1. Bất đẳng thức Cosi I. Kiến thức cơ bản: Định lý: Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của n số đó. Cho a 1 , a 2 , , a n 0 ta luôn có: +++ n aaa n 21 n n aaa 21 (*) Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 == a n Trong khuôn khổ sáng kiến này tôi chỉ chứng minh đến n=4 Chứng minh: Trờng hợp 1: Với n=1, bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng TRờng hợp 2: Với n=2, Khi đó bất đẳng thức (*) tơng đơng với: 2 21 aa + 21 aa a 1 +a 2 2 21 aa 2 2 2 1 )()( aa + - 2 21 aa 0 (Vì a 1 , a 2 0) 2 21 )( aa 0 (đpcm) Trờng hợp 3: n=3 Khi đó bất đẳng thức (*) tơng đơng với: 3 321 321 3 aaa aaa ++ Đặt a 1 =x 3 , a 2 =y 3 , a 3 =z 3 , x 0 , y 0, z 0 Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng xyz zyx ++ 3 333 Hay x 3 + y 3 + z 3 -3xyz 0 Mà x 3 + y 3 + z 3 -3xyz=(x+y+z) [ 222 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 xzzyyx ++ ] 0 Suy ra điều phải chứng minh. Trờng hợp 4: với n=4 khi đó bất đẳng thức (*) tơng đơng với: 4 4321 4321 4 aaaa aaaa +++ Thật vậy ta có: A= 4 4321 aaaa +++ = 2 22 43 21 aa aa + + + 2 4321 aaaa + 4321 aaaa 4 4321 aaaa - 1 - Hay: 4 4321 aaaa +++ 4 4321 aaaa Dấu = a 1 a 2 = a 3 a 4 mà a 1 = a 2 nên a 1 = a 2 = a 3 = a 4 Từ định lý trên ta có hai hệ qủa: Hệ qủa 1:Nếu các số không âm có tổng không đổi thì tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau. Hệ qủa 2: Nếu các số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau. II. Một số ví dụ 1.Sử dụng bất đẳng thức côsi chứng minh các bất đẳng khác. Ví dụ 1: Chứng minh (a+b)(a+c)(b+c) 8abc (a,b,c > 0) áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số a,b> 0 Ta có: a + b 2 ab (1) Tơng tự ta có: a + c 2 ac (2) b + c 2 bc (3) Nhân vế theo vế của (1),(2),(3) ta có (a + b)(b + c)(c + a) 8abc Bài toán này có thể cho nh sau:Cho a,b,c là các cạnh của một tam giác thoả mãn điều kiện: (a+b)(a+c)(b+c) 8abc Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều Ví dụ 2: Chứng minh 3 ))()(( mclbka +++ 3 abc + 3 klm (a,b,c,k,l,m >0) Chứng minh: Ta có: 3 ))()(( mclbka +++ 3 abc + 3 klm (a + k)(b + l)(c + m) ( 3 abc + 3 klm ) 3 (ab + al + kb + kl)(c + m) abc + klm + 3 abcklm ( 33 klmabc + ) Đặt P = abc + klm + 3 )( 333 klmabcabcklm + abc + abm + alc + alm + kbc + kbm + klc P ( abm + kbc + alc) + (alm + kbm + klc) 3 3 222 3 222 3 mlabckklmcba + (áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số abm , kbc , alc và alm , kbm , klc ) Ta lại có: abm + klc + abc 3 3 222 klmcba (áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số abm,klc,abc) Và: alm + kbm + klc 3 3 222 mlabck (áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số abm,klc,abc) Từ đó ta có điều phải chứng minh. - 2 - 2. Sử dụng bất đẳng thức côsi tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của Y = 4x 2 -3x 3 với 0 3 4 x Ta có: Y = x 2 (4-3x) = 2 3 . 2 3 . 9 4 xx ( 4-3x) 0 vì 0 3 4 x Mặt khác ta có tổng ba số không âm 2 3x , 2 3x , 4-3x là: 2 3x + 2 3x +4-3x = 4 không đổi. Nên tích của chúng đạt đợc giá trị lớn nhất khi chúng bằng nhau: 2 3x = 4-3x x = 9 8 thỏa điều kiện 0 3 4 x Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (3-x)(4-y)(2x+3y) biết rằng 0 x 3 và 0 y 4 Ta có: A = 3.2 1 ( 6-2x)(12-3y)(2x+3y) Và 6-2x 0; 12-3y 0 ; 2x+3y 0 vì 0 x 3 và 0 y 4 Mà 6-2x+12-3y+2x-3y=18 không đổi Suy ra A lớn nhất khi và chỉ khi: 6-2x=12-3y=2x-3y x=0 và y=2 Vạy Amax=48 khi x=0, y=2 Ví dụ 5:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M= xx + 42 Giải. Ta phải có: 04 02 x x 2 x 4 Do M > 0 nên M đạt giá trị lớn nhất khi M 2 đạt giá trị lớn nhất Vậy M 2 = ( xx + 42 ) 2 =x-2+4-x+2 )4)(2( xx 2+2 4 2 )4()2( = ++ xx Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi x-2=4-x x=3 Vậy M max =2 khi x=3 Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của tích N=x.y.z.t biết rằng x, y, z, t là những số không âm và tx+xy+z+yzt=1 Giải: Theo bất đẳng thức Cosi ta có 4 4 yztzxytx ztyzxytx +++ ( 4 1 ) 4 2222 ztyx 2222 256 1 ztyx xyzt 16 1 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: tx=xy=z=yzt= 4 1 suy ra y=t=1, x= 4 1 - 3 - - 4 - . bằng nhau. II. Một số ví dụ 1 .Sử dụng bất đẳng thức côsi chứng minh các bất đẳng khác. Ví dụ 1: Chứng minh (a+b)(a+c)(b+c) 8abc (a,b,c > 0) áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số a,b>. abm,klc,abc) Và: alm + kbm + klc 3 3 222 mlabck (áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số abm,klc,abc) Từ đó ta có điều phải chứng minh. - 2 - 2. Sử dụng bất đẳng thức côsi tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Ví. 3 3 222 3 222 3 mlabckklmcba + (áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số abm , kbc , alc và alm , kbm , klc ) Ta lại có: abm + klc + abc 3 3 222 klmcba (áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số abm,klc,abc) Và: