Đang tải... (xem toàn văn)
Giải tích 1 - Chương 1 - Giới Hạn và Liên Tục - Đại Học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Giải tích 1 Chương 1: Giới hạn và liên tục • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân. Mục tiêu của môn học Toán 1 Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể. Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật. Giới hạn và liên tục Đạo hàm và vi phân Tích phân hàm một biến Phương trình vi phân Nhiệm vụ của sinh viên. Đi học đầy đủ. Làm tất cả các bài tập cho về nhà. Đọc bài mới trước khi đến lớp. Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: trắc nghiệm (20%), 20 câu hỏi/ 45 phút Thi cuối kỳ: thi viết (80%), thời gian 90 phút. Tài liệu tham khảo 1 . Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,… Phép tính vi phân hàm một biến. NXBGD, 2005 2 . Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1. 4 . James Stewart. Calculus, fifth edition, 2005. 5 . http://tanbachkhoa.edu.vn 3 . Đỗ Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia Nội dung 0.1 – Giới hạn của dãy số thực 0.2 – Giới hạn của hàm số 0.3 – Liên tục của hàm số Tập khác rỗng và bị chặn trên có cận trên đúng. Nguyên lý supremum. Tập khác rỗng và bị chặn dưới có cận dưới đúng. Giá trị nhỏ nhất của tập các cận trên của tập hợp A được gọi là cận trên đúng của A và ký hiệu là supA, supremum của A) Định nghĩa Giá trị lớn nhất của tập các cận dưới của tập hợp A được gọi là cận dưới đúng của A và ký hiệu là infA, ( infimum của A) I. Giới hạn của dãy số thực Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R. Định nghĩa : u N R → ( ) n u n a Thường dùng ký hiệu: hay đơn giản ( ) 1 n n u ∞ = ( ) n u được gọi là số hạng thứ n của dãy. n u Ví dụ: Dãy số là tập hợp vô hạn các số thực được đánh số theo thứ tự: { } 1 2 , , , , n u u u ( ) ( 1) 1 n n u n − = + ( ) ( ) 1 1 1 1 , , , , , 2 3 4 1 n n u n − − − = + Ghi ở dạng tường minh, ta có Nếu giới hạn của dãy là hữu hạn, thì dãy được gọi là dãy hội tụ. Số được gọi là giới hạn của dãy số , nếu Định nghĩa ( ) 0 0 0, n n n n u a ε ε ∀ > ∃ > ⇒ − < Ký hiệu: hay a ( ) n u lim n n u a →+∞ = n n u a →+∞ → Ngược lại, dãy được gọi là dãy phân kỳ. [...]