1 Đ Đ O O À À THỊ PHA THỊ PHA Ú Ú NG NG Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 2 Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a a ̈ ̈ Đ Đ o o à à thò pha thò pha ú ú ng ng ̈ ̈ Mo Mo ä ä t t đ đ o o à à thò vô h thò vô h ư ư ơ ơ ù ù ng G ng G đư đư ơ ơ ï ï c go c go ï ï i la i la ø ø pha pha ú ú ng ne ng ne á á u to u to à à n ta n ta ï ï i i mo mo ä ä t ca t ca ù ù ch vẽ G trong ma ch vẽ G trong ma ë ë t pha t pha ú ú ng sao cho không co ng sao cho không co ù ù hai hai ca ca ï ï nh na nh na ø ø o cu o cu û û a G ca a G ca é é t nhau. t nhau. ̈ ̈ Khi G la Khi G la ø ø mo mo ä ä t t đ đ o o à à thò pha thò pha ú ú ng th ng th ì ì mỗi ca mỗi ca ù ù ch vẽ G trong ma ch vẽ G trong ma ë ë t t pha pha ú ú ng (sao cho không co ng (sao cho không co ù ù hai ca hai ca ï ï nh na nh na ø ø o cu o cu û û a G ca a G ca é é t nhau) t nhau) đư đư ơ ơ ï ï c go c go ï ï i la i la ø ø mo mo ä ä t bie t bie å å u diễn pha u diễn pha ú ú ng cu ng cu û û a G. a G. 2 Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 3 Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a a ̈ ̈ Ghi chu Ghi chu ù ù : hai ca : hai ca ï ï nh co nh co ù ù chung mo chung mo ä ä t t đỉ đỉ nh nh đư đư ơ ơ ï ï c qui c qui ư ư ơ ơ ù ù c la c la ø ø không ca không ca é é t nhau t nhau Không cắt nhau Cắt nhau Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 4 Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a a ̈ ̈ V V í í du du ï ï ̈ ̈ Đ Đ o o à à thò (G1) la thò (G1) la ø ø đ đ o o à à thò pha thò pha ú ú ng va ng va ø ø ca ca ù ù c c đ đ o o à à thò (G2), (G3) la thò (G2), (G3) la ø ø ca ca ù ù c bie c bie å å u diễn pha u diễn pha ú ú ng cu ng cu û û a (G1). a (G1). (G 2 ) (G 3 ) (G 1 ) 3 Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 5 Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a a ̈ ̈ (b) (b) Phe Phe ù ù p bie p bie á á n n đ đ o o å å i i đ đ o o à à ng phôi ng phôi ̈ ̈ Thêm va Thêm va ø ø o 1 o 1 đỉ đỉ nh na nh na è è m trên 1 ca m trên 1 ca ï ï nh, hay go nh, hay go ä ä p 2 ca p 2 ca ï ï nh co nh co ù ù chung chung đỉ đỉ nh ba nh ba ä ä c 2 tha c 2 tha ø ø nh 1 ca nh 1 ca ï ï nh. nh. ̈ ̈ (c) (c) Đ Đ o o à à thò thò đ đ o o à à ng phôi ng phôi ̈ ̈ Hai Hai đ đ o o à à thò thò đư đư ơ ơ ï ï c go c go ï ï i la i la ø ø đ đ o o à à ng phôi ne ng phôi ne á á u mỗi u mỗi đ đ o o à à thò co thò co ù ù đư đư ơ ơ ï ï c c t t ừ ừ đ đ o o à à thò kia ba thò kia ba è è ng ca ng ca ù ù ch th ch th ự ự c hie c hie ä ä n mo n mo ä ä t dãy ca t dãy ca ù ù c phe c phe ù ù p bie p bie á á n n đ đ o o å å i i đ đ o o à à ng phôi. ng phôi. ̈ ̈ Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù : Ne : Ne á á u G la u G la ø ø mo mo ä ä t t đ đ o o à à thò pha thò pha ú ú ng th ng th ì ì ta co ta co ù ù the the å å t t ì ì m mo m mo ä ä t t đ đ o o à à thò G thò G 1 1 đ đ o o à à ng phôi vơ ng phôi vơ ù ù i G sao cho co i G sao cho co ù ù the the å å vẽ G vẽ G 1 1 ba ba è è ng ng ca ca ù ù ch ch ch ch ỉ ỉ du du ø ø ng ca ng ca ù ù c c đ đ oa oa ï ï n tha n tha ú ú ng. ng. Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 6 Đ Đ ònh ngh ònh ngh ó ó a a ̈ ̈ Ca Ca ù ù c c đ đ o o à à thò sau thò sau đ đ ây ây đ đ o o à à ng phôi: ng phôi: 4 Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 7 Ca Ca ù ù c phe c phe ù ù p ru p ru ù ù t go t go ï ï n cơ ba n cơ ba û û n n trên trên đ đ o o à à thò thò ̈ ̈ T T í í nh pha nh pha ú ú ng cu ng cu û û a mo a mo ä ä t t đ đ o o à à thò không thay thò không thay đ đ o o å å i ne i ne á á u th u th ự ự c hie c hie ä ä n n mo mo ä ä t hay nhie t hay nhie à à u la u la à à n ca n ca ù ù c phe c phe ù ù p ru p ru ù ù t go t go ï ï n sau n sau đ đ ây: ây: ̊ ̊ Bo Bo û û đ đ i ca i ca ù ù c khuyên c khuyên ̊ ̊ Bo Bo û û bơ bơ ù ù t ca t ca ù ù c ca c ca ï ï nh song song (ch nh song song (ch ỉ ỉ gi gi ư ư õ la õ la ï ï i mo i mo ä ä t ca t ca ï ï nh no nh no á á i i hai hai đỉ đỉ nh). nh). ̊ ̊ Go Go ä ä p hai ca p hai ca ï ï nh co nh co ù ù chung chung đỉ đỉ nh ba nh ba ä ä c 2 tha c 2 tha ø ø nh mo nh mo ä ä t ca t ca ï ï nh. nh. Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 8 Ca Ca ù ù c phe c phe ù ù p ru p ru ù ù t go t go ï ï n cơ ba n cơ ba û û n n trên trên đ đ o o à à thò thò Bỏ đỉnh bậc 2 Bỏ cạnh ssong Bỏ đỉnh bậc 2 Bỏ cạnh ssong 5 Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 9 Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù Kuratowski Kuratowski ̈ ̈ Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù 1 1 : : ̊ ̊ Đ Đ o o à à thò thò đ đ u u û û K K 5 5 không không pha pha ú ú ng. ng. ̈ ̈ Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù 2 2 : : ̊ ̊ Đ Đ o o à à thò l thò l ư ư ỡng phân ỡng phân đ đ u u û û K K 3,3 3,3 không pha không pha ú ú ng. ng. K 5 K 3, 3 Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 10 Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù Kuratowski Kuratowski ̈ ̈ Nha Nha ä ä n xe n xe ù ù t: t: ̊ ̊ Hai Hai đ đ o o à à thò K thò K 5 5 va va ø ø K K 3,3 3,3 la la ø ø ca ca ù ù c c đ đ o o à à thò không pha thò không pha ú ú ng ng đ đ ơn ơn gia gia û û n nha n nha á á t vơ t vơ ù ù i ca i ca ù ù c t c t í í nh cha nh cha á á t sau t sau ̊ ̊ Ne Ne á á u xo u xo ù ù a a đ đ i 1 i 1 đỉ đỉ nh hay 1 ca nh hay 1 ca ï ï nh cu nh cu û û a 2 a 2 đ đ o o à à thò trên th thò trên th ì ì chu chu ù ù ng ta sẽ co ng ta sẽ co ù ù đư đư ơ ơ ï ï c c đ đ o o à à thò pha thò pha ú ú ng. ng. ̊ ̊ Đ Đ o o à à thò K thò K 5 5 la la ø ø đ đ o o à à thò không pha thò không pha ú ú ng co ng co ù ù í í t t đỉ đỉ nh nha nh nha á á t. t. ̊ ̊ Đ Đ o o à à thò K thò K 3,3 3,3 la la ø ø đ đ o o à à thò không pha thò không pha ú ú ng co ng co ù ù í í t ca t ca ï ï nh nha nh nha á á t. t. 6 Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 11 Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù Kuratowski Kuratowski ̈ ̈ Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù 3: 3: ̊ ̊ Đ Đ ie ie à à u kie u kie ä ä n ca n ca à à n va n va ø ø đ đ u u û û đ đ e e å å mo mo ä ä t t đ đ o o à à thò liên thông G co thò liên thông G co ù ù t t í í nh pha nh pha ú ú ng la ng la ø ø G không ch G không ch ứ ứ a ba a ba á á t ky t ky ø ø đ đ o o à à thò con na thò con na ø ø o o đ đ o o à à ng phôi vơ ng phôi vơ ù ù i K i K 5 5 hay K hay K 3,3 3,3 . . Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 12 Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù Kuratowski Kuratowski 1 1 7 7 7 6 6 5 5 4 4 3 2 2 1 6 5 4 3 2 7 6 5 4 2 Đồng phôi Vẽ lại Đồ thò con 7 Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 13 Công th Công th ứ ứ c Euler c Euler ̈ ̈ Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù : Cho G la : Cho G la ø ø đ đ o o à à thò pha thò pha ú ú ng, liên thông go ng, liên thông go à à m n m n đỉ đỉ nh, e nh, e ca ca ï ï nh. Gia nh. Gia û û s s ử ử G chia ma G chia ma ë ë t pha t pha ú ú ng ra la ng ra la ø ø m f vu m f vu ø ø ng, ta co ng, ta co ù ù công công th th ứ ứ c sau (công th c sau (công th ứ ứ c Euler): c Euler): f = e f = e - - n + 2 n + 2 ̈ ̈ He He ä ä qua qua û û : Ne : Ne á á u G la u G la ø ø đ đ o o à à thò thò đ đ ơn, pha ơn, pha ú ú ng, liên thông, go ng, liên thông, go à à m n m n đỉ đỉ nh va nh va ø ø e ca e ca ï ï nh (vơ nh (vơ ù ù i e > 2). Gia i e > 2). Gia û û s s ử ử G chia ma G chia ma ë ë t pha t pha ú ú ng ra ng ra tha tha ø ø nh f vu nh f vu ø ø ng. Ta co ng. Ta co ù ù : : e e ≥ ≥ (3/2)f (3/2)f e e ≤ ≤ 3n 3n - - 6 6 Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 14 Công th Công th ứ ứ c Euler c Euler ̈ ̈ V V í í du du ï ï , a , a ù ù p du p du ï ï ng he ng he ä ä qua qua û û na na à à y y đ đ e e å å ch ch ứ ứ ng minh t ng minh t í í nh không nh không pha pha ú ú ng cu ng cu û û a K a K 5 5 . K . K 5 5 la la ø ø đ đ o o à à thò thò đ đ ơn va ơn va ø ø liên thông co liên thông co ù ù v=5 va v=5 va ø ø e=10, ta co e=10, ta co ù ù e=10 > 9=3v e=10 > 9=3v - - 6 do 6 do đ đ o o ù ù K5 không pha K5 không pha ú ú ng (chu ng (chu ù ù y y ù ù ra ra è è ng ng đ đ a a û û o la o la ï ï i ne i ne á á u mo u mo ä ä t t đ đ o o à à thò tho thò tho û û a mãn e a mãn e ≤ ≤ 3v 3v – – 6 th 6 th ì ì ch ch ư ư a a cha cha é é c la c la ø ø đ đ o o à à thò pha thò pha ú ú ng, K ng, K 3,3 3,3 la la ø ø mo mo ä ä t v t v í í du du ï ï ). ). 8 Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 15 Tô ma Tô ma ø ø u u đ đ o o à à thò thò ̈ ̈ Sa Sa é é c so c so á á cu cu û û a a đ đ o o à à thò thò ̊ ̊ Mo Mo ä ä t t phe phe ù ù p tô ma p tô ma ø ø u u đ đ o o à à thò la thò la ø ø mo mo ä ä t ca t ca ù ù ch ch đ đ a a ù ù nh nhãn cho nh nhãn cho mỗi mỗi đỉ đỉ nh cu nh cu û û a a đ đ o o à à thò ba thò ba è è ng mo ng mo ä ä t ma t ma ø ø u sao cho 2 u sao cho 2 đỉ đỉ nh ke nh ke à à nhau pha nhau pha û û i i đư đư ơ ơ ï ï c c đ đ a a ù ù nh nhãn kha nh nhãn kha ù ù c nhau. c nhau. ̊ ̊ Sa Sa é é c so c so á á cu cu û û a mo a mo ä ä t t đ đ o o à à thò G, ky thò G, ky ù ù hie hie ä ä u u γ γ (G), la (G), la ø ø mo mo ä ä t so t so á á nguyên d nguyên d ư ư ơng k nho ơng k nho û û nha nha á á t sao cho to t sao cho to à à n ta n ta ï ï i mo i mo ä ä t phe t phe ù ù p p tô ma tô ma ø ø u G ch u G ch ỉ ỉ s s ử ử du du ï ï ng k ma ng k ma ø ø u. u. Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 16 Tô ma Tô ma ø ø u u đ đ o o à à thò thò ̈ ̈ γ γ (G)=4 (G)=4 ̈ ̈ γ γ (K (K n n )=n, )=n, ∀ ∀ n n ∈ ∈ |N |N ̈ ̈ γ γ (K (K m, n m, n )=2, )=2, ∀ ∀ m, n m, n ∈ ∈ |N |N (G) Đ X Đ X V T 9 Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 17 Tô ma Tô ma ø ø u u đ đ o o à à thò thò ̈ ̈ Mo Mo ä ä t va t va ø ø i t i t í í nh cha nh cha á á t ve t ve à à sa sa é é c so c so á á ̊ ̊ Ne Ne á á u u đ đ o o à à thò G co thò G co ù ù ch ch ứ ứ a a í í t nha t nha á á t mo t mo ä ä t ca t ca ï ï nh không pha nh không pha û û i la i la ø ø khuyên th khuyên th ì ì γ γ (G) (G) ≥ ≥ 2. 2. ̊ ̊ Đ Đ o o à à thò thò đ đ u u û û n n đỉ đỉ nh K nh K n n co co ù ù sa sa é é c so c so á á la la ø ø n. Ne n. Ne á á u u đ đ o o à à thò G ch thò G ch ứ ứ a a mo mo ä ä t t đ đ o o à à thò con thò con đ đ a a ú ú ng ca ng ca á á u K u K r r th th ì ì γ γ (G) (G) ≥ ≥ r. r. ̊ ̊ Ne Ne á á u u đ đ o o à à thò G la thò G la ø ø mo mo ä ä t chu tr t chu tr ì ì nh sơ ca nh sơ ca á á p n p n đỉ đỉ nh th nh th ì ì : : ̈ ̈ γ γ (G)= 2 ne (G)= 2 ne á á u n cha u n cha ú ú n, n, γ γ (G)= 3 ne (G)= 3 ne á á u n le u n le û û ; ; ̈ ̈ γ γ (G)= (n mod 2) + 2. (G)= (n mod 2) + 2. Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 18 Tô ma Tô ma ø ø u u đ đ o o à à thò thò ̈ ̈ Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù 1 1 . . ̊ ̊ Ne Ne á á u T la u T la ø ø mo mo ä ä t cây n t cây n đỉ đỉ nh vơ nh vơ ù ù i n i n ≥ ≥ 2 th 2 th ì ì γ γ (T)= 2. (T)= 2. ̈ ̈ Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù 2 2 . . ̊ ̊ Cho G la Cho G la ø ø đ đ o o à à thò liên thông co thò liên thông co ù ù í í t nha t nha á á t 1 ca t 1 ca ï ï nh. Khi nh. Khi đ đ o o ù ù γ γ (G)=2 khi va (G)=2 khi va ø ø ch ch ỉ ỉ khi G không ch khi G không ch ứ ứ a chu tr a chu tr ì ì nh sơ ca nh sơ ca á á p p co co ù ù so so á á ca ca ï ï nh le nh le û û . . ̈ ̈ Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù 3 3 . . ̊ ̊ Cho Cho đ đ o o à à thò G=(X, E). Go thò G=(X, E). Go ï ï i d(G)=max{d(x)/x i d(G)=max{d(x)/x ∈ ∈ X}. Ta X}. Ta co co ù ù : : γ γ (G) (G) ≤ ≤ d(G)+1. d(G)+1. 10 Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 19 Ba Ba ø ø i toa i toa ù ù n sa n sa é é c so c so á á cu cu û û a a đ đ o o à à thò pha thò pha ú ú ng ng ̈ ̈ Lòch s Lòch s ử ử ve ve à à gia gia û û thuye thuye á á t 4 ma t 4 ma ø ø u u ̈ ̈ Khoa Khoa û û ng 10/1852, gia ng 10/1852, gia ù ù o s o s ư ư De Morgan ơ De Morgan ơ û û tr tr ư ư ơ ơ ø ø ng ng Đ Đ a a ï ï i ho i ho ï ï c c Luân Luân Đ Đ ôn vie ôn vie á á t th t th ư ư cho cho đ đ o o à à ng nghie ng nghie ä ä p cu p cu û û a m a m ì ì nh la nh la ø ø ông Sir ông Sir William Hamilton William Hamilton đ đ e e å å ba ba ø ø n ve n ve à à ba ba ø ø i toa i toa ù ù n: n: “ “ Mo Mo ï ï i ba i ba û û n n đ đ o o à à đ đ e e à à u u co co ù ù the the å å tô ba tô ba è è ng 4 ma ng 4 ma ø ø u sao cho hai n u sao cho hai n ư ư ơ ơ ù ù c na c na è è m ke m ke à à nhau nhau pha pha û û i i đư đư ơ ơ ï ï c tô ba c tô ba è è ng hai ma ng hai ma ø ø u kha u kha ù ù c nhau c nhau ” ” . . ̈ ̈ Sau Sau đ đ o o ù ù co co ù ù nhie nhie à à u co u co á á ga ga é é ng cu ng cu û û a mo a mo ä ä t so t so á á nha nha ø ø toa toa ù ù n ho n ho ï ï c c đ đ e e å å gia gia û û i ba i ba ø ø i toa i toa ù ù n na n na à à y nh y nh ư ư ng ng đ đ e e à à u không u không đ đ i i đ đ e e á á n ke n ke á á t qua t qua û û cuo cuo á á i i cu cu ø ø ng. ng. Đ Đ a a ë ë c bie c bie ä ä t co t co ù ù mo mo ä ä t lơ t lơ ø ø i gia i gia û û i bò sai (pha i bò sai (pha û û i sau 10 năm i sau 10 năm mơ mơ ù ù i pha i pha ù ù t hie t hie ä ä n n đư đư ơ ơ ï ï c chỗ không c chỗ không đ đ u u ù ù ng trong lơ ng trong lơ ø ø i gia i gia û û i), i), nh nh ư ư ng ly ng ly ù ù lua lua ä ä n cu n cu û û a lơ a lơ ø ø i gia i gia û û i na i na à à y y đ đ u u ù ù ng cho ng cho “ “ ba ba ø ø i toa i toa ù ù n 5 n 5 ma ma ø ø u u ” ” . Va . Va ø ø o năm 1976, o năm 1976, Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 20 Ba Ba ø ø i toa i toa ù ù n sa n sa é é c so c so á á cu cu û û a a đ đ o o à à thò pha thò pha ú ú ng ng ̈ ̈ Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù 5 ma 5 ma ø ø u: u: mo mo ï ï i i đ đ o o à à thò pha thò pha ú ú ng co ng co ù ù the the å å tô ba tô ba è è ng 5 ma ng 5 ma ø ø u u [...]...Bài toán sắc số của đồ thò phẳng ng ̈ Liên quan giữa giảû thuyếát 4 màøu vàø sắéc sốá đồ thò phẳúng giư gia thuye ma va sa so pha ng Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 21 11 . 1 Đ Đ O O À À THỊ PHA THỊ PHA Ú Ú NG NG Lý Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 2 Đ Đ ònh ngh ònh. Thuyết Đồ Thò - Đồ Thò Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 12 Đ Đ ònh ly ònh ly ù ù Kuratowski Kuratowski 1 1 7 7 7 6 6 5 5 4 4 3 2 2 1 6 5 4 3 2 7 6 5 4 2 Đồng