bat dang thuc
bat dang thuc
Có thể bạn quan tâm
ĐỊNH LÍ ROLL VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HÀM LỒI
- 5
- 268
- 22
Áp dụng BĐT $a^3 + b^3$ $ab(a+b)$ (bạn tự chứng minh nhé)
$x^3 + y^3$ $xy(x+y)$
$y^3 + z^3$ $yz(y+z)$
$x^3 + z^3$ $xz(x+z)$
$frac{1}{1+x^3+y^3}+frac{1}{1+y^3+z^3}+frac{1}{ 1 +z^3+x^3}$ $frac{1}{1+xy(x+y)}+frac{1}{1+yz(y+z)}+frac{1}{ 1+xz(x+z)}$
$frac{1}{1+x^3+y^3}+frac{1}{1+y^3+z^3}+frac{1}{ 1 +z^3+x^3}$ $frac{1}{xyz+xy(x+y)}+frac{1}{xyz+yz(y+z)}+frac {1}{xyz+xz(x+z)}$
$frac{1}{1+x^3+y^3}+frac{1}{1+y^3+z^3}+frac{1}{ 1 +z^3+x^3}$ $frac{1}{xy(x+y+z)}+frac{1}{yz(x+y+z)}+frac{1}{ xz(x+y+z)}$
$frac{1}{1+x^3+y^3}+frac{1}{1+y^3+z^3}+frac{1}{ 1 +z^3+x^3}$ $frac{x+y+z}{xyz(x+y+z)}=1$
đpcm
Dấu "=" xảy ra $x=y=z=1$
Có thể bạn quan tâm
500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc
- 49
- 1
- 22
Bài 8:
Viết lại BDT theo dạng pqr: $3p^2-6q+2r ge 52 leftrightarrow 2r-6q ge -56$
Áp dụng BDT Schur: $2r-6q ge dfrac{2p(4q-p^2)}{9}-6q=dfrac{-2}{3}q-48 ge dfrac{-2p^2}{9}-48=-56$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$
Bài 9:
Vế đầu:
Viết lại BDT theo dạng pqr: $p^3-3pq+6r ge dfrac{2}{9} leftrightarrow -q+2r ge dfrac{-7}{27}$
Áp dụng BDT Schur: $2r-q ge dfrac{8q-2}{9}-q = dfrac{-q}{9}-dfrac{6}{27} ge dfrac{-p^2-6}{27}=dfrac{-7}{27}$
Vế sau:
$f(a;b;c)=a^3+b^3+c^3+3abc$
Bằng biến đổi tương đương chứng minh $f(a;b;c) le f(a;dfrac{b+c}{a}; dfrac{b+c}{a})$ với $a=ext{min{a;b;c}}$
$dfrac{b+c}{2}=t o a+2t=1 o dfrac{1}{3} ge a=1-2t > 0 o dfrac{1}{3}le t<dfrac{1}{2}$
$f(1-2t; t;t)=(1-2t)^3+2t^3+3(1-2t)t^2$
$=-12t^3+15t^2-6t+1=-12(t-dfrac{1}{4})(t-dfrac{1}{2})^2+dfrac{1}{4}le dfrac{1}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=0; b=c=dfrac{1}{2}$ không thoả mãn.
Vậy $f(a;b;c)<dfrac{1}{4}$
Có thể bạn quan tâm
Bất đẳng thức tích phân
- 33
- 2
- 4
1.Cách khác:
$dfrac{a^3}{b}+dfrac{b^3}{c}+dfrac{c^3}{a}= dfrac{a^4}{ab}+dfrac{b^4}{bc}+dfrac{c^4}{ac} ge dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca} ge dfrac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca$
Có thể bạn quan tâm
Tìm lời giải các bài toán bất đẳng thức - giá trị nhỏ nhất - giá trị lớn nhất nhờ dự đoán dấu bằng
- 8
- 2
- 217
4,$8^x+8^x+64 ge 3.4.4^x$
$8^y+8^y+64 ge 3.4.4^y$
$8^z+8^z+64 ge 3.3.4^z$
$4(4^x+4^y+4^z) ge 4.3sqrt[3]{4^{x+y+z}}=192$
Cộng theo vế,đc:
$2(8^x+8^y+8^z)+4(4^x+4^y+4^z)+192 ge 192+12(4^x+4^y+4^z)$
$2(8^x+8^y+8^z)+4(4^x+4^y+4^z)+192 ge 192+12(4^x+4^y+4^z)$
$2(8^x+8^y+8^z) ge 2(4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1})$
$8^x+8^y+8^z ge 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}$
Có thể bạn quan tâm
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz
- 5
- 2
- 183
10,$dfrac{ab}{c+1}=ab.dfrac{1}{(a+c)+(b+c)} le dfrac{ab}{4}(dfrac{1}{a+c}+dfrac{1}{b+c})$
Tương tự, có: $dfrac{bc}{a+1} le dfrac{bc}{4}(dfrac{1}{a+b}+dfrac{1}{a+c})$
$dfrac{ca}{b+1} le dfrac{ca}{4}(dfrac{1}{b+a}+dfrac{1}{b+c})$
$dfrac{ab}{c+1}+dfrac{bc}{a+1}+dfrac{ca}{b+1} le dfrac{1}{4}(dfrac{ab+bc}{a+c}+dfrac{ab+ac}{b+c} +dfrac{bc+ac}{a+b})=dfrac{1}{4}(a+b+c)=dfrac{1} {4}$
Có thể bạn quan tâm
Bất đẳng thức
- 28
- 147
- 9
8,Có: $(3-a)(3-b)(3-c) le (dfrac{9-a-b-c}{3})^3=1$
$27-9(a+b+c)+3(ab+bc+ca) le 1+abc$
$3(ab+bc+ca) le 1+abc+9(a+b+c)-27=1+abc+9.6-27=abc+28$
$6(ab+bc+ca) le 2abc+56$
$3(a+b+c)^2 le 2abc+56+3(a^2+b^2+c^2)$
$2abc+3(a^2+b^2+c^2) ge 52$
Có thể bạn quan tâm
Luyện tập về Bất Đẳng Thức
- 4
- 524
- 15
5,$1+x^3+y^3 ge 3xy$
$dfrac{sqrt{1+x^3+y^3}}{xy} ge dfrac{sqrt{3}}{sqrt{xy}}$
Tương tự, có: $VT ge sqrt{3}.(dfrac{1}{sqrt{xy}}+dfrac{1}{sqrt{yz} }+dfrac{1}{sqrt{zx}}) ge sqrt{3}.3$ (Do xyz=1)
7,$VT ge sqrt{(a+b+c)^2+(dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}+dfrac{ 1}{c})^2} ge sqrt{(a+b+c)^2+dfrac{16}{(a+b+c)^2}+dfrac{65}{( a+b+c)^2}} ge sqrt{8+dfrac{65}{4}}=dfrac{sqrt{97}}{2}$
Có thể bạn quan tâm
Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân
- 4
- 871
- 8
cau 1, cho a, b, c >0 . chung minh rang $dfrac{a^3}{b} + dfrac{b^3}{c} + dfrac{c^3}{a} ge ab + bc + ca$
cau 2, cho x, y, z > 0 va $dfrac{1}{1 + x} + dfrac{1}{1 + y} + dfrac{1}{1 + z} = 2$. chung minh rang $xyz le frac{1}{8}$
cau 3, cho x, y, z la 3 so thuc duong va $x+y+z le 1$ . chung minh rang $sqrt{x^2+dfrac{1}{y^2}}+sqrt{y^2+dfrac{1}{z^2 }}+sqrt{z^2+dfrac{1}{x^2}} ge sqrt{82}$
cau 4, cho x, y, z >0 va $x+y+z=6$ .chung minh $8^x+8^y+8^z ge 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}$
cau 5, cho x,y,z>0 va xyz=1. chung minh $dfrac{sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+dfrac{sqrt{1+y^3+z ^3}}{yz}+dfrac{sqrt{1+z^3+x^3}}{zx} ge 3sqrt{3}$
cau 6, cho cac so thuc duong x,y,z thoa man x+2y+3z=18. chung minh $dfrac{2y+3z+5}{1+x}+dfrac{3z+x+5}{1+2y}+dfrac{ x+2y+5}{1+3z} ge dfrac{51}{7}$
cau 7, cho cac so duong a,b,c thoa man $a+b+c le 2$ . chung minh $sqrt{a^2+dfrac{1}{b^2}}+sqrt{b^2+dfrac{1}{c^2 }}+sqrt{c^2+dfrac{1}{a^2}} ge dfrac{sqrt{97}}{2}$
cau 8, cho a,b,c la do dai 3 canh cua mot tam giac co chu vi bang 6. chung minh $3(a^2+b^2+c^2)+2abc ge 52$
cau 9, cho a,b,c la do dai ba canh cua mot tam giac co chu vi bang 1. chung minh $dfrac{2}{9} le a^3+b^3+c^3+3abc < dfrac{1}{4}$
cau 10, cho a,b,c la cac so duong thoa man a+b+c=1.chung minh $dfrac{ab}{c+1}+dfrac{bc}{a+1}+dfrac{ca}{b+1} le dfrac{1}{4}$
cau 11, cho x,y,z la ba so thuc duong thoa man dieu kien xyz=1 . chung minh $dfrac{1}{1+x^3+y^3}+dfrac{1}{1+y^3+z^3}+dfrac{ 1}{1+z^3+x^3} le 1$
Có thể bạn quan tâm
BẤT ĐẲNG THỨCVỀ GIÁTRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
- 3
- 1
- 26
câu 1:
Ta có $a^3+b^3 ge ab(a+b)$
$dfrac{a^3}{b} +b^2 ge a(a+b)$
T/tự:
$dfrac{b^3}{c} +c^2 ge b(b+c)$
$dfrac{c^3}{a} +a^2 ge c(c+a)$
Cộng 3 BĐT trên ta được :
$VT + a^2+b^2+c^2 ge a^2+b^2+c^2 +ab+bc+ca$
đpcm
Có thể bạn quan tâm
Bất đẳng thức, bất phương trình
- 31
- 194
- 1
$dfrac{1}{1 + x} + dfrac{1}{1 + y} + dfrac{1}{1 + z} = 2$
$dfrac1{1+x}=1-dfrac1{y+1} + 1-dfrac1{z+1}=dfrac{y}{y+1}+dfrac{z}{z+1} ge 2sqrt{dfrac{yz}{(y+1)(z+1)}}$
tương tự :
$dfrac1{1+y} ge 2sqrt{dfrac{xz}{(x+1)(z+1)}}$
$dfrac1{1+z} ge 2sqrt{dfrac{xy}{(x+1)(y+1)}}$
Nhân 3BĐT trên ta được
$dfrac1{(x+1)(y+1)(z+1)} ge 8.dfrac{xyz}{(x+1)(y+1)(z+1)}$
$xyz le dfrac18$
Bài viết liên quan
Bài viết mới
- Viết đoạn văn ngắn phân tích cái hay trong đoạn thơ sau: Nhóm bếp lửa … Bếp lửa (Bếp lửa - Bằng Việt)
- Tình bà cháu trong bài thơ Bếp lửa của Bằng Việt
- Bình giảng đoạn thơ sau đây trong bài Bếp lửa của Bằng Việt: Rồi sớm rồi chiều ....thiêng liêng bếp lửa.
- Phân tích bài thơ ‘Bếp lửa’ của Bằng Việt_bài2
- Phân tích gía trị biểu cảm của những câu thơ sau: Mẹ đang tỉa bắp … em nằm trên lưng (Khúc hát ru những em bé lớn trên lưng mẹ - Nguyễn Khoa Điềm)
- Trong bài thơ Khúc hát ru những em bé lớn trên lưng mẹ của Nguyền Khoa Điềm, em thích hình ảnh thơ nàọ nhất? Viết một đoạn văn nói rõ cái hay của hình ảnh thơ ấy trong đó có sử dụng thành phần tình thái và thành phần phụ chú
- Nêu cảm nhận về bài thơ Khúc hát ru những em bé lớn trên lưng mẹ của Nguyễn Khoa Điềm ( bài 2).
- Cảm nhận của em về bài thơ Khúc hát ru những em bé lớn trên lưng mẹ của Nguyễn Khoa Điềm
- Soạn bài Khúc hát ru những em bé lớn trên lưng mẹ
- Cảm nhận về bài thơ Khúc hát ru những em bé lớn trên lưng mẹ
Xem nhiều gần đây
- tìm giá trị của x để biểu thức nguyên
- phương trình vô tỉ khó để đời hỏi 100 người 99 người bó tay
- một số bài giải phương trình hay
- textbf giải đề thi hsg toán 9 trên cả nước
- chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9
- tổng hợp các bài tập đại số
- căn thức đại số
- tổng hợp phương trình nghiệm nguyên
- bat dang thuc
- giải phương trình vô tỉ
- toán 9 giải pt
- giải phương trình
- giải hệ phương trình
- giải hệ pt chuyên