THÊM MỘT CÁC TIẾP CẬN NỮA ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số I – Bắc Ninh (Đã đăng tại www.mathvn.com ) Trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học – cao đẳng thường có bài toán về tính tích phân. Bài viết này xin trao đổi với các bạn về một hướng tiếp cận ( cách “tư duy”) để tính tích phân trong phạm vi phương pháp “ đặt ẩn phụ” . Tác giả gọi tên là “ đặt ẩn phụ không làm thay đổi cận của tích phân”. 1. Kiến thức cơ bản. - Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [ ] ; a b nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) thì )()(|)()( aFbFxFdxxf b a b a −== ∫ Định nghĩa trên không phụ thuộc vào kí hiệu biến số dưới dấu tích phân. - Một số tính chất cần chú ý: + ∫∫ −= a b b a dxxfdxxf )()( + [ ] ba;c )()()( ∈∀+= ∫ ∫∫ b a b c c a dxxfdxxfdxxf 2. Các bài toán và phân tích. Bài toán 1: Tính tích phân I= ( ) ∫ − +− 5 3 3 23 23 dxxx Khi gặp bài toán này, chắc chắn rằng tất cả các bạn đều nghĩ cách khai triển biểu thức dưới dấu tích phân để đưa về các tích phân cơ bản để tính. Đó là một cách suy nghĩ thường hay gặp phải. Nhưng bạn hãy thử làm xem sao, và hãy thử thay (x 3 -3x 2 +2) 3 bằng (x 3 -3x 2 +3) 7 , (x 3 -3x 2 +3) 9 rồi tính nhé!. Sau đó mời các bạn nghiên cứu lời giải sau: Lời giải: Đặt x=2-t 3: 5 5: 3 dx dt x t x t = −   ⇒ = − =   = = −  ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 5 3 3 3 3 2 3 2 3 2 5 3 3 5 3 3 2 3 (2 ) 3(2 ) 2 3 2 3 2 3 2 2 0 0 I t t dt t t dt t t dt x x dx I I I − − − − ⇒ = − − − − + = − + − = − − + = − − + = − ⇒ = ⇔ = ∫ ∫ ∫ ∫ Khi đọ c xong l ờ i gi ả i trên ch ắ c ch ắ n các b ạ n s ẽ đặ t câu h ỏ i : T ạ i sao l ạ i đặ t ẩ n ph ụ nh ư v ậ y?. Để tìm câu tr ả l ờ i xin m ờ i các b ạ n nghiên c ứ u ti ế p bài toán sau: Bài toán 2: Cho f(x) là hàm l ẻ , liên t ụ c trên [-a; a]. Ch ứ ng minh r ằ ng 0)( = ∫ − a a dxxf Đ ây là m ộ t bài t ậ p khá quen thu ộ c v ớ i các b ạ n khi h ọ c tích phân và nhi ề u b ạ n đ ã bi ế t cách gi ả i. Xong các b ạ n hãy xem k ỹ l ờ i gi ả i sau để “ phát hi ệ n” ra v ấ n đề nhé! L ờ i gi ả i: Đặ t x=-t : : dx dt x a t a x a t a = −   ⇒ = − =   = = −  ( ) ( ) ( ) a a a a a a I f x dx f t dt f t dt − − − ⇒ = = − − = − ∫ ∫ ∫ . Do f(x) là hàm lẻ nên f(-x)=-f(x) do đó ( ) ( ) ( ) 2 0 0 a a a a a a I f t dt f t dt f x dx I I I − − − ⇒ = − = − = − = − ⇒ = ⇒ = ∫ ∫ ∫ Qua 2 bài toán trên, điểm chung của cách đặt ẩn phụ là gì? Câu trả lời là : Đặt ẩn phụ nhưng không làm thay đổi cận của tích phân. Vậy sử dụng suy nghĩ này vào bài toán thực tế như thế nào ? Các bạn hãy chú ý một số điểm sau: - Bài toán 1, 2 có thể tổng quát thành : Chứng minh rằng nếu hàm f (x) liên tục và thoả mãn: f(a+b-x) =-f(x) thì ∫ = b a dxxf 0)( . Việc chứng minh bài toán này xin dành cho độc giả (bằng cách đặt x=a+b-t là cách đặt mà cận không hề thay đổi!) - Từ đó ta có cách đặt tổng quát khi gặp tích phân ( ) b a f x dx ∫ mà không thay đổi cận là đặt x=a+b-t. - Bài toán 1 còn có cách giải khác khá hay để dẫn tới một “ suy nghĩ” mới như sau: Đặt x=1-t 3: 4 5: 4 dx dt x t x t = −   ⇒ = − =   = = −  ( ) ( ) 4 4 3 3 3 2 3 4 4 (1 ) 3(1 ) 2 3 I t t dt t t dt − − ⇒ = − − − − + = − + ∫ ∫ . Sử dụng kết quả chứng minh của bài toán 2 ta được I=0 ( do f(t)=-t 3 +3t là hàm số lẻ). Vậy “ suy nghĩ” mới ở đây là gì? Việc đặt ẩn phụ như vậy ta đã dẫn đến tích phân có cận “đối xứng” . Trong trường hợp tổng quát để dẫn đến cận “ đối xứng” khi gặp tích phân ( ) b a f x dx ∫ các bạn hãy đặt 2 a b x t + = − nhé! Bây gi ờ chúng ta cùng v ậ n d ụ ng suy ngh ĩ đ ó để gi ả i m ộ t s ố bài toán sau: Bài toán 3: Tính tích phân 6 6 4 4 sin cos 6 1 x x x I dx π π − + = + ∫ ( Đề thi đạ i h ọ c n ă m 2000). L ờ i gi ả i: Đặ t x=-t : 4 4 : 4 4 dx dt x t x t π π π π   = −   ⇒ = − =    = = −   ( cách đặ t này đ ã không làm thay đổ i c ậ n c ủ a tích phân) . Khi đ ó 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 4 4 sin ( ) cos ( ) sin cos sin cos 6 . 6 . 6 1 6 1 6 1 t x t t x t t t t x x I dt dt dx π π π π π π − − − − − + − + + = − = = + + + ∫ ∫ ∫ ( ) 6 6 6 6 4 4 4 6 6 4 4 4 sin cos sin cos 2 6 . sin cos 6 1 6 1 x x x x x x x I dx dx x x dx π π π π π π − − − + + ⇒ = + = + + + ∫ ∫ ∫ ( ) 4 4 4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 3 3 5 3 1 3 in cos 1 in 2 1 in 2 4 4 4 8 8 s x x dx s x dx s x dx cos x dx π π π π π π π π − − − −       = − = − = − = +             ∫ ∫ ∫ ∫ 5 3 5 4 sin 4 8 32 16 - 4 x x π π   = + =     . Chú ý: Bài toán 3 có dạng tổng quát sau: Nếu f(x) là hàm số liên tục, chẵn thì ∫∫∫ −−− =⇒ + = + = b b b b x x b b x dxxfIdx a xf adx a xf I )( 2 1 1 )( 1 )( . Bài toán 4: Tính tích phân I = 2 0 sin cos 4 x x dx x π − ∫ Thông thường khi gặp tích phân trên, hầu hết các bạn đều nghĩ đến phương pháp tính tích phân từng phần. Xong các bạn hãy thử làm như thế và so sánh với lời giải sau: Lời giải : Đặt 0: : 0 dx dt x t x t x t π π π = −   = − ⇒ = =   = =  Khi đó 0 2 2 2 2 0 0 0 ( )sin( ) ( )sin sin sin cos ( ) 4 cos 4 cos 4 cos 4 t t t t t t t I dt dt dt dt t t t t π π π π π π π π π − − − = − = = − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 0 0 0 sin sin sin cos 4 cos 4 cos 4 x x x x dx dx dx I x x x π π π π π = − = − − − − ∫ ∫ ∫ 2 2 0 0 sin sin 2 cos 4 2 cos 4 x x I dx I dx x x π π π π ⇒ = ⇔ = − − ∫ ∫ Đặt 0: 1 : 1 sinxdx dt cosx t x t x t π = −   = ⇒ = =   = = −  1 1 2 1 1 1 2 ln 1 2 4 2 ( 2)( 2) 8 2 dt dt t I t t t t π π π − − − ⇒ = − = = − − − + + ∫ ∫ ln3 4 π = − Chú ý: Bài toán 4 có thể tổng quát như sau: Cho hàm s ố f(x) liên t ụ c và tho ả mãn: f(a+b-x) = f(x) . Khi đ ó ∫∫ + = b a b a dxxf ba dxxxf )( 2 )( ( để ch ứ ng minh k ế t qu ả trên các b ạ n hãy đặ t x= a+b-t ). Bài toán 5: Tính tích phân I = 2 1 1 1 xdx x + − ∫ ( Đề thi kh ố i A n ă m 2004) V ớ i bài toán trên, cách đặ t nh ư th ế nào để không thay đổ i c ậ n c ủ a tích phân. L ờ i gi ả i: Đặ t 1 x = + − t 1 Khi đó 2 2 2( 1) hay x= 1 1: 1 2: 2 dx t dt x t x t = −   + ⇒ = =   = =  x -1 = (t -1) (t -1) ( cách đặt này đảm bảo cận không đổi !) 2 2 2 2 3 2 2 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 3 4 1 1 2 . 2 . 2 3 4 . t t t t t dt dt t t dt t t t   − − + − + −     ⇒ = = − + −     ∫ ∫ ∫ 3 2 2 2 3 4 ln | | 1 3 2 t t t t   = − + −     5 2ln2 3 = − . Chú ý: Bài toán 5 có thể tổng quát dạng ( ) b a p x dx mx n c + + ∫ v ớ i p(x) là đ a th ứ c ch ứ a bi ế n x; m,n,c là các h ằ ng s ố . Ta có th ể đặ t t mx n c = + + hoặc t mx n = + đều giải được. Bài toán 6: Tính tích phân 3 2 0 sin I sin cos x dx x x π = + ∫ L ờ i gi ả i: Đặ t 0: 2 2 : 0 2 dx dt x t x t x t π π π   = −   = − ⇒ = =    = =   3 0 3 3 2 2 0 0 2 sin s s 2 I sin cos sin cos sin cos 2 2 t co t co x dt dt dx J t t x x t t π π π π π π   −     = − = = = + +     − + −         ∫ ∫ ∫ 3 3 3 3 2 2 2 2 0 0 0 0 sin s sin s I+J (1 sin .cos ) sin cos sin cos sin cos x co x x co x dx dx dx x x dx x x x x x x π π π π + ⇒ = + = = − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 0 1 1 1 (1 sin 2 ) s2 2 2 4 2 2 0 x dx x co x π π π   = − = + = −     ∫ . Vậy 1 1 4 2 I J I I J π π =  −  ⇒ =  − + =   Chú ý: Bài toán 6 có thể tổng quát thành các dạng sau: m n 2 m m n n 0 sin sin ; sin cos sin cos b k a mx ax dx mx mx ax ax π + + ∫ ∫ Qua 6 bài toán trên, tác giả muốn các bạn học sinh có thêm một cách nhìn mới để tiếp cận với phương pháp đặt ẩn phụ trong tính tích phân. Rất mong nhận được sự quan tâm trao đổi. Cuối cùng mời các bạn vận dụng vào một số bài tập sau: Tính các tích phân: 1 1 0 4 3 3 1 2 x I dx x − = + + ∫ ( ) 1 2 3 2 1 lg 1 I x x dx − = + + ∫ ( ) 1 2 3 1 3 I lg x 1000 2 x dx −   = + + −     ∫ ( ) 2 2 4 2 cos .ln 1 I x x x dx π π − = + + ∫ ( ) 2004 5 3 2 5 2000 6 16 I x x dx − = − + ∫ ( ) 2 5 2 1 x 4 7 3 6 1 I e 6 16 n x x x dx + − + − = − + ∫ 4 7 4 sin .sin 2 .cos3 2 1 x x x x I dx π π − + ∫ 1 8 2 1 ( 1)( 1) x dx I e x − = + + ∫ 2 9 2 sin .sin 2 .cos5 1 x x x x I dx e π π − = + ∫ 3 10 6 ( cot ) I x tgx gx dx π π = + ∫ 11 2 0 sin cos 1 x x I dx x π = + ∫ 2 12 0 sin sin cos x I dx x x π = + ∫ ( ) 2 13 0 cos sin I x x dx π = − ∫ ( ) 2 14 3 0 4sin sin cos x I dx x x π = + ∫ . (bằng cách đặt x=a+b-t là cách đặt mà cận không hề thay đổi! ) - Từ đó ta có cách đặt tổng quát khi gặp tích phân ( ) b a f x dx ∫ mà không thay đổi cận. bài toán trên, điểm chung của cách đặt ẩn phụ là gì? Câu trả lời là : Đặt ẩn phụ nhưng không làm thay đổi cận của tích phân. Vậy sử dụng suy nghĩ