... b c Chứng minh ( a + b + c ) + + + 3( a b )( b c )( c a ) abc Bài tập 3.7 Cho a, b, c, d > a + b + c + d = Chứng minh rằng: a +b +c + b +c +d + b +d +a + c +d +a ứNGDụNG 2: ứngdụngbất ... Bài Cho x, y Chứng minh rằng: x4 + y4 x6 y6 + y2 x2 Bài Cho a, b > Chứng minh rằng: GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 64 65 97) Trang Một số ứngdụngbấtđẳngthứcCôsi ab a+ b ab áp dụngbấtđẳngthức ... đến việc cộng mẫu nên sử dụng để chứng minh BĐT sau: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, chứng minh rằng: 1 a +b+c 1 + + + + p = p a p b p c a b c Bài tập tơng tự: Bài Chứng minh rằng: a2 + b2...
... AB=c Điểm M miền cạnh tam giác ABC Gọi x = d ( M , BC ) , y = d ( M , CA ) , z = d ( M , AB ) Chứng minh ax + by + cz không thay đổi Tìm GTNN, GTLN f = x + y + z HD: Diện tích ABC tổng diện ... thay đổi thỏa: x + y + z = a, b, c số dương Côsi: Với GTNN ta chặn f≥g(a,b,c) cách xét phần áp dụng BĐT q q ax q + (q − 1)m ≥ q ax q m q −1 = qx am q−1 q by q + (q − 1)n ≥ q q by q n q−1 = qy...
... B§T C« Si NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤTĐẲNGTHỨC SỬ DỤNGBẤTĐẲNGTHỨC CÔ SI Quy tắc song hành: hầu hết BĐT có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách song hành, giúp ta hình dung ... thường sử dụng cho số, áp dụng cho toán BĐT lượng giác tam giác sau • Trong toán có điều kiện ràng buộc việc xử lí điều kiện mang tình đồng đối xứng quan trọng, giúp ta định hướng hướng chứng minh ... c) MỘT SỐ ỨNGDỤNG KHÁC CỦA BẤTĐẲNGTHỨC Áp dụng BĐT để giải phương trình hệ phương trình x + y −1 + z − = ( x + y + z ) Bài 1: Giải phương trình Giải Điều kiện : x ≥ 0, y ≥ 1, z ≥ Áp dụng bất...
... cứu: Chỉ số phơng pháp để áp dụngbấtđẳngthức Cô-Si dạng nghịch đảo để giải số toán chứng minh bấtđẳngthức tìm cực trị Hớng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bấtđẳngthức tìm cực ... pháp nghiên cứu +Chứng minh bấtđẳngthức Cô-Si : Trờng hợp với hai số không âm +áp dụng hai số dơng có dạng nghịch đảo +Phân loại tập điển hình xây dựng phơng pháp giải nhờ áp dụngbấtđẳngthức ... Phơng pháp tách : Phơng pháp đợc áp dụng cho loại : tởng nh áp dụng đợc (1) ngay, nhng dấu lại xảy Do trớc hết phải xác định đợc điểm rơi đế tách cách hợp lý áp dụng đợc Loại tập phổ biến , ta...
... Chứng minh: ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) xyz ≤ 729 6) Cho a ≥ 1; b ≥ Chứng minh rằng: a b − + b a − ≤ ab 7) Cho a > 0, b > 0, c > thoả a + b + c = Chứng minh: a + b + b + c + c + a ≤ 8) Chứng ... 18) Cho a, b, c > Chứng minh a + b + c ÷≥ ( a + b + c ) a+b b+c c+a x y z 19) Cho x, y, z > Chứng minh + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ y z x 17) Chứng minh ( 20) Chứng minh x2 + ≥ ∀x ... 2b + 2c 12) Chứng minh với số thực a, ta có: 3a −4 + 34 a +8 ≥ 18 xyz 13) Cho x, y , z > thỏa x + y + z = Chứng minh xy + yz + zx > + xyz a b2 c2 d 1 1 14) Cho a, b, c, d > Chứng minh + + +...
... ) ( z + x ) 1 64 *Chú ý: Lời giải hoàn toàn sai lầm cha tìm dấu áp dụng BĐT max A = + Ta có lời giải hoàn chỉnh nh sau: áp dụng BĐT Côsi cho số không âm ta có: x+y+z xyz ữ = 27 (1) Giáo ... (=) a = b = c = * áp dụng BĐT Bunhiacopxki 1) Tìm min; max ( x 5) A =3 x2 +4 5x ( B = 3x + x Bài làm A = x + x 11 3x ) Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh áp dụng BĐT Bunhia copxti ... (=) x= y = z = * Một toán tìm cực trị ta áp dụng nhiều BĐT để giải Vídụ : Cho số dơng a, b, c ; a +b +c = m số Tìm A a2 b2 c2 + + b+c a+c a+b Cách 1: áp dụng BĐT Côsi cho số dơng ta có: ( a + b...
... Kü thuËt sö dông B§T C« Si NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤTĐẲNGTHỨC SỬ DỤNGBẤTĐẲNGTHỨC CÔ SI Quy tắc song hành: hầu hết BĐT có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách song hành, giúp ta hình dung ... thường sử dụng cho số, áp dụng cho toán BĐT lượng giác tam giác sau • Trong toán có điều kiện ràng buộc việc xử lí điều kiện mang tình đồng đối xứng quan trọng, giúp ta định hướng hướng chứng minh ... c) MỘT SỐ ỨNGDỤNG KHÁC CỦA BẤTĐẲNGTHỨC Áp dụng BĐT để giải phương trình hệ phương trình x + y −1 + z − = ( x + y + z ) Bài 1: Giải phương trình Giải Điều kiện : x ≥ 0, y ≥ 1, z ≥ Áp dụng bất...
... đạt giá trị nhỏ chúng II Một số ví dụ 1.Sử dụngbấtđẳngthứccôsi chứng minh bấtđẳng khác Ví dụ 1: Chứng minh (a+b)(a+c)(b+c) 8abc (a,b,c > 0) áp dụngbấtđẳngthứccôsi cho hai số a,b> Ta ... giác thoả mãn điều kiện: (a+b)(a+c)(b+c) 8abc Chứng minh tam giác tam giác Ví dụ 2: Chứng minh (a + k )(b + l )(c + m) abc + klm (a,b,c,k,l,m >0) Chứng minh: Ta có: (a + k )(b + l )(c + m) (a ... (áp dụngbấtđẳngthứccôsi cho số abm , kbc , alc alm , kbm , klc ) Ta lại có: abm + klc + abc 3 a b c klm (áp dụngbấtđẳngthứccôsi cho số abm,klc,abc) Và: alm + kbm + klc 3 abck l m (áp dụng...
... z+xy x+yz 32 0.3 Kết luận Đề tài tập trung sử dụng số ph-ơng pháp sử dụngbấtđẳngthứcCôsi toán cực trị Hiệu sử dụng: học sinh sử dụng thành thạo, chứng minh đ-ợc nhiều bấtđẳngthức nên kết học ... chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi Khả áp dụng: dễ áp dụng, giáo viên vận dụng tạo đ-ợc nhiều toán dễ dạy cho học sinh nhìn nhận toán vận dụng để giải, có khả áp dụng đại trà cho bạn đồng nghiệp tài ... Chứng minh b c a + + + + b3 + + c3 + + a3 Chứng minh Ta có: 21 a2 + (a + 1)(a2 a + 1) b c a Ta đ-a toán dạng + + 2 4+b 4+c 4+a + a3 = Tới chứng minh t-ơng tự nh- ta có điều phải chứng...
... chứng minh: a (b + 3c + a ) + b(c + 3a + b ) + c(a + 3b + c ) ≤ 5(a + b + c ) ⇔ ab + 3ac + a + bc + 3ba + b + ca + 3cb + c ≤ 5(a + b + c ) ⇔ ab + bc + ca + 3(ac + ba + cb ) ≤ 4(a + b + c ) Áp dụng ... ≥ 4ba 3b + c ≥ 4cb => dpcm • Bài toán 5:Cho x,y,z>0.Chứng minh 1 1 1 D= + + ≤ ( + + ) 2x + y + z y + z + x 2z + x + y x y z Bài giải : Áp dụng BĐT Svacxơ: (3) 1 16 1 1 + + ≥ ⇔ ≤ ( + + ) x y z ... ( + + )(dpcm) x y z • Bài toán 6:Cho x,y,z>0 Chứng minh: 1 1 1 E= + + ≤ ( + + 2) (4) 2 2 2 x x + 2y + z y + 2z + x z + 2x + y y z Bài giải : Áp dụng BĐT Svacxơ ta có : 16 1 + + ≥ ⇔ ≤ ( + + 2)...
... A = Lưu ý: Trong toán sử dụng kỹ thuật nhân thêm hệ số, ta sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi để tìm hệ số cho phù hợp Bài 6: Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh rằng: a + 2b + ... = Chứng minh rằng: − a2 + − b2 + − c2 ≤ 3 Phân tích: Do biểu thức cho biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy khi: 4 − a = a = b = c = ⇒ 4 − b = 4 − c = Giải: Áp dụng ... Phân tích: Do biểu thức cho biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy khi: a + 2b = a = b = c = ⇒ b + 2c = c + 2a = Giải: Áp dụngbấtđẳngthức Cauchy ta có: 3 a + 2b =...
... + 3b b + 3c c + 3a Bài 11 Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (với a, b, c độ dài cạnh) Chứng minh 1 1 1 + + ≥ 2 + + p −a p −b p −c a b c Bài 12 Cho số thực a, b, c > 0, abc = Tìm ... + 2007 ab bc ca 5c + 2ca + 2a2 Bài 14 Cho số thực a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 1 + + ≥ 2 ab + 2c + 2c cb + 2a + ac + 2b + 2b ab + bc + ac Bài 15 Cho a, b, c > vaø a...
... ra, để chứng minh bấtđẳngthức cho 2.1.1 Ứngdụng chứng minh bấtđẳngthức đại số Bài tập 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học, CĐ khối A năm 2005) Cho x, y, z số dương thoả mãn: 1 Chứng minh ... Áp dụngbấtđẳngthức x y z xy yz zx , ta được: x3 y3 x3 x y2 z2 yz zx x y 32 2.1.3 Ứngdụng chứng minh bấtđẳngthức lượng giác Bài tập 1: Cho ABC có ba góc nhọn, chứng ... đẳngthức cần chứng minh Chẳng hạn, với số hạng ab điều kiện xác định, ta sử dụng số hạng a , b3 , 3 , áp dụngbấtđẳngthức Cauchy cho số ta có: a b3 3 3 a 3b 3 ab Giải Áp dụngbất đẳng...
... xảy giá trị x0 ta định Nội dung thể phần 2 – Ứngdụngbấtđẳngthức Becnuli để xây dựng toán Trong phần này, ta sử dụngbấtđẳngthức Becnuli (3) chứng minh cách cho n x0 giá trị cụ thể, ta có ... điều kiện a b ) việc chứng minh toán tương tự cách chứng minh toán toán tổng quát Bằng cách thay đổi số a, b ta có số toán tương tự sau (Cách chứng minh tương tự chứng minh toán 1) Bài toán ... phức tạp khó khăn Vì phần sử dụng trực tiếp bấtđẳngthức Becnuli để khẳng định bấtđẳngthức ta chứng minh bấtđẳngthức (bằng phép chứng minh thông thường, không sử dụngbấtđẳngthức Becnuli)...
... dụng phơng pháp đồng hệ số ta tìm đợc: a=b=1 ; c=7 Bài toán 16: Cho x>0 Tìm GTNN biểu thức x + 16 A 16 = x3 16 16 x + 16 Giải: Ta có A 16 = =3x + = x + x + x + 3 x x x 16 Vì x>0 nên > x áp dụng ... thức Đến ta vận dụng BĐT Côsi : ab a + b Bài toán 19: Tìm GTLN biểu thức A 19 = x + 23 x Giải : ĐKXĐ : x 23 ta có A 219 = x + 23 x + ( x 5)( 23 x ) =18 + ( x 5)( 23 x ) áp dụng BĐT Côsi ... Tìm GTNN biểu thức A4= x + 27 x2 x + 27 27 27 = 2x + = x + x + Giải : Ta có A = x x x Vì x>0 áp dụngbấtđẳngthứccôsi cho số dơng x, x, ta có: 27 x2 27 27 33 x.x = 3.3 = x x 27 Dấu = xảy x...
... để chứng minh a4 ∑ ∑ (a+b)2 a4 Để ý chút thấy viết lại thành cyc (a + b) (a + c) cyc (a + c) dấu hiệu sử dụngbấtđẳngthức Cauchy- Schwarz dạng Engel xuất Công việc áp dụng để chứng minh Chứng ... dạng bình phương nghĩ tới việc áp dụngdụngbấtđẳngthức Cauchy- Schwarz dạng Engel để đưa bấtđẳngthức đơn giản biết cách làm.Vậy ta làm sau: Chứng minh Áp dụngbấtđẳngthức Cauchy- Schwarz ... số Do ta nghĩ tới việc nhân tử mẫu phân thức với số để ta áp dụngbấtđẳngthức Cauchy- Schwarz dạng Engel.Do làm sau: Chứng minh Áp dụngbấtđẳngthức Cauchy- Schwarz dạng Engel, ta có: a2 b2...