BÀI GIẢNG TOÁN II : GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN PGS . TS . NGUYỄN HỮU BẢO Trưởng Bộ môn Toán học, phó trưởng Khoa C N T T Trường ĐẠI HỌC THUỶ LỢI Trong hầu hết các bài toán của thực tế , đối tượng nghiên cứu thường là các hàm nhiều biến số chứ không chỉ là các hàm một biến như đã được học trong môn TOÁN I .Trong môn học TOÁN II này , chúng ta sẽ nghiên cứu các hàm nhiều biến và đặc biệt là hàm 2 biến để đơn giản cho cách trình bày mà vẫn không giảm tổng quát khi mở rộng cho nhiều hơn 2 biến. Các khái niệm khả vi , liên tục , khả tích … đều có khác hàm 1 biến và đặc biệt là các tích phân 2 hoặc 3 lớp , tích phân đường , tích phân mặt …là các khái niệm hoàn toàn mới so với các kiến thức được học ở trường phổ thông . Các bài toán cực trị hàm nhiều biến cùng với các vấn đề của lý thuyết trường sẽ là các kiến tức cốt lõi cho một kỹ sư trong tương lai Tuần 1 Chương 1 : KHÔNG GIAN 3 CHIỀU VÀ HÀM 3 BIẾN Hệ toạ độ trong không gian 3 chiều : Không gian R 3 đã được học ở chương trình phổ thông . Ký hiệu P=( x,y,z ) để chỉ một điểm P có toạ độ ( x,y,z ) trong không gian này . Hệ 3 véc tơ trực chuẩn i,j,k là một cơ sở đã biết ở phổ thông . Khi đó , véc tơ R= OP uuur sẽ viết dưới dạng: R = x.i + y.j +z.k Các khái niệm tích vô hướng , tích hữu hướng , khoảng cách , độ dài … đều như ở phổ thông đã được học Ví dụ 1 :Tìm cosin của góc θ giữa A( 1, 2, 2 ) và B(-3, 4, 0 ) Giải : Ta có |A| = 1 4 4 3 + + = , |B| = 5 , A.B = -3+8+0 = 5 do đó cos θ = . | |.| | A B A B = 1/3 Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác có đỉnh là P ( 2,-1,3 ) , Q (1,2,4 ) , R (3,1,1 ) Giải: Hai cạnh của tam giac là A= PQ uuur = -i +3j +k , B = PR uuur = i + 2j – 2k Vì vậy , diện tích của tam giác là độ lớn của véc tơ : A × B = i -1 3 1 1 2 2 j k − = -8i – j – 5k tức là = 64 1 25 + + = 3 10 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG 3 R Đường thẳng đi qua điểm P 0 = ( x 0 ,y 0 ,z 0 ) có 2 dạng : Dạng tham số : x = x 0 + at , y = y 0 + bt , z = z 0 + ct Dạng Đề các : 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = Mặt phẳng đi qua điểm P 0 với véc tơ pháp tuyến N = ai + bj + ck có dạng : a(x- x 0 ) + b(y- y 0 ) + c( z – z 0 ) = 0 CÁC MẶT TRỤ VÀ MẶT BẬC 2 TRONG R 3 Mặt trụ tròn xoay : Dạng tổng quát F (x,y) = 0 Mặt trụ elliptic tròn xoay có trục oz : 2 2 2 2 1 x y a b + = , Mặt trụ Parabolic tròn xoay có trục oz : z = ax 2 + bx + c Mặt nón tròn xoay có trục oz : f ( ± 2 2 x y + ,z ) = 0 Mặt ellípoid : 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = Mặt nón elliptic : 2 2 2 2 2 2 x y z a b c + = Mặt elliptic parabolid : z = ax 2 + by 2 Và nhiều mặt cong khác , xem trong giáo trình Hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu trong R 3 1.Hệ toạ độ trụ : Mối liên hệ với toạ độ Đề các trong R 3 như sau : x = rcos θ , y = rsin θ , z = z , trong đó r = x 2 + y 2 , tan θ = y / x Ví dụ 1 : Tìm toạ độ trụ của điểm P = ( 3, 3, 7 ) trong R 3 Giải: Ta có r = 9 9 2 3+ = , tan θ = 1 , z = 7 nên toạ độ trụ của P là ( 2 3 ,2, 5 ) Ví dụ 2 : V ẽ măt cong cho theo toạ độ trụ r( 2cos θ +5sin θ ) +3z = 0 Giải: V ì x = rcos θ và y = rsin θ nên ta có phương trình của mặt cong nói trên trong R 3 là 2x + 5y + 3z = 0 , đó là một mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và có vec tơ pháp tuyến là ( 2, 5, 3 ) Hệ tọa độ cầu: Mối liên hệ với toạ độ Đề các trong R 3 như sau : x = ρ sin ϕ cos θ , y = ρ sin ϕ sin θ , z = ρ cos ϕ , trong đó 2 ρ = x 2 + y 2 + z 2 , tan θ = y / x , tan ϕ = 2 2 x y z + Ví dụ : Tìm phương trình trong tọa độ cầu của hình cầu x 2 + y 2 + z 2 - 2az = 0 ( a>0) Giải: Vì 2 ρ = x 2 + y 2 + z 2 và z = ρ cos ϕ nên phương trình mặt cầu có dạng : 2 ρ - 2a ρ cos ϕ =0 ⇔ ρ ( ρ -2acos ϕ ) = 0 tức là ρ =0 hoặc ρ -2acos ϕ = 0 . Nhưng ρ =0 chỉ là trường hợp riêng của ρ -2acos ϕ = 0 nên ta có thể kết luận là phương trình cần tìm là ρ -2acos ϕ = 0 Chú ý : Đây chính là phương trình của một mặt cầu có bán kính a , tiếp xúc với mặt phẳng xoy tại gốc tọa độ Tuần 2 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến 1. Hàm n biến y = f( x 1 ,x 2 , …x n ) : là một ánh xạ từ không gian R n vào R 2. Miền xác định của y = f( x 1 ,x 2 , …x n ) : T ât c ả c ác điêm trong R n sao cho x ác định 1 giá tri y thuộc R . Để đơn giản cho cách trình bay mà không làm giảm tổng quát , ta sẽ chi xét hàm 2 biến z = f (x,y) 3. Giới hạn bội trong R 2 : 0 0 lim ( , ) x x y y f x y → → đ ược hiểu là giới hạn của hàm 2 biến f (x,y ) khi biến điểm (x,y) tiến dần đến điểm ( x 0 , y 0 ) , tức là x → x 0 và y → y 0 đồng thời . 4. Tính liên tục : Hàm 2 biến f(x,y) đuợc gọi là liên tục tại điểm (x 0 , y 0 ) thuộc miền xác định của nó giá trị của hàm f (x,y) đ ủ gần giá trị f(x 0 , y 0 ) khi (x,y) đ ủ gần điểm ( x 0 , y 0 ) Vi dụ : Hàm z = xy liên tục tại mọi điểm (x,y) trong R 2 5. Đường mức : Cho một giá trị c bất kỳ , với 1 hàm số z = f(x,y) , phương trình f(x,y) = c cho ta x ác đ ịnh một đường cong trong mặt phẳng xoy . Một đường cong được gọi là đường mức nếu nó nằm trong miền xác định của hàm số và trên đó giá trị của hàm số không thay đổi 6. Mặt mức : Mở rộng khai niệm trên cho hàm 3 biến , mặt mưc là mặt cong trong miền xác định của hàm số f (x,y,z) sao cho trên nó hàm số nhận giá trị không thay đổi 7. Đạo hàm riêng : Cho hàm 2 biến z = f(x,y) . Xét giới hạn 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y x ∆ → + ∆ − ∆ nếu tồn tại thì được goi là đạo hàm riêng của hàm z theo biến x và được ký hiệu là z x ∂ ∂ hoặc z x , f x ∂ ∂ , f’ x (x,y) . Hoàn toàn tương tự với đạo hàm riêng theo biến y 8. Đạo hàm riêng cấp 2 và cấp cao hơn 2 : Vì f x ∂ ∂ , f y ∂ ∂ đều là các hàm 2 biến nên ta có thể lấy các đạo hàm riêng của chúng và ta có các đạo hàm riêng câp 2 : [...]... /2 Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật cần tìm là a / 2 Chú ý : Phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị hàm 2 biến hoàn toàn có thể mở rộng cho bài toán tìm cực trị của hàm 3 hoặc nhiều hơn 3 biến TÍCH PHÂN BỘI ( TÍCH PHÂN 2 -3 LỚP ) Tuần 7 1 TÍCH PHÂN 2 LỚP ( TÍCH PHÂN BỘI 2 ) Một hàm liên tục 2 biến f(x,y) có thể được lấy tích phân 2 lớp trên một miền D thuộc R2 bằng việc tính thể tích hình... ∇ f , df = ds ∇ f.u CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 1 CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM 2 BIẾN Đặt vấn đề : Bài toán khảo sát cực trị hàm nhiều biến là một trong các bài toán quan trong nhất trong các nhiên cứu kỹ thuật và vì vậy , đây là kiến thức cơ bản nhất mà một kỹ sư tương lai cần phải có Để gọn nhẹ cho các trình bày , chúng tôi chỉ xét tới hàm 2 biến , việc mở rộng cho hàm nhiều biến hơn là không có gì khó khăn... ta sẽ đưa ra qui trình tìm các điểm cực trị của một hàm 2 biến z = f(x,y) đã cho Lý giải về mặt toán học của cách làm , các bạn hãy tìm hiểu trong giáo trinh giải tích nhiều biến số Quy tắc tìm cực trị tự do của hàm 2 biến : Bài toán : Tìm các điểm cực trị của hàm z = f(x,y) trong miền xác định của nó QUY TẮC: 1 Tìm các điểm dừng bằng cách giải hệ : ∂z =0 ∂x , ∂z =0 ∂y 2 Giả sử tìm được các điểm dừng... f(x,y) tương tự như lấy tích phân 1 lớp của 1 hàm liên tục 1 biến f(x) khi muốn tính diện tích hình thang cong có cạnh trên là y = f(x) và x thuộc đoạn [a,b] Tích phân 2 lớp được ký hiệu là : ∫∫ f ( x, y)dxdy D Việc tính thể tích hàm trụ cong dựa vào công thức đả có trong Toán 1 b V = ∫ A( x)dx trong đó A(x) là diện tích thiết diện a A( x ) = y2 ∫ f ( x, y)dy y1 Cách tính tích phân 2 lớp: Gỉa sử miền... 2 : Tính tích phân 2 lớp I = ∫∫ D O(0;0) , A(-1;0) , B(1;1) Giải: Ơ trương hợp này ta nên dùng công thức 2 y 1 1 1 1 1 3 2 3 2 dy ∫ 1 − y xdx = ∫ [ y (1 − y ) ]dy = ∫ 0 20 9 0 I= Các tính chất của tích phân 2 lớp: 1 Cũng giống như tích phân 1 lớp , tích phân 2 lớp là 1 toán tử tuyến tính của hàm lấy tích phân : ∫∫ α f ( x, y) ± β g ( x, y)dxdy = α ∫∫ f ( x, y)dxdy ± β ∫∫ g ( x, y)dxdy D 2 D Tích phân... tiêp trong nửa hình tròn có bán kinh a sao cho nó có diện tích lớn nhất Giải: Nếu gọi các cạnh của hình chữ nhật cần tìm là 2x và y và diện tích của nó là A thì ta có : A = 2xy Bài toán cực trị ở đây là : Tìm x , y sao cho A cực đại với 2 điều kiện x + y2 = a2 Phiến hàm Lagrange có dang : L(x,y, λ ) = f(x,y) - λ g(x,y) = 2xy - λ ( x2 + y2 - a2 ) Giải hệ tìm điểm dừng : ∂L = 2y - 2 λ x = 0 ∂x ∂L = 2x... dụ áp dụng : Tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 4 đơn vị sao cho diện tích mặt ngoài ( không có mặt trên ) là nhỏ nhất Giải: Nếu gọi các cạnh đáy là x và y , chiều cao là z thì diện tích mặt ngoài không kể mặt trên của khôi hộp sẽ là : z = xy + 2xz + 2yz Nhưng vì thể tích = 4 nên z = 4 / xy từ đó , z = xy + 8/y + 8/x Giải hệ zx = 0 và zy = 0 ta tìm được điểm dừng là (2,2) Tại... điểm cực đại Tuy nhiên , bài toán tìm cực trị của hàm z = f(x,y) trên một miền D là một miền đóng thì kết quả là trên miền D chí có duy nhất một điểm cực đại và một điểm cực tiểu mà ta gọi giá trị của hàm z tại đó là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của nó Đây còn được gọi là các giá trị cực trị tuyệt đối của hàm 2 biến z = f(x,y) Quy tắc tìm cực trị tuyệt đối của hàm 2 biến Bài toán : Tìm giá trị cực trị... = 0 có thể giải được ra y = y(x) thì ta sẽ thay y = y(x) vào hàm z và ta được z = f(x,y(x)) = z(x) tức là z là hàm của 1 biến x Từ đó cách tìm cực trị của hàm 1 biến đã được học ở Toán I Trường hợp 2 : Nếu từ hàm ràng buộc g(x,y) = 0 không thể giải được ra y = y(x) thì ta sẽ tìm cực trị tự do của phiến hàm Lagrange : L(x,y, λ ) = f(x,y) - λ g(x,y) (Ở đây λ được gọi là nhân tử Lagrange ) Giải hệ Lx(x,y,... y1 y2 ∫ f ( x, y)dy và sau đó lần thứ 2 ta lấy tích phân của kết quả tìm được theo dx : y1 b y2 ∫ [ ∫ f ( x, y)dy]dx a y1 Với công thức thứ 2 ta cũng làm tương tự Ví dụ 1 : Tính tích phân 2 lớp I = ∫∫ 2 ydxdy D trong đó miền D tạo bởi các đường cong : { y = x2 và y = x } Giải: Với miền D này ta nên dùng công thức 1 , ta đưa tích phân cần tìm về dang tích phân lặp : b y2 b y2 1 x 1 a y1 a y1 0 x2 0 . BÀI GIẢNG TOÁN II : GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN PGS . TS . NGUYỄN HỮU BẢO Trưởng Bộ môn Toán học, phó trưởng Khoa C N T T. nhiều hơn 2 biến. Các khái niệm khả vi , liên tục , khả tích … đều có khác hàm 1 biến và đặc biệt là các tích phân 2 hoặc 3 lớp , tích phân đường , tích