... tập (L)− đo được A ⊂ R. Chứng minh A có thể viết thành dạng A = B \ C
với B là giao của đếm được tập mở và C là tập (L) đo được, có độđoLebesgue bằng 0.
Giải
Do tính chất 3) của độđo Lebesgue, ... có B là (L)− đo đưực vàdođó C cũng là (L)− đo được. Vì
C ⊂ G
n
\ A ∀n = 1, 2, . . .
nờn ta cú :
à(C)
1
n
n = 1, 2, . . .
Vy à(C) = 0.
5
GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
Phần 3. ĐộĐoVàTích Phân
Chuyên ...
4) Nu A l tập (L) đo được thì các tập x + A, xA cng l (L)o c v :
à(x + A) = à(A) µ(xA) = |x|µ(A)
5) ĐộđoLebesgue là đủ, σ− hữu hạn
2 PHẦN BÀI TẬP
1. Bài 1 Cho không gian độ o (X, F, à), tp...
... tập (L)− đo được A ⊂ R. Chứng minh A có thể viết thành dạng A = B \ C
với B là giao của đếm được tập mở và C là tập (L) đo được, có độđoLebesgue bằng 0.
Giải
Do tính chất 3) của độđo Lebesgue, ... GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
Phần 3. ĐộĐoVàTích Phân
Chuyên ngnh: Gii Tớch, PPDH Toỏn
Đ1. o
(Phiờn bn ó chnh sửa)
PGS TS Nguyễn Bích Huy
Ngày 18 tháng 4 năm 2005
1 PHẦN LÝ THUYẾT
1. Không gian đo được
Định ...
4) Nu A l tập (L) đo được thì các tập x + A, xA cng l (L)o c v :
à(x + A) = à(A) µ(xA) = |x|µ(A)
5) ĐộđoLebesgue là đủ, σ− hữu hạn
2 PHẦN BÀI TẬP
1. Bài 1 Cho không gian độ o (X, F, à), tp...
... gọi lần lượt là độđo
Lebesgue và
σ
- đại số các tập đo được theo nghĩa Lebesgue trên
ℜ
.
Các tính chất
Độ đoLebesgue
μ
và
σ
- đại số M các tập đo được theo nghĩa
Lebesgue trên
ℜ
... thì
f
khả tíchLebesgue trên
I
và ta có
() () ()
II
L fd R f x dx
μ
=
∫∫
.
$4. MỐI LIÊN HỆ GIỮA TÍCHPHÂNLEBESGUE với TÍCHPHÂN
RIEMANN vàTÍCHPHÂN SUY RỘNG
Điều kiện khả tích Riemann ...
σ
- cộng tính thành độ đo, ta
có một
σ
- đại số M chứa N và một độđo đủ
μ
là thác triển của
m từ N lên M .
3. ĐộđoLebesgue trên
ℜ
Định nghĩa 3.
Độđo
μ
và
σ
- đại số M nhận...
... thì
f
khả tíchLebesgue trên
I
và ta có
() () ()
II
L fd R f x dx
μ
=
∫∫
.
$4. MỐI LIÊN HỆ GIỮA TÍCHPHÂNLEBESGUE với TÍCHPHÂN
RIEMANN vàTÍCHPHÂN SUY RỘNG
Điều kiện khả tích Riemann ... một không gian độ đo;
ii)
μ
' là độđo đủ.
Định nghĩa 7.
M' được gọi là bổ sung Lebesgue của
σ
- đại số M và
μ
' được gọi là thác triển Lebesgue của độđo
μ
.
6. Thác ... )(lim)(
1
n
n
n
n
AA
μμ
+∞→
∞+
=
=
I
5. Độđo đủ
Để ý rằng tập con của một tập đo được chưa chắc là tập hợp đo
được, nghĩa là nếu A
∈
M , B
⊂
A thì có thể B
∉
M .
Định nghĩa 6.
Độđo
μ
được gọi là độđo đủ nếu...
... phụ thuộc vào tập độđo 0 của tích phân, ta có thể giả thiết các diều kiện
i., ii. trong định lý Levi vàLebesgue chỉ cần đúng hkn trên A.
5. Liên hệ giữa tíchphân Riemann vàtíchphân Lebesgue
Nếu ... hàm f
4
3. Hàm đo được theo Lebesgue
Hàm đo được đối với σ-đạ i số các tập (L) đo được gọi là hàm đo được theo Lebesgue hay
(L) đo được
Định lý 2
Nếu A ⊂ R là tập (L) -đo được và hàm f : A → R ... tập (L)− đo được A ⊂ R. Chứng minh A có thể viết thành dạng A = B \ C
với B là giao của đếm được tập mở và C là tập (L) đo được, có độđoLebesgue bằng 0.
Giải
Do tính chất 3) của độđo Lebesgue, ...
... . . 43
2.3.2 So sánh tíchphân Riemann vàtíchphânLebesgue . . . . . . 46
2.3.3 TíchphânLebesgue xem như hàm tập . . . . . . . . . . . . . 47
2.4. Tíchđộđo - Tíchphân lặp . . . . . . . ... phân . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4. Tíchđộđo - Tíchphân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1. Tíchphân Lebesgue
Trong chương ny ta xột khụng gian o (X, A, à).
2.1.1 Tíchphân ... độđo 0 đều thuộc L và có độ o 0, ngha l
nu
N E, àE = 0 = N L, àN = 0.
nh lý 1.3.2.3. o µ cảm sinh bởi một độđo ngoài µ
∗
bao giờ cũng là độ đo
đủ (trên σ-đại số L các tập µ
∗
-đo được) và...
... So sánh tíchphân Riemann vàtíchphân Lebesgue
Định lý 2.3.2.1. Nếu f là một hàm khả tích Riemann trên một hình hộp đóng và
bị chặn ∆ của R
k
thì f cũng khả tíchLebesguevà hai tíchphânđó ... quang
Bài giảng
ĐỘ ĐOVÀTÍCH PHÂN
DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
1.4. Độđo trên R
k
17
Vậy m là một độđo trên C.
Định nghĩa 1.4.1.3. Mở rộng tiêu chuẩn của độđo m theo ... Tập có độđo không và tính chất “hầu khắp nơi” . . . . . . . 26
1.5.4 Hội tụ theo độđo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chương 2. TíchphânLebesgue 33
2.1. Tíchphân Lebesgue...
... f
−
f.
Chương 2. TÍCHPHÂN VỚI ĐỘ ĐODƯƠNG TỔNG QUÁT
1. TÍCHPHÂN HÀM DƯƠNG ĐO ĐƯỢC
Định nghĩa2.1.1.ChoX,M là một không gian đo được và cho hàm là một độ
đotrênM.ChoE ∈ M và một hàm đơn không ... là một không
gian đov độ đodương
n
gọil độđoLebesgue trên
n
.Nếu E ∈ M
n
thì ta nói E là
tập Lebesgueđo được.
Định lý 3.2.6.
(i) Cho E ∈ M
n
và B ⊂
n
sao cho B ⊂ E và
n
E 0.Khiđó ... thực). Vậy
49
Chương 5. TÍCHPHÂN TRÊN KHÔNG GIAN TÍCH
5.1. TÍCHPHÂN LẶP
Ta xét
n
,M
n
,
n
là một không gian đo, với
n
là độđoLebesgue trên
n
.Chom,
n ∈ ℕ,vàx ∈
m
, y ∈
n
.ChoE...
... 2.9. (Hahn) Mọi độđo dương trên một vành C có thể thác triển thành một độ
đo dương lên σ − vành sinh bởi C: σ(C). Nếu µ là một độđo σ −hữu hạn thì độđo thác
triển là duy nhất và cũng là σ − ... tụ theo độđovà hội tụ trong L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.3 Bài tập chương 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8 Độđo tích. Độđo ảnh. Độđo cảm ... của độđo đếm vàđộđoLebesgue trên đường
thẳng y = k (k là hằng số) trong R
2
.
2. Nu 0 < à(A) < v nu à là một độđo khuyˆech tán trên B ∩P(A). Khi đó,
A chứa các tập con có độđo nhỏ...