210 CHƯƠNG 3: NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM §1.NỘISUYLAGRANGE Trongthựctếnhiềukhitacầntínhgiátrịcủahàmy =f(x)tạimộtgiátrị xtrongmộtđoạn[a,b]nàođómàchỉbiếtmộtsốnhấtđịnhcác giátrịcủa hàm tại một số điểm cho trước. Các giá trị nàyđược cung cấp qua thực nghiệmhaytínhtoán.Vìvậynảysinhvấnđềtoánhọclàtrênđoạna≤x≤ b chomộtloạtcácđiểmx i(i=0,1,2 )vàtạicácđiểmxinàygiátrịcủahàmlà y i=f(xi)đãbiếtvàtacầntìmy=f(x)dựatrêncácgiátrịđãbiếtđó.Lúcđóta cầntìmđathức:  P n(x)=aoxn+a1x n‐1  +…+an‐1x+an saochoP n(xi)=f(xi)=yi.ĐathứcPn(x)đượcgọilàđathứcnộisuycủahàm y=f(x).Tachọn đathứcđểnộisuyhàmy=f(x)vìđathứclàloạihàmđơn  giản,luôncóđạohàmvànguyênhàm.Việctínhgiátr ịcủanótheothuậttoán Hornercũngđơngiản.  BâygiờtaxâydựngđathứcnộisuykiểuLagrange.GọiL ilàđathức: )xx) (xx)(xx) (xx( )xx) (xx)(xx) (xx( L ni1ii1ii0i n1i1i0 i −−−− − − −− = +− +−   RõrànglàL i(x)làmộtđathứcbậcnvà: ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = ij0 ij1 )x(L ji  TagọiđathứcnàylàđathứcLagrangecơbản. Bâygiờtaxétbiểuthức:  ∑ = = n 0i iin )x(L)x(f)x(P  TathấyP n(x)làmộtđathứcbậcnvìcácLi(x)làcácđath ứcbậcnvà thoảmãnđiềukiệnP n(xi)=f(xi)=yi.TagọinólàđathứcnộisuyLagrange. Vớin=1tacóbảng  x x 0 x1 y y0 y1  Đathứcnộisuysẽlà:  P 1(x)=yoL0(x)+y1L1(x1)  10 1 0 xx xx L − − =  01 0 1 xx xx L − − =  211 nên 01 0 1 10 1 01 xx xx y xx xx y)x(P − − + − − =  NhưvậyP 1(x)làmộtđathứcbậcnhấtđốivớix Vớin=2tacóbảng  x x 0 x1 x2 y y0 y1 y2  Đathứcnộisuysẽlà:  P 2(x)=yoL0(x)+y1L1(x1)+y2L2(x2)  )xx)(xx( )xx)(xx( L 2010 21 0 −− −− =  )xx)(xx( )xx)(xx( L 2101 20 1 −− −− =  )xx)(xx( )xx)(xx( L 1202 10 2 −− −− =  NhưvậyP 1(x)làmộtđathứcbậchaiđốivớix. Taxâydựnghàm lagrange()đểthựchiệnviệcnộisuyhàmtheothuậttoán Lagrange:  function[l,L]=lagrange(x,y) %Duavao:x=[x0x1 xn],y=[y0y1 yn] %ketqua:l=HesocuadathucLagrangebacn %L=DathucLagrange n=length(x)‐1;%baccuadathucl l=0; for m=1:n+1 p=1; fork=1:n+1 ifk~=m p=conv(p,[1‐x(k)])/(x(m)‐x(k)); end end L(m,:)=p;%dathucLagrange l=l+y(m)*p; end  212 Chohàmdướidạngbảng:  x‐2‐1 1 2 y‐6 0 0 6  vàtìmy(2.5)tadùngchươngtrình ctlagrange.m:   clearall,clc x =[‐2‐112]; y=[ ‐6006]; l=lagrange(x,y); yx=polyval(l,2.5)  §2.NỘISUYNEWTON Bâygiờtaxétmộtcáchkhácđểxâydựngđathứcnộisuygọilàphương phápNewton.Trướchếttađưavàomộtkháiniệmmớilàtỉhiệu  Giảsửhàmy=y(x)cógiá trịchotrongbảngsau:  x x 0 x1 x2 … xn‐1 xn y y0 y1 y2 … yn‐1 yn  Tỉhiệucấp1củaytạix i,xjlà:  ji ji ji xx yy ]x,x[y − − =   Tỉhiệucấphaicủaytạix i,xj,xklà: k i k jji k ji xx ]x,x[y]x,x[y ]x,x,x[y − − =  v.v.  Vớiy(x)=P n(x)làmộtđathứcbậcnthìtỉhiệucấp1tạix,x0:  0 0nn 0n xx )x(P)x(P ]x,x[P − − =  làmộtđathứcbậc(n‐1).Tỉhiệucấp2tạix,x 0,x1: 1 10n0n 10n xx ]x,x[P]x,x[P ]x,x,x[P − − =  làmộtđathứcbậc(n‐2)v.vvàtớitỉhiệucấp(n+1)thì: 213  Pn[x,xo, ,xn]=0 Từcácđịnhnghĩatỉhiệutasuyra:  P n(x)=Pn(x0)+(x‐x0)Pn[x,xo]  P n[x,x0]=Pn[x0,x1]+(x‐x1)Pn[x,xo,x1]  P n[x,xo,x1]=Pn[x0,x1,x2]+(x‐x2)Pn[x,xo,x1,x2]    P n[x,xo, ,xn‐1]=Pn[x0,x1, ,xn]+(x‐xn)Pn[x,xo, ,xn] Do P n[x,xo, ,xn]=0nêntừđótacó: P n(x)=Pn(x0)+(x‐x0)Pn[xo,x1]+(x‐x0)(x‐x1)Pn[x0,x1,x2]+… +(x‐x 0)…(x‐xn‐1)Pn[x0,…,xn] NếuP n(x)làđathứcnộisuycủahàmy=f(x)thì:  P n(xi)=f(xi)=yivớii=0÷n  Dođócáctỉhiệutừcấp1đếncấpncủaP nvàcủaylàtrùngnhauvà nhưvậytacó: P n(x)=y0+(x‐x0)y[x0,x1]+(x‐x0)(x‐x1)y[x0,x1,x2]+ + (x‐x 0)(x‐x1) (x‐xn‐1)y[x0, ,xn] ĐathứcnàygọilàđathứcnộisuyNewtontiếnxuấtpháttừnútx 0của hàmy=f(x).NgoàiđathứctiếncòncóđathứcnộisuyNewtonlùixuấtphát từđiểmx ncódạngnhưsau:  P n(x)=yn+(x‐xn)y[xn,xn‐1]+(x‐xn)(x‐xn‐1)y[xn,xn‐1,xn‐2]+ + (x‐x n)(x‐xn‐1) (x‐x1)y[xn, ,x0] Trườnghợpcácnútcáchđềuthìx i=x0+ihvớii=0,1, ,n.Tagọisai phântiếncấp1tạiilà:  ∆y i=yi+1‐yi vàsaiphântiếncấphaitạii:  ∆ 2 yi=∆(∆yi)=yi+2‐2yi+1+yi   vàsaiphântiếncấpnlà:  ∆ n yi=∆(∆ n‐1 yi) Khiđótacó:  [] h y x,xy 0 10 ∆ =   [] 2 0 2 210 h2 y x,x,xy ∆ =    214  [] n 0 n n210 h!n y x, ,x,x,xy ∆ =  Bâygiờđặtx=x 0+httrongđathứcNewtontiếntađược:  0 n 0 2 000n y !n )1nt()1t(t y !2 )1t(t yty)htx(P ∆ +− ⋅ ⋅ ⋅ − +⋅⋅⋅+∆ − +∆+=+  thìtanhậnđượcđathứcNewtontiếnxuấtpháttừx 0trongtrườnghợpnút cáchđều.Vớin=1tacó:  P 1(x0+ht)=y0+∆y0 Vớin=2tacó: 0 2 000n y !2 )1t(t yty)htx(P ∆ − +∆+=+  Mộtcáchtươngtựtacókháiniệmcácsaiphânlùitạii:  ∇y i=yi‐yi‐1  ∇ 2 yi=∇(∇yi)=yi‐2yi‐1+yi‐2    ∇ n yi=∇(∇ n‐1 yi) vàđathứcnộisuyNewtonlùikhicácđiểmnộisuycáchđều: n n n 2 nn0n y !n )1nt()1t(t y !2 )1t(t yty)htx(P ∇ −+ ⋅ ⋅ ⋅ + +⋅⋅⋅+∇ + +∇+=+  Taxâydựnghàm newton()đểnộisuy:  function[n,DD]=newton(x,y) %Duavao:x=[x0x1 xN] %y=[y0y1 yN] %Layra:n=hesocuadathucNewtonbacN N=length(x)‐1; DD=zeros(N+1,N+1); DD(1:N+1,1)=yʹ;  fork=2:N+1 form=1:N+2‐k DD(m,k)=(DD(m+1,k‐1)‐DD(m,k‐1))/(x(m+k‐1)‐x(m)); end end a=DD(1,:); n=a(N+1); fork=N:‐1:1 215 n=[na(k)]‐[0n*x(k)]; end Chohàmdướidạngbảng:  x‐2‐1 1 2 4 y‐6 0 0 6 60  Tadùngchươngtrình ctnewton.mđểnộisuy:   clearall,clc x= [‐2‐1124]; y=[‐600660]; a=newton(x,y) yx=polyval(a,2.5)  §3.NỘISUYAITKEN‐NEVILLE Một dạng khác củađa thức nội suyđược xácđịnh bằng thuật toán Aitken‐Neville.Giảsửtacónđiểmđãchocủahàmf(x).Nhưvậyquahai điểm x 0 và x1 ta cóđa thức nội suy Lagrange của hàm f(x)được viết dưới dạng: 01 11 00 01 xx xxy xxy )x(P − − − =  Đâylàmộtđathứcbậc1: 01 0 1 10 1 001 xx xx y xx xx y)x(P − − + − − =  Khix=x 0thì: 0 01 011 000 001 y xx xxy xxy )x(P = − − − =  Khix=x 1thì: 1 01 111 100 101 y xx xxy xxy )x(P = − − − =  ĐathứcnộisuyLagrangecủaf(x)qua3điểmx 0,x1,x2códạng: 216  02 212 001 012 xx xx)x(P xx)x(P )x(P − − − =  vàlàmộtđathứcbậc2:  )xx)(xx( )xx)(xx( y )xx)(xx( )xx)(xx( y )xx)(xx( )xx)(xx( y)x(P 1202 10 2 2101 20 1 2010 21 0012 −− − − + −− − − + −− −− =  Khix=x 0thì:  0 02 0212 000 0012 y xx xx)x(P xxy )x(P = − − − =  Khix=x 1thì:  1 02 121 101 1012 y xx xxy xxy )x(P = − − − =  Khix=x 2thì:  2 02 222 20201 2012 y xx xxy xx)x(P )x(P = − − − =  TổngquátđathứcnộisuyLagrangequanđiểmlà: 02 nn 12 0)1n (01 n 012 xx xx)x(P xx)x(P )x(P − − − = −  Như vậy ta có thể dùng phép lặpđểxácđịnh lần lượt cácđa thức Lagrange.SơđồtínhtoánnhưvậygọilàsơđồNeville‐Aitken. Taxâydựnghàm aitkenneville()đểnộisuy:  functiona=aitkenneville(xData,yData,x) %Travegiatrinoisuytaix. %Cuphap:y=aitkenneville(xData,yData,x) n=length(xData); y=yData; fork=1:n‐1 y(1:n‐k)=((x‐xData(k+1:n)).*y(1:n‐k)  +(xData(1:n‐k)‐x).*y(2:n‐k+1))  ./(xData(1:n‐k)‐xData(k+1:n)); 217 end a=y(1);   Chocáccặpsố(1,3),(2,5),(3,7),(4,9)và(5,11),đểtìmytạix=2.5tadùng chươngtrình ctaitkennevile.m:  clearall,clc x= [1234]; y=[3579]; yx=aitkenneville(x,y,2.5)  §4.NỘISUYBẰNGĐƯỜNGCONGSPLINEBẬCBA  Khisốđiểmchotrướcdùngkhinộisuytăng,đathứcnộisuycódạng sóngvàsaisốtăng.Taxéthàmthực:  2 1 f31(x) 18x = +  vànộisuynóbằngthuậttoánNewtonnhờchươngtrình cttestintp.m  %NoisuyNewton x1=[‐1‐0.500.51.0]; y1=f31(x1); n1=newton(x1,y1) x2=[‐1‐0.75‐0.5‐0.2500.250.50.751.0]; y2=f31(x2); n2=newton(x2,y2) x3=[‐1‐0.8‐0.6‐0.4‐0.200.20.40.60.81.0]; y3 =f31(x3); n3=newton(x3,y3) xx=[‐1:0.02:1];%phamvinoisuy yy=f31(xx);%hamthuc yy1=polyval(n1,xx);%hamxapxiqua5diem yy2=polyval(n2,xx);%hamxapxiqua9diem yy3=polyval(n3,xx);%hamxapxiqua11diem subplot(221) plot(xx, yy,ʹk‐ʹ,xx,yy1,ʹbʹ) subplot(224) 218 plot(xx,yy1‐yy,ʹrʹ,xx,yy2‐yy,ʹgʹ,xx,yy3‐yy,ʹbʹ)%dothisaiso subplot(222) plot(xx,yy,ʹk‐ʹ,xx,yy2,ʹbʹ) subplot(223) plot(xx,yy,ʹk‐ʹ,xx,yy3,ʹbʹ)  vànhậnđượckếtquả. Đểtránhhiệntượngsaisốlớnkhi số điểm mốc tăng ta dùng nội suy nối trơn(spline). Trên cácđoạn nội suy ta thay hàm bằng mộtđường cong. Các đườngcongnàyđượcghéptrơntạicác điểmnối.Tachọncácđườngcongnàylà hàmbậc3vìhàmbậc1vàbậchaikhó bảođảmđiềukiệnnốitrơn.  Cho mộtloạtgiátrịnộisuy(x1,y1),…,(xi,y i),…,(xn,yn).Trênmỗiđoạnta cómộthàmbậc3.Nhưvậygiữanútivà(i+1) tacóhàmf i,i+1(x),nghĩalàta dùng(n‐1)hàmbậc3f 1,2(x),f2,3(x),…,fn‐1,n(x)đểthaythếchohàmthực.Hàm f i,i+1(x)códạng: f i,i+1(x)=ai+bi(x‐xi)+ci(x‐xi) 2 +di(x‐xi) 3 (1) Hàmnàythoảmãn: f i,i+1(xi)=ai=yi (3)  32 i,i1 i1 ii ii ii i i1 f(x)dh ch bha y ++ + =+++=(4)  i,i 1 i i f(x)b + ′ = (5) 2 i,i 1 i 1 i i i i i f(x)3dh 2ch b ++ ′ =++(6) i,i 1 i i i f(x)2c y + ′′ ′′ == (7) i,i1 i1 i i i i1 f(x)6dh2cy ++ + ′′ ′′ =+=(8) Muốnnốitrơntacần cóđạohàmbậcnhấtliêntụcvàdođó:  i1,i i i,i1 i i f (x) f (x) k −+ ′′ ′′ ==  Lúcnàycácgiátrịkchưabiết,ngoạitrừk 1=kn=0(tacáccácmútlàđiểm uốn).Điểmxuấtphátđểtínhcáchệsốcủaf i,i+1(x)làbiểuthứccủa i,i 1 i f(x) + ′ ′ .Sử dụngnộisuyLagrangechohaiđiểmtacó:  i,i 1 i i i i 1 i 1 f(x)kL(x)kL(x) +++ ′′ =+  Trongđó: y x x i‐1 xi xi+1 yi‐1 yi+1 yi f i‐1,i f i,i+1 219  i1 i ii1 ii1 i1i xx xx L (x) L ( x) xx x x + + ++ −− == −−  Dovậy:  ii1i1i i,i 1 i ii1 k(x x ) k (x x) f(x) xx ++ + + −− − ′′ = −  Tíchphânbiểuthứctrênhailầntheoxtacó:  33 ii1i1i i,i 1 i i 1 i ii1 k(x x ) k (x x) f (x) A(x x ) B(x x) 6(x x ) ++ ++ + −− − =+−−− −  TrongđóAvàBlàcáchằngsốtíchphân SốhạngcuốitrongphươngtrìnhtrênthườngđượcviếtlàCx+D. ĐặtC=A‐BvàD=‐Ax i+1+Bxiđểdễdàngtính toán.Từđiềukiệnfi,i+1(xi)=yi tacó:  3 ii i1 ii1 i ii1 k(x x ) A(x x ) y 6(x x ) + + + − +−= −  nên:  i ii i1 ii1 y k(x x ) A xx 6 + + − =− −  Tươngtự,điềukiệnf i,i+1(xi+1)=yi+1chota:  i1 i1 i i1 ii1 y k(x x) B xx 6 + ++ + − =− −  Kếtquảlà: 3 ii1 i,i 1 i i 1 i i 1 ii1 3 i1 i ii i1 ii1 ii1i1i ii1 k(xx) f (x ) (x x )(x x ) 6xx k(xx) (x x )(x x ) 6xx y(x x ) y (x x) xx + +++ + + + + ++ + ⎡⎤ − =−−− ⎢⎥ − ⎣⎦ ⎡⎤ − −−−− ⎢⎥ − ⎣⎦ −− − + −  Đạohàmcấp2k itạicácnútbêntrongđượctínhtừđiềukiện:  i1,i i i,i1 i f (x) f (x) −+ ′′ =  Saukhibiếnđổitacóphươngtrình:  i1 i1 i i i1 i1 i1 i i1 i1 i i i1 i1 i i i1 k(xx)2k(xx)k(xx) yyyy 6 xxxx −− − + + + −+ −+ −+ − + − ⎛⎞ −− =− ⎜⎟ −− ⎝⎠  Khicácđiểmchiacáchđều(x i+1‐xi)=htacó: [...]...     y = cubicspline(xData, yData, x)      fprintf(ʹ\nʹ)  end    §5. NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC CHEBYSHEV    Khi  nội suy bằng  đa  thức  Newton  hay  Lagrange,  nghĩa  là  thay  hàm thực bằng đa thức xấp xỉ,  có khoảng cách cách đều thì sai số giữa đa thức nội suy và hàm thực có xu hướng tăng tại hai mút nội suy.  Ta thấy rõ điều này  khi chạy chương trình cttestintp.m.   Do vậy ta nên chọn các điểm mốc nội suy ở  hai  mút  dày  hơn  ở  giữa. ... tâm tại điểm giữa của đoạn nội suy.  Như vậy với  ‐1 x′1 đoạn nội suy [‐1, 1] ta có:  2n + 1 − 2k   x′k = cos π   k = 1, 2,…,n            (1)  2(n + 1) Với đoạn nội suy [a, b] bất kì:  b−a b+a b−a 2n + 1 − 2k a+b xk = x′k + cos   = π+    k = 1, 2,…,n  (2)  2 2 2 2(n + 1) 2 Các nút nội suy này được gọi là các nút Chebyshev. Đa thức nội suy dựa trên  các nút Chebyschev gọi là đa thức nội suy Chebyshev.   Ta xét hàm thực: ... title(ʹTin hieu da locʹ)    §9. XẤP XỈ HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT  1. Khái niệm chung: Trong các mục trước ta đã nội suy giá trị của hàm.  Bài  toán đó là cho một hàm dưới dạng bảng số và phải tìm giá trị của hàm tại một  giá trị của đối số không nằm trong bảng.    Trong thực tế, bên cạnh bài toán nội suy ta còn gặp một dạng bài toán  khác. Đó là tìm công thức thực nghiệm của một hàm.    Nội dung bài toán là từ một loạt các điểm cho trước (có thể là các giá trị ... §6. XẤP XỈ HÀM BẰNG PHÂN THỨC HỮU TỈ    Xấp xỉ Padé dùng để xấp xỉ hàm f(x) tại x0 bằng hàm hữu tỉ:  Q (x − x 0 ) Pm ,n (x − x 0 ) = m        D n (x − x 0 ) q 0 + q 1 (x − x0 ) + q 2 (x − x0 )2 + L + q m (x − x0 )m                        =   1 + d1 (x − x0 ) + d 2 (x − x0 )2 + L + d n (x − x0 )n với m = n hay m = n + 1  Trong đó f(x0), fʹ(x0),…, f(m+n)(x0) đã cho  Trước hết ta khai triển Taylor hàm f(x) tại x = x0 đến bậc (m + n). ... Từ các kết quả ta thấy khi T = 0.1 và N = 32 thì Xa(k) lớn tại k = 2 và k= 5.  Lúc đó kω0 = 2πk/NT = 2πk/3.2 ≈ 1.5π  và 3.125π  ≈ 3π.   Khi T = 0.05  và N = 64  thì  Xb(k) cũng  lớn tại k = 2 và k = 5.  Lúc đó    kω0 = 1.25π  ≈ 1.5π  và 3.125π  ≈ 3π.   Khi T = 0.1 và N = 64 thì Xc(k) lớn tại k = 4 ,k = 5, k = 9 và k = 10. Lúc đó  kω0 = 2πk/NT = 2πk/6.4 ≈ 1.25π ~ 1.5625π và 2.8125π ~ 3π.   