-72Chơng Chuyển động tịnh tiến chuyển động quay quanh trục cố định vật rắn Chuyển động tịnh tiến chuyển động quay quanh trục cố định hai chuyển động vật rắn Sau rõ, chuyển động khác vật rắn kết tổng hợp hai chuyển động nói 6.1 Chuyển động tịnh tiến vật rắn 6.1.1 Định nghĩa Chuyển động vật rắn gọi tịnh tiến đờng thẳng gắn với vật có phơng không đổi trình chuyển động Cần phân biệt chuyển động tịnh tiến với chuyển động thẳng Trong chuyển động tịnh tiến quỹ đạo điểm thẳng cong Thí dụ : Pít tông động ô tô, A máy kéo vật rắn chuyển động tịnh tiến, B điểm có quỹ đạo thẳng C2 Khâu Ab cấu hình bình hành OABO1 (hình 6.1) chuyển động tịnh tiến, Hình 6.1 điểm có quỹ đạo đờng tròn 6.1.2 Tính chất chuyển động tịnh tiến Định lý 6.1: Khi vật rắn chuyển động nh nghĩa quỹ đạo, vận tốc gia r rB tốc nh Chứng minh định lý : Giả tiết vật rắn chuyển động tịnh tiến B Z tịnh tiến điểm vật có chuyển động O r rA B1 A A1 Z' a H×nh 6.2 -73trong hƯ tọa độ oxyz (hình 6.2) Lấy hai điểm A B vật Tại thời r r điểm t hai điểm A B có véc tơ định vị rA , rB Theo hình vẽ ta có : r r rB = rA + AB (6.1) Trong trình chuyển động, theo định nghĩa AB véc tơ không đổi Suy quỹ đạo điểm B tập hợp điểm nằm quỹ đạo điểm A đà rời đoạn thẳng độ lớn phơng chiều véc tơ AB Nói khác ta dời quỹ đạo AA1 điểm A theo véc tơ AB AA1 trồng khít lên quỹ đạo BB1 Ta đà chứng minh đợc quỹ đạo điểm A B nh Từ biểu thøc ( 6.1) dƠ dµng suy : r r d rB d rA d (AB) r AB r =0 vB = = + = v A , v× dt dt dt dt r r dv B dv A r r vµ = hay w A = w B dt dt Vì điểm A B lấy định lý đà đợc chứng minh Do tính chất chuyển động tịnh tiến nên nói vận tốc gia tốc điểm vật chuyển động tịnh tiến hiểu vận tốc gia tốc vật 6.2 Chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định 6.2.1 Khảo sát chuyển động vật 6.2.1.1 Định nghĩa phơng trình chuyển động Chuyển động vật rắn đợc gọi chuyển động quay quanh trục cố định vật tìm đợc hai điểm cố định suốt thời gian chuyển động Đờng thẳng qua hai điểm cố định gọi trục quay Thí dụ : Cánh cửa quay quanh trục lề ; Phần quay động điện ; Ròng rọc cố định vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định -74Mô hình vật rắn quay quanh trục cố định biểu diễn hình vẽ (6.3) Để xác định vị trí vật ta dựng hai mặt phẳng : mặt phẳng chứa trục quay cố định không gian , mặt phẳng chøa trơc quay nh−ng g¾n víi vËt Khi vËt chun động mặt phẳng chuyển động theo, xác định đợc góc hợp vị trí vật đợc xác định Vì Z B góc thông số định vị cđa vËt C Khi vËt quay gãc ϕ biÕn ®ỉi liên tục theo thời gian nghĩa : = (t) (6.2) Phơng trình (6.2) phơng trình A Hình 6.3 chuyển động vật rắn quay quanh trục cố định 6.2.1.2 Vận tốc góc gia tèc gãc cđa vËt Gi¶ tiÕt kho¶ng thêi gian t = t1 - t0 vật rắn quay đợc mét gãc : ∆ϕ = ϕ1 - ϕ0 Ta gäi tỷ số vận tốc góc trung bình vật khoảng thời gian t t ký hiệu ωtb LÊy giíi h¹n cđa vËn tèc gãc trung bình t dần tới không đợc : lim ∆t ∆t →0 = dϕ =ω dt ω gäi lµ vËn tèc gãc tøc thêi cña vËt Nh− vËy vËn tốc góc tức thời vật rắn đạo hàm bËc nhÊt theo thêi gian cña gãc quay ϕ DÊu cđa ω cho biÕt chiỊu quay cđa vËt NÕu ω > có nghĩa vật quay theo chiều dơng đà chọn < vật quay ngợc theo chiều dơng đà chọn Trị số đợc tính rad/giây viết tắt 1/s Để biểu diển tốc độ quay phơng chiều quay vật ta đa -75r r khái niệm véc tơ vận tốc góc Véc tơ đợc xác ®Þnh nh− sau : ®é lín cđa nã tèc ®é gãc ω, h−íng däc theo trơc quay vỊ phÝa nh×n tõ mót cđa ω sÏ thÊy vËt quay quanh trục theo ngợc chiều kim đồng hồ r r r = k với k véc tơ đơn vị trục quay (hình 6.4) Z Z B B r ω r ω r ε r k r ε r k A H×nh 6.4a A H×nh 6.4b V× vận tốc góc cho biết tốc độ quay chiều quay vật biến thiên theo thời gian phản ánh tính biến đổi chuyển động Ta có định nghĩa gia tốc góc nh− sau : Gia tèc gãc cđa vËt ký hiƯu đạo hàm bậc theo thời gian vận tốc góc hay đạo hàm bậc hai theo thêi gian cña gãc quay ε= dω d ϕ = dt dt (6.4) Đơn vị tính gia tốc rad/(giây)2 viết tắt 1/s2 Cũng nh vận tốc, gia tèc r cã thĨ biĨu diƠn b»ng mét vÐc tơ xác định đạo hàm theo thời gian cđa r vÐc t¬ ω Ta cã : r r r dω dω r ε= = k = ε.k dt dt r r Nh− vËy vÐc t¬ gia tèc gãc ε cịng n»m trªn trơc quay, ε > th× ε r r r cïng chiỊu víi ω (hình 6.4a) < ngợc chiều với (hình 6.4b) -766.1.1.3 Chuyển động quay biến đổi Nếu chuyển động quay có vận tốc góc không đổi ta nói chuyển động quay Khi biểu thức (6.3) rút : d = dt Nếu tích phân hai vế theo cËn t−¬ng øng ta cã : ϕ t ∫ dϕ = ∫ ωdt ϕ0 hay ϕ = ϕ0 + ω(t - t0) t0 Với t0 = phơng trình chuyển động viết : = + t góc quay ban ®Çu øng víi t = t0 = NÕu chọn = phơng trình lại : = t tính ®Õn vËn tèc ω b»ng biÓu thøc ω= ϕ (rad / s) t Từ công thức tính vận tốc góc cho n vòng/phút dễ dàng suy vËn tèc gãc tÝnh theo radian/gi©y theo biĨu thøc : ω= π.n ≈ 0,1(rad / s) 30 Nếu gia tốc không đổi, chuyển động quay vật gọi chuyển động quay biến đổi đều.Từ biÓu thøc (6.4) suy : ϕ t ϕ0 t0 ∫ dω = ∫ εdt hay ω = ω0 + t Mặt khác ta có : = d nên cã thÓ viÕt : dϕ = ω0dt + εtdt dt Lấy phân tích hai vế ta đợc : = ϕ + ω0 t + εt 2 -77NÕu chän ϕ0 = th× εt ϕ = ω0 t + 6.2.2 Khảo sát chuyển động điểm vật rắn chuyển động quay quanh trục Z Khảo sát điểm M nằm vật rắn quay B quanh trục cố định, cách trục quay đoạn h Khi vật rắn quay điểm M vạch C đờng tròn bán kính h nằm mặt phẳng vuông góc với trục quay có tâm c nằm trục quayAZ (Hình 6.5) h M VM Bằng phơng pháp toạ độ tự nhiên ta viết phơng trình chuyển động điểm M : A Hình 6.5 S= h (t) S cung mà điểm M đợc, tơng ứng với góc quay (t) mà vật quay đợc Vì hàm thời gian nên S hàm thời gian Biểu thức (6.5) phơng trình chuyển động điểm M Vận tốc điểm M dễ dàng xác định nhờ biểu thøc (5.8) ta cã : v= ds dϕ = h = h.ω dt dt (6.6) VËn tèc ®iĨm M cã trị số h. có phơng tiếp tuyến với quỹ đạo r ( v M MC) có chiều hớng theo chiều quay vật (hình 6.5) nằm mặt phẳng quỹ đạo Từ biểu thức (6.6) ta thÊy vËn tèc r v cđa ®iĨm tû lƯ với khoảng cách từ điểm tới trục quay biểu diễn theo hình vẽ (6.6) Cũng theo phơng pháp toạ độ tự A C VA Hình 6.6 VB B -78nhiên ta xác định đợc gia tèc cđa ®iĨm M r r r wM = wtM + wnM t wM = dv dω =h = h.ε dt dt v h ω2 w = = = h.ω2 ρ h n M r r r > chiều w t M cïng chiỊu víi v , nÕu ε < w t M r ngợc chiều với v Còn chiều w n hớng từ M tâm c M Gia tốc điểm M xác định đợc độ lớn lẫn phơng chiều w M = w t M + w n M = h ε + ω2 h = h + r w M hợp với bán kính MC góc xác định biểu thức : tgµ = wr ε = wn ω ε C n WM M Hình 6.7 (xem hình 6.7) N µ C WA WM WM v W τM WN I A WI M Hình 6.8 Từ biểu thức xác định wM ta thấy gia tốc điểm M tỷ lệ bậc với khoảng cách từ ®iĨm tíi trơc quay Cã thĨ biĨu diƠn quy lt phân bố gia tốc điểm nh hình ( 6.8.) Thí dụ 6.1 : Một bánh đà quay víi vËn tèc n = 90 vßng/phót ng−êi ta h·m cho quay chậm dần dừng hẳn hết 40 giây Xác định số -79vòng quay bánh đà quay đợc thời gian hÃm Bài giải: Phơng trình chuyển động bánh đà : t2 ϕ = ωt − ε ω0 = ω0 - t ; ta chọn góc quay ban đầu = = Tại thời điểm t0 = n thời điểm t = t1 bánh đà dừng 30 hẳn = = Suy : ω = =ω0 - εt hay ε = ω0 πn = t 30 t Thay vµo ta tìm đợc : = 2N = hay N = πnt πn πn − t1 = t1 , 30 60 60 nt = 30 (vßng) 120 Từ bắt đầu phanh dừng hẳn bánh đà quay đợc 30 vòng Thí dụ 6.2 : Trọng vật B rơi xuống truyền chuyển động quay cho trống có bán kính r lắp bánh bán kính R1 ăn khớp với bánh 2, bán kính R2 nh hình vẽ ( 6.9 ) Cho biết trọng vật đợc thả xuống không vận tốc ban đầu có gia tốc a không đổi Xác định quy luật chuyển động bánh 2, vận tốc gia tốc điểm M vành bánh thời điểm t = giây Bài giải: Vì vật B chuyển động xuống theo quy luật nhanh dần với gia tốc a nên : VB = at §iĨm A cã vËn tèc b»ng vËn tèc ®iÓm B -80VA = ω1r = at Trong ®ã ω1 vận tốc góc trục bánh Suy : = at r Để xác định vận tốc góc bánh vào vận tốc điểm ăn khớp C hai bánh răng, ta cã : VC = ω1R1 = ω2R2, Hay ω2 = v R1 R at ω1 = R2 R2 r ω1 r ω2 A R1 C R2 Vận tốc góc bánh hàm thời gian Dễ dàng tìm đợc góc quay bánh Ta cã : ω2 = R at dϕ = R2 r dt hay dϕ = M B H×nh 6.9 R1 atdt rR Chän ϕ0 = øng víi t0 = ứng với t = t1 Sau tích phân hai vế ta đợc : = R1 at 2R r Đây phơng trình chuyển động bánh Vận tốc điểm M vành bánh vận tốc ®iÓm C Ta cã : VM = Vc = ω1R = R1 at (m/s ) r Khi t= giây gia tốc điểm M nh gia tốc ®iĨm C Ta cã : -81- ¦ W c = R ε = R t dω dt víi dω2 R = a dt R 2r Thay vào biểu thức gia tốc tiếp tuyến pháp tun cđa ®iĨm C ta cã : t wC = n wC = R1 r a R ω2 2 R1 a t R1 a 2 = R 2 = t R2 r R 2r Với t = đợc : n wC = 4R a R 2r Gia tốc toàn phần điểm C ; wc = R2 R a 8R a R 1a 16R a + 2 = 1+ R r R 2r r R 2r 2 6.2.3.Trun chun động quay vật rắn quanh trục song song Khảo sát trờng hợp phổ biến kỹ thuật khí truyền chuyển động quay bánh trụ 6.2.3.1 Truyền chuyển động quay bánh trụ có trục quay cố định Trớc hết ta xét hai bánh quay quanh hai trục O1 O2 cố định biểu diễn hình 6.10 Hình 6.10a hai bánh ăn khớp hình 6.10.b hai bánh ăn khớp Nếu gọi A điểm ăn khớp hai bánh ta có nhận xét vận tốc điểm A hai bánh nghĩa là: 1.r1 = 2.r2 -821 Trong r1 r2 bán kính hai bánh Từ kết suy biểu A 01 thức sau: r z ăn khíp ngoµi = - = - ⎜ω ⎟ r1 z1 ⎝ 2⎠ (6.11) ⎛ ω1 ⎞ r z ăn khớp = = ⎟ r1 z1 ⎝ 2⎠ ω2 ω1 02 (6.12) H×nh 6-10a 1 z1 z2 số bánh 2 01 A 02 Tiếp theo ta xét trờng hợp hệ có nhiều bánh trụ ăn khớp với có trục Hình 6-10b quay cố định (Hình 6.11) Trớc hết khảo sát bánh ăn khớp Theo biểu thức (6.1) áp dụng cho cặp bánh ta cã: 02 03 01 ω1 ω2 ; Hay ωn −1 ωn =− r2 r1 = (− 1) ω1 ω2 n −1 =− r2 r1 ω2 ; ω3 =− r3 r2 ω3 ω1 H×nh - 11 ; rn rn −1 ; ω1 ω3 = r3 r1 ; .; ω1 ωn n −1 rn = (− 1) r1 Mét c¸ch tỉng qu¸t ta cã: ω1 ωn k rn = ( 1) r1 (6.13) k số cặp bánh ăn khớp Nếu số cặp bánh ăn khớp -83ngoài chẵn n chiều với số cặp bánh ăn khớp lẻ n ngợc chiều với Nói cách khác n chẵn n ngợc chiều với n lẻ n chều với Trong trờng hợp bánh ăn khớp Theo biểu thức (6.2) áp dụng cho cặp bánh dễ dàng nhận đợc kết quả: n = rn r1 (6.14) Điều chứng tỏ vận tốc góc bánh không đổi chiều phụ thuộc vào tỷ số hai bán kính r1 rn 6.2.3.2 Truyền chuyển động quay bánh trụ có trục quay nằm giá di động Khảo sát truyền chuyển động bánh cho hình (6.12) bánh cố định bánh có trục C B nằm giá AB giá quay quanh A víi (2) vËn tèc gãc ωAB A (1) Bài toán đặt phải xác định (3) B AB vận tốc góc bánh Để đa toán trờng hợp Hình 6-12 đà xét 6.2.3 ta phải tìm cách cố định giá AB Muốn ta cho toàn hệ quay ngợc lại với vận tốc góc AB quanh A Phơng pháp gọi phơng pháp Vilít Khi vận tốc góc tơng đối K' khâu K' = k - AB Trong K vận tốc góc tuyệt đối Rõ ràng lúc giá AB sÏ cã vËn tèc lµ ωAB' = ωAB - AB = Còn bánh có vận tốc tơng đối là: 1' = - ωAB vµ ω2' = ω2 - ωAB Víi kÕt ta tính đợc 1' 2' theo kết đà khảo sát mục 6.2.3 từ xác định đợc -84Thí dụ6-3 : Khảo sát bánh hình (6.12 ) cho biết bánh có bán kính R1 Giá AB quay với vận tốc góc AB Bánh có bán kính R3 Xác định vận tốc bánh Bài giải: AB Gọi vận tốc góc tuyệt đối bánh 1, 2, Vì bánh (2) (3) A cố định nên = (1) áp dụng phơng pháp Vilít vào hệ B AB AB ta có: Hình 6-13 ω1' = - ωAB; ω2' = ω2 - ωAB; ω3' = ω3 - ωAB cßn ωAB' = nghĩa giá AB đứng yên áp dụng công thức (6 13) cho trờng hợp với k = ta cã: ' ω1 ' ω3 Suy ra: = r3 r1 hay − ωAB ω3 − ωAB = r3 r1 ⎛ r ⎞ ω3 = ⎜1 − ⎟ ωAB ⎜ r ⎟ 3⎠ ⎝ NÕu r1 < r3 th× chiều với AB r1 > r3 ngợc chiìu với AB đặc biệt r1 = r3 = bánh chuyển ®éng tÜnh tiÕn  ... hệ tọa độ oxyz (hình 6. 2) Lấy hai điểm A B vật Tại thời r r điểm t hai điểm A B có véc tơ định vị rA , rB Theo hình vẽ ta cã : r r rB = rA + AB (6. 1) Trong trình chuyển động, theo định nghĩa AB... theo, xác định đợc góc hợp vị trí vật đợc xác định Vì Z B góc thông số ®Þnh vÞ cđa vËt C Khi vËt quay gãc ϕ biến đổi liên tục theo thời gian nghĩa : = (t) (6. 2) Phơng trình (6. 2) phơng trình. .. r Nh− vËy vÐc t¬ gia tèc gãc ε cịng n»m trªn trơc quay, ε > th× ε r r r cïng chiỊu với (hình 6. 4a) < ngợc chiều với (hình 6. 4b) - 766 .1.1.3 Chuyển động quay biến đổi Nếu chuyển động quay