Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 1 doc

21 396 4
  • Loading ...
1/21 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 20/01/2014, 15:20

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I. Đònh nghóa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđAM=β với 02≤β≤ π Đặt k2 ,k Zα=β+ π ∈Ta đònh nghóa: sin OKα= cos OHα= sintgcosαα=α với co s 0α≠coscot gsinαα=α với sin 0α≠II. Bảng giá trò lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt Góc α Giá trò ()o00 ()o306π ()o454π ()o603π ()o902π sinα 0 12 22 32 1 cosα 1 32 22 12 0 tgα 0 33 1 3 || cot gα || 3 1 33 0 III. Hệ thức cơ bản 22sin cos 1α+ α= 2211tgcos+α=α với ()kkZ2πα≠ + π ∈ 221tcotgsin+=α với ()kkZα≠ π ∈ IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π; phụ chéo) a. Đối nhau: và −α α()sin sin−α = − α ()cos cos−α = α ()()tg tg−α = − α ()()cot g cot g−α = − α b. Buø nhau: vaø α π−α()()()()sin sincos costg tgcotgcotgπ−α = απ−α =− απ−α =− απ−α =− α c. Sai nhau : vaø π+ πα α()()()()sin sincos costg t gcotgcotgπ+α =− απ+α =− απ+α = απ+α = α d. Phuï nhau: vaø α2π−α sin cos2cos sin2tgcotg2cotgtg2π⎛⎞−α = α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞−α = α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞−α = α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞−α = α⎜⎟⎝⎠ e.Sai nhau 2π: α vaø 2π+α sin cos2cos sin2tgcotg2cotgtg2π⎛⎞+α = α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞+α =− α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞+α =− α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞+α =− α⎜⎟⎝⎠ f. ()()()()()()+π=− ∈+π=− ∈+π= ∈+π=kksin x k 1 sin x,k Zcos x k 1 cosx,k Ztg x k tgx,k Zcotg x k cot gx V. Công thức cộng ()()()sin a b sinacosb sin bcosacos a b cosacosb sin asin btga tgbtg a b1tgatgb±= ±±=±±=mm VI. Công thức nhân đôi ==−=− ==−−=22 2 222sin2a 2sinacosacos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 12tgatg2a1tgacotg a 1cotg2a2cotga− VII. Công thức nhân ba: 33sin3a 3sina 4sin acos3a 4 cos a 3cosa=−=− VIII. Công thức hạ bậc: ()()2221sin a 1 cos2a21cos a 1 cos2a21cos2atg a1cos2a=−=+−=+ IX. Công thức chia đôi Đặt attg2= (với ak) 2≠π+ π22222tsina1t1tcosa1t2ttga1t=+−=+=− X. Công thức biến đổi tổng thành tích ()()ab abcosa cosb 2cos cos22ab abcosa cosb 2sin sin22ab absina sinb 2cos sin22ab absina sinb 2cos sin22sin a btga tgbcosacosbsin b acotga cotgbsina.sin b+−+=+−−=−+−+=+−−=±±=±±= XI. Công thức biển đổi tích thành tổng () ()() ()()()1cosa.cosb cos a b cos a b21sina.sin b cos a b cos a b21sina.cosb sin a b sin a b2=⎡ + + −⎤⎣⎦−=⎡ +− −⎣⎦=⎡ + + −⎤⎣⎦⎤ Bài 1: Chứng minh 4466sin a cos a 1 2sin a cos a 1 3+−=+− Ta có: ()244 22 22 2sin a cos a 1 sin a cos a 2sin acos a 1 2sin acos a+−= + − −=−2 Và: ()()()66 224224442222 2222sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1sin a cos a sin acos a 11 2sinacosa sinacosa 13sin acos a+−= + − +=+ − −=− − −=−− Do đó: 44 2266 22sin a cos a 1 2sin acos a 2sin a cos a 1 3sin acos a 3+−−==+−− Bài 2: Rút gọn biểu thức ()221cosx1cosxA1sin x sin x⎡⎤−+==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ Tính giá trò A nếu 1cosx2=− và x2π<<π Ta có: 2221cosxsinx12cosxcosxAsin x sin x⎛⎞++−+=⎜⎟⎝⎠ ()221 cosx1cosxA.sin x sin x−+⇔= ()223321 cosx2sin x 2Asin x sin x sin x−⇔= = = (với sinx 0≠) Ta có: 2213sin x 1 cos x 144=−=−= Do: x2π<<π nên sin x 0>Vậy 3sin x2= Do đó 244Asin x 33===3 Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x: a. 4422A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x=−+ +2 b. 2cotgxBtgx1 cotgx1+=+−−1 a. Ta có: 4422A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x=−+ +2 ()()()()242 22 242424A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos xA 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x⇔= −− +− + −⇔= −− + + − +−2 A2⇔= (không phụ thuộc x) b. Với điều kiện sinx.cosx 0,tgx1≠≠ Ta có: 2cotgxBtgx1 cotgx11+=+−− 11221tgxtgxB1tgx1 tgx11tgx1tgx++⇔= + = +−−−− ()21tgx1tgxB1tgx 1 tgx 1−−−⇔= = =−−− (không phụ thuộc vào x) Bài 4: Chứng minh ()222222221cosa1cosa cosbsinc1cotgbcotgccotga12sina sin a sin bsin c⎡⎤−+−−+−=⎢⎥⎢⎥⎣⎦− Ta có: * 222222cos b sin ccotgb.cotgcsin b.sin c−− 22222cotgb1cotgbcotgcsin c sin b=−− ()()22 222cotgb1 cotgc1cotgbcotgbcotgc=+−+− 1=− (1) * ()221cosa1cosa12sina sin a⎡⎤−+−⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()221cosa1cosa12sina 1 cos a⎡⎤−+=−⎢⎥−⎢⎥⎣⎦ 1cosa 1cosa12sina 1 cosa+−⎡⎤=−⎢⎥+⎣⎦ 1cosa2cosa.cotga2sina 1 cosa+==+ (2) Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong. Bài 5: Cho tùy ý với ba góc đều là nhọn. ABCΔ Tìm giá trò nhỏ nhất của PtgA.tgB.tgC= Ta có: AB C+=π−Nên: ()tg A B tgC+=− tgA tgBtgC1 tgA.tgB+⇔=−− tgAtgBtgCtgA.tgB.tgC⇔+=−+ Vậy: PtgA.tgB.tgCtgAtgBtgC==++ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB, tgC ta được 3tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC++≥ 3P3P⇔≥ 32P3P33⇔≥⇔≥ Dấu “=” xảy ra ==⎧π⎪⇔⇔=⎨π<<⎪⎩tgA tgB tgCABC30A,B,C2== Do đó: MinP 3 3 A B C3π=⇔=== Bài 6 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của a/ 84y2sinxcos2x=+ b/ 4ysinxcos=−x a/ Ta có : 441cos2xy2 cos2x2−⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠ Đặt với thì tcos2x= 1t1−≤ ≤()441y1t8=−+t => ()331y' 1 t 4t2=− − + Ta có : Ù () y' 0=331t 8t−=⇔ 1t 2t−=⇔ 1t3= Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; 11y32⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7 Do đó : ∈=xy3Max và ∈=x1yMin27 b/ Do điều kiện : sin và co nên miền xác đònh x 0≥ s x 0≥π⎡⎤=π+π⎢⎥⎣⎦Dk2, k22 với ∈k Đặt tcos= xx với thì 0t1≤≤42 2tcosx1sin==−Nên 4sin x 1 t=− Vậy 84y1t=−−t trên []D' 0,1= Thì ()−=−<−3748ty' 1 02. 