Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 11 doc

17 466 3

Daniel Gửi tin nhắn Báo tài liệu vi phạm

Tải lên: 111,441 tài liệu

  • Loading ...
1/17 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 20/01/2014, 15:20

CHƯƠNG XI: NHẬN DẠNG TAM GIÁC I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC Bài 201: Tính các góc của ABCΔ nếu : ()()()()3sin B C sin C A cos A B *2++ ++ += Do ABC++=π Nên: ()3*sinAsinBcosC2⇔+−= +−⎛⎞⇔−⎜⎟⎝⎠−⇔−=−⇔− +=−−⎛⎞−=⇔−+−⎜⎟⎝⎠−−⎛⎞⇔− + =⎜⎟⎝⎠−⎧=⎪⎪⇔⎨−⎪=⎪⎩==⇔2222222=ABAB C 32 sin cos 2 cos 122 2CAB C12cos cos 2cos22 22CCAB4cos 4cos cos 1 0222CAB AB2cos cos 1 cos 022 2CAB AB2 cos cos sin 022 2CAB2cos cos22ABsin 02C2cos cos0 12A2⎧π⎧⎪=⎪⎪⇔⎨⎨−⎪⎪==⎩⎪⎩π⎧==⎪⎪⇔⎨π⎪=⎪⎩C23BAB02AB62C3 Bài 202: Tính các góc của ABCΔ biết: ()5cos2A 3 cos 2B cos2C 0 (*)2+++= Ta có: () ()()25*2cosA123cosBCcosBC20⇔−+ + − + =⎡⎤⎣⎦ ()() ()() ()()()⇔− −+=⎡⎤⇔−−+−−⎣⎦⎡⎤⇔− −+ −=⎣⎦−=⎧−=⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨==−⎪⎪⎩⎩⎧=⎪⇔⎨==⎪⎩22222004cos A 4 3cosA.cos B C 3 02cosA 3cos B C 3 3cos B C 02cosA 3cos B C 3sin B C 0sin B C 0BC 033cos Acos A cos B C22A30BC75= Bài 203: Chứng minh ABCΔ có nếu : 0C 120=ABCsin A sin B sin C 2sin sin 2sin (*)22 2++− ⋅ = Ta có ABABCC ABC(*) 2sin cos 2sin cos 2sin sin 2sin22 2222CAB CC AB A2cos cos 2sin cos 2cos 2sin sin22 22 2 2CAB C ABcos cos sin cos cos22 2 22CAB AB ABcos cos cos cos cos22 2 22CAB AB2cos cos cos cos cos222 22+−⇔+=−+⇔+=+−⎛⎞⇔+=⋅⎜⎟⎝⎠−+⎡⎤⇔+=⎢⎥⎣⎦⇔=2B2+ C1cos22⇔= (do Acos 02> và Bcos 02> vì AB0;22 2π<<) ⇔=0C120 Bài 204: Tính các góc của CΔΑΒ biết số đo 3 góc tạo cấp số cộng và 33sin A sin B sin C2+++= Không làm mất tính chất tổng quát của bài toán giả sử ABC<< Ta có: A, B, C tạo 1 cấp số cộng nên A + C = 2B Mà ABC++=πnên B3π= Lúc đó: 33sin A sin B sin C2+++= 33sin A sin sin C323sin A sin C2AC AC 32sin cos222BAC32cos cos2223AC32. cos222CA 3cos cos22 6π+⇔++=⇔+=+−⇔=−⇔=⎛⎞−⇔=⎜⎟⎜⎟⎝⎠−π⇔== Do C > A nên có: CΔΑΒ−ππ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪ππ⎪⎪+= ⇔ =⎨⎨⎪⎪ππ⎪⎪==⎪⎪⎩⎩CAC2622CA A36BB33 Bài 205: Tính các góc của ABCΔnếu ()()⎧+≤⎪⎨++=+⎪⎩22 2bca 1sin A sin B sin C 1 2 2 Áp dụng đònh lý hàm cosin: 22bcacos A2bc+−=22 Do (1): nên co22bca+≤s A 0≤ Do đó: AA24ππ≤<π⇔≤ <22π Vậy ()A2cos cos242π≤=∗ Mặt khác: sin A sin B sinC++BC BCsin A 2sin cos22+−=+ ABCsin A 2 cos cos22−=+ 212 12⎛⎞≤+⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠ ()−⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠BCdo * và cos 12 Mà sin A sin B sin C 1 2 do (2)++=+ Dấu “=” tại (2) xảy ra ⎧=⎪⎪⎪⇔=⎨⎪−⎪=⎪⎩sin A 1A2cos22BCcos 12π⎧=⎪⎪⇔⎨π⎪==⎪⎩A2BC4 Bài 206: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004) Cho ABCΔ không tù thỏa điều kiện ()cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3 *++= Tính ba góc của ABCΔ * Cách 1: Đặt M = cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3++− Ta có: M = 2BC BC2cos A 4 2 cos cos 422+−+− ⇔ M = 2ABC2cos A 4 2sin cos 422−+− Do Asin 02> vàB - Ccos 12≤ Nên 2AM2cosA42sin 42≤+− Mặt khác: ABCΔkhông tù nên 0A2π<≤ ⇒≤ ≤⇒≤20cosA1cos A cos ADo đó: AM2cosA42sin 42≤+ − 222AAM12sin 42sin22AAM4sin 42sin 222AM22sin 1 02⎛⎞⇔≤− + −⎜⎟⎝⎠⇔≤− + −⎛⎞⇔≤− − ≤⎜⎟⎝⎠4 Do giả thiết (*) ta có M=0 Vậy: 200cos A cos AA90BCcos 12BC45A1sin22⎧⎪=⎪⎧=−⎪⎪=⇔⎨⎨==⎪⎩⎪⎪=⎪⎩ * Cách 2: ()* cos2A 22cosB 22cosC 3 0⇔+ + −= ()()()()2222222BC BCcos A 2 2 cos cos 2 022ABCcos A cos A cos A 2 2 sin cos 2 022AABCcos A cos A 1 1 2sin 2 2 sin cos 2 0222ABC BCcos A cos A 1 2 sin cos 1 cos 022 2ABC Bcos A cos A 1 2 sin cos sin22+−⇔+ −=−⇔−++ −=−⎛⎞⇔−+−+ −⎜⎟⎝⎠−−⎛⎞⎛⇔−−−−−⎜⎟⎜⎝⎠⎝−−⎛⎞⇔−−−−⎜⎟⎝⎠=⎞=⎟⎠C0(*)2= Do ABCΔ không tù nên và cocos A 0≥s A 1 0−< Vậy vế trái của (*) luôn ≤ 0 Dấu “=” xảy ra cos A 0ABC2sin cos22BCsin 02⎧⎪=⎪−⎪⇔=⎨⎪−⎪=⎪⎩ ⎧=⎪⇔⎨==⎪⎩00A90BC45Bài 207: Chứng minh ABCΔcó ít nhất 1 góc 600 khi và chỉ khi sin A sin B sin C3(*)cos A cos B cosC++=++ Ta có: ()()()(*) sin A 3 cos A sin B 3 cosB sin C 3 cosC 0⇔− +− +− = sin A sin B sin C 0333AB AB2sin cos sin C 023 2 3πππ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⇔−+−+−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠+π − π⎛⎞ ⎛⇔−+−⎜⎟ ⎜⎝⎠ ⎝⎞=⎟⎠ CABCC2sin cos 2sin cos 022 3 2 26 26CABC2sin cos cos 026 2 26⎡π π⎤ − π π⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞⇔−− +− −⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠⎣⎦π⎡ − π⎤⎛⎞ ⎛⎞⇔−− +−=⎜⎟ ⎜⎟⎢⎥⎝⎠ ⎝⎠⎣⎦= π− ππ⎛⎞ ⎛⎞⎛⇔−=∨ =−=−⎜⎟ ⎜⎟⎜⎝⎠ ⎝⎠⎝CABCsin 0 cos cos cos26 2 26 3 2+⎞⎟⎠AB π−π+−+π+⇔=∨ =− ∨ =−CABABABA26 2 3 2 2 3 2B ππ⇔=∨=∨=CAB33π3 Bài 208: Cho ABCΔ và V = cos2A + cos2B + cos2C – 1. Chứng minh: a/ Nếu V = 0 thì ABCΔ có một góc vuông b/ Nếu V < 0 thì ABCΔ có ba góc nhọn c/ Nếu V > 0 thì ABCΔ có một góc tù Ta có: ()()211V1cos2A 1cos2B cos 122=++++− ()()()()()(2221V cos2A cos2B cos C2)Vcos A B .cos A B cos CV cosC.cos A B cos CVcosC cos A B cos A BV2cosC cos A cosB⇔= + +⇔= + −+⇔=− −+⇔=− −+ +⎡⎤⎣⎦⇔=− Do đó: a / V 0 cos A 0 cos B 0 cosC 0=⇔=∨=∨= ⇔ABCΔ⊥ tại A hayABCΔ⊥ tại B hayABCΔ⊥ tại C b / V 0 cos A.cos B.cosC 0<⇔> ⇔ABCΔ có ba góc nhọn ( vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn 1 góc tù nên không có trường hợp có 2 cos cùng âm ) c / V 0 cos A.cosB.cosC 0>⇔ < cos A 0 cos B 0 cos C 0⇔<∨<∨< ⇔ABCΔ có 1 góc tù. II. TAM GIÁC VUÔNG Bài 209: Cho ABCΔ có +=Baccotg2b Chứng minh ABCΔ vuông Ta có: Baccotg2b+= ++⇔= =Bcos2R sin A 2R sin C sin A sin C2B2R sin B sin Bsin2 +−⇔=BACAcos 2 sin . cos22BBsin 2 sin .cos22C2B2 −⇔= >2BBAC Bcos cos . cos (do sin 0)22 2 2 −⇔= >BAC Bcos cos (do cos 0)22 2 −−⇔= ∨=⇔=+∨=+BACBCA2222ABCCAB ππ⇔=∨=⇔Δ ΔAC22 ABC vuông tại A hay ABC vuông tại C Bài 210: Chứng minh ABCΔ vuông tại A nếu bc acos B cosC sin Bsin C+= Ta có: bc acos B cosC sin Bsin C+= ⇔+=+⇔=2R sin B 2R sin C 2R sin AcosB cosC sin Bsin Csin BcosC sin C cos B sin Acos B.cos C sin Bsin C ()+⇔=⇔=sin B Csin Acos B.cos C sin Bsin Ccos B cos C sin Bsin C (do sin A 0)> ()⇔−⇔+=π⇔+=⇔Δcos B.cos C sin B.sin C 0cos B C 0BC2ABC vuông tại A= Bài 211: Cho ABCΔ có: ABC ABC1cos cos cos sin sin sin (*)222 2222⋅⋅−⋅⋅= Chứng minh ABCΔ vuông Ta có: ⇔=++− +−⎡⎤⎡⇔+ =−−⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎤⎥⎦ABC1 ABC(*) cos cos cos sin sin sin2222 2221AB ABC11AB ABcos cos cos cos cos sin22 22222 2C2 −−⎡⎤⎡⎤⇔+ =−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−−⇔+ =−+=−+22CABC CABCsin cos cos 1 sin cos sin222 222CC ABC C C C ABsin cos cos cos 1 sin cos 1 sin cos sin22 2 2 2 2 2 2C2 −−⇔+ =+2C C AB C C AB Csin cos cos cos cos cos sin22 2 2 2 2 2 −⎡⎤⎡⎤⇔−= −⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−⎡⎤⎡ ⎤⇔− − =⎢⎥⎢ ⎥⎣⎦⎣ ⎦CC C ABC Ccos sin cos cos sin cos22 2 2 2 2CCCABsin cos cos cos 0222 2 −⇔=∨=−−⇔ =∨= ∨=π⇔=∨=+∨=+πππ⇔=∨=∨=CCCAsin cos cos cos222 2CCABCBtg 122222CABCBAC24CAB222BA Bài 212: Chứng minh ABCΔ vuông nếu: 3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2 cos C) 15+++= Do bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có: 223cosB 4sinB 9 16 cos B sin B 15+≤+ += và 226sin C 8cosC 36 64 sin C cos C 10+≤+ += nên: 3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2 cos C) 15+++≤Dấu “=” xảy ra cosB sin B 4tgB34sin C cosC 4cotgC=68⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎪⎪=⎪⎪⎩⎩33 ⇔=π⇔+=tgB cotgCBC2 ABC⇔Δvuông tại A. Bài 213: Cho ABCΔ có: sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B+= Chứng minh ABCΔ vuông. Ta có: +=sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B[][]⇔+ −=−+−−⇔+=−+ −2sin(A B) cos(A B) 2 cos(A B) cos(A B)cos(A B) 1 sin(A B) cos(A B) []⇔− = − −cos C 1 sin C cos(A B) ⇔− + = − −2cos C(1 sin C) (1 sin C). cos(A B) ⇔− + = −2cos C(1 sin C) cos C.cos(A B) ⇔= −+ = −cos C 0 hay (1 sin C) cos C.cos(A B) (*) ⇔=cos C 0 ( Do nên sin C 0>(1 sin C) 1−+ <−Mà .Vậy (*) vô nghiệm.) cosC.cos(A B) 1−≥−Do đó ABCΔ vuông tại C III. TAM GIÁC CÂN Bài 214:Chứng minh nếu ABCΔ có CtgA tgB 2 cotg2+= thì là tam giác cân. Ta có: CtgA tgB 2 cotg2+= C2cossin(A B)2Ccos A.cos Bsin2C2cossin C2Ccos A.cos Bsin2CC C2sin cos 2cos22Ccos A cosBsin2+⇔=⇔=⇔=2 ⇔2CCsin cos A.cos B do cos 022⎛⎞=>⎜⎟⎝⎠ ()()(()()⇔− = ++ −⎡⎤⎣⎦⇔− =− + −⇔−=⇔=111cosC cosAB cosAB221 cosC cosC cos A Bcos A B 1)AB ABC⇔Δ cân tại C. Bài 215: Chứng minh ABCΔ cân nếu: 33ABBsin .cos sin .cos22 22=A Ta có: 33ABBsin .cos sin .cos22 22=A 22ABsin sin1122AA BBcos cos cos cos22 22⎛⎞ ⎛⎞⎜⎟ ⎜⎟⇔=⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ (do Acos2>0 và Bcos2>0 ) 223322AAB Btg 1 tg tg 1 tg2222ABABtg tg tg tg 02222AB A BABtg tg 1 tg tg tg .tg 0 (*)22 2 222⎛⎞⎛⎞⇔+=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⇔−+−=⎛⎞⎡ ⎤⇔− +++ =⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣ ⎦ ⇔=ABtg tg22 ( vì 22ABAB1tg tg tg tg 02222+++ >) ⇔=AB ABC⇔Δ cân tại C Bài 216: Chứng minh ABCΔ cân nếu: ()222222cos A cos B 1cotg A cotg B (*)sin A sin B 2+=++ Ta có: (*) 2222 2 2cos A cos B 1 1 12sin A sin B 2 sin A sin B+⎛⎞⇔=+⎜⎟+⎝⎠− 2222 2 2cos A cos B 1 1 11sin A sin B 2 sin A sin B+⎛⎞⇔+=+⎜⎟+⎝⎠ ⎛⎞⇔=+⎜⎟+⎝⎠22 2 221112sin A sin B sin A sin B ()⇔=+222 2 24 sin A sin B sin A sin B ()220sinAsinBsin A sin B⇔= −⇔= Vậy ABCΔ cân tại C Bài 217: Chứng minh ABCΔ cân nếu: ()Ca b tg atgA btgB (*)2+= + Ta có: ()Ca b tg atgA btgB2+= + ()⇔+ = +Ca b cotg atgA btgB2 ⎡⎤⎡⇔− +−⎢⎥⎢⎣⎦⎣CCa tgA cotg b tgB cotg 022⎤=⎥⎦ ++⎡⎤⎡⇔− +−⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎤=⎥⎦ABAa tgA tg b tgB tg 022B −−⇔+++=ABBAa sin b sin220AB ABcos A. cos cos B. cos22 [...]... b + c b/ 3S = 2R 2 ( sin 3 A + sin 3 B + sin 3 C ) c/ sin A + sin B + sin C = 4 sin A sin B sin C 9R d/ m a + m b + m c = vớ i ma , m b , mc là 3 đườ n g trung tuyế n 2 Th.S Phạm Hồng Danh – TT luyện thi Vĩnh Viễn . 12π⎧=⎪⎪⇔⎨π⎪==⎪⎩A2BC4 Bài 206: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004) Cho ABCΔ không tù thỏa điều kiện ()cos2A 2 2cosB 2 2cosC. CHƯƠNG XI: NHẬN DẠNG TAM GIÁC I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC Bài 201: Tính các góc của ABCΔ nếu :
- Xem thêm -

Xem thêm: Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 11 doc, Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 11 doc, Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 11 doc

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn