... bc)(2bc + ab + ac)(2ac + bc + ba) (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) Ta phải chứng minh s 33 (a 2(a b)2 (b c)2 (c b)(b a)2 (2ab + ac + bc)(2bc + ab + ac)(2ac + bc + ba) (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + ... trung bình lũy thừa suy rộng Bernoulli Cauchy Schwarz A.7 Bấtđẳngthức Holder A.8 Bấtđẳngthức Minkowski A.9 Bấtđẳngthức Chebyshev A.10 Khai triển Abel A.11 ... “đánh v vi LỜI NÓI ĐẦU giá bấtđẳngthức hoán vị”, nhận lời giải ngắn gọn 1/3 so với lời giải gốc ban đầu Chương II sách tuyển tập toán mà (theo quan niệm thân) hay khó Chúng chủ yếu tuyển chọn...
... cg ; sử dụng bấtđẳngthức 36x + 50 x x2 + 8x Ta dễdàng suy kết toán Trường hợp Giả sử tồn số ba số a; b; c nhỏ Khi đó, sử dụng bấtđẳngthức AM-GM, ta có b +1 chẳng hạn c < 4: a a2 + 4; b2 ... đơn giản Chúng ta thiết lập hàm số trung gian bậc hay bậc hai dựa vào chúng để chứng minh toán ban đầu Tuy nhiên, số trường hợp, ta tìm hàm phân thức trung gian (trong số trường hợp, ta thiết...
... thấy ta chọn g(a; b; c) có dạng a2 + bc + k(một đại lượng đối xứng với a; b; c) rõ ràng đẳngthức ban đầu đảm bảo (các đại lượng đối xứng đơn giản tốt, thuận lợi cho việc chứng minh bấtđẳngthức ... đại lượng (a + b + c)2 ; a2 + b2 + c2 ; ab + bc + ca) Ngoài ra, ta thấy bên vế trái bấtđẳngthức ban đầu có xuất (a + b + c)2 nên bấtđẳngthức sau sử dụng P g(a; b; c) có dạng m(a + b + c)2 Cauchy ... 4a2 + bc 4b2 + ca 4c2 + ab p : ab + bc + ca (Võ QuốcBá Cẩn) Lời giải Sử dụng bấtđẳngthức Holder, ta có X cyc p 4a2 + bc !2 " X # (b + c)3 (4a2 + bc) cyc " X #3 (b + c) cyc =8 X !3 a cyc Ta...
... sử dụng bấtđẳngthức Cauchy Schwarz-Holder Bấtđẳngthức có nhiều nét lạ độc đáo Một bấtđẳngthứcdạng này, ta sử dụng bấtđẳngthức Cauchy Schwarz-Holder để giải mà đổi biến lại giải chúng! ... thuật dựa tảng đó, từ bấtđẳngthức chưa đối xứng, tìm cách sử dụng bấtđẳngthức Cauchy Schwarz Holder để đưa trở đối xứng, giải Ví dụ 1.76 Cho số không âm a; b; c; số đồng thời 0: Chứng minh r r ... cần chứng minh X 8a2 + c2 + ab + bc + ca p a2 + 2b2 + 3c2 cyc p X a cyc Sử dụng bấtđẳngthức Holder, ta có X 8a2 + c2 + ab + bc + ca p a2 + 2b2 + 3c2 cyc !2 " X 2 2 # (8a + c + ab + bc + ca)(a...
... nhận ý kiến đóng góp bạn 1.4.2 Bấtđẳngthức Cauchy Schwarz Holder Trước bắt đầu viết, nhắc lại vài nét bấtđẳngthức Cauchy Schwarz Holder Định lý 1.4 (Bất đẳngthức Cauchy Schwarz) Với số thực ... m n X X X xij A = ! j = 1: !j @ = i=1 j=1 j=1 Bấtđẳngthức Holder chứng minh Một trường hợp đặc biệt thường gặp bấtđẳngthức Holder n = 3; ta có (a3 +b3 +c3 )(m3 +n3 +p3 )(x3 +y +z ) ( a b c ... đẳngthức xảy ta chọn tham số số mà đẳngthứcbấtđẳngthức Cauchy Schwarz Holder để giải “lân cận bằng” bấtđẳngthức ban đầu Ví dụ 1.52 Cho số dương a1 ; a2 ; :::; an : Chứng minh + + a1 a1 +...
