... nên bấtđẳngthức này hiển nhiển
đúng.
Xét bấtđẳngthức thứ hai, lấy căn bậc hai hai vế, ta thấy rằng bấtđẳngthức này tương đương với
b
a
+
c
b
+
a
c
≥ a+ b + c.
Từ giả thiết, áp dụng các bất ... c).
www.mathvn.com
TUYỂN TẬPBẤT
ĐẲNG THỨC
HAY VÀ KHÓ
Những bài bấtđẳngthức tự sáng tạo và sưu tầm 35
Nếu 16a
2
−32a + 9 ≤0 thì
4−
√
7
4
≤ a ≤ 1, khi đó bằng cách tính biệt thức của f (c), ... một bài tập rất tốt cho phép cân bằng hệ số trong việc sử dụng bấtđẳngthức AM – GM. Xin
được dành cho bạn đọc để hoàn thiện nốt chứng minh này. Chú ý rằng ở bấtđẳngthức đã cho, đẳng
thức xảy...
...
TuyểntậpBấtđẳngthức Trần Sĩ Tùng
38
Cộng các bấtđẳngthức (1), (2), (3), chia 2 vế của bấtđẳngthức nhận
được cho 2 ta có đpcm.
Đẳngthức xảy ra Û (1), (2), (3) là các đẳngthức ... a + b + c > 0.
Trần Sĩ Tùng TuyểntậpBấtđẳngthức
7
II. Chứng minh BĐT dựa vào BT CễSI:
1. Chng minh: +++(ab)(bc)(ca)8abc;a,b,c0
ữ p dụng bấtđẳngthức Côsi cho hai số không âm: ...
ữ
-
=++
-
x121
y
2x12
ữ Áp dụng bấtđẳngthức Côsi cho hai số không âm
-
-
x12
,
2x1
:
=++³+=
x121x1215
y2.
2x122x122
TuyểntậpBấtđẳngthức Trần Sĩ Tùng
12
° Dấu “ = ” xảy...
... zx)
2
≥ 3xyz(x + y + z)
Lời giải:
Bất đẳngthức đúng vì khi ta đặt a = xy, b = yz, c = zx thì bấtđẳngthức trở thành bấtđẳng thức
(a + b + c)
2
≥ 3(ab + bc + ca).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x ... z
2
x
2
≥ xyz(x + y + z)
Lời giải:
Bất đẳngthức đúng vì khi ta đặt a = xy, b = yz, c = zx thì bấtđẳngthức trở thành bấtđẳng thức
a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = ... abc.
Lời giải:
Bất đẳngthức cần chứng minh tương đương:
1
2a
2
bc + b
2
c
2
+
1
2ab
2
c + c
2
a
2
+
1
2abc
2
+ a
2
b
2
≥ 1
Áp dụng bấtđẳngthức Cauchy-Schwarz và chú ý bấtđẳngthức quen thuộc
(ab...
...
TuyểntậpBấtđẳngthức Trần Sĩ Tùng
38
Cộng các bấtđẳngthức (1), (2), (3), chia 2 vế của bấtđẳngthức nhận
được cho 2 ta có đpcm.
Đẳngthức xảy ra Û (1), (2), (3) là các đẳngthức ... cỏc bt đẳngthức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ
khi
x = y = z. Vậy đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
4
.
43. (Đại học khối B 2005)
Áp dụng bấtđẳngthức ... ++
3
333333
3
xyyzzxxyyzzx
ị ++
333
33
xyyzzx
(4)
Cng cỏc bấtđẳngthức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm.
Đẳngthức xảy ra Û (1), (2), (3), (4) là các đẳngthức Û x = y = z = 1.
45. (Đại học khối A 2005...
... TuyểntậpBất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
26
44. (ðại học khối D 2005)
Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:
1 + x
3
+ y
3
≥
... b c
+ abc =
(
)
+
3
3
1 abc
ðẳng thức xảy ra
⇔
a = b = c > 0.
26. (ðH Y HN 2000)
Nguyễn ðức Thụy TuyểntậpBất ñẳng thức
1
PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN
I. Chứng minh BðT dựa ... Thụy TuyểntậpBất ñẳng thức
15
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
+
3 3
1 1
x y
.
51. (ðại học khối B 2006)
Cho x, y là các số thực thay ñổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ...
... Arrne
Chứng minh bấtđẳngthức sau vơi mọi số thực a, b, c
(a
2
+ 2)(b
2
+ 2)(c
2
+ 2) ≥ 9(ab + bc + ca)
334. Posted by Lagrangia
Chứng minh răng với ∀x, y, z > 0 ta có bấtđẳng thức
x
(x + y)(x ... c llà các số thực dương. Chứng minh bấtđẳng thức
a
2
a
2
+ 2bc
+
b
2
b
2
+ 2ca
+
c
2
c
2
+ 2ab
≥ 1
136. Posted by manlio
Giả sử a
1
, a
2
, . . . , a
2n
là tập hợp các số dương và b
1
, . . . ... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a
bcd + 1
+
b
cda + 1
+
c
dab + 1
+
d
abc + 1
166. Posted by Gil
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có bấtđẳng thức
1
x
2
+ xy + y
2
+
1
y
2
+...
... Thái http://www.vnmath.com TuyểntậpBấtđẳng thức
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1. Chứng minh:
+ + + ≥ ≥(a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0
Áp dụng bấtđẳngthức Côsi cho hai số không ... các bấtđẳngthức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ
khi
x = y = z. Vậy đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
4
.
43. (Đại học khối B 2005)
Áp dụng bấtđẳngthức ... b
c c c c
= 1
28
Trần Duy Thái http://www.vnmath.com TuyểntậpBấtđẳng thức
PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1. (CĐGT II 2003 dự bị)
Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR:
+ + + + ≥ +
2 2 2 2 2 2
x xy y x...
... các bấtđẳngthức (1), (2), (3), chia 2 vế của bấtđẳngthức nhận
được cho 2 ta có đpcm.
Đẳngthức xảy ra (1), (2), (3) là các đẳngthức x = 0.
44. (Đại học khối D 2005)
Áp dụng bấtđẳng ... các bấtđẳngthức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ
khi
x = y = z. Vậy đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
4
.
43. (Đại học khối B 2005)
Áp dụng bấtđẳngthức ... ,x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.
Tuyển tậpBấtđẳngthức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
12
x 1 2 1
y
2 x 1 2
Áp dụng bấtđẳngthức Côsi cho hai số không âm
x...
... các bấtđẳngthức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ
khi
x = y = z. Vậy đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
4
.
43. (Đại học khối B 2005)
Áp dụng bấtđẳngthức ... đạt GTLN
38. Cho
( )
=
+
2
3
2
x
y
x2
. Định x để y đạt GTLN
Tuyển tậpbấtđẳngthức
34
· Cách 2: S = +
-
41
x54x
= f(x), 0 < x <
5
4
... nhỏ nhất của biểu thức: S = +
41
x4y
37. (Đại học 2002 dự bị 5)
Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50.
Chứng minh bấtđẳng thức:
++
+³
2
acbb50
bd50b
...