Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 10 pdf

16 493 4
  • Loading ...
1/16 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 20/01/2014, 15:20

CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC I. ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN Cho ABCΔ có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của A,B,C, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCΔ, S là diện tích ABCΔ thì ====+− =+−=+− =+−=+− =+−222 22222 22222 22abc2Rsin A sin B sin Cabc2bccosAbc4S.cotgbac2accosBac4S.cotgBcab2abcosCab4S.cotgAC Bài 184 Cho ABCΔ. Chứng minh: 22A2B a b bc=⇔=+ Ta có: 2 2 22 22 2a b bc 4R sin A 4R sin B 4R sinB.sinC=+⇔ = + ()()()()()()() ()()()⇔−=⇔− −− =⇔−=⇔− + − =⇔+ −=⇔−= += >⇔−=∨−=π−⇔=22sin A sin B sin B sin C111 cos 2A 1 cos 2B sin Bsin C22cos 2B cos 2A 2sin B sin C2 sin B A sin B A 2 sin B sin Csin B A sin A B sin B sin Csin A B sin B do sin A B sin C 0ABBAB BloạiA2B Cách khác: −=⇔− +=+− + −⇔=22sin A sin B sin B sin C(s in A sin B) (s in A sin B) sin B sin CAB AB AB AB2 cos sin .2 sin co s sin B sin C22 2 2 ()()() ()()()⇔+ −=⇔−= +=>⇔−=∨−=π−⇔=sin B A sin A B sin B sin Csin A B sin B do sin A B sin C 0ABBAB BloạiA2B Bài 185: Cho ABCΔ. Chứng minh: ()222sin A Babsin C c−−= Ta có −−=22 22 22222ab 4RsinA4RsinBc4RsinC ()()()()()() ()()()−−−−==−+ −−==+− −==+= >2222222111 cos 2A 1 cos 2Bsin A sin B22sin C sin C2sin A B sin B Acos 2B cos 2A2sin C 2sin Csin A B . sin A B sin A Bsin Csin Cdo sin A B sin C 0 Bài 186: Cho ABCΔ biết rằng AB1tg tg223⋅=⋅ Chứng minh ab 2c+= Ta có : ⋅=⇔ =AB1 A B A Btg tg 3sin sin cos cos223 22 22 ABdo cos 0,cos 022⎛⎞>>⎜⎟⎝⎠ ()ABABA2sin sin cos cos sin sin22 22 22AB AB ABcos cos cos22 2AB ABcos 2cos *22⇔=−+− +⎡⎤⇔− − =⎢⎥⎣⎦−+⇔=B Mặt khác: ()ab2RsinAsinB+= + ()()()+−=++==+==ABAB4R sin cos22AB AB8R sin cos do *224R sin A B4R sin C 2c Cách khác: ()+=⇔+=ab2c2R sin A sin B 4R sin C +−⇔=−++⎛⎞⇔== =⎜⎟⎝⎠ABAB CC2sin cos 4sin cos22 22ABC AB ABcos 2 sin 2 cos do sin cos22 2 2C2 ⇔+= −⇔=ABAB AB Acos cos sin sin 2 cos cos 2sin sin22 22 22 2AB AB3sin sin cos cos22 22B2 ⇔⋅=AB1tg tg223 Bài 187: Cho ABCΔ, chứng minh nếu tạo một cấp số cộng thì cotgA,cotgB, cotgC222a,b,ccũng là cấp số cộng. Ta có: ()⇔+=cot gA, cot gB, cot gC là cấp số cộng cot gA cot gC 2 cot gB *Cách 1: ()()()() ()()()()[]()()()22222222 2 2222sin A C2cosBTa có: * sin B 2sin A sinCcosBsin A sin C sin BsinB cosA C cosA C cosA Csin B cos A C cos A C cos A C1sin B cos B cos 2A cos 2C21sin B 1 sin B 1 2sin A 1 2sin C22sin B sin A sin C+⇔=⇔=⇔=− +−−−+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⇔= +−− +⇔=− +⎡⎤⇔=− −− +− ⎣⎦⇔=+⇔22 22222222222b a c4R 4R 4R2b a ca , b ,c là câùp số cộng=+⇔=+⇔•Cách 2: ()=+−⎛⎞⇔=+−⎜⎟⎝⎠⇔=+−+−=+− +−==+− +− +−⇔+=⋅⇔=+22222222222 222 2 2 2222 2 2 22 22 2222Ta có: a b c 2ab cos A1abc4bcsinA.cotgA2abc4ScotgAbcaDo đó cotgA4Sacb abcTương tự cotgB , cotgC4S 4Sbca abc acbDo đó: * 24S 4S 4S2b a c Bài 188: Cho ABCΔ có 22sin B sin C 2sin A+=2 Chứng minh 0BAC 60 .≤ ()22 222 222 222 2Ta có: sin B sin C 2sin Abc2a4R 4R 4Rbc 2a*+=⇔+=⇔+=A Do đònh lý hàm cosin nên ta có 222abc2bccos=+− ()()()+−−+−⇔= =+=≥=≤22 2222 22202b c b cbcacos A ( do * )2bc 4bcbc 2bc1do Cauchy4bc 4bc 2Vạây : BAC 60 . Cách khác: đònh lý hàm cosin cho =+− ⇒+=+222 222a b c 2bc cos A b c a 2bc cos A Do đó (*) a bc cos A aabccos A ( do Cauchy)bcbc⇔+ =+⇔== ≥22222221242 Bài 189: Cho ABCΔ. Chứng minh : ()222Ra b ccotgA+cotgB+cotgCabc++= +−=+− +−==++++++= =++=22 222 2 2 22222 22222bcaTa có: cotgA4Sacb abcTương tự: cotgB ,cotgC4S 4Sabc abcDo đó cot gA cot gB cot gCabc4S44RabcRabc2 Bài 190: Cho ABCΔ có 3 góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 2. Giả sử A < B < C. Chứng minh: =+111abc Do A, B, C là cấp số nhân có q = 2 nên B = 2A, C = 2B = 4A 24Mà A B C nên A ,B ,C77 7πππ++=π = = = Cách 1: += +⎛⎞⎜⎟=+⎜⎟ππ⎜⎟⎜⎟⎝⎠ππ+=ππππππ⎛⎞=⋅ =⎜⎟ππ⎝⎠π=⋅ =ππ=11 1 1Ta có:b c 2R sin B 2R sin C11 1242Rsin sin7742sin sin177242Rsin sin7732sin .cos14377do sin sin232R 7 7sin .sin77cos117R2RsinA2sin .cos771a Cách 2: =+⇔ = ++⇔= + =⇔= = =ππ===•111 1 1 1a b c sin A sin B sin C11 1sin4Asin2Asin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A1 2sin3A.cosA 2cosA 2cosAsin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A34do : sin 3A sin sin sin 4A77 Bài 191: Tính các góc của ABCΔnếu sin A sin B sin C123== Do đònh lý hàm sin: abc2Rsin A sin B sin C=== nên : ()sin A sin B sin C*123== abc2R 4R2R 3bcba3a23c2a⇔= =⎧=⎪⇔= =⇔⎨=⎪⎩ ()()22222200Ta có: c 4a a 3 acbaVạây ABC vuông tạiCThay sin C 1 vào * ta đượcsin A sin B 11231sin A23sin B2A30B60== +⇔=+Δ===⎧=⎪⎪⇔⎨⎪=⎪⎩⎧=⎪⇔⎨=⎪⎩2 Ghi chú: Trong tam giác ABC ta có a b A B sin A sin B cos A cos B=⇔ = ⇔ = ⇔ = II. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Cho UABC có trung tuyến AM thì: 222 2BCAB AC 2AM2+= + hay : 222 2aacb2m2+= + Bài 192: Cho UABC có AM trung tuyến, AMB = α, AC = b, AB = c, S là diện tích UABC. Với 0 < < 90 α0 a/ Chứng minh: 22bccotg−4Sα= b/ Giả sử α=, chứng minh: cotgC – cotgB = 2 045 a/ UAHM vuông HM MB BHcotgAHAH−⇒α= = ()aBHcotg 12AH AH⇒α= − Mặt khác: ()2222ac2accosBcbc4S 2AH.a+− −−=2 Đặt BC = a 22bc a ccosB a BH4S 2AH AH 2AH AH−⇒=−=− (2) Từ (1) và (2) ta được : 22bccotg4S−α= Cách khác: Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có: +−α=2212AMBMccotg4S (3) +−−α=2222AMCMbcotg4S (4) Lấy (3) – (4) ta có : −α=22bccotg4S ( vì S1=S2 =S2) b/Ta có: cotgC – cotgB = HC HB HC HBAHAH AH−−= = ()()MH MC MB MHAH+−− = =α= =02MH2cotg 2cotg45 2AH Cách khác: p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABM và ACM ta có: +−=221BM c AMcotg B4S2 (5) +−=222CM b AMcotg C4S2 (6) Lấy (6) – (5) ta có : −−= =22bccotg C cot gB 2 cot g2Sα=2 ( vì S1=S2 =S2 và câu a ) Bài 193 Cho UABC có trung tuyến phát xuất từ B và C là thỏa bm,mcbcmc1bm=≠. Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC Ta có: 22b22cmcbm= ()()()(())⎛⎞+−⎜⎟⎝⎠⇔=⎛⎞+−⎜⎟⎝⎠⇔+−=+−⇔−= −⇔−=− +⎛⎞⇔=+ ≠⎜⎟⎝⎠222222224422 22 2 2 2222 2 2 4 422 2 2 2 2 22221bac22cb1cba22cbbc ac ab bc221ac ab c b21ac b c b c b2c2a c b 1 do 1b Thay vào (1), ta có (1) thành +=+22 2bca2bccosA =2a2bccosA()()()⇔==+⇔= =222a4RsinAcos A2bc 2 2R sin B 2R sin Csin B Ccos A sin A2sin A sin B sin C sin Bsin C +⇔= =+sinBcosC sinCcosB2 cotgA cotgC cotgBsin B sin C Bài 194: Chứng minh nếu UABC có trung tuyến AA’ vuông góc với trung tuyến BB’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB) UGAB vuông tại G có GC’ trung tuyến nên AB = 2GC’ Vậy 2ABC3′= C 22c22222229c 4mc9c 2 b a25c a b⇔=⎛⎞⇔= +−⎜⎟⎝⎠⇔=+ 225c c 2abcosC⇔=+(do đònh lý hàm cos) ()()()222c ab cosC2 2RsinC 2RsinA 2RsinB cosC⇔=⇔= ⇔=⇔=22 sin C sin A sin B cos C2sinC cosCsin A sin B sin C ()+⇔=2sin A BcotgCsin A sin B ()()+⇔=⇔+=2 sin A cos B sin B cos AcotgCsin A sin B2 cotg B cotgA cotgC III. DIỆN TÍCH TAM GIÁC Gọi S: diện tích UABC R: bán kính đường tròn ngoại tiếp UABC r: bán kính đường tròn nội tiếp UABC p: nửa chu vi của UABC thì ()()()abc111S a.h b.h c.h222111S absinC acsinB bcsinA222abcS4RSprS ppapbpc=========−−− Bài 195: Cho UABC chứng minh: 22Ssin 2A sin 2B sin2CR++= Ta có: ()sin2A+ sin2B + sin2C= sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C)= 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C)= 2sinA[cosA + cos(B - C)] = 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)]= 2sinA.[2sinB.sinC] =3abc 1abc= 4. . .2R 2R 2R 2R==3214RS 2S2RR Bài 196 Cho UABC. Chứng minh : S = Diện tích (UABC) = ()221asin2B bsin2A4+ Ta có : ()1S = dt ABC absin C2Δ= ()+1=absinAB2 []+1= ab sin A cos B sinB cos A2 ()⎡⎤⎛⎞⎛⎞+⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎡⎤⎣⎦+22221a b = ab sin B cos B sin A cos A (do đl hàm sin)2b a1 = a sin B cos B+ b sin A cos A21 = a sin 2B b sin 2A4 Bài 197: Cho ABCΔ có trọng tâm G vàGAB ,GBC ,GCA .=α=β=γ Chứng minh: ()2223a b ccotg + cotg +cotg =4S++αβγ Gọi M là trung điểm BC, vẽ MH AB⊥ AHAMH cosAMBH 2BHBHM cosBMB aΔ⊥⇒α=Δ⊥⇒== Ta có: AB = HA + HB ()acAMcos cosB21acos c cos B 1AM 2⇔= α+⎛⎞⇔α= −⎜⎟⎝⎠ Mặt khác do áp dụng đònh lý hàm sin vào AMBΔ ta có : MB AM 1 asin MB sin B sin B (2)sin sin B AM 2AM=⇔α= =α Lấy (1) chia cho (2) ta được : −−α=accosB2c a cos B2cotg =absin B a.22R ()()−−+− +−2222 222R4c 2accosBR4c 2acosB = =ab abc3cba3cba = = abc4SR [...]... ha = Do đó : 1 1 a.ha = b.h b 2 2 2pr 2pr và h b = a b 2 ⎛1 1⎞ pr ⎜ + ⎟ 3 ⎝a b⎠ 1 ⎛a + b⎞ ⇔ 1 = p⎜ ⎟ 3 ⎝ ab ⎠ a+b+c a+b ⇔3= ⋅ 2 ab 2ab a+b+c ⇔ = a+b 3 Từ (3) ta có : 2r = Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn) BÀI TẬP 1 2 3 4 5 Cho ΔABC có ba cạ n h là a, b, c R và r lầ n lượ t là bá n kính đừ ơ ng trò n ngoạ i tiế p và nộ i tiế p ΔABC Chứ n g minh: C A B a/ ( a − b ) cotg + ( b − c ) cotg + . CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC I. ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN Cho ABCΔ có a, b, c. Cách khác: Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có: +−α=2212AMBMccotg4S
- Xem thêm -

Xem thêm: Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 10 pdf, Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 10 pdf, Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 10 pdf

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn