THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai Nguyễn Tất Thu 1 ỨNG DỤNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Định lí Viet đối với phương trình bậc ba được phát biểu như sau: Nếu phương trình : 32 axbxcxd0,a0  có ba nghiệm 123 x,x,x thì 123 122331 123 b xxx a c xxxxxx a d xxx a                       . Ngược lại, với ba số thực a,b,c bất kì thì chúng là nghiệm của phương trình 32 xmxnxp0  (*) Với   mabc,nabbcca,pabc  . Do đó, từ sự tồn tại nghiệm của phương trình (*) sẽ dẫn tới các bất đẳng thức ba biến a,b,c . Trong bài viết này sẽ giới thiệu với bạn đọc ứng dụng của việc làm đó. Đặt: m xy 3  ; 23 m2m9mn27p n; 327   . Ta thu được phương trình 3 yy0  (**) Số nghiệm của (**) chính là số giao điểm của đồ thị 3 (C):f(y)yy  với trục hoành Ta có: 2 f'(y)3y  Nếu 0  thì f'(y)0, y  nên phương trình (**) có đúng 1 nghiệm Nếu 0  thì phương trình (**) có nghiệm bội ba. Nếu 0  thì f'(y)0  có hai nghiệm 12 y; y 33     12 22 fy, fy 3333   Suy ra     323 2 12 4274 fy.fy 2727   . Do đó, ta có:  Phương trình (**) có ba nghiệm (có thể trùng nhau) khi và chỉ khi:     32 12 fy.fy04270  . Hay là:   3 32 27p2m9mn2m3n  (1). Bây giờ ta đi xét một số trường hợp đặc biệt sau: 1) Cho m0  khi đó (1) trở thành: 3223 4 4n27p0pn 27  Thí dụ 1. Cho các số thực a,b,c không đồng thời bằng 0 thỏa abc0  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 222 2223 13abc2abc2 P (abc)    . Lời giải. Đặt nabbcca, pabc  THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai Nguyễn Tất Thu 2 Suy ra a,b,c là ba nghiệm của phương trình : 3 xmxn0  (4) Ta có: 2332 427 pnnp 274  . Do đó: 2 2322 271 13p2p22n13p2p2pp10 22            Suy ra:   3 23222 13p2p22n13abc2ab22abbcca  Mà:   2222 1 (abc)0abbccaabc 2  Dẫn tới:   3 222222 11 13abc2abc2abcP 44  . Đẳng thức xảy ra n2 a,b,c m3           là ba nghiệm của phương trình 32 x3x20(x1)(x2)0x1,x2  Vậy 1 maxP 4  đạt được khi (a,b,c)(1,1,2)  và các hoán vị. Thí dụ 2. Cho các số thực a,b,c có tổng bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức     5 222222 Pabc32abbccaabc8abc  . Lời giải. Đặt nabbcca, pabc  Suy ra a,b,c là ba nghiệm của phương trình : 3 xnxp0  (4) Ta có: 233232 42727 pnnpnp 2744  . Vì 222 abc0abc2(abbcca)2nn0  . Do đó: 5252 P32n32np8p32(n)(n)p8p     3 3 64np8p854pp          . Xét hàm số 3 f(t)54tt,t0  ta có: 2 2 f'(t)162t1,f'(t)0t 18  . Lập bảng biến thiên ta có t0 22 minf(t)f 1827               Suy ra 82 P 27  . Đẳng thức xảy ra khi 3 2 p 18 1 n 24                  hay a,b,c là nghiệm của phương trình 2 3 333 33 121212 tt0tt0t,t 18 99 24 6363                            . THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai Nguyễn Tất Thu 3 Vậy 82 minP 27  . Đạt được khi 3 3 12 ab,c 9 63  và các hoán vị. 2) Cho 2 nkm  , khi đó (1) trở thành:   3 33 27p(29k)m2m13k  . Thí dụ 3. Cho các số thực a,b,c thoả 222 abc2(abbcca)  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   3 4 1 Pabcabc (abc)  . Lời giải. Đặt m(abc), nabbcca, pabc  , suy ra a,b,c là ba nghiệm của phương trình 32 tmtntp0  Từ giả thiết ta suy ra:     2 2 m abc4abbccan 4  . Suy ra 3 3 33 m m 27p108pmm 44  332 p(54pm)0pm54p  Do đó: 322222 3 4444 1111 Ppm54p27p27p327p.27p27 pppp  (đpcm). Đẳng thức xảy ra 2 2 4 3 m n 4 1 27p p 54pm                         , chẳng hạn ta chọn 3 3 1 p 3 m183 972 n 4                         hay a,b,c là nghiệm của phương trình: 2 3 3 3 3 32 97211834 t183tt0tt0 46 33                            . Vậy minP27  đạt được khi 3 3 1834 ab,c 6 3  và các hoán vị. Thí dụ 4. Cho các số thực a,b,c thoả     222 2abc5abbcca  . Chứng minh rằng:   2 3 1 abcabc10 27  . Lời giải. Đặt   mabc,nabbcca,pabc  ta suy ra a,b,c là ba nghiệm của phương trình : 32 xmxnxp0  . THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai Nguyễn Tất Thu 4 Từ giả thiết ta suy ra:   22 2 2m2n5nnm 9  Mặt khác:   3 32 27p2m9mn2m3n  nên suy ra 62 3262 3 mp 27p227.p4m27m 274  Do đó:   2 2 3 1p abc 274  Ta chứng minh: 2 2 3 3 pp p110 42            (luôn đúng). Đẳng thức xảy ra khi 2 p2 p2 m27m33 n6n6                         , hay a,b,c là ba nghiệm của phương trình 22 t33t6t20  . 3) Xét 2 m3nc  , c là hằng số cho trước. Thí dụ 5. Cho các số thực a,b,c thoả 222 abcabbcca4  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:       2 P18abbccaabbccaabc489abc  . Lời giải. Đặt m(abc), nabbcca, pabc  Từ giả thiết ta suy ra:     2 2 abc3abbcca4m3n4  . Mặt khác :   3 32 27p2m9mn2m3n  Suy ra   27p2m3n49mn1827p3mn8m16  8m16 mn9p 3   Mặt khác:         2 P18abbcca48abbccaabbccaabc9abc        2 23abbcca4abbccaabc9abc16           2 2abcabbccaabc9abc16    444 8m161 2mmn9p162m166m8m64 33  . Xét hàm số 4 f(m)6m8m64  , ta có: 3 3 1 f'(m)24m8f'(m)0m 3  . Suy ra   33 16 fmf64 33             . Nên 3 12 P64 3 3             . THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai Nguyễn Tất Thu 5 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 3 3 1 m 3 11 n4 3 9 1447 p 99 3                                                   , suy ra a,b,c là nghiệm của phương trình : 32 333 1111447 tt4t0 399 393             . Vậy 3 12 minP64 3 3             . Thí dụ 6. Cho các số thực a,b,c thoả 222 abcabbcca1  . Chứng minh rằng:   2 2 (abc)43abbcca18abc  . Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   2 2 P(abc)3abbcca18abc4  (*) Đặt m(abc), nabbcca, pabc  Từ giả thiết ta suy ra:     2 2 abc3abbcca1m3n1  Mặt khác :   3 32 27p2m9mn2m3n  Suy ra 323 27p2m3m(m1)227pm3m2  3 27pm3m2  Do đó:   222223 3P3m9n54p3m(m1)2m3m2  43222 m2m5m6m3(mm3)1212  . Đẳng thức xảy ra khi   2 2 3 mm30 m1 n 3 1 pm3m2 27                        , ta chọn 113 m 2 513 n 6 1113 p 54                            Hay a,b,c là ba nghiệm của phương trình 32 1135131113 ttt0 2654   . Phương pháp này có thể nói là một phát biểu kiểu khác của p,r,q. Tuy nhiên, với việc đánh giá bđt (1) cho phép ta chế các bài toán về cực trị và bđt ba biến với đẳng thức xảy ra khi hai biến bằng nhau. Chuyên đề sẽ được tiếp tục hoàn thành với những kết quả có ứng dụng trong chứng minh bđt. Rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đọc. THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai Nguyễn Tất Thu 6 Bài 1. Cho các số thực dương a,b,c thoả   3 abc32abc  . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   444 4 abc P abc    . Bài 2. Cho các số thực a,b,c có tổng bằng 1  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 P2abcabbcca  . Bài 3. Cho a,b,c,0  thỏa abc1  . Tìm GTLN của   222 Pabcabc  . Bài 4. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện abc3  và abc4  Chứng minh rằng: 3abc125(abbcca)  . HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Chuẩn hoá abc2abc4  . Đặt nabbcca  , suy ra   3 18n91163n  32 3n12n108n4650  2 155 (n5)(3n3n93)05n 2   . Mặt khác:     2 444222222222 abcabc2abbcca      2 22 162n2n162n64n288  Nên     4442 11 Pabcn32n144 256128  Vì hàm 2 f(n)n32n144  nghịch biến trên 551 5; 2       nên ta suy ra 19 maxPf(5) 128128  và 15513831655 minPf 12822               . Bài 2. Đặt nabbcca,pabc  , ta có a,b,c là nghiệm của phương trình 32 ttntp0  . Ta có: 3 27p9n22(13n)  Suy ra   3 1 p9n2213n 27       Do đó:     23 223 244141 P2pnnn(13n)3n113n 3272792727  Đặt t13n,t0  , suy ra 43 141 Pttf(t) 92727  THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai Nguyễn Tất Thu 7 Xét hàm số f(t) với t0  . Ta có:   322 444 f'(t)tttt1 999  , f'(t)0t1,t0  . Từ đó suy ra f(t)f(1)0P0  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc1 t1n0a1,bc0 p0               và các hoán vị. Vậy minP0  . . Nguyễn Tất Thu 1 ỨNG DỤNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Định lí Viet đối với phương trình bậc ba được phát biểu như sau: Nếu phương trình : 32 axbxcxd0,a0  . chúng là nghiệm của phương trình 32 xmxnxp0  (*) Với   mabc,nabbcca,pabc  . Do đó, từ sự tồn tại nghiệm của phương trình (*) sẽ dẫn tới các bất đẳng thức ba biến a,b,c . Trong. và bđt ba biến với đẳng thức xảy ra khi hai biến bằng nhau. Chuyên đề sẽ được tiếp tục hoàn thành với những kết quả có ứng dụng trong chứng minh bđt. Rất mong nhận được sự đóng góp của các