5.8. Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ 195 Vì thế, không thể so sánh khái niệm đối đạo hàm với khái niệm Jacobian xấp xỉ. Để vợt qua khó khăn đó, chúng ta cần đến định nghĩa sau. Định nghĩa 5.8.1. Một tập đóng khác rỗng L(R n , R m ) các toán tử tuyến tính đợc gọi là một đại diện 20 của ánh xạ đối đạo hàm D f(x)(ã) nếu (8.2) sup x D f(x)(y ) x ,u =sup A A y ,uu R n , y R m . Do định lý tách các tập lồi, (8.2) tơng đơng với điều kiện sau (8.3) coD f(x)(y )=co{A y : A }y R m . Nếu f là khả vi chặt tại x, thì :={f (x)} là một đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D f(x)(ã). Nếu f : R n R m là Lipschitz tại x, nghĩa là tồn tại >0 sao cho f(x ) f(x) x x với mọi x, x đợc lấy tùy ý trong một lân cận của x, khi đó tập J B f(x)={ lim k f (x k ):{x k } f ,x k x}, đợc gọi là B-đạo hàm, là một Jacobian xấp xỉ của f tại x. ở đây f = {x R n : đạo hàm Fréchet f (x) của f tại x}. Nhận xét rằng tập lớn hơn J Cl f(x):=co{ lim k f (x k ):{x k } f ,x k x} (Jacobian suy rộng Clarke) của của f tại x, cũng là Jacobian xấp xỉ của f tại x. Trong trờng hợp m =1, J Cl f(x)= Cl f(x) (xem Mục 5.2). Mệnh đề 5.8.1. Nếu hàm f : R n R m là Lipschitz địa phơng tại x, thì tập hợp :=J B f(x) là một đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D f(x)(ã). Chứng minh. Theo công thức (2.23) trong Mordukhovich (1994b), ta có A y : A J Cl f(x) = coD f(x)(y ) y R m . Vì J Cl f(x)=coJ B f(x), từ đó suy ra rằng coD f(x)(y )=co{A y : A J B f(x)}. 20 TNTA: representative. 196 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng Vậy (8.3) nghiệm đúng nếu ta chọn =J B f(x). Điều đó chứng tỏ rằng =J B f(x) là một đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D f(x)(ã). Mệnh đề 5.8.2. Nếu f là Lipschitz tại x và nếu là một đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D f(x)(ã), thì Jf(x):=là Jacobian xấp xỉ của f tại x. Chứng minh. Giả sử y R m đợc cho tùy ý. Theo Mệnh đề 2.11 trong Mordukhovich (1994b), ta có (8.4) D f(x)(y )=(y f)(x). Vì y f là Lipschitz tại x, (y f) o (x; u)=sup{x ,u : x Cl (y f)(x)}u R n . Kết hợp điều đó với (7.4) và (8.4), ta thu đợc (y f) o (x; u)=sup{x ,u : x D f(x)(y )} =sup{A y ,u : A }. Do đó, (y f) + (x; u) (y f) o (x; u)=sup{y ,Au : A }. Vì tính chất đó đúng với mọi y R m và u R n , ta kết luận rằng Jf(x):= là Jacobian xấp xỉ của f tại x. Trong mối liên hệ với Mệnh đề 5.8.2, chúng ta có câu hỏi tự nhiên sau đây. Câu hỏi 2: Phải chăng nếu f : R n R m là hàm véctơ liên tục và là một đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D f(x)(ã):R m R n , thì Jf(x):=là Jacobian xấp xỉ của f tại x? Kết hợp mệnh đề sau với mệnh đề 5.8.2 ta có câu trả lời khẳng định cho Câu hỏi 2. Mệnh đề 5.8.3. Nếu ánh xạ đối đạo hàm D f(x)(ã):R m R n của hàm số liên tục f : R n R m có một đại diện Jf(x) L(R n , R m ), thì f là Lipschitz địa phơng tại x. Chứng minh. Từ (8.3) suy ra rằng coD f(x)(0) = {0}. Vì vậy, D f(x)(0) = {0}. Theo Mệnh đề 2.8 trong Mordukhovich (1988), điều đó kéo theo x {f(x)} là ánh xạ đa trị giả-Lipschitz tại (x, f(x)).Vìf là ánh xạ đơn trị, ta có f là Lipschitz địa phơng tại x. Chúng ta xét thêm vài ví dụ ở đó ta sẽ tính dới vi phân Mordukhovich và đối đạo hàm của các hàm số và ánh xạ không trơn. 5.8. Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ 197 Ví dụ 5.8.1. Giả sử hàm véctơ f : R R 2 đợc xác định bởi công thức f(x)=(|x| 1/2 , |x|) với mọi x IR. Khi đó f là hàm số liên tục, không Lipschitz tại 0, và gph f = {(x, |x| 1/2 , |x|):x R}. Sử dụng (7.3) và công thức tính nón pháp tuyến Fréchet N (x) đã đợc nhắc lại ở Mục 5.7, ta có thể chứng tỏ rằng N gph f ((0, 0, 0)) = N gph f ((0, 0, 0)) = R ì(, 0] ìR. Vì vậy, với mỗi y =(y 1 ,y 2 ) R 2 , D f(0)(y )= R nếu y 1 0, nếu y 1 < 0. Vì f không là Lipschitz địa phơng tại x =0, Mệnh đề 5.8.3 khẳng định ánh xạ đối đạo hàm D f(0)(ã) không có đại diện dới dạng một tập toán tử tuyến tính. Một tính toán trực tiếp cho thấy rằng, với mỗi y =(y 1 ,y 2 ) R 2 và u IR,ta có (y f) + (0; u)= + nếu y 1 > 0,u=0 |u|y 2 nếu y 1 =0 nếu y 1 < 0,u=0 0 nếu y 1 < 0,u=0. Nếu ta chọn Jf(0) = (, 0] ì IR, x =0, và đặt Au =(u, u) với mọi A =(, ) Jf(0), u IR, thì (7.8) không đợc thỏa mãn vì rằng sup AJf(0) y ,Au =0nếu y 1 > 0,u>0,y 2 =0, trong khi (y f) + (0; u)= +.Tơng tự, nếu ta chọn Jf(0) = [0, +) ì IR và x =0, thì (7.8) không đợc thỏa mãn vì sup AJf(0) y ,Au =0nếu y 1 > 0,u<0,y 2 =0, trong khi (y f ) + (0; u)=+. Vì thế, các tập Jf(0) đã chọn đều không phải là Jacobian xấp xỉ của f tại 0. Mặc dù vậy, tập hợp kiểu Jf(0) := {(, 1] [2, +)}ìIR là một Jacobian xấp xỉ của f tại 0. Ví dụ 5.8.2. Xét hàm số f : R R 2 cho bởi công thức f(x)=(|x| 1/3 ,x 1/3 ) với mọi x IR.Tacóf là hàm số liên tục, không Lipschitz địa phơng tại 0, và gph f = {(x, |x| 1/3 ,x 1/3 ):x R}. áp dụng công thức (7.3) và công thức định nghĩa nón pháp tuyến Fréchet N (x) đợc đa ra ngay trớc đó, ta có thể chứng tỏ rằng N gph f ((0, 0, 0)) = N gph f ((0, 0, 0)) = R ìW, ởđóW = {y =(y 1 ,y 2 ) R 2 : y 1 y 2 y 1 }. Vì vậy, với mỗi y =(y 1 ,y 2 ) R 2 ta có D f(0)(y )= R nếu y 1 y 2 y 1 trong trờng hợp còn lại. 198 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng á nh xạ đối đạo hàm D f(0)(ã) không có đại diện dới dạng một tập hợp toán tử tuyến tính. Có thể chứng tỏ rằng, với mọi y =(y 1 ,y 2 ) R 2 và u IR, (y f) + (0; u)= 0 nếu u =0 0 nếu y 2 = y 1 =0,u=0 0 nếu y 2 y 1 =0,u>0 + nếu y 2 y 1 > 0,u>0 nếu y 2 y 1 < 0,u>0 0 nếu y 2 + y 1 =0,u<0 nếu y 2 + y 1 > 0,u<0 + nếu y 2 + y 1 < 0,u<0. Sử dụng (2.8) ta có thể chứng tỏ rằng tập Jf(0) = {(, ): 0}{(, ): 0} là một Jacobian xấp xỉ của f tại 0 nếu ta nhúng Jf(0) vào L(R, R 2 ) bằng cách đặt Au =(u, u) với mọi A =(, ) Jf(0) và u IR. Ví dụ 5.8.3 (xem Mordukhovich (1988), tr. 65). Đặt f (x)=|x 1 ||x 2 | với mọi x =(x 1 ,x 2 ) R 2 và x =(0, 0). Hàm f không lồi, không lõm. Nó cũng không là chính quy Clarke tại x =(0, 0). Để xác định ánh xạ đối đạo hàm D f(x)(ã):R R 2 ta phải tính đợc nón pháp tuyến N gph f (x). Để ý rằng gphf = {(x 1 ,x 2 ,t):t = f (x 1 ,x 2 )} = {(x 1 ,x 2 ,t):x 1 0,x 2 0,t= x 1 x 2 } {(x 1 ,x 2 ,t):x 1 0,x 2 0,t= x 1 + x 2 } {(x 1 ,x 2 ,t):x 1 0,x 2 0,t= x 1 + x 2 } {(x 1 ,x 2 ,t):x 1 0,x 2 0,t= x 1 x 2 }. Ký hiệu 4 tập lồi đa diện trong hợp ở vế phải lần lợt bởi 1 , 2 , 3 ,và 4 . Giả sử z =(x 1 ,x 2 ,t) gphf . Nếu z thuộc vào phần trong tơng đối của 1 (tơng ứng, 2 , 3 ,và 4 ), thì N gph f (z)={(1, 1, 1) : R} (tơng ứng, N gph f (z)= {(1, 1, 1) : R}, N gph f (z)={(1, 1, 1) : R},và N gph f (z)= {(1, 1, 1) : R}). Nếu x 1 > 0 và x 2 =0, thì z 1 2 .Vì T 1 (z)={(v 1 ,v 2 ,) R 3 : v 2 0, 0=v 1 v 2 }, sử dụng Bổ đề Farkas (xem Rockafellar (1970), tr. 200) ta có N 1 (z)={( 1 , 2 ,)=(0, 1, 0) à(1, 1, 1) : 0,à R}. 5.8. Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ 199 Tơng tự, N 2 (z)={( 1 , 2 ,)= (0, 1, 0) à (1, 1, 1) : 0,à R}. Do N gph f (z)= N 1 (z) N 2 (z), ta suy ra rằng N gph f (z)={(à, à , à):2à 0}. Rõ ràng rằng nón pháp tuyến Fréchet này không phụ thuộc vào vị trí của z =0 trên nửa đờng thẳng 1 2 . Nếu x 1 < 0 và x 2 =0, thì z 3 4 . Lập luận tơng tự nh trên, ta thu đợc N gph f (z)={(à, à, à):2à 0}. Nếu x 1 =0và x 2 > 0, thì z 1 4 và N gph f (z)={( à, à, à):2à 0}. Nếu x 1 =0và x 2 < 0, thì z 2 3 và N gph f (z)={( à, à, à):2à 0}. Nếu x 1 =0và x 2 =0, thì z =(x, 0) 1 2 3 4 .Vì T 1 (x, 0) = {(v 1 ,v 2 ,):v 1 0,v 2 0, 0=v 1 v 2 }, do Bổ đề Farkas ta có N 1 ((x, 0)) = { 1 (1, 0, 0) 2 (0, 1, 0)à(1, 1, 1) : 1 0, 2 0,à IR}. Lập luận tơng tự, ta tính đợc các nón pháp tuyến N i ((x, 0)) (i =2, 3, 4). Khi đó, sử dụng công thức N gph f (x, 0) = 4 i=1 N i ((x, 0)) ta có thể chứng tỏ rằng N gph f (x, 0) = {(0, 0, 0)}. Kết hợp các kết quả đã thu đợc với công thức (2.3), ta có N gph f ((x, 0)) = lim sup z(x,0) N gph f (z) = cone{(1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1)} {(à, à , à):2à 0} {(à, à, à):2à 0} {( à, à, à):2à 0} {( à, à, à):2à 0}. 200 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng Từ đó suy ra D f(x)(y )= {(y , y ), (y ,y ), (y ,y ), (y , y )} {( + y , y ):2y 0} {( + y ,y ):2y 0} nếu y > 0, {(y , y ), (y ,y ), (y ,y ), (y , y )} {(y , y ):2y 0} {(y ,y + ):2y 0} nếu y < 0, {(0, 0)} nếu y =0. Nh vậy, với mỗi y , D f(0)(y ) là một tập compắc khác rỗng (thờng là không lồi). Cũng bằng phơng pháp trên, ta thu đợc N epi f ((x, 0, ) = lim sup z(x,0) N epi f (z) = cone{(1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1)} {( à, à, à):2à 0} {( à, à, à):2à 0}. Do đó, f(x)={x :(x , 1) N epi f ((x, 0))} = {(1, 1), (1, 1), (1, 1), (1, 1)} {( +1, 1) : 2 0}{( +1, 1) : 2 0} = {( , 1) : 1 1}{( , 1) : 1 1}. Vậy f(x) là tập compắc, không lồi. Tập hợp này là dới vi phân J-L của f tại x. Tuy vậy, đó không phải dới vi phân J-L tối thiểu, vì rằng tập hợp JL f(x):={(1, 1), (1, 1)} cũng là một dới vi phân J-L của f tại x (xem Jeyakumar và Luc (1999)). Phụ lục A 201 Phụ lục A Đề thi hết môn giải tích đa trị ở Viện Toán học (Ngày thi: 26/8/2002. Lớp Cao học khoá 8) Bài 1 (3 điểm). (a) Nêu định nghĩa ánh xạ đa trị, đồ thị của ánh xạ đa trị, miền hữu hiệu và tập ảnh của ánh xạ đa trị. (b) Xác định các tập gph F, dom F , rge F với F : R IR đợc cho bởi công thức F (x)=co{sin x, cos x}x R. (c) Xét phơng trình đại số x n + a 1 x n1 + + a n1 x + a n =0, ởđón 2 là số nguyên cho trớc và a =(a 1 , ,a n ) là véctơ thực. Ký hiệu F (a) là tập hợp các nghiệm phức của phơng trình đã cho. á nh xạ F : R n C, a F (a), có phải là ánh xạ đa trị - có giá trị khác rỗng? - có giá trị compắc? - có giá trị lồi? - có giá trị đóng? - tràn (tức là rge F = C)? (Gợi ý: Lần lợt chứng tỏ rằng: (i) Với n =2 thì F là tràn, (ii) Với n>2 thì F là tràn.) Bài 2 (2 điểm). (a) Phát biểu khái niệm ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và ánh xạ đa trị nửa liên tục dới. Cho hai ví dụ để chứng tỏ rằng đó là hai khái niệm có nội dung hoàn toàn khác nhau. (b) Phát biểu và chứng minh định lý về sự bảo tồn tính liên thông tôpô qua ánh xạ đa trị nửa liên tục dới. Bài 3 (2 điểm). (a) Phát biểu định lý điểm bất động Kakutani. (b) Cho các ví dụ thích hợp để chứng tỏ rằng nếu trong phát biểu của định lý ta bỏ đi một trong 4 điều kiện sau (nhng vẫn giữ nguyên 3 điều kiện kia) thì kết luận của định lý có thể không còn đúng nữa: (i) G là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, (ii) G có giá trị lồi, (iii) G có giá trị đóng, (iv) G có giá trị khác rỗng, ởđóG là ánh xạ đa trị đợc xét. 202 Phụ lục A Bài 4 (2 điểm). (a) Phát biểu định nghĩa các nón tiếp tuyến T M (x),T b M (x),C M (x). Nêu mối quan hệ giữa các hình nón đó và hình nón cone(M x). Nêu 3 ví dụ (không cần trình bày các tính toán) để chứng tỏ rằng C M (x) = T b M (x),T b M (x) = T M (x), T M (x) = cone(M x). (b) Cho ánh xạ đa trị F : R IR, F (x)={y R : x 2 + y 2 1,x y +1 0}x R. - Hỏi F có phải là ánh xạ đa trị lồi hay không? - Tính các tập T gph F (z) và T gph F (z),ởđóz =(1, 0) và z =(0, 1). - Viết công thức của các đạo hàm DF z ,DF 0z ,CF z , và CF 0z . Hỏi những đạo hàm đó có phải các quá trình lồi đóng hay không? có phải là các ánh xạ tràn hay không? Bài 5 (1 điểm). Chọn giải một trong hai bài tập sau: 1. Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X Y là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trong X. Chứng minh rằng nếu dom F là tập compắc và F là ánh xạ có giá trị compắc, thì rge F là tập compắc. 2. Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X Y là ánh xạ đa trị có đồ thị đóng. Chứng minh rằng F (x) là tập đóng với mọi x X. Phụ lục B 203 Phụ lục B Đề thi hết môn giải tích đa trị ở Đại học S phạm Tp. Hồ Chí Minh (Ngày thi: 28/8/2003. Lớp Sinh viên chọn, ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh) Bài 1 (2 điểm). Cho ánh xạ đa trị F : R R,F(x)={y R : y x 3 }. (a) Xác định các tập dom F và rge F . (b) F có phải là ánh xạ đa trị lồi hay không? (c) F có phải là ánh xạ đa trị đóng (tức là ánh xạ có đồ thị đóng) hay không? (d) Viết công thức tính tập F 1 (y) với y IR. (e) Xác định tập hợp gph (F 1 F ). Tính tập (F 1 F )(x) với x IR. Bài 2 (2 điểm). Cho M = {x =(x 1 ,x 2 ) R 2 : x 1 + x 2 2,x 2 x 3 1 }, x =(1, 1). Tính hình nón Bouligand T M (x). Gọi G : R IR là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón T M (x) đó. Xác định các tập dom G và rge G. Bài 3 (2 điểm). Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X Y là ánh xạ đa trị. Chứng minh rằng nếu (i) dom F là tập liên thông, (ii) F (x) là tập liên thông với mọi x dom F ,và (iii) F là nửa liên tục dới ở trong X, thì rge F là tập liên thông. Bài 4 (1 điểm). Cho X, Y là các không gian tuyến tính, A : X Y là ánh xạ tuyến tính, K Y là hình nón lồi. Chứng minh rằng F : X Y cho bởi công thức F (x)=Ax + K (x X) là ánh xạ đa trị lồi. Chứng minh rằng F là ánh xạ đa trị thuần nhất dơng, tức là F (x)=F (x)(x X, 0) . Bài 5 (1 điểm). Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X Y là ánh xạ đa trị có đồ thị đóng. Chứng minh rằng F (x) là đóng với mọi x X. Bài 6 (1 điểm). Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X Y là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trong X. Chứng minh rằng nếu dom F là tập compắc và F là ánh xạ đa trị có giá trị compắc thì rge F là tập compắc. Bài 7 (1 điểm). Cho X, Y , Z là các không gian định chuẩn, F : X Y và F : Y Z là các ánh xạ đa trị lồi. Chứng minh rằng G F : X Z là ánh xạ đa trị lồi. Luý: Nếu số ngời giải đợc các câu 5-7 không nhiều, thì điểm cho các câu này sẽ đợc nhân đôi. 204 Phô lôc B [...]... Mangasarian-Fromovitz, 145 215 Danh mục từ khóa 216 điểm cân bằng, 17, 42 điểm cực biên, 94 ánh xạ đơn trị, 9 đơn giản, 79 đo đợc, 78 liên tục, 19 Lipschitz địa phơng, 45, 96 Lipschitz trên địa phơng, 45, 123 ánh xạ đa trị, 9 K-lồi, 73 đóng, 11 đa diện, 45 đo đợc, 79 bao đóng, 14 bao lồi, 14 có đồ thị đóng, 11 có giá trị đóng, 11 có giá trị lồi, 11 có lát cắt Lipschitz trên địa phơng, 123 chính quy pháp tuyến, 114 compắc... Analysis and Applications Vol 134, 441459 206 Tài liệu tham khảo 14 G Bouligand (1930), Sur les surfaces dépourvues de points hyperlimits, Ann Soc Polon Math Vol 9, 3241 15 C Castaing and M Valadier (1977), Convex Analysis and Measurable Functions, Springer-Verlag 16 Nguyễn Huy Chiêu (2004), Sự tồn tại lát cắt đặc biệt của ánh xạ đa trị và khái niệm tích phân Aumann, Luận văn Thạc sĩ toán học, Đại... véctơ đa trị, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội 100 L Thibault (1991), On subdifferentials of optimal value functions, SIAM Journal on Control and Optimization Vol 29, 10191036 101 L Thibault and D Zagrodny (1995), Integration of subdifferentials of lower semicontinuous functions on Banach spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 189, 3358 102 Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và Giải tích. .. hàm Bouligand, 71 Clarke, 71 contingent, 71 kề, 71 đạo hàm của hàm hợp, 75 đạo hàm theo hớng Clarke, 98, 104 Clarke-Rockafellar, 190 Dini trên, 156 định lý đạo hàm của hàm hợp, 158 ánh xạ mở đa trị, 174 hàm ngợc đa trị, 174 định lý hàm ngợc, 74 đồ thị, 10 đối đạo hàm Clarke, 189 Fréchet, 113 Mordukhovich, 104, 113, 189 độ đo không có nguyên tử, 93, 94 độ đo dơng, 88 -hữu hạn, 88 điều kiện chính quy, 159.. .Tài liệu tham khảo 205 Tài liệu tham khảo 1 J.-P Aubin (1981), Contingent derivatives of set-valued maps and existence of solutions to nonlinear inclusions and differential inclusions, Advances in Mathematics, Supplementary... giả-Lipschitz, 46, 74, 140 giới nội khả tích, 91, 99 hêmi liên tục trên, 30 không đo đợc, 79 lồi, 11 lồi theo nón, 73 liên tục, 20 liên tục theo Aubin, 46, 140 Lipschitz, 96 Lipschitz địa phơng, 45, 96 Lipschitz trên địa phơng, 45 mô tả ràng buộc, 116 nửa liên tục dới, 20 nửa liên tục trên, 19, 24, 91, 96 nửa liên tục trên theo Hausdorff, 26 ánh ánh ánh ánh xạ đa trị trên-đồ-thị, 190 xạ hợp, 15 xạ ngợc,... tính chất khả vi tại một điểm, 63 chính quy tiếp tuyến tại một điểm, 63 compắc pháp tuyến theo dãy (SNC), 118 không đo đợc theo Lebesgue, 79 mợt tại một điểm, 63 tập lồi đa diện, 11 tập mở, 18 tập ràng buộc, 16 tích phân Aumann, 92 tích phân Aumann Danh mục từ khóa của ánh xạ dới vi phân Clarke, 99 của ánh xạ dới vi phân Fréchet, 148 của ánh xạ dới vi phân Mordukhovich, 148 tính ổn định nghiệm, 159,... Extensions of subgradient calculus with applications to optimization, Nonlinear Analysis Vol 9, 665698 90 R T Rockafellar and R J-B Wets (1998), Variational Analysis, SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg 212 Tài liệu tham khảo 91 W Rudin (1976), Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill 92 W Rudin (1987), Real and Complex Analysis, Third Edition, McGrawHill 93 W Rudin (1991), Functional... inequalities over polyhedral convex sets, SIAM Journal on Optimization Vol 6, 10871105 27 I Ekeland (1974), On the variational principle, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 47, 324353 Tài liệu tham khảo 207 28 J Gauvin (1979), The generalized gradient of a marginal function in mathematical programming, Mathematics of Operations Research Vol 4, 458 463 29 J Gauvin and F Dubeau (1982),... (1995), Integration of subdifferentials of lower semicontinuous functions on Banach spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 189, 3358 102 Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và Giải tích hàm (Giải tích hiện đại), NXB đại học Quốc gia Hà Nội 103 C Ursescu (1975), Multifunctions with convex closed graph, Cechoslovak Mathematical Journal Vol 25, 438441 104 D W Walkup and R J.-B Wets (1969), A Lipschitzian . môn giải tích đa trị ở Viện Toán học (Ngày thi: 26/8/2002. Lớp Cao học khoá 8) Bài 1 (3 điểm). (a) Nêu định nghĩa ánh xạ đa trị, đồ thị của ánh xạ đa trị, . nữa: (i) G là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, (ii) G có giá trị lồi, (iii) G có giá trị đóng, (iv) G có giá trị khác rỗng, ởđóG là ánh xạ đa trị đợc xét. 202