CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN NÂNG CAO I> TÍCH PHÂN CÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ DẠNG I: b p( x) ∫ ax + b dx a α α dx = ln a.x + b + c Cần ý : ∫ a.x + b a Phương pháp : * p(x) có bậc lớn cần phải tách phần nguyên cho biểu thức p( x) A = g ( x) + g(x) đa thức a.x + b a.x + b b b b p( x) A dx g ( x ) dx + ∫a ax + b = ∫a ∫a a.x + b dx +Viết + VD: Tính tích phân sau: x −1 1) ∫ dx x +1 1 x2 − x − 2) ∫ dx 2x − 3)∫ x3 dx 2x − HD; x −1 =1− x +1 x+1 2   dx = ( x − ln x + ) = ( − ln ) − ( − ln ) = + ln + ∫ 1 − x +1 1 2 x − x − 1  4x − 4x −     =  2x + − =   2)Ta viết 2x −  2x −   2.x −  1)Ta viết 1   1 1 1 dx =  x + x − ln 2x −  = + ln + I = ∫  2x + − 0 2x −  4 0 x3 1 27  =  4x + 6x + +  3) Ta viết : 2x −  2x −  Từ ;  1  40  27 x3  27   4x 27  dx = x + x + + dx = + 3x + 9x + ln 2x −  =   − ln   ∫0 2x − ∫0  2x −  8    16 + 40 27 = − ln 24 16 Bài tập tự luyện phương pháp ; Tính tích phân sau: 3x − a) ∫ dx 1−x Trang 1 x2 − b) ∫ dx 2x + c)∫ 2x + 3x + dx 3x + DẠNG II b p ( x) ∫a ( a.x + b ) n dx Phương pháp ; Ta dặt t= a.x+b từ ta có : dt= adx x = 2x + ∫ ( x + 3) VD; Tính tích phân t −b a dx Đặt t= x+3 → dt = dx, x = t - 2x + 4  2t −  2  dx = ∫  dt = ∫  − dt = ln − Vậy ; ∫ t t  12 t  ( x + 3) 3 3 b ∫ a.x DẠNG III: a p( x) dx + bx + c Ta phân làm trường hợp * Trường hợp1: ax2 +bx +c = có hai nghiệm thực phân biệt Giả sử ax2 +bx +c= có hai nghiệm x1 , x2 + Khi cần xét : a) p(x) có bậc lớn Ta cần tách phần nguyên biểu thức viết phân thức dạng sau: p( x) B( 2a.x + b ) C = A + + a.x + bx + c a.x + bx + c a.x + bx + c b Đưa việc tính ∫ a.x a dx + bx + c Để tính tích phân ta làm sau: + Biến đổi ax2 +bx+c = a(x- x2)(x-x1) +Áp dụng phương pháp đồng thức ta được: ( x − x )( x − x ) = + Từ ta có ; b ∫ a.x a x − x2 b p( x) C dx = ( A.x + B ln a.x + bx + c + ln ) ( x − x1 ) x − x1 a + bx + c b) Nếu p(x) có dạng mx+n b mx + n dx ta cần tìm A,B cho : mx+n=A(2ax +b) +B a a.x + bx + c +∫ Từ : b b b mx + n dx dx = A ln a x + bx + c + B +∫ 2 ∫ a a a.x + bx + c a a.x + bx + c b x − x2 b mx + n B dx = A ln a.x + bx + c + ln a ( x − x1 ) x − x1 a a a.x + bx + c b =∫ Trang x − x1  1  −    x − x x − x1  * Trường hợp : ax2 +bx +c = có nghiệm kép Khi ta viết : ax2 +bx+c = ( αx + β) Và ta đặt ẩn phụ t = ( αx + β) → t −β α Và có x= dt = dx α * Trường hợp3: ax2 +bx +c = vô nghiệm Chú ý ta biến đổi : ax +bx +c = 2  b   −∆       a x +  +  2a   2a       π π b −∆ tan t với t ∈  − ;  để tính tích phân Khi phép đặt x + =  2 2a 2a VD1: x2 dx =I Tính tích phân sau; ∫ −1 x − 5x + Ta có :x2 - 5x +6 = có hai nghiệm x= 2, x=3 + Trước hết ta có : x2 5x − = 1+ 2 x − 5x + x − 5x + + Mặt khác ta cần tìm A,B cho; 5x-6 = A(2x-5)+B Ta có: x = → −6 = −5A + B, 13 25 →B= →A= 2 10 x 25  2x −  13  1  + =1+  − +   10  x − 5x +   x − x −  x − 5x + x=  25 13 x − −1 25 13  = + ln + ln +Vậy I =  x + ln x − 5x + + ln 10 x −  10 2  VD2; Tính tích phân I= 3x + dx −1 ∫x Xác định A ,B cho 3x+2 =A(2x) + B + Ta có ; với x= B= , x= -1 -1= -2A +B 2 = B  − = −2 A + B Giải hệ ;  + ta có ; A = 3/2 , B = 3 3 3 3x + 2x dx  − dx + Từ ; ∫ dx = ∫ dx + 2∫ = ln x − + ∫  2  x −1 x +1 2 x −1 2 x −1 x −1 = ln + ln Trang b ∫ a.x a dx + bx + c VD3; x2 − ∫0 x − 4x + dx Tính tích phân ; Ta có nhận xét ; x2 -4x+4=(x-2)2 + ta đặt t= x-2 → x = t + , dt= dx t + 4t + 1 1−1   dt = ∫  + + dt =  t + ln t −  = − ln +I = ∫ t t  t −2 t  −2 − 2 −1 −1 VD 4; Tính tích phân sau; I = ∫x −1 2x + dx + 2x + 2x + phương pháp đồng thức x + 2x + + Ta cần phân tích : + Ta tìm A, B cho 2x+1 = A (2x+ 2) +B +x= → 1=2A+B, x= -1→ B=-1 1 = A + B A = → − = B B = −1 Giải hệ :  1 1 2x + dx dx  2x +  dx = ∫  = ln x + 2x + −∫ = ln − J dx + ∫ Vậy : ∫ − x + x + x + x + x + x + x + x +   −1 −1 −1 −1 + Để tính tích phân: J = ∫x −1 dx ta làm sau: + 2x + Biến đổi : x + 2x + = ( x + 1) + vàđặt x+1=2tant , dx = 2(1 + tan t )dt đổi cận : x= -1 → t=0, x= 1→t = dx + ∫ = −1 x + 2x + π ( ) π π + tan t dt π ∫0 + tan t = ∫0 dt = ( ) Đ/s: Vậy I =ln2 - 4x + dx + x +1 −1 + Ta tìm A,B cho : 4x+3 = A(2x+1) +B Bẳng phương pháp đồng thức ta tìm A= 2, B= VD5: Tính tích phân sau I = ∫x 0 2x + dx dx + ∫ = ln x + x + +J = 0+J = J + I = 2∫ −1 −1 x + x + −1 x + x + +J = ∫ dx 3 tan t → dx = ( + tan t ) 1 Ta đặt : x + = 2 x +  + 2  π π Đổi cận : x= -1 → t = − , x = → t = 6 π ( + tan t ) π 2π dt = = +J = ∫ 3 π (1 + tan t ) − −1 Trang π Bài tự luyện : Tính tích phân sau: Bài 1: 1) ∫ 2x + dx x+3 2)∫ 4x dx x +1 3)∫ 1 4x − 5) ∫ dx x + 2x + x + x + 3x + dx x+3 0 dx x + x − −2 6) ∫ -1 (x 4x + x4 3) ∫ dx x −1 2) ∫ dx x − 4x − 5) ∫ 7)∫ x 1) ∫ dx 4−x − 4x + ) 7)∫ dx x + 2x + 10x + dx x + 2x + x4 + 6)∫ dx x +1 4)∫ x2 − dx x4 + II > TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỶ THƯỜNG GẶP  DẠNG I: ∫ R x, n  a.x + b   dx cx + d  Phương pháp giải : Ta thường đặt t n = 1−x dx 1+ x I= ∫ VD; Tính tích phân sau: a.x + b cx + d 1−x 1−x − t2 4t Ta đặt t = + x ↔ t = + x ↔ x = + t → dx = − 1+ t2 ( Vậy; I= 4∫ t2 (1 + t ) 2 ) dt − 4∫ 2 1+ t 1+ t dt = ∫ ( ) dt = 4I + 4I Để tính I1, I dùng cách đổi biến lượng giác đặt t = tanu ta : π I= I = ∫ (1 + tan u ) du = ∫ du = π π/4 + tan u Để tính I2 ta biến đổi + I = ∫ π (1 + tan u ) du = ∫ (1 + tan u ) 2 π (1 + t ) 2 π ∫ + tan dt u du = ∫ cos udu = π 1 1π 1 π  =  u + sin 2u  =  +  = + 2 0  2 π Vậy: I= π − − = Trang π −1 = π ( + co.s2u ) du ∫0 - x5 dx x + x5 ( ) dx -1 x + 2x + 4) ∫ 2x + dx x + x 8) ∫ ( ) Chú ý:  a−x  )dx người ta thường đặt x = a.cos2t Nếu tích phân có dạng : ∫ (R x,  a + x   + Nếu tích phân tính sau: Đặt x= cos2t → dx = −2 sin 2tdt Và ta có : π π π π 0 + ∫ − x dx = 2∫ − co.s 2t sin 2tdt = 2∫ tan t sin 2tdt = 4∫ sin tdt = 2∫ ( − co.s 2t )dt 1+ x + co.s 2t π π   = 2 t − sin 2t  = −  0 m r     a.x + b  n  a.x + b  s   ,   m,n, s, r số nguyên dương ,a,b,c,d DẠNG II: ∫ R x,    c.x + d   cx + d     số Phương pháp ta thường đặt t= x VD; Tính tích phân : ∫ a.x + b với k = BSCNH mẫu số( n,s ) c.x + d k dx =I x −1 1+ Ta đặt t= x − → 2tdt = dx , đổi cận x= 1→ t=0, x=2 → t=1  t2 + 1  11    t dt = − ln t − t + − dt = +I= ∫  ∫  1+t  1+t  0 VD2: Tính tích phân; I=∫ −1 1− x +1 1+ x +1 dx Ta đặt t= x + → 6t dt = dx đổi cận : x= -1→ t=0, x= → t=1  − t7 t5 t4 t3 t2 1 t5 − t8 t −1    dt = − t + t + t − t − t + + dt = + + − − + t    +I = ∫ 2 ∫ t +1  0 1+t 0 1 ( ) d t2 + dt 199 3π − 6∫ = + ln − + 3∫ 70 t +1 t +1 Bài tập tự luyện : Tính tích phân sau: 63 1) ∫ x+1 3x + 2 2) ∫ dx ( ) dx 2x + + 2x + 1 3)∫ dx x + + x +1 DẠNG III: ∫ R x, a.x + bx + c dx a,b,c số thực, a≠ Phương pháp : Ta dùng phương pháp lượng giác hoá cách biến đổi , Trang  b  b − 4ac  b  đặt t= x+ ax +bx+c = a  x +  − để đưa dạng sau; 2a  4a 2a   ) α − t )dt t − α )dt ( + ∫ R (x, + ∫ R (x, Thì ta đặt t = α tan u + ∫ R x, α + t dt Thì ta đặt t = α sin u t= Ta đặt cos u 2 Chú ý: nhiều lượng giác hố gặp khó khăn cần sử dụng phương pháp đại số hoá sử dụng phép biến đổi Euler + Nếu a >0 đặt a.x + bx + c = t ± a x +Nếu c > đặt a.x + bx + c = tx ± c +nếu ax2 +bx+c =0 có nghiệm x1, x2 đặt a.x + bx + c = t ( x − x ) đặt a.x + bx + c = t ( x − x ) Chú ý : +∫ dx x +a = ln x + x + a + C ∫ Vd1: Tính tích phân sau I= dx x − 2x + + Ta biến đổi : x − 2x + = ( x − 1) + −1 2 π Đặt x-1 =2tant → dx = 2(1 + tan t )dt , đổi cận x= -1 ta có t= - , x=1 ta có t = π I= π + tan t co.st  1  1 + sin t   ∫π  dt = ∫π co.st dt = −∫π − sin t dt = −∫π − sin t + + sin t d( sin t ) = ln − sin t π 2 − − −  4 4  co.st  = ln + π ( ( π ) π π ) Ta nhận thấy cách đặt đổi biến lượng giác vâyh có phần phức tạp ta đổi biến đại số sao? + Ta thử đổi biến phép biến đổi sau Đặt x − 2x + = ( x − 1) + = t − ( x − 1)  x −1  dt dx dx ↔ = + Khi dt =  +  t x − x + x − 2x +   + Đổi cận : x=-1 → t = 2( − 1) , x= → t= 2 +I = ( ) dt = ln + t ( −1 ) ∫ Trang DẠNG IV: ( mx + n )dx ∫ a.x + bx + c dx Bàng phương pháp đồng thức ta tìm A,B cho : ( mx + n ) = A( 2a + b ) + B + Từ ta có ; ( mx + n ) dx +∫R a.x + bx + c 2a + b dx = A ∫ a.x + bx + c dx + B ∫ dx a.x + bx + c Như ta tích phân quen thuộc biết cách tìm VD: Tính tích phân: ( x + 4) dx x + 4x + ∫ + Ta tìm A, B cho : x+4 =A(2x+4) +B , B= 2 ( x + 4) dx 1 d(x + 4x + 5) + dx + 10 = 10 − + ln = ∫ ∫ 2+ x + 4x + x + 4x + x + 4x + Bằng phép đồng thức hai vế A= + ; ∫ Bài tập tự luyện Tính tích phân sau: ( x + 2) dx −1 x + 2x + 1) ∫ b)∫ DẠNG V: ∫ ( mx + n ) ( 2x − 1) dx − 4x + 12x − a.x + bx + c ( 7x - 4) dx -3 x − 2x − c) ∫ dx -2 (m2 +n2 ≠ 0) = mx + n t Ta đặt t = a.x + bx + c = a.x + bx + c , ta đổi biến t Phương pháp ; ta đặt t = mx + n lượng giác VD; Tính tích phân : I= ∫ ( 2x + ) − + Ta biến đổi :I= ∫ ( 2x + ) − dx 4x + 12x + dx 4x + 12x + dt = 2x + → d(2x + 3) = − t t 1 1 +Đổi cận x= − → t = , x = → t = 2 +Đặt Trang = dx ∫ ( 2x + ) ( 2x + ) − 2 −4 = 2 d ( 2x + ) ∫ ( 2x + ) ( 2x + ) − 2 −4 + :I= ∫ ( 2x + ) − dx 4x + 12x + = − ∫1 dt −4 t2 t dt ∫ 1 − 4t = + Bằng phép đỏi biến lượng giác : đặt t= sin u , t= +dt= π π 6 π →u= , t= π →u= 2 cos u π du = ∫ du = cos udu Khi : I= ∫ π cos u 4π 12 Bài tập tự luyện : Tính tích phân sau; 1) ∫ dx x x +4 2)∫ dx ( x + 1) x 4x + 3)∫ dx ( x + 7) + 2x − x (HD; đặt x=1+2cos2t) Trang Trang 10 ... Tính tích phân t −b a dx Đặt t= x+3 → dt = dx, x = t - 2x + 4  2t −  2  dx = ∫  dt = ∫  − dt = ln − Vậy ; ∫ t t  12 t  ( x + 3) 3 3 b ∫ a.x DẠNG III: a p( x) dx + bx + c Ta phân làm... hợp1: ax2 +bx +c = có hai nghiệm thực phân biệt Giả sử ax2 +bx +c= có hai nghiệm x1 , x2 + Khi cần xét : a) p(x) có bậc lớn Ta cần tách phần nguyên biểu thức viết phân thức dạng sau: p( x) B( 2a.x...   2a       π π b −∆ tan t với t ∈  − ;  để tính tích phân Khi phép đặt x + =  2 2a 2a VD1: x2 dx =I Tính tích phân sau; ∫ −1 x − 5x + Ta có :x2 - 5x +6 = có hai nghiệm x= 2, x=3