www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng ĐẠI SỐ - BÀI 18 SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VÈ TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC y Các định lý được sử dụng (với ; a ≠ 0) 2 f(x) ax bx c=++ 1. af(x) > 0 với mọi x ⇔ 2 x b 4ac 0∆= − <. 2. af(x) ≥ 0 với mọi x ⇔ 2 x b 4ac 0∆= − ≤. Nếu af(x) ≥ 0 với mọi x thì f(x) = 0 ⇔ x 9 b x 2a ∆=   =−    3. Nếu tồn tại α sao cho af(α) < 0 thì f(x) có 2 nghiệm , thỏa mãn . 1 x 2 x 12 xx<α< 4. Nếu tồn tại α, β (α < β) sao cho f( ).f( ) 0α β < thì f(x) có một nghiệm thuộc (α ; β) và một nghiệm ngoài [α ; β]. Thí dụ 1 : Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì với mọi x ta có : 22 2 2 2 2 b x(bca)xc0++− +>. Phân tích : Vế trái là tam thức bậc hai f(x) với hệ số của là 2 x 2 b 0> nên có ngay lời giải. Giải : f(x) > 0 với mọi x ⇔ ⇔ ⇔ x 0∆< 22 c a+− 2222 22 (b c a ) 4b c 0+− − < 2bc) 0− < 222 2 (b c a 2bc)(b+−+ ⇔ [(b 22 22 c) a )][(b c) a ] 0+− −−< ⇔ (b + c + a)(b + c − a)(b − c + a)(b − c − a) < 0 ⇔ (a + b + c)(b + c − a)(b + a − c)(c + a − b) > 0 Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Chú ý : Ngược lại, các bạn có thể chứng minh được nếu các số dương a, b, c thỏa mãn f(x) > 0 với mọi x thì a, b, c chính là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Thí dụ 2 : Cho a và abc = 1. 3 3> 6 Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dục www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng Chứng minh : 2 22 a b cabbcc 3 ++>++a (*) Phân tích : 1 bc a = nên bất đẳng thức cần chứng minh vì đối xứng với b và c nên có thể viết về dạng tam thức bậc hai đối với b + c. Giải : (*) ⇔ 2 2 a3 c) a(b c) 0 3a +−++−>(b ⇔ 22 2 aa3 (b c) a(b c) 0 412a  +−++ +−>    ⇔ 2 3 aa36 b c0 2 12a −  +− + >   Với a thì bất đẳng thức trên luôn đúng. 3 3> 6 Chú ý : Khi không muốn diễn đạt bởi "ngôn ngữ" biệt thức ∆ thì các bạn có thể dùng kỹ thuật "tách bình phương" như lời giải trên. Thí dụ 3 : Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có : 3 cosA cosB cosC 2 ++≤ (**) Phân tích : Vì AB cosB 2 cos 2 + += cosA AB C AB cos 2sin cos 22 −− = 2 và cosC = 2 C sin 2 −12 nên có thể làm xuất hiện tam thức bậc hai đối với C sin 2 . Giải : (**) ⇔ 2 CAB C 2sin cos 1 2sin 22 2 − +− ≤ 3 2 ⇔ 2 CCAB1 sin cos 0 22 24 − −+ sin ⇔ ≥ 2 2 C1 AB 1 AB sin cos sin 0 22 2 4 2 −−  −+   ≥ Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi C1 AB sin cos 22 2 AB sin 0 2 −  =    −  =   Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dục www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng Lưu ý AB ; 22 −π  ∈−   2 π và C 0; 22 π  ∈    thì hệ trên tương đương với A = B = C tức là tam giác ABC đều. Chú ý : Bài toán tổng quát cho bài trên là : Với x, y, z > 0 thì trong tam giác ABC bất kỳ ta có : 222 cos A cos B cos C x y z xyz 2xyz ++ ++≤ Các bạn có thể dùng kỹ thuật "tam thức bậc hai" hoặc công cụ véc-tơ để giải quyết. Khi cho các giá trị cụ thể x, y, z (đặc biệt là x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác) thì ta có vô số các bất đẳng thức cụ thể. Bài tập tương tự 1. Chứng minh với mọi x và mọi α ta có : 22 2 (1 sin )x 2(sin cos )x 1 cos 0+α− α+α++α> 2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có : a) 222 9 sin A sin B sin C 4 ++≤ b) ABC sin .sin .sin 222 ≤ 1 8 0 2 3. Tìm x, y thỏa mãn : (x 222 2 y )(x 1) 4x y++= y Một dạng ứng dụng của tam thức bậc hai khác thú vị mà nhiều bạn không để ý : Thí dụ 4 : Cho a, b, c, d, p, q thỏa mãn : 222222 pqabcd+−−−−> Chứng minh rằng : (p 222222 a b )(q c d ) (pq ac bd)−− −−≤−− Phân tích : Bất đẳng thức này trông "ngược" với bất đẳng thức Bunhiacôpski và có dạng như ∆' ≥ 0 (!). Vậy cần thiết lập một tam thức bậc hai f(x) có nghiệm và xuất hiện biểu thức . Như vậy hệ số của sẽ chọn là hoặc qc . Giả thiết sẽ cho ta điều gì ? Điều đó quyết định sự lựa chọn trên. 2222222 ' (pq ac bd) (p a b )(q c d )∆= − − − − − − − 222 pab−− 222 d−− 2 x Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dục www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng Giải : Vì nên trong hai biểu thức và có ít nhất một biểu thức dương. Do vai trò bình đẳng của hai bộ số (p, a, b) và (q, c, d) nên giả sử 222 222 (p a b ) (q c d ) 0−− + −− > 2 b−− 222 qcd−− 22 pa 222 pab 0−−>. = 2 0 Xét 2222 222 f (x) (p a b )x 2(pq ac bd)x q c d=−− − −− +−− = 22 (px q) (ax c) (bx d)−−−−− Vì pa nên p ≠ 0. Ta có 222 b−−> q f p  ≤   0 suy ra 222 q a b )f p  −−   (p 0 ≤ nên f(x) có nghiệm. Do đó x '0∆≥ ⇒ đpcm. Chú ý : Dạng thứ hai của f(x) là để chọn ra q p α= thỏa mãn q p  ≤   f0 Thí dụ 5 : Cho b < c < d chứng minh : 2 (a b c d) 8(ac bd)+++ > + Phân tích : Có 2 cách nhìn để có 2 cách giải khác nhau. Cách thứ nhất là nhìn bất đẳng thức cần chứng minh có dạng ∆ > 0. Cách thứ hai là đưa bất đẳng thức về dạng f(a) > 0 với mọi a và b < c < d. Xin giải theo cách nhìn thứ nhất. Giải : Xét tam thức bậc hai : 2 f (x) 2x (a b c d)x (ac bd)=−+++++ Có 2 f (c) c (b d)c bd (c b)(c d)=−+ +=− − Vì b < c < d nên f(c) < 0 suy ra f(x) có 2 nghiệm phân biệt tức là ∆ > 0 ⇒ đpcm. Các bài tập khác : 1. Xác định các góc của tam giác ABC sao cho biểu thức F 3 cosB 3(cos A cosC)=++ đạt giá trị lớn nhất. 2. Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng : sinA + sinB + cos(A + b) = 1,5. 3. Biết rằng : 22 4x y 2x y 4xy 2.++++ ≤ Chứng minh : 2y2x1−≤ + ≤ 4. Định dạng tam giác ABC thỏa mãn Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dục www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 111 cos A cos B cosC 345 ++= 5 12 5*. Xác định các góc của tam giác ABC sao cho biểu thức : 2 F cos A sin Bsin C sin A (cos B cos C) 2 =+++ đạt giá trị lớn nhất. Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dục . qua mạng ĐẠI SỐ - BÀI 18 SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VÈ TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC y Các định lý được sử dụng (với ; a ≠ 0) 2 f(x) ax. : Có 2 cách nhìn để có 2 cách giải khác nhau. Cách thứ nhất là nhìn bất đẳng thức cần chứng minh có dạng ∆ > 0. Cách thứ hai là đưa bất đẳng thức về