1 t [)t0;1∀∈ Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy :()∈==xDmax y y 0 1, ()∈==−xDmin y y 1 1 Bài 7: Cho hàm số 44ysinxcosx2msinxcos=+− x Tìm giá trò m để y xác đònh với mọi x Xét 44f (x) sin x cos x 2m sin x cos x=+−()()222 2fx sinx cosx msin2x 2sinxcosx=+ − −2 ()21f x 1 sin 2x m sin 2x2=− − Đặt : với tsin2x=[]t1,∈− 1 y xác đònh ⇔ x∀()fx 0x R≥∀∈⇔ 211tmt02−−≥[ ]t1,1−∀∈ ⇔ ()2gt t 2mt 2 0=+ −≤[]t1,∀∈− 1t Do nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 2'm 20Δ= + > m∀Lúc đó t t1 t2 g(t) + 0 - 0 Do đó : yêu cầu bài toán ⇔ 12t11≤−< ≤ ⇔ ⇔ ()()1g 1 01g 1 0−≤⎧⎪⎨≤⎪⎩2m 1 02m 1 0−−≤⎧⎨−≤⎩⇔ 1m21m2−⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ ⇔ 11m22−≤ ≤ Cách khác : gt ()2t 2mt 2 0=+ −≤[]t1,1−∀∈ {}[,]max ( ) max ( ), ( )tgt g g∈−⇔≤ ⇔−≤110110 {}max ), )mm⇔−−−+≤21210⇔ 1m21m2−⎧≥⎪⎪⎨ ⎪≤⎪⎩m⇔− ≤ ≤1122 Bài 8 : Chứng minh 4444357A sin sin sin sin16 16 16 16 2π πππ=+++3= Ta có : 7sin sin cos16 2 16 16πππ π⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠πππ⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠55sin cos cos16 2 16 16π3 Mặt khác : ()244 22 22cos sin cos 2sin cosα+ α= α+ α − α αsin 2212sin cos=−αα 211sin22=−α Do ủoự : 444473A sin sin sin sin16 16 16 16 =+++5 44 4433sin cos sin cos16 16 16 16 =+++ 22111sin 1sin28 2 8= +3 22132 sin sin28 8= + 2212sincos28 8= + =3do sin cos88 13222= = Baứi 9 : Chửựng minh :oooo16 sin 10 .sin 30 .sin 50 .sin 70 1= Ta coự : ooAcos10 1Acos10 cos10==o(16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o ()ooo11oA8sin20 cos40 .cos202cos10= ()0oo1oA4sin20 cos20 .cos40cos10= ()ooo1A2sin40 cos40cos10= oooo1cos10Asin 80 1cos10 cos10=== Baứi 10 : Cho ABC. Chửựng minh : ABBCCAtg tg tg tg tg tg 122 22 22++= Ta coự : ABC22+2= Vaọy : ABCtg cot g22+= ABtg tg122ABC1tg .tg tg22 2+= ABC Atg tg tg 1 tg tg222 2+=B2 ACBCABtg tg tg tg tg tg 122 22 22++ = Baứi 11 : Chửựng minh : () ++ +=84tg 2tg tg cotg *81632 32 Ta có : (*) ⇔ 8cotg tg 2tg 4tg32 32 16 8ππ π=−−−πMà : 22cos a sin a cos a sin acot ga tgasin a cos a si n a cos a−−=−= cos 2a2cotg2a1sin 2a2== Do đó : cot g tg 2tg 4tg 832 32 16 8π⎡⎢ππ π⎤−−−=⎥⎣⎦ (*) ⇔ 2cotg 2tg 4tg 816 16 8ππ π⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦ ⇔ =4cotg 4tg 8⇔ 88ππ= −8cotg 8π⇔ = (hiển nhiên đúng) 4 Bài :12 : Chứng minh : 22 222cos x cos x cos x33ππ⎛⎞⎛⎞+++−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ 32= a/ 111 1cot gx cot g16x b/ sin 2x sin 4x sin 8x sin16x+++ =− a/ Ta có : 22 222cos x cos x cos x33ππ⎛⎞⎛+++−⎜⎟⎜⎝⎠⎝ ⎞⎟⎠()11 4141cos2x 1cos2x 1cos 2x22 323⎡π⎤⎡π⎤⎛⎞ ⎛⎞=+ ++ + ++ −⎜⎟ ⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎝⎠ ⎝⎠⎣⎦⎣⎦ 31 4 4cos 2x cos 2x cos 2x22 3 3⎡ππ⎤⎛⎞⎛⎞=+ + + + −⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦ 31 4cos2x 2cos2xcos22 3π⎡⎤=+ +⎢⎥⎣⎦ 31 1cos2x 2cos2x22 2⎡⎤⎛⎞=+ + −⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦ 3= 2b/ Ta có : cos a cos b sin b cos a sin a cos bcot ga cot gbsin a sin b sin a sin b−−=−= ()sin b asin a sin b−= Do đó : ()()sin 2x x1cot gx cot g2x 1sin x sin 2x sin 2x−−= = ()()sin 4x 2x1cot g2 x cot g4x 2sin2xsin4x sin4x−−= = [...]... 4x ) 1 = ( 3) sin 4x sin 8x sin 8x sin (16 x − 8x ) 1 cot g8x − cot g16x = = (4) sin16x sin 8x sin16x Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được 1 1 1 1 cot gx − cot g16x = + + + sin 2x sin 4x sin 8x sin16x cot g4x − cot g8x = Bài 13 : Chứng minh : 8sin3 18 0 + 8sin2 18 0 = 1 Ta có: sin180 = cos720 ⇔ sin180 = 2cos2360 - 1 ⇔ sin180 = 2 (1 – 2sin 218 0)2 – 1 ⇔ sin180 = 2 (1 – 4sin 218 0+4sin 418 0) -1 ⇔ 8sin 418 0 – 8sin 218 0... = 2 (1 – 4sin 218 0+4sin 418 0) -1 ⇔ 8sin 418 0 – 8sin 218 0 – sin180 + 1 = 0 (1 ) ⇔ (sin180 – 1) (8sin 318 0 + 8sin 218 0 – 1) = 0 ⇔ 8sin 318 0 + 8sin 218 0 – 1 = 0 (do 0 < sin180 < 1) Cách khác : Chia 2 vế của (1) cho ( sin180 – 1 ) ta có ( 1 ) ⇔ 8sin 218 0 ( sin180 + 1 ) – 1 = 0 Bài 14 : Chứng minh : 1 ( 3 + cos 4x ) 4 1 b/ sin 6x + cos 6x = ( 5 + 3 cos 4x ) 8 1 c/ sin8 x + cos8 x = ( 35 + 28 cos 4x + cos 8x ) 64 a/... 60o + cos 30o ) =− 3 +1 2 Bài 17 : Tính P = sin2 50o + sin2 70 − cos 50o cos70o 1 1 1 Ta có : P = (1 − cos100o ) + (1 − cos140o ) − ( cos120o + cos 20o ) 2 2 2 1 1⎛ 1 ⎞ P = 1 − ( cos100o + cos140o ) − ⎜ − + cos 20o ⎟ 2 2⎝ 2 ⎠ 1 1 P = 1 − ( cos120o cos 20o ) + − cos 20o 4 2 5 1 1 5 P = + cos 20o − cos 20o = 4 2 2 4 Bài 18 : Chứng minh : tg30o + tg40o + tg50o + tg60o = sin ( a + b ) cos a cos b o o Ta... cos 3.2x ) 4 1 = ( 3 cos 2x + 4 cos3 2x − 3 cos 2x ) ( bỏ dòng này cũng được) 4 = cos3 2x Bài 16 : Chứng minh : cos12o + cos18o − 4 cos15o.cos 21o cos 24 o = − Ta có : cos12o + cos 18 o − 4 cos15o ( cos 21o cos 24o ) 3 +1 2 = 2 cos15o cos 3o − 2 cos15o ( cos 45o + cos 3o ) = 2 cos15o cos 3o − 2 cos15o cos 45o − 2 cos15o cos 3o = −2 cos15o cos 45o = − ( cos 60o + cos 30o ) =− 3 +1 2 Bài 17 : Tính P =... 4x ) − sin4 2x 16 16 2 1 1 1 ⎤ = 9 + 6 cos 4x + cos2 4x ) − ⎢ (1 − cos 4x ) ⎥ ( 16 8 ⎣2 ⎦ 9 3 1 1 = + cos 4x + (1 + cos 8x ) − (1 − 2 cos 4x + cos2 4x ) 16 8 32 32 9 3 1 1 1 = + cos 4x + cos 8x + cos 4x − (1 + cos 8x ) 16 8 32 16 64 35 7 1 = + cos 4x + cos 8x 64 16 64 = Bài 15 : Chứng minh : sin 3x.sin3 x + cos 3x.cos3 x = cos3 2x Cách 1: Ta có : sin 3x.sin3 x + cos 3x.cos3 x = cos3 2x = ( 3sin x −... 2 2 sin2 2x 4 1 = 1 − (1 − cos 4 x ) 4 3 1 = + cos 4x 4 4 =1 b/ Ta có : sin6x + cos6x = ( sin 2 x + cos2 x )( sin 4 x − sin 2 x cos2 x + cos4 x ) = ( sin4 x + cos4 x ) − 1 sin2 2x 4 ⎛3 11 = ⎜ + cos 4x ⎟ − (1 − cos 4x ) ⎝4 4 ⎠ 8 3 5 = cos 4x + 8 8 ( do kết quả câu a ) c/ Ta có : sin 8 x + cos8 x = ( sin 4 x + cos4 x ) − 2 sin 4 x cos4 x 2 1 2 2 ( 3 + cos 4x ) − sin4 2x 16 16 2 1 1 1 ⎤ = 9 + 6 cos... ⎣ 2 2 2⎦ 1 A A⎤ 1 ⎡ B B⎤ 1 ⎡ C C⎤ = ⎢ tg + cot g ⎥ + ⎢ tg + cot g ⎥ + ⎢ tg + cot g ⎥ 2⎣ 2 2⎦ 2⎣ 2 2⎦ 2⎣ 2 2⎦ 1 1 1 = + + sin A sin B sin C BÀI TẬP 1 Chứng minh : π 2π 1 = a/ cos − cos 2 5 5 o o cos15 + sin15 = 3 b/ cos15o − sin15o 2π 4π 6π 1 + cos + cos =− c/ cos 7 7 7 2 3 3 d/ sin 2x sin 6x + cos 2x.cos 6x = cos3 4x e/ tg20o.tg40o.tg60o.tg80o = 3 π 2π 5π π 8 3 π + tg + tg + tg = cos 6 9 18 3 3 9... = sin 90o sin 90o + cos 50o cos 40o cos 30o cos 60o 1 1 = + o o 1 sin 40 cos 40 cos 30o 2 2 2 = + o sin 80 cos 30o 1 ⎞ ⎛ 1 = 2⎜ + ⎟ o cos 30o ⎠ ⎝ cos10 ⎛ cos 30o + cos10o ⎞ = 2⎜ o o ⎟ ⎝ cos10 cos 30 ⎠ = cos 20p cos10o cos10o cos 30o 8 3 = cos 20o 3 Bài 19 : Cho ΔABC , Chứng minh : =4 8 3 cos 20o 3 A B C cos cos 2 2 2 A B C b/ socA + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin 2 2 2 c/ sin 2A + sin 2B + sin 2C... + tg + tg + tg = cos 6 9 18 3 3 9 π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 1 cos cos cos cos cos = g/ cos cos 15 15 15 15 15 15 15 27 ⎡π ⎤ ⎡π ⎤ h/ tgx.tg ⎢ − x ⎥ tg ⎢ + x ⎥ = tg3x ⎣3 ⎦ ⎣3 ⎦ f/ tg k/ tg20o + tg40o + 3tg20o.tg40o = 3 3 8 o o o o m/ tg5 tg55 tg65 tg75 = 1 e/ sin 20o.sin 40o.sin 80o = ⎧sin x = 2 sin ( x + y ) ⎪ 2 Chứng minh rằng nếu ⎨ π ⎪ x + y ≠ ( 2k + 1) ( k ∈ z ) ⎩ 2 thì tg ( x + y ) = sin y cos y − 2 3... 2x 1 − sin 2 x cos2 x ⎤ ⎣ ⎦ 1 ⎛ ⎞ = −3 cos 2x + 4 cos 2x ⎜ 1 − sin 2 2x ⎟ 4 ⎝ ⎠ 1 ⎡ ⎛ ⎞⎤ = cos 2x ⎢ −3 + 4 ⎜ 1 − sin 2 2x ⎟ ⎥ 4 ⎝ ⎠⎦ ⎣ = cos 2x (1 − sin 2 2x ) = cos3 2x Cách 2 : Ta có : sin 3x.sin3 x + cos 3x.cos3 x ⎛ 3sin x − sin 3x ⎞ ⎛ 3 cos x + cos 3x ⎞ = sin 3x ⎜ ⎟ ⎟ + cos 3x ⎜ 4 4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 1 = ( sin 3x sin x + cos 3x cos x ) + ( cos2 3x − sin2 3x ) 4 4 3 1 = cos ( 3x − x ) + cos 6x 4 4 1 = . ()()()= + +ooo 11 1P 1 cos100 1 cos140 cos120 cos20222 oTa coự : ()oo 11 1P 1 cos100 cos140 cos 20222= + + o()oo 11 P 1 cos120 cos20 cos. 0,tgx1≠≠ Ta có: 2cotgxBtgx1 cotgx1 1 +=+−− 1 1221tgxtgxB 1 tgx1 tgx11tgx 1 tgx++⇔= + = +−−−− ()21tgx1tgxB1tgx 1 tgx 1 −−−⇔=
- Xem thêm -

Xem thêm: Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 1 doc, Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 1 doc, Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 1 doc

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn