx Vi phân cấp cao: Nếu hàm số f có đạo hàm đến cấp n vi phân cấp n hàm số... biết hàm tổng chi phí là: a) C = Q − 5Q + 60Q b) C = Q − 21Q + 500Q 15 Vương Vĩnh Phát Tốn cao cấp Chương 2: Phép tính vi phân hàm nhiều biến 2.1 Khái niệm hàm hai biến: Cho E tập hợp ¡ Một hàm. .. ∂y ( n n −1 Tổng quát: Vi phân toàn phần cấp n định nghĩa là: d f = d d f ) 2.6 Ứng dụng đạo hàm vi phân hàm hai biến: 2.6.1 Cực trị hàm hai biến: Cho z = f (x, y) hàm hai biến xác định miền D,