Khi  T  =  0.1  và N  =  64  thì  Xd(k)  lớn  tại  k  =  5  và k  = ... =     1 + 8x 2 Ta chọn số nút nội suy lần lượt là 5, 9, 11 và xây dựng các đa thức Newton  (hay  Lagrange)  c4(x),  c8(x)  và c10(x)  đi  qua  các  nút  này và vẽ  đồ  thị  của  hàm thực cũng như sai số khi nội suy bằng chương trình ctcomchebynew.m với các  N khác nhau.  x1 = [‐1 ‐0.5 0 0.5 1.0];   y1 = f31(x1);  n1 = newton(x1,y1);  xx = [‐1:0.02: 1]; %pham vi noi suy yy1 = polyval(n1,xx); %ham xap xi qua 5 diem ... ⋅ ⋅ ⋅ + a m fm (x i )]}   2 Rõ ràng S là hàm của các giá trị cần tìm ai  và chúng ta sẽ chọn các ai sao  ∂S phải bằng không.   cho S đạt giá trị min, nghĩa là các đạo hàm ∂a i Ta sẽ xét các trường hợp cụ thể.  2. Hàm xấp xỉ có dạng đa thức: Trong trường hợp tổng quát ta chọn hệ hàm xấp xỉ là một đa thức, nghĩa là:    f(x) = a0 + a1x + a2x2 +∙∙∙+ amxm  Vậy hàm S là :    S = ( y i − a 0 + a1x + a 2... x = flipdim(x, 1);    Để  xấp xỉ một  dãy  số  liệu bằng  hàm đa  thức  ta  dùng  chương trình  ctpolynomfit.m:     clear all, clc  xData = [0 1 2 3 4];  yData = [1  8 24  63 124];  x = polyfits(xData, yData, 3);  y = 0:0.1:4;  235 z = polyval(xʹ, y);  hold on  plot(y, z,ʹ‐bʹ, xData, yData, ʹroʹ);    3 .Hàm dạng Aecx: Khi các số liệu thể hiện một sự biến đổi đơn điệu ta dùng  hàm xấp xỉ là y = Aecx. Lấy logarit hai vế ta có : ... A = exp(d3/d1);    Ta dùng chương trình ctpowerfit.m để xấp xỉ dãy số liệu đã cho:    clc  x = [  1  2  3  4      5];  y = [1.5  15.1     52.5     130.5  253];  [q,A] = powerfit(x, y)  t = 0.1:0.1:5;  z = exp(log(A)+q*log(t));  plot(t, z, ʹ‐bʹ, x, y, ʹroʹ);    5. Hàm lượng giác: Khi quan hệ y = f(x) có dạng tuần hoàn ta dùng hàm xấp xỉ là tổ hợp tuyến tính của các hàm sin và cosin dạng:  237 n   n... c = d2/d1;  A = exp(d3/d1);  Ta dùng chương trình ctexpfit.m để xấp xỉ dãy số liệu đã cho    clear all, clc  x = [1.2  2.8  4.3  5.4   6.8  7.9];  y = [7.5  16.1  38.9  67  146.6 266.2];  [c, A] = expfit(x, y);  t = 0:0.1:8;  z = A*exp(c*t);  plot(t, z, ʹ‐bʹ, x, y, ʹroʹ);  236 4. Hàm dạng Axq: Khi các số liệu thể hiện một sự biến đổi đơn điệu ta  cũng  có thể dùng hàm xấp xỉ là y = Axq. Lấy logarit hai vế ta có:  . 210 CHƯƠNG 3: NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM §1.NỘI SUY LAGRANGE Trongthựctếnhiềukhitacầntínhgiátrịcủa hàm y =f(x)tạimộtgiátrị xtrongmộtđoạn[a,b]nàođómàchỉbiếtmộtsốnhấtđịnhcác giátrịcủa hàm . P n(x)=aoxn+a1x n‐1  +…+an‐1x+an saochoP n(xi)=f(xi)=yi.ĐathứcPn(x)đượcgọilàđathức nội suy của hàm y=f(x).Tachọn đathứcđể nội suy hàm y=f(x)vìđathứclàloại hàm đơn  giản,luôncóđạo hàm và nguyên hàm. Việctínhgiátr ịcủanótheothuậttoán Hornercũngđơngiản. 