1 BÀI TẬP TOÁN V (XSTK) - TUẦN 1 (Kỳ I năm 2008 − 2009) + Định nghĩa xác suất cổ điển + Các bài toán tìm xác suất dựa vào định nghĩa xác suất. Bài tập: 2.1 Không gian mẫu, 2.2 Biến cố 1.1 (1.t25) Liệt kê tất cả các phần tử của không gian mẫu trong các câu sau (a) Tập tất cả các số nguyên từ 1 đến 50 và chia hết cho 8; (b) Tập   054 2  xxxS ; (c) Tập tất cả các kết quả có thể khi tung đồng xu cho tới khi mặt sấp xuất hiện hoặc ba mặt ngửa xuất hiện thì dừng lại. (d) Tập S = {x| x là một đại lục}; (e) Tập   .1 và042  xxS 1.2 (4.t26) Một phép thử bao gồm tung một cặp con xúc xắc, một con màu đỏ và một con màu xanh, rồi ghi lại số chấm xuất hiện trên mỗi con. Nếu x là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc màu xanh và y là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc màu đỏ, hãy mô tả không gian mẫu S (a) bằng cách liệt kê tất cả các phần tử (x, y); (b) bằng cách chỉ ra quy luật của các phần tử trong S. 1.3 (6.t26) Hai thành viên của ban bồi thẩm được lựa chọn từ 4 người để tham dự một cuộc xử án. Dùng ký hiệu 31 AA để chỉ biến cố người thứ nhất và người thứ 3 được chọn. Hãy liệt kê 6 phần tử của không gian mẫu. 1.4 (17.t28) Cho A, B, C là các biến cố liên quan đến không gian mẫu S. Khi dùng sơ đồ Venn, hãy bôi đen vùng tương ứng với các biến cố: (a) ;)'( BA  (b) ;)'( BA  (c) .)( BCA   Bài tập: 2.3 Đếm các điểm mẫu 1.5 (5.t35) Một cửa hàng bán giầy có 5 loại giầy, mỗi loại có 4 màu khác nhau. Nếu cửa hàng muốn trưng bầy các đôi giầy này để chỉ ra tất cả các kiểu dáng và màu sắc, hỏi có bao nhiêu đôi giày mà cửa hàng cần đem ra trưng bày để đạt được mục đích trên. (ĐS: 20) 1.6 (6.t35) Một cuộc nghiên cứu được thực hiện tại California đã chỉ ra 7 nguyên tắc đơn giản để có thể kéo dài tuổi thọ trung bình của nam giới đến 11 năm và của nữ giới đến 7 năm. Bảy quy tắc đó là: không hút thuốc, tập thể dục đều đặn, uống rượu ở mức vừa phải, ngủ tử 7 đến 8 tiếng một ngày, duy trì mức cân phù hợp, ăn sáng, không ăn giữa các bữa. Có bao nhiêu cách để một người thực hiện đúng 5 trong 7 quy tắc trên nếu: (a) người đó có khả năng vi phạm cả bất kỳ một nguyên tắc nào trong các nguyên tắc trên. (b) người đó không bao giờ uống rượu và luôn ăn sáng. (ĐS: (a) 21, (b) 15 1.7 (9.t35) Trong một cuộc nghiên cứu về tiết kiệm nhiên liệu, mỗi một xe đua trong 3 xe sẽ dùng 5 loại ga khác nhau chạy trên 7 địa hình khác nhau ở một quốc gia. Người ta chọn ra 2 lái xe để chạy thử 2 cho mỗi xe trong những điều kiện khác nhau rồi kiểm tra kết quả. Hỏi, phải tổ chức bao nhiêu cuộc chạy thử? (ĐS: 210) Bài tập: 2.4 Xác suất của một biến cố 1.8 (3.t43) Một hộp chứa 500 phong bì, trong đó 75 chiếc chứa 100$, 150 chiếc chứa 25$, và 275 chiếc chứa 10$. Một phong bì có thể được mua với giá 25$. Lập không gian mẫu đối với các loại tiền khác nhau khi lấy một chiếc phong bì. Xác định xác suất của các điểm mẫu và tìm xác suất để chiếc phong bì đầu tiên được mua chứa ít hơn 100$. (ĐS: 0,85) 1.9 (11.t44) Lấy lần lượt hai quân bài từ một cỗ bài theo phương thức không hoàn lại.Tính xác suất để cả hai quân bài lớn hơn 2 và nhỏ hơn 8. (ĐS: 65/663) 1.10 (9.t44) Mỗi mục trong một danh mục liệt kê được mã hóa với 3 chữ cái đứng trước và 4 chữ số khác không đứng sau. Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên một mục trong danh mục trên ta được chữ cái đầu tiên là một nguyên âm và chữ số cuối cùng là số chẵn. (Tiếng Anh có 26 chữ cái với 5 nguyên âm). (ĐS:10/117) 1.11 (10.t44) Gieo đồng thời hai con xúc xắc. Tìm xác suất để nhận được: (a) tổng số chấm là 8; (b) tổng số chấm lớn nhất là 5. (ĐS: (a) 5/36 (b) 10/36) 1.12 (12.t44) Chọn ngẫu nhiên 3 quyển sách từ một giá sách gồm 5 quyển tiểu thuyết, 3 quyển thơ và một quyển từ điển. Tìm xác suất để: (a) quyển từ điển được chọn; (b) hai quyển tiểu thuyết và một quyển thơ được chọn. (ĐS: (a) 1/3 (b) 5/42) BÀI TẬP TOÁN V (XSTK) - TUẦN 2 (Kỳ I năm 2008 − 2009) + Các định lý về phép toán xác suất + Công thức đầy đủ, công thức Bayess. Bài tập: 2.5 Quy tắc cộng 2.1 (5.t43) Xác suất để một ngành kinh doanh của Mỹ có trụ sở ở Munich là 0,7; xác suất để nó có trụ sở ở Brussels là 0,4 và xác suất để nó có trụ sở ở Munich hoặc Brussels hoặc cả hai là 0,8. Tính xác suất để ngành kinh doanh đó có trụ sở: (a) ở cả hai thành phố trên? (b) không ở thành phố nào trong hai thành phố trên? (ĐS: (a) 0,3 (b) 0,2) 2.2 (6.t43) Từ kinh nghiệm trước đây, một người mua bán cổ phiếu tin rằng, với điều kiện kinh tế hiện nay một khách hàng sẽ đầu tư vào trái phiếu miễn thuế với xác suất là 0,6, đầu tư vào chứng chỉ quỹ với xác suất là 0,3 và đầu tư vào cả hai loại trên với xác suất là 0,15. Tìm xác suất để tại thời điểm này một khách hàng sẽ: (a) đầu tư vào trái phiếu miễn thuế hoặc chứng chỉ quỹ? (ĐS: (a) 0,75) (b) không đầu tư vào trái phiếu miễn thuế cũng không đầu tư vào chứng chỉ quỹ? (ĐS: (b) 0,25) 2.3 (8.t43) Một hãng sản xuất ô tô lo lắng vì có thể bị trả lại những chiếc xe ô tô mui kín 4 chỗ đang bán chạy nhất của họ. Xác suất để có khuyết điểm ở hệ thống phanh là 0,25; ở hộp truyền động là 0,18; ở hệ thống cung cấp chất đốt là 0,17; và ở các bộ phận khác là 0,4. 3 (a) Tìm xác suất để có khuyết điểm ở hệ thống phanh hoặc hệ thống cung cấp chất đốt. Biết xác suất để có khuyết điểm ở cả hai hệ thống là 0,2. (b) Tìm xác suất để không có khuyết điểm ở hệ thống phanh hoặc hệ thống cung cấp chất đốt. (ĐS: (a) 0,22 (b) 0,8) 2.4 (15.t44) Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 54 sinh viên học toán, 69 sinh viên học lịch sử và 35 sinh viên học cả toán và lịch sử. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên, tìm xác suất để: (a) sinh viên đó học cả toán và lịch sử; (b) sinh viên đó không học cả hai môn; (c) sinh viên đó học lịch sử nhưng không học toán. (ĐS: (a) 0,35 (b) 0,65 (c) 0,12) Bài tập: 2.6 Xác suất có điều kiện, 2.7 Quy tắc nhân 2.5 (2.t51) Trong một lớp học môn vật lý nâng cao có 10 sinh viên mới, 30 sinh viên năm cuối và 10 sinh viên đã tốt nghiệp. Kết quả học tập cho thấy có 3 sinh viên mới, 10 sinh viên năm cuối và 5 sinh viên đã tốt nghiệp đạt điểm A. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên đạt điểm A, tính xác suất để người được chọn là sinh viên năm cuối. (ĐS: 1/5) 2.6 (3.t51) Cho một mẫu ngẫu nhiên gồm 200 người đã trưởng thành được phân loại theo giới tính và trình độ học vấn như sau: Trình độ học vấn Nam Nữ Sơ cấp 38 45 Trung cấp 28 50 Cao đẳng 22 17 Nếu một người được chọn ngẫu nhiên từ nhóm này, tìm xác suất để (a) người được chọn là nam giới, biết rằng người đó có trình độ trung cấp; (b) người được chọn không có trình độ cao đẳng, biết rằng người đó là nữ giới. (ĐS: (a) 14/39 (b) 95/112) 2.7 (5.t52) Một lớp học có 100 sinh viên trong đó có 42 sinh viên học toán, 68 sinh viên học tâm lý, 54 sinh viên học lịch sử, 22 sinh viên học cả toán và lịch sử, 25 sinh viên học cả toán và tâm lý, 7 sinh viên học lịch sử nhưng không học toán và tâm lý, 10 sinh viên học cả 3 môn và 8 sinh viên không học môn nào trong 3 môn nói trên. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên, tìm xác suất để: (a) sinh viên đó học cả 3 môn, biết sinh viên đó đã học tâm lý; (b) sinh viên đó học cả toán và lịch sử, biết sinh viên đó không học tâm lý. (ĐS: (a) 5/34 (b) 3/8) 2.8 (13.t53) Xác suất để một bác sỹ chuẩn đoán đúng một loại bệnh là 0,7. Nếu bác sỹ chuẩn đoán sai, xác suất để bệnh nhân bị chuẩn đoán sai phát đơn kiện đòi bồi thường là 0,9. Tìm xác suất để bác sỹ chuẩn đoán sai bệnh và bị bệnh nhân phát đơn kiện đòi bồi thường. (ĐS: 0,27) Bài tập: 2.8 Quy tắc Bayes 2.9 (1.t58) Tại một vùng dân cư, tỷ lệ người trên 40 tuổi mắc chứng bệnh ung thư là 0,05. Xác suất để một người mắc bệnh ung thư bị chuẩn đoán là có bệnh là 0,78 và xác suất để một người không mắc bệnh ung thư bị chuẩn đoán là có bệnh là 0,6. Tìm xác suất để một người bị chuẩn đoán là có bệnh. (ĐS: 0,609) 2.10 (8.t59) Một loạt các cửa hàng sản xuất và bán sơn Latex và Semigloss. Căn cứ vào số liệu thống kê bán hàng trong một thời gian dài người ta thấy xác suất để một khách hàng mua loại sơn Latex là 4 0,75; trong đó có 60% khách hàng mua kèm chổi lăn sơn. Tỷ lệ này đối với khách hàng mua loại sơn Semigloss là 30%. Chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng mua 1 thùng sơn kèm theo chổi lăn sơn, tính xác suất để khách hàng đó mua loại sơn Latex. (ĐS: 6/7) Các bài toán ôn tập chương II 2.11 (6.t60) Xác suất để một người có sai sót khi kê khai thuế thu nhập cá nhân là 0,1. Tìm xác suất để: (a) bốn người khác nhau đều có sai sót khi kê khai thuế thu nhập cá nhân; (b) Ông Jones và bà Clark đều có sai sót, còn ông Roberts và bà Williams không có sai sót khi kê khai thuế thu nhập cá nhân. (ĐS: (a) 0,0001 (b) 0,82) 2.12 (9.t61) Khả năng để một bệnh nhân hồi phục sau ca phẫu thuật tim là 0,8. Tìm xác suất để (a) đúng 2 trong số 3 bệnh nhân liên tiếp nhau phải phẫu thuật tim còn sống sót. (b) cả 3 bệnh nhân liên tiếp nhau phải phẫu thuật tim đều sống sót. (ĐS: (a) 0,096 (b) 0,512) BÀI TẬP TOÁN V (XSTK) - TUẦN 3 (Kỳ I năm 2008 − 2009) + Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và liên tục + Phân phối xác suất rời rạc + Phân phối liên tục. Bài tập: 3.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên, 3.2 Phân phối xác suất rời rạc, 3.3 Phân phối xác suất liên tục. 3.1 (2.t73) Một lô hàng gồm 5 chiếc ô tô nhập khẩu trong đó 2 chiếc có bề mặt sơn bị xước nhẹ. Một đại lý nhập ngẫu nhiên 3 chiếc ô tô. Liệt kê các phần tử trong không gian mẫu S bằng chữ cái B và N tương ứng để chỉ xe có bề mặt sơn bị xước nhẹ và không bị xước, với mỗi điểm mẫu xác định giá trị X của biến ngẫu nhiên X chỉ số ô tô có bề mặt sơn bị xước nhẹ mà đại lý đó mua. 3.2 (5.t73) Tìm c để mỗi hàm số sau là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X: (a) f(x) = c( x 2 + 4 ) với x = 0, 1, 2, 3 (b) f(x) = 3 3 2 xx CcC  với x = 0, 1, 2. (ĐS: (a) c = 1/30 (b) c = 1/10) 3.3 (7.t74) Thời gian (đơn vị đo: 100 giờ) mà một gia đình cho chạy một chiếc máy hút bụi trong một năm là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ như sau:          )2,0(,0 21,2 10, )( x xx xx xf Tìm xác suất để trong một năm, một gia đình cho chạy máy hút bụi của họ (a) ít hơn 120 giờ. (b) từ 50 đến 100 giờ. (ĐS: (a) 0,68 (b) 3/8) 3.4 (9.t74) Tỷ lệ người trả lời các thư chào hàng qua đường bưu điện là một biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ như sau: 5          )1,0(;0 10; 5 )2(2 )( x x x xf (a) Hãy chứng minh P( 0 < X < 1 ) = 1. (b) Tìm xác suất để có từ 1/4 đến 1/2 số người được liên hệ trả lời các thư chào hàng nói trên. (ĐS: (b) 19/80) 3.5 (11.t74) Một kiện hàng gồm 7 chiếc tivi trong đó có 2 chiếc bị hỏng. Một khách sạn mua ngẫu nhiên 3 chiếc. Gọi X là số chiếc bị hỏng mà khách sạn đó mua, tìm phân phối xác suất của X. Biểu diễn các kết quả dưới dạng biểu đồ xác suất. (ĐS: P(X=0)=2/7 P(X=1)=4/7 P(X=2)=1/7) 3.6 (12.t74) Một công ty đầu tư phát hành đợt trái phiếu có kì hạn biến đổi theo năm. Gọi T là kì hạn tính theo năm của một trái phiếu được chọn ngẫu nhiên. Biết T có hàm phân phối tích lũy như sau:                7,1 75,4/3 53,2/1 31,4/1 1,0 )( t t t t t tF Tìm: (a) P( T = 5 ). (b) P( T > 3 ). (c) P( 1,4 < T < 6 ). (ĐS: (a) 1/4 (b) 1/2 (c) 1/2) 3.7 (13.t75) Phân phối xác suất của X, trong đó X là số lỗi trên 10 m vải sợi tổng hợp trong một súc vải có độ rộng giống nhau, được cho bởi bảng sau: X 0 1 2 3 4 f(x) 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01 Tìm hàm phân phối tích lũy của X. 3.8 (14.t75) Thời gian chờ tính theo giờ giữa 2 lần bắn liên tiếp của một thiết bị bắn tốc độ ô tô sử dụng công nghệ rada là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối tích lũy như sau:        0,1 0,0 )( 8 xe x xF x Tìm xác suất để thời gian chờ đó ít hơn 12 phút. (a) Sử dụng hàm phân phối tích lũy của X. (b) Sử dụng hàm mật độ xác suất của X. (ĐS: (a) (b) ~ 0,798) 3.9 (22.t76) Rút ngẫu nhiên liên tiếp 3 quân bài từ một bộ bài. Tìm phân phối xác suất của số quân bích rút được. (ĐS: P(X=0)=703/1700 ,… , P(X=3)= 11/850) 3.10 (25.t76) Một hộp chứa 4 đồng một hào và 2 đồng năm xu. Chọn ngẫu nhiên 3 đồng tiền. Tìm phân phối xác suất của tổng T của 3 đồng tiền. Biểu diễn phân phối xác suất này dưới dạng biểu đồ xác suất. (ĐS: P(T = 20) = 0,2 P(T=25) = 0,6 P(T = 30) = 0,2) 3.11 (26.t76) Một hộp có 4 quả bóng đen và 2 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 quả bóng theo phương thức có hoàn lại. Tìm phân phối xác suất của số quả bóng xanh. (ĐS: P(X = 0) = 8/27 P(X=1) = 4/9 P(X = 2) = 2/9 P(X=3)=1/27) . 10 sinh viên m i, 30 sinh viên năm cu i v 10 sinh viên đã tốt nghiệp. Kết quả học tập cho thấy có 3 sinh viên m i, 10 sinh viên năm cu i v 5 sinh viên. 42 sinh viên học toán, 68 sinh viên học tâm lý, 54 sinh viên học lịch sử, 22 sinh viên học cả toán v lịch sử, 25 sinh viên học cả toán v tâm lý, 7 sinh