LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn III. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ (tiếp theo) Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A cho trước sao cho khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất, với d’ là đường thẳng cho trước và cắt (P). Phương pháp giải: + Gọi ' ( ) = ∩ I d P , qua A dựng đường thẳng '' d // ' '' ⇒ d d // ( Q), v ớ i (Q) là m ặ t ph ẳ ng ch ứ a d và ''. d Khi đ ó ( ) ( ) ( ) ; ' ';( ) ;( ) = = d d d d d Q d I Q + K ẻ ( ) ( ); '' ;( ) ⊥ ⊥ ⇒ = IH Q IK d IH d I Q và đ i ể m K c ố đị nh. + Ta có ( ) max ;( ) ≤ ⇒ = ⇔ ≡ IH IK d I Q IK H K . Khi đ ó đườ ng th ẳ ng d n ằ m trong (P), đ i qua A và vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng IK, suy ra d có m ộ t véc t ơ ch ỉ ph ươ ng là ;   =      d P u n IK G ọ i ' A là hình chi ế u vuông góc c ủ a A lên d’, suy ra ' AA // IK, khi đ ó ; '   =      d P u n AA V ậ y đườ ng th ẳ ng d c ầ n l ậ p đ i qua đ i ể m A và có véc t ơ ch ỉ ph ươ ng là ; '   =      d P u n AA Ví dụ 1. Cho đ i ể m A(1; 0; 1), đườ ng th ẳ ng 2 1 ': 2 1 1 − − = = − − x y z d và ( ): 2 0 − + − = P x y z L ậ p ph ươ ng trình đườ ng d đ i qua A; n ằ m trong (P) sao cho kho ả ng cách gi ữ a d và d’ l ớ n nh ấ t? Đ/s: (1; 1; 2) = − −  d u Ví dụ 2. Cho đ i ể m A(1; 1; –3), B(2; 1; 0), đườ ng th ẳ ng 1 2 : 1 1 2 + − = = − x y z d và ( ): 2 1 0 − + + = P x y z 14. CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P4 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Lập phương trình đường ∆ đi qua A; nằm trong (P) sao cho a) khoảng cách từ B đến d lớn nhất? nhỏ nhất? b) khoảng cách giữa ∆ và d lớn nhất? Ví dụ 3. Cho điểm O(0; 0; 0) và đường thẳng 1 1 1 1 : ; ': . 1 2 1 2 2 1 − + + − = = = = − − − x y z x y z d d Lập phương trình đường ∆ đi qua O; vuông góc với d và cách d’ một khoảng lớn nhất? Đ/s: 13 : 12 13 12 11 = ⇒ ∆ = = x y z t H ướ ng d ẫ n: G ọ i (P) là m ặ t ph ẳ ng đ i qua O và vuông góc v ớ i d, suy ra ∆ ph ả i n ằ m trong (P). Khi đ ó ta l ạ i quy v ề bài toán đ ã xét ở trên! Ví dụ 4. Cho đ i ể m A(0; 1; –1), đườ ng th ẳ ng 1 : 1 1 1 − = = − − x y z d và ( ): 2 2 1 0 − + − = P x y z Lập phương trình đường ∆ đi qua A; song song với (P) sao cho khoảng cách giữa ∆ và d lớn nhất? Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, d cắt d 1 và khoảng cách giữa d và d 2 lớn nhất Phương pháp giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d 1 , suy ra d nằm trong (P). Khi đó quy về bài toán 3! Ví dụ 1. Cho điểm A(0; -1; 2) và đường thẳng 1 2 : 1 1 1 + − = = − x y z d Lập phương trình đường ∆ đi qua A và cắt d sao cho a) khoảng cách từ B(2; 1; 1) đến đường thẳng ∆ là lớn nhất. b) khoảng cách giữa ∆ và 5 ': 2 2 1 − = = − x y z d là lớn nhất. Đ/s: a) ( ) 1 2 max : 1 1 1 1 ; 3 2 1 2 11 min : 3 3 2 + −  = =  − − ≤ ∆ ≤ ⇒  + −  = =  −  x y z d B x y z Ví dụ 2. Cho điểm A(1; 1; 2), đường thẳng 1 1 : 1 1 2 + − = = − x y z d và (P): x + y + 2z – 1 = 0 Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A sao cho a) ∆ // (P) và khoảng cách giữa ∆ và d lớn nhất. b) 1 ': 3 1 = − +   ∆ ⊥ = +   = − +  x t d y t z t và khoảng cách từ điểm B(−1; 1; −1) lớn nhất? nhỏ nhất?