... không âm thoả m n a + b ≤ Chứngminh rằng: 1 a 1 b 1 a−b + 1 1+ a 1+ b 1+ a+b Lời giải Dãy bấtđẳngthức sau tương đương vớibấtđẳngthức c nchứngminh1 a 1 b + +2 1+ a 1+ b (1 − a) (1 − b) 1 a−b ... lục Lời n i đầu Các thành vi n tham gia bi n so n Các bấtđẳngthức kinh đi n1.1Bấtđẳngthức trung bình cộng trung bình nh n (AM-GM) 1. 2 Bấtđẳngthức trung bình cộng trung bình điều ... trung bình cộng trung bình nh n (AMGM) N u a1 , a2 , , an số thực không âm, √ a1 + a2 + + an ≥ nn a1 a2 an Đẳngthức xảy a1 = a2 = = an 1. 2 Bấtđẳngthức trung bình cộng trung bình...
... ữ ỗ n -1 ứ ữ ố nnnn Bi gii 1 Vỡ Cn0 = Cnn = , nn ta cú: Cn0 Cn Cnn = CnCn2 Cnn -1 (1) p dng bt ng thc Cụsi, ta cú: nn Cn + Cn + + Cn -1 ( n -1) n- 1 Cn ì Cn2 ììì Cn -1 1 Vỡ Cn + Cn2 + ... + Cnn -1 = Cn0 + Cn + Cn2 + + Cnn -1 + Cnn - (Cn0 + Cnn ) = (1 + 1) - = 2n - n S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguy n http://www.Lrc-tnu.edu.vn 21 n ị 2n - (n - 1) n- 1 Cn ì Cn ììì Cn -1 ... + nn1 q p q ổ n p p ổ n q ửq ak bk ỗồ ak ữ ỗồ bk ữ ữ ữ ỗ k =1 k =1 ỗ k =1 ữ ỗ k =1 ữ ố ứ ỗ ố ứ (2) Vỡ (2) ỳng vi mi k = 1, 2, , nnn cng tng v n bt ng thc tr n ta cú: ak bk 1k =1 + 1 p...
... ( x 3n ) n ( y 3n ) n ( z 3n ) n 3n ( x 3n ) n ( y 3n ) n ( z 3n ) n (n 1) x 3n ( 2n 1) ( x 3n (n 1) y 3n nz 3n 1 nx 3n ny 3n (n 1) z 3n 3n 3n 1 3n 3n y z ) 3n ( 2n 1) ( x 3n y 3n z 3n ) 3n x y ... x (1 n) ( 6n 5n 1) 2 (1 n) ( 6n 5n 1) 2 (1 n) ( 6n 5n 1) ' y (1 n) ( 6n ' y 5n 1) 0 ' y 2n 2n m n( 2 3n) (1 n) ( 6n 5n 1) p 2 ' y m n 2n m p 2n 2 2n 2 0) ề WWW.MATHVN.COM 2 t t (t (t 1) t (0; p 0, q ) 1) ... WWW.MATHVN.COM 1; 2; ; n xi xi i S n \ An i An xi xi i A2 i S \ A2 xi xi i Ak i S k \ Ak xi xi i S k \ Ak i Ak ak ; k xi ak i Ak xi i S k \ Ak xi i Ak kk ề WWW.MATHVN.COM xi i S k \ Ak 2 2 n xi2...
... 1) x + y = 2π với x, y ∈ (0, π ) x − y = ( y − x).(xy + 2) 2) x + y = Bài 4: Giải bất phương trình sau 1) 5x + 12 x > 13 x 2) x (x8 + x2 +16 ) > ( - x2 ) Bài : Chứngminhbấtđẳngthức ... ( - x2 ) Bài : Chứngminhbấtđẳngthức sau : 1) ex > 1+ x với x > 2) ln (1 + x ) < x với x > 3) sinx < x với x > 4) - x < cosx với x ≠0 Hết - 15 0 ...
... 20 23 21 < < 4( )3 (4. 1) 27 20 20 Ví dụ 5: Chứngminhbấtđẳngthức Cauchy Cho n số thực x k (k = 1, 2, , n) không âm Khi : x1 + x2 + + x nn x1 x2 x nn (4. 2) Dấu đẳngthức xảy x1 = x2 ... )e t0 Cộng vế với vế bấtđẳngthức ta có: n e i =1 ti net0 (t1 t0 + t2 t0 + + tn t0 )e t0 nn ( eti net0 ) ( ti nt0 )et0 i =1 i =1 nn eti net0 ( ti nt0 )et0 = i =1 i =1 e + ... = = x n Giải: Trờng hợp 1: xi = (i = 1, 2, , n) VT = n x1 x2 x n đpcm Trờng hợp 2: xi > i = 1, 2, , n Đặt x1 = et1 , x2 = et2 , , x n = etn t0 = (t1 + t2 + + tn ) n Khi (4. 2) et1 + et2...
... Thanh Hoa Ví dụ 6: C Ph nk t lu n I K t ứng dụng Việc sử dụng vectơ để chứngminh to nbấtđẳngthức đợc v ndụng bồi dỡng cho học sinh bấtđẳngthứcK t em có thi n cảm chuy n đề n y, không ... c2)(Đpcm) Sử dụng tính chất vectơ đ n vị Đề cơng Sáng ki n kinh nghiệm Lê Thị Thanh Hoa Ví dụ 1: Xét ví dụ ph n 1, ta chứngminhbấtđẳngthức cách khác nh sau.: Tr n mặt phẳng ta dựng vectơ OM ... lúng túng nh trớc n a, số em tỏ hào hứng làm to nbấtđẳngthức II Lời k t Tr n nghi n cứu kinh nghiệm th n Hy vọng đề tài góp ph n để việc dạy học bấtđẳngthức đạt hiệu Do thời gian có h n nên...
... (*) với n= k Theo nguy n lí quy n p (*) chứngminh xong Dấu đẳngthức xảy Trường hợp (1) , chứngminh tương tự Vậy (1) chứngminh ho n to n Áp dụng: Cơ sở phương pháp cực trị n số thứ tự c nthực ... gọi phương pháp nghịch, suy yêu cầu to n Nh n xét: Phương pháp cực trị hai n số thứ tự sử dụng để chứngminhbấtđẳngthức giả thiết k t lu n to n, vai trò số qua phép ho n vị vòng quanh B Bài ... Bài 1: Cho số dương a, b, c Chứngminh rằng: BG: Không tính tổng quát ta giả sử :, ta có: Xét hai 3: Theo phương pháp cực trị hai thứ tự tổng nhỏ Và Tóm lại => Ta đpcm Bài tập tự luy n: 1/ Cho...
... sin x + Phơng trình ysinx+(y- 2k) cosx =k+ 1- 2y (1) Phơng trình (1) có nghiệm y2+(y- 2k) 2 ( k+ 1- 2y)2 2y2-4y- 3k2 + 2k+ 10 1 16 kk + y1+ 6k 4k + 2 1 Vậy: ymax =1+ kk + & ymin =1 6k 4k + 2 a Với ... 1) y +2 đạt đợc t= =2( y 1) 11 x=2+ 2k kZ ymin= tg x == tg Bài to n ứng dụng tập giá trị hàm số để chứngminhbấtđẳngthức phơng pháp chung Ta có k t sau: Để chứngminh f(x)
... Ph n V: ứng dụng đạo hàm A Tính đ n điệu hàm số chủ đề ứng dụng tính đ n điệu hàm số để chứngminhbấtđẳngthức I Ki nthức Bài to n Sử dụng tính chất đ n điệu hàm số để chứngminhbấtđẳngthức ... a+b0 nN*, chứngminh rằng: n an + bn a+b Bài tập (Đề 12 2) CMR |x|
... 3 zzvinhduyzz@zing.vn n Bài to n 12 :Cho số thực a1,a2,…,an thỏa m n a i 1n 2a i 1 i Chứng minh: i n 2n Lời giải.Ta thấy đẳngthức xảy a1 a2 an BĐT cho có dạngn x với x ... ac ab nn a n 24. Cho a1 , a2 , , an n CMR i i 1 i 1 3ai 23.Cho a,b,c>0 CMR : zzvinhduyzz@zing.vn Ph n II : MỘT SỐ MỞ RỘNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TIẾP TUY N TRONG VIỆC CHỨNGMINH BĐT ... ta thấy sử dụng tiếp tuy nchứngminhbấtđẳngthức cho ta cách tìm lời giải ng n g n đ n gi n Một số tập áp dụng: 1. Cho a,b,c>0 a+b+c =1 CMR : 10 (a b3 c ) 9( a b5 c5 ) 11 ) (a...
... + tan t tan t = sin2t + tan t tan + tan tan tan tan + tan = tan(+) tan tan Công thức lượng giác 1+ tan2t = 1 = tan2 2 cos cos số phương pháp lượng giác để chứngminhbấtđẳngthức ... cos)2 +1) + (sin2 + sin2 ) cos cos + = + = (đpcm) 4 2 Các to n đưa trắc nghiệm Trước dạy thử nghiệm n i dung sáng ki n cho học sinh lớp 11 A1 11 A2 trường tôi, nhà cho em, cho em chu n bị trước ... sin = + cos + arccos 2 13 13 13 2 A = -4= 13 13 13 + (1) A = + cos + arccos + = (đpcm) 2 2 13 2 VD3: Chứngminh rằng: A = a + b2 1 ab a ; b Giải: Do |a| 1; |b| nn Đặt a = 1...
... a1, a2, , an tha m n: n xi = i =1 n Chng minh rng: i =1 n a n a ế xi i ế i i =1 i =1 Li gii n i =1 BT cn chng minhn i =1 ln xi ln Hm s f (x ) = ln x l hm li, nn ỏp dng BT tip tuyn ta cú: ... + (1 + + 3)x - = (1) ị sin 2M = - cos2 M cos M = 2k - k ; sin 2N = 2k 2 (1 - 2k ); sin 2P = 2k 3 (1 - 3k ) ịF sin 2M + sin 2N + sin 2P 2k Vy GTNN ca F = = - k + 2 (1 - 2k ) + 3 (1 - 3k ) k - k + ... Cho n s thc x1, x2 , , xn thuc khong (0; ) tha : tan x1 + tan x + + tan xn Ê n Chng minh : sin x1 sin x sin xn Ê n Gii : t = tan xi (i = 1, 2, , n ) ị > i = 1, 2, , n v Nguyn Tt Thu Trng...
... tương đ i khó, thơng thư ng ch g p nh ng b t đ ng th c đ i x ng ba bi n v i u ki n bi n khơng âm T l i gi i ta th y u ki n c a t n r t ch t c n thi t Trong hai t n Bđt c n ch ng minh Bđt có u ki ... b+c c+a Nh n xét Ta th y Bđt c n ch ng minh chưa có d ng (*) hay (**), nhi n Bđt c n ch ng minh thu n nh t nn ta có th gi s a + b + c = mà khơng làm m t tính t ng qt c a t n4 Khi B t đ ng th ... có u ki n đ u có d ng (**) V y d u hi u đ có li n tư ng đ n phương pháp b t đ ng th c c n ch ng minh có d ng (*) ho c (**), nhi n có nhi u trư ng h p Bđr c n ch ng minh chưa xu t ri n d ng (*)...
... 1) ⎨ với x, y ∈ (0, π ) ⎩5x + 8y = 2π ⎧2 x − y = ( y − x ).( xy + 2) ⎪ 2) ⎨ ⎪x + y = ⎩ Bài 4: Giải bất phương trình sau 1) 5x + 12 x > 13 x 2) x (x8 + x2 +16 ) > ( - x2 ) Bài : Chứngminhbấtđẳng ... +16 ) > ( - x2 ) Bài : Chứngminhbấtđẳngthức sau : 1) ex > 1+ x với x > 2) ln (1 + x ) < x với x > 3) sinx < x với x > 4) - x < cosx với x ≠ Hết - 15 0 ...
... = ln1 − = ⇒ ðPCM n Bài 4: CMR: nn+1 > ( n + 1) ; ∀3 ≤ n ∈ N Gi i: L y logarit s e v ta có: BðT ⇔ (n + 1) ln n > n ln (n + 1) ⇔ Ta s ph i ch ng minh f ( x) = ln n ln (n + 1) > nn+1 ln x ngh ... x ngh ch bi n ( 3; +∞ ) x e ln − ln x = < 0.Do e < Th t v y ta có: f '( x) = 2 x x V y f(x) ngh ch bi n mà n + > n ⇒ f (n + 1) < f (n) ⇔ ln (n) ln (n + 1) > ⇒ ðPCM nn+1 Bài 5: CMR: ... Chuy n ñ 01: Hàm s - Khóa Gi i tích 12 – Th y Nguy n Thư ng Võ Bài 3: CMR: ln ( x + 1) < x; ∀x > Gi i: BðT ⇔ f ( x) = ln( x + 1) − x < ⇒ f '( x) = −x 1 = < 0; ∀x > x +1 x +1 ⇒ f ( x) ngh ch bi n...
... ⇔ 2k > ∆t = −(c − 1) k √ 2k − ≤ Từ ta suy với số thựck ≥ √ bấtđẳngthức đề đúng, tức với số thựck ≥ bấtđẳngthức Bài to nchứngminh xong Đẳngthức xảy a = b = c = Ví dụ 17 Cho k ∈ ( 1; ... 11 )2 − 44 (10 y − 10 y + P ) ≥ Hay −296y + 17 6y + 12 1 − 44 P ≥ Tương đương với P ≤− 74 11 y2 − 22 12 1 y− 37 296 Dùng phép tách thành bình phương, dễ dàng nh n thấy y2 − 22 12 1 544 5 y− ≥− 37 296 10 952 ... ≤ − 74 11 − 544 5 10 952 = 49 5 14 8 49 5 11 25 27 , đạt y = , x = , z = 14 8 37 74 74 Một lời giải nhẹ nhàng,ý tưởng bắt ngu n từ việc đưa biểu thức từ bi n bi n bi n (Sau xét ∆) Ho n to n tương tự,ta...
... x ( 2n − 1) n ≥ x− , ∀x ∈ (0 ;1) Áp dụngbấtđẳng ta có − x 2 (n − 1) n − 2( n − 1) n( n − 1) thức cho x1 , x2 , , xn cộng vế lại ta ( 2n − 1) nnn ( x1 + L + xn ) − = n1 − x1 − xn 2 (n − 1) n − ... 2( n − 1) n( n − 1) Đẳngthức xảy x1 = x2 = L = xn = n x1 +L + xn ≥ Bài Chứngminh rằng, tam giác ABC, ta có 3 sin A + sin B + sin C ≤ Chứngminh Xét hàm số f ( x) = sin x, x ∈ (0;π ) Bấtđẳng ... Jenxen Tuy nhi n BĐT Jenxen không đề cập đ n chương trình to n học phổ thông (có thể chứngminh BĐT phức tạp) Bây giờ, dùng tiếp tuy n ta chứngminh BĐT Jenxen cách đ n gi n Bài Cho số dương...
... hai bi n Chuy n đề tiếp tục ho n thành vớik t có ứng dụngchứngminh bđt Rất mong nh n đóng góp b n đọc Nguy n Tất Thu THPT Chuy n Lương Thế Vinh - Bi n Hoà Đồng Nai Bài Cho số thực dương a, ... 16 2n n2 16 2n2 6 4n 288 1 a b4 c n2 3 2n 14 4 256 12 8 5 1 nn ta suy Vì hàm f (n) n2 3 2n 14 4 nghịch bi n 5; 5 383 16 5 P ... ba nghiệm phương trình t3 13 13 11 13 t t 54 Phương pháp n i phát biểu kiểu khác p,r,q Tuy nhi n, với việc đánh giá bđt (1) cho phép ta chế to n cực trị bđt ba bi nvớiđẳng thức...