... tăng và b ch n trên thì h i t Dãy gi m và b ch n dư i thì h i t Cho ( un ) tăng và b ch n trên T p S = {u1 , u2 , } khác r ng và b ch n trên Theo nguyên lý Supremum, có supS = a ( Theo đ nh nghĩa c a supS: ∀ε > 0, ∃n0 a − ε ≤ un0 ≤ a Vì ( un ) tăng nên ∀n > n0 ⇒ un ≥ un0 ⇒ a − ε ≤ un ≤ a < a + ε ⇒ un − a < ε ⇒ lim un = a n→∞ ) Ví d Ch ng t dãy truy h i ( un ) , u1 = 2; un +1 = 2 + un là dãy tăng và. .. lim un = +∞ hay un →+∞ Ký hi u: n→+∞ Ta nói ( un ) ti n đ n −∞ (ho c: nh n −∞ làm gi i h n) khi và ch khi: ∀B < 0, ∃n0 ∈ N ( n > n0 ⇒ un < B ) n→+∞ lim un = −∞ hay un →−∞ Ký hi u: n→+∞ M nh đ 1 (tính duy nh t c a gi i h n) N u dãy ( un ) h i t đ n hai s a và b, thì a = b Gi s lim un = a n→+∞ và a ≠ b Đ t nlim un = b →+∞ ∃na : ( ∀n > na ⇒ un − a < ε ) ⇒ ∃nb : ( ∀n > nb ⇒ un −... ch n trên Suy ra t n t i gi i h n và tìm gi i h n này Dùng qui n p, ch ng t Gi s ∀n ≤ k : un < 2 un < 2 Khi đó v i n = k + 1 uk +1 = 2 + uk < 2 + 2 = 2 V y dãy b ch n trên 2 un +1 = 2 + un > un + un > un = un V y dãy tăng ⇒ ∃ lim un = a a = 2+a ⇒ a − a − 2 = 0 ⇒ a = 2 2 Ví d n! Ch ng t dãy ( un ) , un = ( 2n + 1)!! là dãy gi m và b ch n dư i Suy ra t n t i gi i h n và tìm gi i h n này un +1 n +1 1... n n n s s Vì 1 − < 1 − , nên un < un +1 n n +1 V y dãy tăng S e s Ta có 1 − < 1 n và 1 1 ≤ n −1 , ∀n = 1, 2,3, n! 2 1 1 1 1 1 1 ⇒ un < 2 + + + + ≤ 2 + + + + n−1 2! 3! n! 2 4 2 ⇒ un ≤ 2 + 1 − 1 2n −1 = 3− 1 2n −1 1 u2 k ±1 = −1 + < 0 ⇒| un − un +1 |> 1 2k 2k ± 1 1 1 ∀a ∈ R Xét kho ng a − , a + 2 2 Hai s h ng k nhau không th cùng n m trong kho ng này V y không t n t i gi i h n Đ nh nghĩa Ta nói ( un ) ti n đ n +∞ (ho c: nh n +∞ làm gi i h n) khi và ch khi: ∀A > 0, ∃n0 ∈ N ( n > n0 ⇒ un > A ) n→+∞ lim... nb ⇒ un − b < ε ) a −b ε= 3 Đ t n0 = Max {na , nb } a − b = a − un + un − b ≤ un − a + un − b 2 ⇔ a − b < ε + ε = 2ε = | a − b | 3 Mâu thu n Tính ch t c a gi i h n N u các dãy ( un ) , ( vn ) h i t và ( un ) → a, ( vn ) → b , thì un các dãy {un ± vn } ; {un ⋅ vn } ; , (vn ≠ 0 & b ≠ 0); vn đ u h i t Ta có 1) lim ( un ± vn ) = a ± b un a 3) lim = n→∞ vn b 2) lim ( un ⋅ vn )... dãy b ch n nhưng không h i t ( (−1) ) n +∞ n =1 M nh đ 3 (đ nh lý k p) Cho 3 dãy ( un ) , ( vn ) , ( wn ) sao cho ∃n0 , ∀n > n0 ⇒ un ≤ vn ≤ w n→∞ un ) , ( wn ) cùng h i t đ n a, khi đó ( vn ) a → và ( Cho ε > 0 Vì ( un ) , ( wn ) h i t đ n a, nên ∃n1 , n2 ∈ N : ∀n > n1 ⇒| un − a |< ε ∀n > n2 ⇒| wn − a |< ε Đ t n0 = Max {n1 , n2 } Khi đó ∀n > n0 , ta có | un − a |< ε ⇒ −ε < un − a ≤ vn − . dụ : lim 1 1 n n n →∞ = + 0 ε ∀ > 1 1 n n ε − < + 1 1 n ε ⇔ < + 1 1 n ε ⇔ > − Chọn số tự nhiên 0 1 1 n ε > − Khi đó 0 :| 1| 1 1 n n n n. u n ∀ > − = − + 0 1 1 1 1n n ε = < < + + lim 1 1 n n n →∞ ⇒ = + (theo định nghĩa) Số không là giới hạn của dãy số , nếu ( ) 1 0 1 0 0, & n n