... phép biến đổi trong chứngminhbấtđẳngthức , không đợc trừ hai
bất đẳngthức cùng chiều hoặc nhân chúng khi cha biết rõ dấu của hai vế . Chỉ đợc phép
nhân hai vế của bấtđẳngthức với cùng mét ... 0; a+b > 0 nên: (*)
( )
2
4a b ab + ( Bấtđẳng thøc Cosi cho 2 sè )
Bấtđẳngthức , bất phơng trình ,cực trị đại số
- Bấtđẳngthức
1. Kiến thức cần nhớ
a) Định nghĩa : Cho hai số a ... Cộng hai vế của bấtđẳngthức với cùng một số : Nếu a> b thì a +c > b+ c
Cộng hai bấtđẳngthức cùng chiều : Nếu a > b và c > d thì a+c > b +d
03 ) Trừ hai bấtđẳngthức ngợc chiều...
...
=+
+−=−
2yx
)2xy).(xy(22
22
yx
Bài 4: Giải các bất phương trình sau.
1) 5
x
+ 12
x
> 13
x
2) x (x
8
+ x
2
+16 ) > 6 ( 4 - x
2
)
Bài 5 : Chứngminh các bấtđẳngthức sau :
1) e
x
> 1+x với x...
... vận dụng bấtđẳngthức Côsi đểchứngminhbất
đẳng thức.
1.2 SỬ DỤNG BẤTĐẲNGTHỨC CÔSI CƠ BẢN.
1.2.1 Nội dung phương pháp.
Qui ước: Gọi hệ quả của bấtđẳngthức Côsi là Bấtđẳngthức Côsi ... thức Côsi” dành để trình
bày về bấtđẳngthức Côsi.
Bấtđẳngthức Côsi là bấtđẳngthức quan trọng nhất và có nhiều ứng dụng nhất
trong chứngminhbấtđẳng thức. Trong chương này chúng tôi ... toán học sơ cấp. Đặc biệt là
dùng đểchứngminhbấtđẳng thức. Sự thành công của việc áp dụng bấtđẳngthức
Côsi đểchứngminh các bài toán về bấtđẳngthức hoàn toàn phụ thuộc vào sự linh
hoạt...
... Biến ĐểChứngMinhBất ĐẳngThức
Đôi khi chứngminh một bài toán BĐT có rất nhiều cách khác nhau để giải, song
không phải cách nào cũng thuận lợi cho việc chứngminh BĐT, có nhiều BĐT đề ra
phức ... đưa về biến mới thì bài toán trở nên
dễ hơn. Bài viết này xin nêu ra một số cách đổi biến đểchứngminh BĐT được dễ
dàng hơn.
Sau đây là một số ví dụ :
VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số ... x z y x z y x z y x z
⇔ + + + + + + + =
ữ ữ
ữ
(đúng)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
a b c⇔ = =
VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả...
... bất kỳ a, b, c. Chứngminh rằng:
BG:
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử :, khi đó ta có:
Phương pháp sử dụng hai bộ n số sắp thứ tự đểchứngminhbấtđẳng thức.
Chuyênđề : Phương pháp ... n=k
Theo nguyên lí quy nạp thì (*) được chứngminh xong.
Dấu đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi
Trường hợp của (1), chứngminh tương tự.
Vậy (1) được chứngminh hoàn toàn.
Áp dụng: Cơ sở của phương ... dụng đểchứngminh các
bất đẳngthức khi trong giả thiết và kết luận của bài toán, vai trò của các số là như nhau
qua một phép hoán vị vòng quanh.
B Bài tập ví dụ:
Bài 1: Cho 3 số dương bất kỳ...
... đổi bấtđẳngthức cần chứngminh tơng đơng với bấtđẳngthức đúng hoặc bấtđẳngthức
đà đợc chứngminh là đúng.
Chú ý các hằng đẳngthức sau:
( )
22
2
2 BABABA
++=+
Chuyên đề BDHS chứngminh ... (hoặc ac + bd 2; ad + bc 2)
Chuyên đề BDHS chứngminhbấtthức Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
26
Chuyênđềchứngminhbất thức
Phần I. kiến thức cơ bản.
1-Đinh nghĩa
0
0
A ... bấtđẳngthức quen thuộc
* một số bấtđẳngthức hay dùng
1) Các bấtđẳngthức phụ:
a)
xyyx 2
22
+
b)
xyyx
+
22
dấu ( = ) khi x = y = 0
c)
( )
xyyx 4
2
+
d)
2
+
a
b
b
a
2 )Bất đẳng thức...
... 1
1
cos
1
2
1
cos
1
2
= tan
2
một số phơng pháp lợng giác đểchứng minh
bấtđẳngthức đại số
I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin
2
+ cos
2
= 1
1) Phơng pháp:
a) Nếu thấy x
2
+ y
2
= 1 thì ... )(sin)cos()sin(
(đpcm)
VD4: Chứngminh rằng:
c,b,a
)a1)(c1(
|ac|
)c1)(b1(
|cb|
)b1)(a1(
|ba|
222222
++
++
+
++
Giải:
Đặt a = tg, b = tg, c = tg. Khi đó bấtđẳngthức
)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
222222
++
++
+
++
+
cos.cos
)sin(
.coscos
cos.cos
)sin(
.coscos
cos.cos
)sin(
.coscos
... đó:
a+
22
2sin
22
sin
1
.
cos
1
.2
sin
1
cos
1
1a
a
2
=
+
=
(đpcm)
VD5: Chứngminh rằng
26xy31y41xy
22
++
; 1x y
Giải:
Bất đẳngthức
)(
yy
y
xx
x
126
3
14
1
1
2
2
+
+
Do |x|; |y| 1 nên...
... c
>
. Chứngminh rằng :
2 2 2 2 2 2
1 3 1 1 1
( )( )
3 3
a b c a b c a b c
a b c
+
+ + + + ³ + + + + + .
(Trích đề thi Albania 2002)
Lời giải. Vì BĐT đã cho thuần nhất nên ta chỉ cần chứngminh ... qua
0
x
nên ta có :
0
( ) ( ) 0 [ ; ]
g x g x x a b
= " ẻ .
ii) Chứngminh tương tự.
Định lí 3: (Bất đẳngthức cát tuyến)
Cho hàm số
( )
y f x
=
liên tục và có đạo hàm đến cấp ... xét các BĐT đối xứng ba biến và đẳngthức xảy ra khi các
biến bằng nhau. Phần tiếp theo ta sẽ đi xét một số BĐT không đối xứng hoặc BĐT
đối xứng nhưng đẳngthức xảy ra khi có ít nhất hai biến...
...
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
+−=−
2yx
)2xy).(xy(22
22
yx
Bài 4: Giải các bất phương trình sau.
1) 5
x
+ 12
x
> 13
x
2) x (x
8
+ x
2
+16 ) > 6 ( 4 - x
2
)
Bài 5 : Chứngminh các bấtđẳngthức sau :
1) e
x
> 1+x vôùi...
... đồ thị hàm số đểchứngminhbấtđẳng thức) nhưng có hiệu quả khi
giải quyết một lớp bài toán về chứngminhbấtđẳngthức (BĐT) hay tìm giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Điều quan ... hàm số lõm ta có bấtđẳngthức ngược lại.
Bất đẳngthức (1) cho phép ta đánh giá biểu thức
( )f x
thông qua biểu thức bậc
nhất. Hơn nữa, ta có thể chọn c sao cho dấu đẳngthức xảy ra theo ... hai khái niệm này.
Chứng minhbấtđẳngthức là một bài toán hay và khó và thường gặp trong
các kì thi vào đại học, cao đẳng và các kì thi học sinh giỏi. Đứng trước một bất
đẳng thức, học sinh thường...
... > 1 và y > 1, chứngminhbấtđẳngthức :
22
xy
y1 x1
+
−
−
≥ 8
2.4
1. Chứngminhbấtđẳngthức :
2
2
a5
a1
+
+
≥ 4
2. Cho a ≥ 1 và b ≥ 1, chứngminhbấtđẳngthức :
ab1 ba1
−
+−
... vế trái của bấtđẳngthức :
- Với n = 1 ta có :
1 < 2
1 (bất đẳngthức đúng)
- Giả sử bấtđẳngthức đúng với n = k, nghóa là :
E
k
< 2 k
- Ta phải chứngminhbấtđẳngthức đúng với ... 4
12
1.41
1. Chứngminhbấtđẳngthức : a
12
– a
9
+ a
4
– a + 1 > 0
2. Chứngminh rằng nếu có bấtđẳngthức : y ≥ x
3
+ x
2
+ |x| + 1
thì có bấtđẳngthức : x
2
+ y
2
≥ 1...
... số phức đểchứng
minh bấtđẳngthức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ” nhằm giúp
học sinh giải một lớp bài toán chứngminhbấtđẳng thức( hoặc tìm cực trị của biểu
thức) góp phần ... điều phải chứng minh.
Đẳngthức xảy ra khi
1
3
3
u v w a b c= = = ⇔ = = =
.
Ví dụ 5. Chứngminh rằng
2 cos sin cos 1x x x+ + ≥
(1)
Nhận xét. Để vận dụng số phức chứngminhbấtđẳngthức (1) ... y x y z− + − + − ≥ − − − + +
Sử dụng *3) và bấtđẳngthức tam giác ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 3(dấu hiệu 3). Trong các bài toán bấtđẳngthức (tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất) trong...
... vế với vế các bấtđẳngthức trên ta được điều phải chứngminh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Áp dụng bấtđẳngthức (**) và bấtđẳngthức tổng quát vào chứngminh các
bất đẳngthức sau.
Bài ... toán chứngminhbấtđẳngthức sử dụng bấtđẳngthức
(*)
(**)
(***)
B. PHẦN NỘI DUNG
1. Ứng dụng của bài toán bấtđẳngthức đơn giản :
Chúng ta biết rằng chứngminhbấtđẳngthức là một chuyên ... số dương a,b .Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Bất đẳngthức cần chứngminh tương đương với
Đây chính là bấtđẳngthức (**) cho hai số dương nên ta được điều phải
chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi...