July 2009 Trần Minh Tú – University of Civil Engineering E-mail: t p nt2002 @y ahoo.com 11 SỨC BỀN VẬT LIỆU TrầnMinhTú Đạihọc xây dựng ®¹i häc Chương 1 NỘI LỰC TRONG BÀI TOÁN THANH 3(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Chương 1. N ội lực trong bài toán thanh NỘI DUNG 1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang 1.2. Biểu đồ nội lực – Pp mặt cắt biến thiên 1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men uốn, lực cắt và tải trọng phân bố 1.4. Phương pháp vẽ biểu đồ nội lực theo điểm đặc biệt 1.5. Biểu đồ nội lực của dầm tĩnh định nhiều nhịp 1.6. Biểu đồ nội lực của khung phẳ ng 1.7. Biểu đồ nội lực của thanh cong 4(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang (1) • Trong trường hợp tổng quát trên mặt cắt ngang của thanh chịu tác dụng của ngoại lực có 6 thành phần ứng lực: y z x M x M y M z Q x N Z Q y 5(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang (2) • Bài toán phẳng : Ngoại lực nằm trong mặt phẳng đi qua trục z (yOz) => Chỉ tồn tại các thành phần ứng lực trong mặt phẳng này: N z , M x , Q y • N z -lực dọc; Q y -lực cắt; M x –mô men uốn y z x M x N Z Q y 6(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang (2) N z Q Q M M 1 1 Để xác định các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang: => Phương pháp mặt cắt 7(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang (3) Qui ước dấu các thành phần ứng lực  Lực dọc: N>0 khi có chiều đi ra khỏi mặt cắt  Lực cắt: Q>0 khi có chiều đi vòng quanh phần thanh đang xét theo chiều kim đồng hồ  Mô men uốn: M>0 khi làm căng các thớ dưới N N 8(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang (4) Cách xác định các thành phần ứng lực  Giả thiết chiều các thành phần M, N, Q theo chiều dương qui ước  Thiết lập phương trình hình chiếu lên các trục z, y và phương trình cân bằng mô men với trọng tâm O của mặt cắt ngang 0 => N= Z = ∑ 0 => Q= Y = ∑ 0 => M= O M = ∑ 9(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang (5) Biểu thức quan hệ nội lực - ứng suất  Vì là bài toán phẳng nên chỉ tồn tại các thành phần ứng suất trong mặt phẳng zOy => ký hiệu  Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang  dA(x,y) là phân tố diện tích của dt mặt cắt ngang A , zzy σ τ (,) σ τ ⇒ ()A NdA σ = ∫ ()A QdA τ = ∫ ()A M ydA σ = ∫ y dA x y z σ τ x 10(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 1.2. Biểu đồ nội lực (2) Khi tính toán => cần tìm vị trí mặt cắt ngang có trị sốứng lực lớn nhất => biểu đồ Biểu đồ nội lực - là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của các thành phần ứng lực theo toạ độ mặt cắt ngang Các bước vẽ biểu đồ nội lực 11(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 1.2. Biểu đồ nội lực (3) a. Xác định phản lực tại các liên kết b. Phân đoạn thanh sao cho biểu thức của nội lực trên từng đoạn là liên tục c. Viết biểu thức xác định các thành phần ứng lực N, Q, M theo toạ độ trục thanh bằng phương pháp mặt cắt d. Vẽ biểu đồ cho từng đoạn căn cứ vào phương trình nhận được từ bước (c) e. Kiểm tra biểu đồ nhờ vào các nhận xét mang tính trực quan 12(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 1.2. Biểu đồ nội lực (4) Biểu đồ lực dọc, lực cắt vẽ theo qui ước và mang dấu Biểu đồ mô men luôn vẽ về phía thớ căng N, Q z M z 13(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ 1 (1) Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực trên các mặt cắt ngang của thanh chịu tải trọng như hình vẽ GIẢI: 1. Xác định phản lực V A V B F ab C ( ) 0 AB MVabFa=+−= ∑ ( ) 0 BA MVabFb=+−= ∑ () B F a V ab ⇒= + () A F b V ab ⇒= + Thử lại: 0Y = ∑ 14(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ 1 (2) F ab V A V B C 1 1 Mặt cắt 1 – 1: V A z 1 Q M N 0N = 1 0 za≤≤ () 0 AA Fb YQV QV ab =− =⇒= = + ∑ Mặt cắt 2 – 2: () 1 01 1 0 AA F bz MMVz MVz ab =− =⇒= = + ∑ 0N = 2 0 zb≤≤ () 0 BB F a YQV Q V ab =+ =⇒=−=− + ∑ () 2 02 2 0 BB F az MMVz MVz ab =− =⇒= = + ∑ 2 2 V B z 2 Q M N Đoạn AC Đoạn BC AB 15(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ 1 (3) Nhận xét 1 Tại mặt cắt có lực tập trung => biểu đồ lực cắt có bước nhảy, độ lơn bước nhảy bằng giá trị lực tập trung, xét từ trái qua phải, chiều bước nhảy cùng chiều lực tập trung F ab V A V B Fb a+b a+b Fa + N M Q M Fab a+b F C () : Fb AC Q ab = + () : F a BC Q ab =− + () 1 : F bz AC M ab = + () 2 : F az BC M ab = + 16(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ 2 (1) L q V A V B Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực trên các mặt cắt ngang của thanh chịu tải trọng như hình vẽ GIẢI 1. Xác định các phản lực liên kết 2 .0 2 AB ql MVl=−= ∑ . 2 B ql V⇒= 2 .0 2 BA ql MVl=−= ∑ . 2 A ql V⇒= Bài toán đối xứng: . 2 AB ql VV⇒== Hoặc: 2. Biểu thức nội lực Xét mặt cắt 1-1 (0 ≤ z ≤ L) . 2 ql Qqz⇒= − 2 22 ql q M zz⇒= − 1 1 Q z VA M N q 0 A YQqzV=+ − = ∑ 2 1 01 0 2 A qz MMVz=− + = ∑ 17(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ 2 (2)  Nhận xét 2 Tại mặt cắt có lực cắt bằng 0, biểu đồ mô men đạt cực trị L q V A V B qL/2 qL/2 + Q L/2 qL 2 /8 M 18(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ 3 (1) 1. Xác định phảnlực: .( ) 0 AB MVabM=+−= ∑ .( ) 0 BA MVabM=+−= ∑ B M V ab ⇒= + A M V ab ⇒= + 2. Lập các biểuthức ứng lực: AC: Xét mặtcắt1-1 ( 0 ≤ z 1 ≤ a) yA M QV ab =− =− + V A V B ab C M . xA M Vz=− Q VA M z 1 V B M Q z 2 1 1 2 2 Xét mặt cắt 2-2 ( 0 ≤ z 2 ≤ b) yA M QV ab =− =− + 2 . xB M Vz= 19(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ 3 (2) ab V A V B M (a+b) M (a+b) Ma (a+b) Mb (a+b) Q M Q M C M yA M QV ab =− =− + 1 . xA M Vz=− AC: ( 0 ≤ z 1 ≤ a) yA M QV ab =− =− + BC: ( 0 ≤ z 2 ≤ b) 2 . xB M Vz= Nhận xét 3 Tại mặt cắt có mô men tập trung, biểu đồ mô men có bước nhảy, độ lớn bước nhảy bằng giá trị mô men tập trung, xét từ trái qua phải, mômen tập trung quay thuận chiều kim đồng hồ thì bước nhảy đi xuống 20(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men uốn, lực cắt và tải phân bố (1) • Xét dầm chịu tải phân bố q(z)>0: hướng lên Tách đoạn thanh có chiều dài dz giới hạn bởi 2 mặt cắt ngang 1-1 và 2-2 q(z) 1 1 2 2 dz Q Q+dQ M M+dM dz Đạo hàm bậc hai của mô men uốn bằng đạo hàm bậc nhất của lực cắt và bằng cường độ tải trọng phân bố () 0YQdQQqzdz=+ −− = ∑ () dQ qz dz ⇒= () 0 22 dz dz M M dM M Q dQ Q=+ −++ + = ∑ dM Q dz ⇒= 2 2 () dM dQ qz dz dz == 21(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men uốn, lực cắt và tải phân bố (2) Ứng dụng  Nhận dạng các biểu đồ Q, M khi biết qui luật phân bố của tải trọng q(z). Nếu trên một đoạn thanh biểu thức của q(z) bậc n thì biểu thức lực cắt Q bậc (n+1), biểu thức mô men M bậc (n+2)  Tại mặt cắt có Q=0 => M cực trị  Tính các thành phần Q, M tại mặt cắt bắt kỳ khi biết giá trị của chúng tại mặt cắt xác định • Q phải = Q trái + S q ( S q – Dtích biểu đồ q) • M phải = M trái + S Q ( S Q – Dtích biểu đồ Q) 22(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering q z q(z) AB () B A QqzdzC=+ ∫ B Aq QQS=+ S q Q z Q(z) AB S Q () B A M Q z dz C=+ ∫ B AQ M MS=+ 23(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 1.4. Vẽ biểu đồ nội lực theo điểm đặc biệt Cơ sở: Dựa vào mối liên hệ vi phân giữa Q, M và q(z) Biết tải trọng phân bố =>nhận xét dạng biểu đồ Q, M => xác định số điểm cần thiết để vẽ được biểu đồ  q=0 => Q=const => Q A =? (hoặc Q B ) M bậc 1 => M A =? và M B =?  q=const => Q bậc 1 => Q A =? Q B =? M bậc 2 => M A =?; M B =?; cực trị? tính lồi, lõm, ? 24(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 1.4. Vẽ biểu đồ nội lực theo điểm đặc biệt (tiếp)  Các giá trị Q A , Q B , M A , M B , cực trị -làgiátrị các điểm đặc biệt. Được xác định bởi:  Quan hệ bước nhảy của biểu đồ  Phương pháp mặt cắt  Q phải = Q trái + S q (S q -Dtích biểu đồ q)  M phải = M trái + S Q (S Q -Dtích biểu đồ Q) Vídụ 25(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ 4 (1) Xác định phản lực q F=qa V A V B .3 2 .2 . 0 BA MVaqaaFa = −−= ∑ 5 3 A Vqa=> = .3 2 . .2 0 AB MVaqaaFa=−−= ∑ 4 3 B Vqa=> = Xét đoạn AC: 2a a C q=const Q bậc 1 Q A =V A Q C =V A +S q =5qa/3-2qa=-qa/3 M bậc 2: M A =0 M C =M A +S Q =4qa 2 /3; Mmax=25qa 2 /18 5 3 qa 1 3 qa + 5a/3 M max =25qa 2 /18 4qa 2 /3 26(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ 4 (2) 2a a V A V B C 5 3 qa 4 3 qa 1 3 qa + 5a/3 M max =25qa 2 /18 4qa 2 /3 Xét đoạn BC: q F=qa q= 0 Q = const Q B = - V B M bậc 1: M B =0 M C =M B -S Q =4qa 2 /3 Q M 27(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 4.5. Biểu đồ nội lực dầm tĩnh định nhiều nhịp Định nghĩa: Là hệ tĩnh định gồm tập hợp các dầm, nối với nhau bằng các liên kết khớp Cách vẽ biểu đồ: - Phân biệt dầm chính và dầm phụ -Dầm chính là dầm khi đứng độc lập vẫn chịu được tải trọng -Dầm phụ là dầm khi đứng độc lập không chịu được tải trọng, phải tựa lên dầm chính mới chịu được tải trọng -Tải trọng đặt lên dầm chính không ảnh hưởng tới dầm phụ, tải trọng đặt trên dầm phụ sẽ truyền tới dầm chính thông qua phản lực liên kết -Vẽ biểu đồ cho dầm phụ trước rồi đến dầm chính, sau đó ghép lại với nhau 28(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 4.6. Biểu đồ nội lực khung phẳng  Khung là kết cấu gồm những thanh thẳng nối nhau bằng các liên kết cứng (là liên kết mà góc giữa các thanh tại điểm liên kết không thay đổi khi khung chịu lực)  Đối với các đoạn khung nằm ngang, biểu đồ các thành phần ứng lực vẽ như qui ước với thanh thẳng  Đối với các đoạn khung thẳng đứng, biểu đồ N, Q vẽ về phía tùy ý và mang dấu. Biểu đồ mô men vẽ về phái thớ căng  Để kiểm tra biểu đồ ta cần kiểm tra điều kiện cân bằng các mắt khung: Tại mắt khung, nội lực và ngoại lực thoả mãn điều kiện cân bằng tĩnh học. 29(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Vídụ 5 (1) K a a a a M F q A D B C Ví dụ 5: Vẽ biểu đồ khung phẳng sau: BiếtM=qa 2 , F=2qa Bài giải: 1. Xác định các phảnlực: Từ điềukiệncânbằng của khung ta có 0 A M = ∑ 2 0 22 2 1 .2 2 1 .2 2 0 2 K K VaFaM qa V a qa qa qa =−−− =−−−= VK VA HA 7 4 K Vqa⇒= 0 A X Hqa=⇒ = ∑ 30(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Vídụ 5 (2) 0 2222 3 .2 .2 . 2 3 .2 2 2 0 2 AA A a VaHaqa M Fa V a qa qa qa qa =+ −+− =+−+−= 0 K M = ∑ A 1 4 Vqa⇒= 2. Nhậnxétdạng biểu đồ các thành phần ứng lựctrêntừng đoạn: + Biểu đồ lựcdọc: Bằng phương pháp mặtcắtdễ dàng xác định: 4 0 AB BC A DK CD qa NN V NN ==−=− == a a a a M F q A K D B C VK VA HA 1 4 qa N(kN) 31(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Vídụ 5 (3) ĐoạnAB: q=const ÖBiểu đồ Q bậcnhất ÖCầnxácđịnh: Q A = H A = qa ÖQ B = Q A +S q = qa+(-q).a = 0 ÖBiểu đồ M bậc hai ÖCầnxácđịnh: M A = 0 ÖM B = M A +S Q = 0 + qa.a/2 = qa 2 /2; Ötại B có Q = 0 => M max =qa 2 /2 a a a a M F q A K D B C VK VA HA qa Q(kN) M(kNm) 2 2 qa 32(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Vídụ 5 (4) ĐoạnBC: q=0 ÖBiểu đồ Q=const Ö Cầnxácđịnh Q B =0 () 2 /2; AB BB MM qa== 22 /2 0 /2 CBQ MMSqa qa=+= += ÖBiểu đồ M bậc nhất Ö Cầnxácđịnh a a a a M F q A K D B C VK VA HA qa Q(kN) M(kNm) 2 1 2 qa 2 2 qa 33(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Vídụ 5 (5) Trên đoạnCD: q=0 ÖBiểu đồ Q=const => Cầnxácđịnh 71 2 44 DK QFV qaqa qa=− = − = 2 7 4 DK M Va qa== 22 71 3 44 2 CDQ M M S qa qa a qa ⎛⎞ =−= − = ⎜⎟ ⎝⎠ ÖBiểu đồ M bậcnhất => Cầnxácđịnh a a a a M F q A K D B C VK VA HA 1 4 qa qa Q(kN) 2 7 4 qa M(kNm) 2 3 2 qa 2 2 qa 2 2 qa 34(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Vídụ 5 (6) Trên đoạnDK: q=0 ÖBiểu đồ Q=const => Cầnxácđịnh 7 4 KK QV qa=− =− 0 K M = () 2 7 4 CD DD M Mqa== a a a a M F q A K D B C VK VA HA ÖBiểu đồ M bậcnhất => Cầnxácđịnh 1 4 qa 7 4 qa qa Q(kN) 2 7 4 qa M(kNm) 2 3 2 qa 2 2 qa 2 2 qa 35(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Vídụ 5 (7) 4. Xét cân bằng các mắt khung TạimắtC, biểudiễn các ngoạilực, các thành phần ứng lực trên hai mặtcắt ngay sát C thuộc đoạn BC và CD theo chiềuthực(căncứ vào các biểu đồ) Kiểmtrađiềukiệncânbằng: Tạimắt khung tổng nội lực và ngoạilựcbằng không. 0; 0; 0 C XYM∑=∑=∑ = 1 4 qa 2 3 2 qa 1 4 qa 2 2 qa 2 qa 36(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 1 4 qa 2 3 2 qa 1 4 qa 2 2 qa 2 qa Biểu đồ nội lực của khung 1 4 qa N kN 1 4 qa 7 4 qa qa Q kN 2 7 4 qa 2 3 2 qa 2 2 qa 2 2 qa M kNm Vídụ 5 (8) 37(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 4.7. Biểu đồ nội lực thanh cong Thanh cong: trục thanh là đường cong phẳng, ngoại lực nằm trong mặt phẳng chứa trục thanh Dùng phương pháp mặt cắt để xác định các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang 38(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ nộilực cho thanh cong như hình bên.Biết: R=2m, M 1 =5kNm M 2 =10kNm, P 1 =15kN. Bài giải: 1) Tính phảnlựctạigối A và E Ta có: 1 015 A XHPkN=⇒ = = ∑ VE VA HA () 12 12 .4 0 10 5 1,875 48 AE E MMMVR MM VkN R =+− = + + === ∑ 1, 875 AE VV kN== M 2 M 1 2R 2R D B E C 1 2 P 1 A 1 2 3 3 4 4 Ví dụ 6 (1) 39(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ 6 (2) 1 ϕ N Q M V A H A 1 ϕ 2) Chia thanh thành 4 đoạn a. Xét đoạn AB: Dùng mặt cắt 1 – 1, ta có: 1 0 2 π ϕ ≤≤ 11 11 .os .sin = 1,875 os 15sin AA NVc H c ϕ ϕ ϕ ϕ =− + −+ VE VA HA M 2 M 1 2R 2R D B E C 1 2 P 1 A 1 2 3 3 4 4 11 11 .sin . os 1,875sin 15 os AA QV Hc c ϕ ϕϕϕ =− − =− − 11 11 (1 os ) . .sin 3,75. os 30sin 3,75 AA MVRc RH Mc ϕ ϕ ϕϕ =− − − ⇒= − − 40(30) Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ 6 (3) Bảng biếnthiên: 1 ϕ 6 π 4 π 3 π 2 π -33,75-27,86-22.31-15,500M[kNm] -1,88-9,12-11,93-13,98-15Q[kN] 1512,059,285,88-1,88N [kN] 0[rad] b,Xét đoạnBC: Ta có (mặt cắt 2-2): 2 0 2 π ϕ ≤≤ 1 ϕ N Q M VA H A 1 ϕ 1 1 VA H A 2 ϕ 2 ϕ N Q M M 1 2 2 22 22 .sin . os 1,875.sin 15. os AA NV Hc c ϕ ϕϕϕ =+ = + 22 22 os sin 1,875 os 15sin AA QVc H c ϕ ϕϕϕ =− + =− + 0 2 07,13Q ϕ =⇒ = () 21 2 22 1sin os 3,75 3,75sin 30 os 5 AA MVR MHRc Mc ϕ ϕ ϕϕ =− + + − =− − − + () 0 2 ax 7,13 29( ) m M MkNm ϕ = == [...]... −VE R. (1 + sin ϕ 4 ) + M 2 − P Rcosϕ 4 1 = −3.75 − 3, 75sin ϕ 4 − 30.cosϕ 4 + 10 M max = M ϕ =7 ,13 0 = 24(kNm) N ) 12 , 05 15 M2 Q π π π π 6 4 3 2 N [kN] 15 ,00 13 ,93 11 ,93 9 ,12 -1, 88 5,88 9,28 12 ,05 ϕ4 -23,75 - 21, 61 -17 , 61 -12 ,00 N kN 9 ,12 1, 88 1, 88 P1 1, 88 7 ,13 o VE ϕ 4 9 ,12 5,88 15 ,00 M[kNm] 11 ,93 5,88 1, 88 Q[kN] 13 ,93 9, 28 M Bảng biến thiên: 2,50 9, 28 12 , 05 11 ,93 15 15 9, 28 7 ,13 o 11 ,93 9 ,12 44(30)... [kN] 15 ,00 13 ,93 11 ,93 9 ,12 1, 88 Q[kN] -1, 88 5,88 9,28 12 ,05 -28,75 -26, 61 -22, 61 -17 ,00 ϕ3 [rad] Q -2,5 M π 3 2 3 ϕ3 -1, 88 5,88 9,28 12 ,05 15 ,00 12 ,05 9,28 5,88 -1, 88 0 -15 ,5 -22, 31 -27,86 P1 15 ,00 -33,75 VE ϕ3 41( 30) N Q = −VE cosϕ4 + P sin ϕ4 = 1, 875.cosϕ4 + 15 .cosϕ 4 1 ϕ3 M2 Q N = VE sin ϕ4 + P cosϕ4 = 1. 875.sin ϕ4 + 15 .cosϕ4 1 P1 VE = − 3, 75.cosϕ3 − 30.sin ϕ3 − 3, 75 ϕ4 M P1 Q = 0 ⇒ ϕ 4 = 7 ,13 0... 5,88 1, 88 5,88 9, 28 12 , 05 15 13 ,98 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 13 ,93 12 , 05 3, Biểu đồ nội lực: 43(30) ϕ3 π d,Xét đoạn CD: 0 ≤ ϕ4 ≤ 2 Ta có: 3 Q M = −VE R. (1 − cosϕ3 ) − R.P sin ϕ3 1 0 π 4 N Q = −VE sin ϕ3 − P cosϕ3 = 1, 875.sin ϕ3 − 15 .cosϕ3 1 ϕ 4 [rad] π 6 N [kN] M[kNm] N = −VE cosϕ3 + P sin ϕ3 = 1, 875.cosϕ3 + 15 .sin ϕ3 1 4 π 0 Q Q[kN] π c,Xét đoạn ED: 0 ≤ ϕ3 ≤ 2 Ta có: ( M N 15 ... Q[kN] π c,Xét đoạn ED: 0 ≤ ϕ3 ≤ 2 Ta có: ( M N 15 M[kNm] M1 N Bảng biến thiên: M 2 ϕ 2 [rad] ϕ2 3 Bảng biến thiên: 3 Ví dụ 6 (4) 15 Q kN 12 , 05 9, 28 1, 88 5,88 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ 6 (9) 4 Câu hỏi??? M max = 24 21, 61 17, 61 12 23, 75 33, 75 27,86 22, 31 15,5 2,5 15 , 05 17 23, 31 27,86 33, 75 M kNm 22, 26 26, 61 M max = 29 28, 75 45(30) Tran Minh Tu - University of Civil . (8) 15 13 ,98 11 ,93 9 ,12 1, 88 5,88 9,28 12 ,05 15 12 ,05 9,28 5,88 1, 88 5,88 9,28 12 ,05 15 7 ,13 o 13 ,93 1, 88 5,88 9,28 12 ,05 15 13 ,93 1, 88 5,88 9,28 12 ,05 15 11 ,93 9 ,12 1, . biếnthiên: 4 ϕ 6 π 4 π 3 π 2 π 2,50 -12 ,00 -17 , 61- 21, 61- 23,75M[kNm] 15 ,0 012 ,059,285,88 -1, 88Q[kN] 1, 889 ,12 11, 9 313 ,9 315 ,00N [kN] 0 [rad] V E P 1 M 2 M Q N 4 ϕ 4 ϕ 3, Biểu