Đang tải... (xem toàn văn)
* Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương.. Giám thị xem thi không giải thích gì thêm!..[r]
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 16/03/2015 Thời gian: 120 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang) Câu 1: (4,5 điểm) 2 3 A : : 7 5 a) Tính giá trị biểu thức x b) Tính giá trị biểu thức B = 2x2 – 3x + với x y y z c) Tìm số x, y, z biết rằng: ; x + y + z = - 110 Câu 2: (4,5 điểm) a) Tìm tập hợp số nguyên x, biết rằng: 5 31 1 : x : 3,2 4,5.1 : 21 18 45 2 b) T×m x, biÕt: |x + 12|+|x + 16|+|x +121 |+|x +201 |+ .+|x +1101 |=11 x c) Tính giá trị biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 x, y thỏa mãn: x + (y + 2)20 = Câu 3: (3,5 điểm) a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo 1: 2: b) Tìm tất số tự nhiên a, b cho : 2a + 37 = b 45 + b - 45 Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB DC a) Chứng minh rằng: ADC = ABE b) Chứng minh rằng: DIB = 600 c) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh AMN d) Chứng minh IA phân giác góc DIE Câu 5: (1,5 điểm) Cho 20 số nguyên khác : a1, a2, a3, … , a20 có tính chất sau: * a1 số dương * Tổng ba số viết liền số dương * Tổng 20 số số âm Chứng minh : a1.a14 + a14a12 < a1.a12 Hết Giám thị xem thi khơng giải thích thêm! Họ tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014-2015 MƠN : TỐN Nội dung 2 3 A : : 7 5 3 : a 7 5 (1,5) = 2 : 0 : 0 5 3 Điểm 0,75 đ 0,5đ 0,25đ Vậy : A = Vì CÂU (4,5đ) b (1,5) x Với 1 nên x = x = - 1 x = thì: A = 2.( )2 – + = 1 Với x = - thì: A = 2.(- )2 – 3.(- ) + = 1 Vậy : A=0 với x = A=3 với x = - x y x y y z y z x y z 14 ; 14 35 Suy 14 35 Từ c (1,5) x y z x yz 110 14 35 14 35 55 = -2 5 41 18 : 2 41 2) Ta có: 18 a (1,5) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Suy x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70 Vậy:x = -12; y = -28; z = - 70 CÂU (4,5đ) 0,75 đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ Lạicó: 31 16 76 43 38 43 :3,2 4,5.1 : 21 : 45 16 45 43 43 2 Do đó: - < x < mà x Z nên x {-4; -3; -2; -1} b a) Nhận xét: Vế trái đẳng thức nên vế phải (2,0) suy 11x hay x víi x ta cã: 0,5đ 0,5đ 0,75đ 1 1 x x x x 11x 12 20 110 1 1 x x x x x 11x 12 20 110 10 suy x = 1- 11 = 11 (TM) 10 Vậy:x = 11 x x ≥ 0; (y + 2)20 ≥ + (y + 2)20 ≥ với x, y x x Kết hợp + (y + 2)20 = suy = (y + 2)20 = x = 1; y = - Giá trị biểu thức :C=2x5 – 5y3 + 2015 x = 1; y = - là:C=2.15 – 5.(-2)3 + 2015 = + 40 + 2015 = 2057 Vậy C=2057 Gọi a, b, c chữ số số có ba chữ số cần tìm Khơng tính tổng qt, giả sử a b c 9 Ta có a + b + c 27 Mặt khác số cần tìm bội 18 nên bội 9, a + b + c = a + b + c = 18 a + b + c = 27 1) Do c (1,0) a (1,5) x a b c a b c ; Theo đề ta có: Như a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18 Từ suy a = 3, b = 6, c = Do số phải tìm bội 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn, hai số cần tìm là: 396; 936 CÂU (3,5đ) b (2,0) x + x = 2x x + x = Do x + x số chẵn với xZ Với x < b 45 + b – 45 số chẵn với b Z Áp dụng nhận xét a (1,0) 0,25đ 0,25đ 0,25 đ 0,25đ 0,25 đ 0,25đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Nhận xét: Với x ≥ 0,5 đ Suy 2a + 37 số chẵn 2a lẻ a = 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ b 45 Khi + b – 45 = 38 + Nếu b < 45, ta có - (b – 45) + b – 45 = 38 = 38 (loại) + Nếu b ≥ 45 , ta có 2(b – 45) = 38 b – 45 = 19 b = 64 (TM) (a; b) = (0; 64) CÂU (6,0đ) 0,75đ E 0,75 đ 0,25 đ A D K I C B Ta có: AD = AB; DAC BAE AC = AE Suy ADC = ABE (c.g.c) b (1,5) Từ ADC = ABE (câu a) ABE ADC , mà BKI AKD (đối đỉnh) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Khi xét BIK DAK suy BIK DAK = 600 (đpcm) E A D N J c (1,5) K M I B C Từ ADC = ABE (câu a) CM = EN ACM AEN CAM EAN 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ ACM = AEN (c.g.c) AM = AN MAN CAE = 600 Do AMN d (2,0) Trên tia ID lấy điểm J cho IJ = IB BIJ BJ = BI JBI DBA = 600 suy IBA JBD , kết hợp BA = BD IBA = JBD (c.g.c) AIB DJB = 1200 mà BID = 600 DIA = 600 Từ suy IA phân giác góc DIE CÂU (1,5đ) (1,5) Ta có : a1 + (a2 + a3 + a4) + … + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) < ; a1 > ; a2 + a3 + a4 > ; … ; a11 + a12 + a13 > ; a15 + a16 + a17 > ; a18 + a19 + a20 > => a14 < Cũng : (a1 + a2 + a3) + … + (a10 + a11 + a12) + (a13 + a14) + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) < => a13 + a14 < Mặt khác, a12 + a13 + a14 > => a12 > Từ điều kiện a1 > ; a12 > ; a14 < => a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm) Chú ý: +)Nếu HS làm theo cách khác cho điểm tối đa 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ +)Nếu HS thiếu đáp số trừ 0,25 điểm +)Câu 2a);3a) Nếu thiếu giá trị trừ 0,1 điểm +)Câu 2b);3b) Không kiểm tra điều kiện trừ 0,1 điểm