... giải Nếu k X cyc Nếu k ) cyc a a+b+c X k cyc X a a+b+c cyc a =1 a+b+c+d 1, theo bấtđẳngthức Holder, ta có " X 1, ta có X cyc ak (a + b + c)k ak (a + b + c)k P cyc " P cyc #" a X #k a(a + b + ... TẠO BẤTĐẲNGTHỨC Và X cyc Từ đây, trường hợp k P cyc a2 (a + b + c)2 2, sử dụng bấtđẳngthức Holder, ta 2P ak (a+b+c)k cyc 4 ) X cyc a2 (a+b+c)2 ak (a + b + c)k 3k 3k : 3k Bấtđẳngthức chứng ... (x; y; z) = (t 1)2 [(t2 2t 2t4 Bấtđẳngthức vừa phát biểu chứng minh Trở lại với bấtđẳngthức ban đầu, biến đổi tương đương, ta thấy bấtđẳngthức tương đương với P P P ab a b 2abc ab(a + b)...
... ! a+b cyc ab(a b)2 (a + c)(b + c) Bây giờ, sử dụng bấtđẳngthứcbấtđẳngthứcbấtđẳngthức Holder, ta P !2 " # a2 Xr a X cyc P a(a + b)(a + c) a a+b cyc cyc cyc X a2 a+c cyc ! Xr a a+b cyc !2 ... b) + + 2: (2b + c)(b + 2c) (2c + a)(c + 2a) (2a + b)(a + 2b) Lời giải Sử dụng bấtđẳngthức Holder, ta có s " #" # X X a2 (2b + c)(b + 2c) a(b + c) (2b + c)(b + 2c) b+c cyc cyc X cyc !3 a 275 ... c+a a+b p 3abc(a + b + c): 2(a2 + b2 + c2 ) (Nguyễn Công Minh) Lời giải Sử dụng bấtđẳngthức Holder, ta có X a3 b+c cyc P a cyc P cyc !" a P !3 # a2 (b + c) cyc Ta cần chứng minh P a cyc P cyc...
... 0: 214 CHƯƠNG SÁNG TẠO BẤTĐẲNGTHỨCĐẳngthức xảy a = b = c: Lời giải Sử dụng bấtđẳngthức Holder, ta có [(a + b + c)(bc + ca + ab)]3 = [(a + b)(b + c)(c + a) + abc]3 [(a + b)3 + a3 ][(b + c)3 ... + 2b 3(a2 + b2 + c2 ) +3 ab + bc + ca Từ đây, sử dụng bấtđẳngthức AM-GM, ta suy bấtđẳngthức ban đầu toán Do (a + b + c)2 = (a + 2b)(a + 2c) + (b c)2 nên a+b+c a + 2b (b c)2 = + a + 2c a + ... minh 1 + 3: + a b2 c a + b2 + c3 (Rachid) Lời giải Từ giả thiết, ta suy c c3 a , (c3 a Do c3 a c2 ba 1=c 1: Bấtđẳngthức cho tương đương a b2 b2 1 + a c b4 + c3 1) nên b (c3 a Nếu 1; bc 1) b2 bất...
... )(48 44a + 44a2 11a3 ) 0: Bấtđẳngthứchiển nhiên a 2: Ta có đpcm Đẳngthức xảy a = b = c = d = ba bốn số a; b; c; d ; số lại Ví dụ 1.169 Cho số dương a; b; c thỏa mãn a + b + c = 3: Tìm giá trị...
... dụng hay hai BĐT nhiều tốn bao giấy mực, xin dẫn chứng vài toán điển hình: Bài Cho a,b,c d-ơng Chứng minh rằng: 1 1 (3) a b c ab bc ac H-ớng giải: áp dụng ba lần BĐT (1) ta đ-ợc 1 1 1 ... k Tìm giá trị nhỏ P m(a b3 ) m(b3 c3 ) m(a c3 ) ( m, k số d-ơng cho tr-ớc) Bài Gọi A,B,C ba góc tam giác Tìm giá trị lớn P sin A sin B sin C A B C cos cos cos 2 H-ớng giải: Đây toán ... a b c a (b c) b c 2bc a b c 2bc T-ơng tự b a c2 2ac ; c a b 2ab Cộng theo vế ba BĐT ta đ-ợc đpcm * Nếu sử dụng a b c ta biến đổi nh- sau: a b c a ab ac , hai BĐT t-ơng...
... dụng hay hai BĐT nhiều tốn bao giấy mực, xin dẫn chứng vài toán điển hình: Bài Cho a,b,c d-ơng Chứng minh rằng: 1 1 (3) a b c ab bc ac H-ớng giải: áp dụng ba lần BĐT (1) ta đ-ợc 1 1 1 ... k Tìm giá trị nhỏ P m(a b3 ) m(b3 c3 ) m(a c3 ) ( m, k số d-ơng cho tr-ớc) Bài Gọi A,B,C ba góc tam giác Tìm giá trị lớn P sin A sin B sin C A B C cos cos cos 2 H-ớng giải: Đây toán ... a b c a (b c) b c 2bc a b c 2bc T-ơng tự b a c2 2ac ; c a b 2ab Cộng theo vế ba BĐT ta đ-ợc đpcm * Nếu sử dụng a b c ta biến đổi nh- sau: a b c a ab ac , hai BĐT t-ơng...
... ≤ a + b • a + b = a + b ⇔ a.b ≥ • a − b = a + b ⇔ a.b ≤ V Bấtđẳngthức tam giác : Nếu a, b, c ba cạnh tam giác : • a > 0, b > 0, c > • b−c < a < b+c • c−a < b< c+a • a−b < c < a+b • a>b>c⇔ A> ... Bấtđẳngthức Cauchy: a+b ≥ ab Cho hai số không âm a; b ta có : Dấu "=" xảy a=b a+b+c ≥ abc Cho ba số không âm a; b; c ta có : Dấu "=" xảy a=b=c Tổng quát : Cho n số không âm a1,a2, an ta có : ... dương Chứng minh rằng: ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ≥ ⎝ y z ⎠⎝ z x ⎠⎝ x y ⎠ a+b+c a+b+c a+b+c Ví dụ 4: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh : + + ≥9 a b c b+c c+a a+b Ví dụ 5: Cho a,b,c >0 abc=1 Chứng minh...
... tròn Euler, h th c Euler: - Đư ng tròn Euler: Chân ba đư ng cao c a m t tam giác b t kì, ba trung m c a ba c nh, ba trung m c a ba đo n th ng n i ba đ nh v i tr c tâm, t t c chín m n m m t đư ng ... i ABCDEF có AB = BC , CD = DE , EF = FA Ch ng BC DE FA minh r ng + + ≥ D u b ng x y nào? BE DA FC Gi i: Áp d ng b t đ ng th c Ptolemy cho t giác ACDE ta đư c DE AC + DC AE ≥ DA.CE S DE CE ... l c giác ABCDEF Xét tam giác ACE Không m t tính t ng quát, có th gi s CE c nh l n nh t tam giác Áp d ng b t đ ng th c Ptlemy cho t giác ACDE, ta có AC .DE + AE.CD ≥ AD.CE T đó, CD = DE = CE ≥ AC,...
... chứng minh a b c 3 (I.1.1) abc Giải (I.1.1) a b Ta có a b c c 3 abc abc a ab b c abc c abc 2 ab 23 bac 43 abc Dấu đẳngthức xảy abc ChuyênđềBấtđẳngthức a b c abc ab a b c c3 abc Từ bấtđẳng ... (II.1.1) A Giải Áp dụng kết bấtđẳngthức (I.2.10) ta có AB A B AB A B Ta chứng minh AB A B B B( A B) BA B B 2 AB AB AB B( A B) Đúng.( B 0, A Ta chứng minh A B A A B 2A B A Đúng Vậy bấtđẳngthức chứng...