... là giá trịcực tiểu của
hàm số
f
.
Giá trịcực ñại và giá trịcực tiểu ñược gọi chung là cựctrị
Nếu
0
x
là một ñiểm cựctrịcủahàm số
f
thì người ta nói rằng hàm số
f
ñạt cựctrị tại ...
-41-
CỰC TRỊCỦAHÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khái niệm cựctrịhàm số :
Giả sử hàm số
f
xác ñịnh trên tập hợp
( )
D D
⊂
ℝ
và
0
x D∈
0
)a x
ñược gọi là một ñiểm cực ñại củahàm số ... ax bx c= + + +
có giá trị bằng
1
khi
0x =
và ñạt cựctrị tại
2x =
, giá trịcựctrị là
3−
.
)c
Tìm
,a b
ñể các cựctrịhàm số
2
2
x ax b
y
x
+ +
=
−
ñạt cựctrị tại
3x =
và ñường...
... là giá trịcực tiểu củahàm số
( )
f x
.
Giá trịcực đại và giá trịcực tiểu được gọi chung là cực trị
II. Điều kiện để hàm số có cực trị
1) Điều kiện cần
Giả sử hàm số
( )
f x
đạt cựctrị tại ... giá trị cần tìm là:
17
2
4
m− < <
.
Ví dụ 14. Cho hàm số
3 2 2
3y x x m x m= − + +
.
Tìm tất cả các giá trịcủa tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực
tiểu của ... phương pháp tìmcựctrịcủahàm số
Phương pháp 1.
• Tìm
( )
'f x
.
• Tìm các điểm
( )
1, 2,
i
x i =
mà tại đó đạo hàmcủahàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục
nhưng không có đạo hàm.
• Lập...
... end
>> v=[-0.6 -1.2 0.135];
>> [a,fval]=fminsearch(@ham3bien,v)
Ví dụ 62 : Tìmcực đại củahàm z = xy/2 + (47 – x – y)(x/3 + y/4) xuất phát từ (15 ;
10).
function z = ham2bien( v...
... =
2
2
11
++
+=
y
y
x
xM
2
254
1
2
111
1
2
111
2
1
2
22
=
+
+
++=
++
+
yxyxy
y
x
xM
Bất đẳng thức và cựctrịcủahàm đa biến
ã Bàitập áp dụng :
1) Cho x, y, z dơng và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Cho x, y, z dơng và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Ví dụ 8 : Cho ... và cựctrịcủahàm đa biến
Bất đẳng thức và cựctrịcủahàm đa biến
Ths.Phạm Huy Tân - Trờng THPT Lơng Tài
I/ Phơng pháp biến đổi tơng đơng
Ví dụ 1. Cho ab 1. Chứng minh:
Giải: Đpcm (đúng)
ã Bài ... ]
2
3
2
9111
)()(
2
1
)1()1()1(3
+
+
+
+
+
+++++=
+
+
++
+
+++
+
=+
VT
accbba
cacbba
ba
c
ac
b
cb
a
VT
ab
2222
bc
bc
ac
ac
+
+
+
+
3
2
22
3
ba
baba
a
++
Bất đẳng thức và cựctrịcủahàm đa biến
2) Với mọi tam giác ABC chứng minh
3) Cho x, y dơng và . Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x+ y
4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S = x+ y biết...
... IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
... IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
I. Cựctrị không có điều kiện ràng buộc ( cực ... cựctrị tự do)
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cựctrịcủahàm nhiều biến
Chương IV. Cực trị...
...
7
5
m = là giá trị cần tìm .
Bài tập tương tự :
1. Tìm giá trịcủa m để đồ thị hàm số
3 2 2
3 4 2y x x m m= − + + − có cựctrị
đồng thời tích các giá trịcực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. ... trịcủahàm số thì giá trịcựctrịcủahàm số là:
( ) ( )
0 0
y x h x
= và
( )
y h x
= gọi là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị.
Chứng minh: Giả sử
0
x
là điểm cựctrịcủahàm số, ... cựctrịcủahàm số thỏa mãn điều
kiện cho trước.
Phương pháp:
•
Trước hết ta tìm điều kiện để hàm số có cực trị,
•
Biểu diễn điều kiện củabài toán thông qua tọa độ các điểm cựctrị của...
... CỐ:(3’)Qua bài học này HS cần khắc sâu
-Quy tắc I thường dùng tìmcựctrịcủa các hàm số đa thức ,hàm phân thức hữu tỉ.
Quy tắc II dùng tìmcựctrịcủa các hàm số lượng giác và giải các bài toán ... ra
các điểm cựctrị
của hàm số
+Chính xác hoá bài
giải của học sinh
+Cách giải bài 2
tương tự như bài
tập 1
+Gọi1HSxung
phonglênbảng
giải,các HS khác
theo dõi cách giải
của bạn và cho ... dấu
của chúng ,từ đó
Ghi nhận và làm
theo sự hướng dẫn
của GV
+TXĐ và cho kq
y’
+Các nghiệm của
pt y’ =0 và kq của
y’’
y’’(
6
k
π
π
+
) =
y’’(
6
k
π
π
− +
) =
Tìm cựctrịcủa các hàm số...
... Bài 4.1: Cựctrịcủahàm số củahàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Page 3 of 3
Bài 5:
Cho hàm s
ố
( ) ( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3 3
f x mx m x m x
= − − + − +
. Tìm m
ñể
hàm ... Bài 4.1: Cựctrịcủahàm số củahàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Page 2 of 3
V
ậ
y
min
52
3
AB =
. D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi m=0
Bài 3:
Tìm m
ñể
hàm s
ố
3 2
3 ...
ñ
i
ề
u ki
ệ
n bài toán.
Bài 4:
Cho hàm s
ố
:
( )
( ) ( )
3 2
2
cos 3sin 8 1 cos2 1
3
f x x a a x a x
= + − − + +
a)
CMR: Hàm s
ố
luôn có C
ð
, CT.
b)
Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
ñạ
t c
ự
c...
... Bài 5: Cựctrịcủahàm số củahàm số(Tiết 2) – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Page 2 of 3
Bài 3: Tìm m ñể hàm số
( )
3 2 2
3
f x x x m x m
= − + +
có cực ñại, cực tiểu ...
0
m
≠
V
ậ
y
ð
S:
0
m
≠
.
Bài 5: Cựctrịcủahàm số củahàm số(Tiết 2) – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Page 3 of 3
Bài 5:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: Hàm s
ố
4 2
6 4 6
y x x x
= ... =
− ⋅ + + = ⋅ −
Bài 4: Tìm m ñể hàm số
3 2
3
( )
2
m
f x x x m
= − +
có các C
ð
và CT n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a
ñườ
ng th
ẳ
ng y = x
Giải:
Hàm s
ố
có C
ð
và CT
2
(...
... BÀI TOÁN 3 (CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ)
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;4) và đường thẳng
2
z
1
2y
1
1x
:)d(
=
+
=
−
−
.
Viết ... 2008)
Lời giải tham khảo
Cách1:Phương pháp hình học (Đáp án của Bộ)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) và K là hình chiếu vuông góc của A trên (d).
Ta có theo tính chất đoạn vuông góc và ... tính chất đoạn vuông góc và đoạn xiên :
MKMH
≤
, nên MH lớn nhất khi
KH
≡
.
Vậy mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng vuông góc với AK tại K.
Giải: Ta có
)2t2;6t;t(AK)d()t2;t2;t1(K
−−−=⇒∈+−−
→
...
... ƣu. Nhiều bài
toán kinh tế đòi hỏi tìmcực tiểu hay cực đại một hàm số xác định trên một tập
nào đó của ℝ
n
. Ta sẽ chủ yếu quan tâm tới bài toán tìmcực tiểu hay cực đại của
các hàmbiến đổi ... Một số hàm thông dụng 26
2.2.1. Hàm lồi và hàm tựa lồi 27
2.2.2. Hàm lõm và hàm tựa lõm 29
2.3. Vi phân củahàm số 30
2.3.1. Hàm một biến 31
2.3.2. Hàm nhiều biến 32
2.3.3. Hàm thuần ... ngược của các tập mở (đóng), ảnh liên tục của
tập compact; định lý Weierstrass về tồn tại giá trịcựctrịcủahàm liên tục trên
tập compact; tập lồi và tính chất, định lý Minkowski về tách các tập...
... Điểm cực trị, cựctrịcủahàm số
1. Tìm các điểm cựctrịcủahàm số
a.
2 x
y x e=
b.
2
x 3
y
x 1
+
=
+
c.
2
2x 4x 2
y
2x 3
+
=
+
d.
2
2
x ... có cực tiểu mà không có cực đại
5. Với giá trị nào của m thì hàm số
2
y 2x m x 1= + +
có cực tiểu
6. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
y mx m 1 x 3 m 2 x
3 3
= + +
. Với giá trị nào của m thì hàm ... Cho hàm số
( )
3 2
1 1 1
y x sin a cos a x sin 2a x
3 2 4
= + +
ữ
. Xác định a để hàm số có cực trị
Gọi
1 2
x , x
là hoành độ các điểm cực trị, xác định a để cho hành độ điểm cực đại, cực...
... x
0
là điểm cựctrịcủahàm số thì f(x
0
) là giá trịcực trị,
M(x
0
; f(x
0
)) là điểm cựctrịcủa đồ thị hàm số.
Điểm cựctrịcủahàm số
Ví dụ minh họa - Ví dụ 1
Tìm m để hàm số y = mx
3
... ≠
Điểm cựctrịcủahàm số
Bài tập tự giải
Bài 1: Tìm các điểm cựctrị (nếu có) của các hàm số sau:
Bài 2: (ĐH Huế Khối A - 98) Tìm m để hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ (m - 1)x +2 đạt
cực tiểu ... 2x
2
= 1
Bài 4: Cho hàm số xác định m để
a) Hàm số không có cực trị
b) Hàm số có cực trị
c) Hàm số có 2 điểm cựctrị có hoành độ dương
d) Hàm số có 2 điểm cựctrị nằm về 2 phía của oy
e) Hàm số...
... giá trịcực đại củahàm số
+) được gọi là điểm cực tiểu củahàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm
sao cho:
Khi đó được gọi là giá trịcực tiểu củahàm số
Điểm cực đại và cực tiểu củahàm ... cựctrịcủahàm số.
6. Cho hàm số . Tìm dể hàm số có cựctrị và các điểm
cực trị này tạo với gốc tọa độ một tam giác vuông tại (Đề thi Toán khối A năm
2007)
7. Cho hàm số . Tìm để hàm số có cực ... điểm cựctrịcủahàm số.
2. Điều kiện cần, đủ để hàm số có cực trị:
+) Nếu hàm số đạt cựctrị tại và đồng thới hàm số có đạo hàm tại thì
+) Nếu hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm...