LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn III. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ Phương pháp đại số: + Gọi véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cần lập là (a; b; c) + Thiết lập một phương trình quy ẩn (a theo b, c hoặc ngược lại) từ một dữ kiện về mặt phẳng chứa đường, song song hoặc vuông góc. Giả sử phương trình thu gọn ẩn là a = f(b; c) + Thiết lập phương trình khoảng cách mà đề bài yêu cầu, thay a = f(b; c) vào ta được một phương trình hai ẩn b; c. Xét hàm khoảng cách ( ; ) = d g b c + Nếu c = 0 thì 1 0 ≠ → = b d d , lưu lại giá trị khoảng cách d 1 này. + Nếu 0 ( );   ≠ ⇒ = = =     b b c d g g t t c c Kh ả o sát hàm g(t) ta thu đượ c k ế t qu ả . Chú ý: + Công th ứ c kho ả ng cách t ừ m ộ t đ i ể m đế n m ộ t m ặ t ph ẳ ng ( ) 0 0 0 2 2 2 ;( ) + + + = + + Ax By Cz D d A P A B C + Công th ứ c kho ả ng cách t ừ m ộ t đ i ể m đế n m ộ t đườ ng th ẳ ng ( ) ; ; ∆ ∆     ∆ =    u AM d A u ; v ớ i M thu ộ c ∆ . + Công th ứ c kho ả ng cách gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 ; . ; ; ∆ ∆ ∆ ∆     ∆ ∆ =          u u M M d u u Bây giờ chúng ta xét bản chất hình học của các bài toán về khoảng cách thường gặp Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất, với A là điểm không thuộc d Phương pháp giải: + Kẻ ( ); ( ;( )) ⊥ ⊥ ⇒ = AH P AK d AH d A P và điểm K cố định. + Ta có ( ) max ;( ) ≤ ⇒ = ⇔ ≡ AH AK d A P AK H K . Khi đó mặt phẳng (P) cần lập chứa đường thẳng d và nhận véc tơ  AK là véc tơ pháp tuyến. 14. CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P3 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Ví dụ 1. (Khối A – 2008) Cho các điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng 1 2 : . 2 1 2 − − = = x y z d Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) max. Đ/s: (3;1;4), ( ): 4 3 0. − + − = K P x y z Ví dụ 2. Cho các điểm A(3; 2; –1) và đường thẳng : 1 =   = −   = −  x t d y z t Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) max. Đ/s: ( ): 4 0. + + − = P x y z Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A cho trước sao cho khoảng cách từ điểm B đến d lớn nhất? nhỏ nhất? Phương pháp giải: + Kẻ ; ( ) ( ; ) ⊥ ⊥ ⇒ = AB d BK P BH d B d và điểm K cố định. + Ta có ( ) max ; ≤ ⇒ = ⇔ ≡ BH BA d B d BA H A . Khi đó đường thẳng d nằm trong (P), đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB, suy ra d có một véc tơ chỉ phương là ;   =      d P u n AB + Mặt khác, lại có ( ) min ; ≥ ⇒ = ⇔ ≡ BH BK d B d BK H K . Khi đó đường thẳng d nằm trong (P), đi qua A và đi qua hình chiếu K của B. Ta dễ thấy d có một véc tơ chỉ phương là ; ;     =         d P P u n n AB Ví dụ 1. Cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; –3) và ( ): 2 1 0. + − − = P x y z Lập phương trình đường d nằm trong (P); đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất? nhỏ nhất? Đ/s: ( ) 1 max : 1 1 1 6 ; 14 1 min : 1 0 1 −  = =  − ≤ ≤ ⇒  −  = =   x y z d B d x y z Ví dụ 2. Cho các điểm A(1; 2; 4), B(1; 2; –2) và ( ): 1 0. + − + = P x y z Lập phương trình đường d nằm trong (P); đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất? nhỏ nhất? Đ/s: max : (1; 1;0) min : (1;1;1)  = −  =     d d u u Còn nữa ở phần 4!!!