SỞ GD – ĐT HÀ TĨNH  ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2013  TRƯỜNG THPT CÙ HUY CẬN                 Môn: TOÁN, Khối A, A1, B và D  Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)  PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)  Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số  3  3 2   (C )  m  y x mx = - +  1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi  1 m =  2.  Tìm tất cả các giá trị của  m  để hàm số có cực trị và đường thẳng đi qua cực đại , cực tiểu của đồ thị  hàm số ( )  m  C  cắt đường tròn ( ) ( )  2 2  1 2 1 x y - + - =  tại hai điểm  , A B  phân biệt sao cho  2  5  AB =  Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình : 2sin 2 2 sin 2 5sin 3cos 3  4  x x x x p æ ö + + + - = ç ÷ è ø  2. Giải hệ phương trình :  3 3 2  3  7 3 ( ) 12 6 1  ( , )  4 1 3 2 4  x y xy x y x x  x y  x y x y + + - - + = ì ï Î í + + + + = ï î ¡  Câu III (1,0 điểm)  1. Tính tích phân :  4  2  0  sin sin 2  os  x x x  I dx  c x p + = ò  Câu IV (1,0 điểm)  Cho hình chóp  . S ABCD  có SA vuông góc với đáy ,  ABCD  là hình chữ nhật với  3 2, 3 AB a BC a = =  . Gọi  M  là trung điểm CD  và góc giữa ( ) ABCD  với ( ) SBC  bằng  0  60  . Chứng minh  rằng ( ) ( ) SBM SAC ^  và tính thể tích tứ diện SABM .  Câu V (1,0 điểm)  Cho  , x y  là các số thực không âm  thoả mãn  1 x y + =  .  Tìm GTNN của biểu thức:  2 2  3 1 2 2 40 9 P x y = + + +  PHẦN RIÊNG  A.  Theo chương trình Chuẩn  Câu VI.a( 2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy  cho tam giác  ABC  có cạnh  AC  đi qua  (0, 1) M -  . Biết  2 AB AM =  , đường phân giác trong  : 0 AD x y - =  ,đường cao  : 2 3 0 CH x y + + =  . Tìm  toạ độ các đỉnh.  3.  Giải phương trình :  8  4 2  2  1 1  log ( 3) log ( 1) log 4  2 4  x x x + + - =  Câu VII.a ( 1 điểm) Tìm hệ số chứa  4  x  trong khai triển  2  2  1 3  6  n  n  x x - æ ö + + ç ÷ è ø  biết :  1  4 3  7( 3)  n n  n n  C C n + + + - = +  B.  Theo chương trình Nâng cao  Câu VI.b( 2 điểm) 1.Trong mặt phẳng  toạ độ Oxy  cho đường tròn  2 2  ( ) :( 1) ( 1) 25 C x y - + + =  , điểm  (7;3) M  . Viết phương trình đường thẳng qua  M cắt ( ) C  tại hai điểm phân biệt  , A B  sao cho  3 MA MB =  2. Giải phương trình: ( ) ( )  5 4  log 3 3 1 log 3 1  x x + + = +  Câu VII.b ( 1 điểm)Với  n  là số nguyên dương , chứng minh:  0 1 2 1  2 3 . ( 1) ( 2)2  n n  n n n n  C C C n C n - + + + + + = +  ­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­  (Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)  Cảm ơn bạn Nguyễn Hà Trung ( htrung85@yahoo.com.vn) gửi tới www.laisac.page.tl SỞ GD­ĐT HÀ TĨNH  TRƯỜNG THPT CÙ HUY CẬN  KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I  NĂM HỌC 2012­2013  HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN HỌC  CÂU  ĐÁP ÁN  ĐIỂM  I.1  (1 điểm)  PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH:  Khi  1 m =  ta có hàm số  3  3 2 y x x = - +  TXĐ: D=R  Sự biến thiên  Đạo hàm:  2  1 0  ' 3 3, ' 0  1 4  x y  y x y  x y = Þ = é = - = Û ê = - Þ = ë  Giới hạn:  lim ; lim  x x  y y ®-¥ ®+¥ = -¥ = +¥  Bảng biến thiên:  x -¥  1 -  1 +¥  ' y +  0 -  0 +  4 +¥  y -¥  0  Hàm số đồng biến trên ( ) ( )  ; 1 ; 1; -¥ - +¥  Hàm số nghịch biến trên ( )  1;1 -  Hàm số đạt cực đại tại  1; 4  CD  x y = - =  Hàm số đạt cực tiểu tại  1; 0  CT  x y = =  Đồ thị:  f(x)=x^3­3x+2  ­10  ­8  ­6  ­4  ­2  2  4  6  8  ­8  ­6  ­4  ­2  2  4  6  8  10  x  y  0.25  0.25  0.25  0.25 A  I  B  H  I.2  (1điểm)  + Ta có  2  ' 3 3 y x m = -  Để hàm số có cực trị thì  ' 0 y =  có 2 nghiệm phân biệt  0 m Û >  Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là  : 2 2 0 mx y D + - =  Điều kiện để đường thẳng D  cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt là : ( )  2  2  ,  2 2 2  1 2 4 1 0 1,  4 1  d I R  m  m m m  m D < + - Û < Û < + Û < " +  Gọi  H  là hình chiếu của  I  trên  AB  . Ta có  2  2  2 6  4 5  AB  IH R = - =  . Theo bài ra  2 6  ( , )  5  d I D =  2  2  6  2  2 6  6  5  4 1  6  (L)  m  m  m  m  m é = Û = Û = Û ê + = - ê ë  Vậy  6 m =  là giá trị cần tìm .  0.25  0.25  0.25  0.25  II.1  (1điểm)  1. GPT :  2sin2 2 sin 2 5sin 3cos 3  4  x x x x p æ ö + + + - = ç ÷ è ø  (1)  2  (1) 2sin 2 sin 2 os2 5sin 3cos 3  6sin cos 3cos (2sin 5sin 2) 0  3cos (2sin 1) (2sin 1)(sinx 2) 0  (2sin 1)(3cos sinx 2) 0  1  sinx  2  sinx 3cos 2  x x c x x x  x x x x x  x x x  x x  x Û + + + - = Û - - - + = Û - - - - = Û - - + = é = ê Û ê - = ë  0.25  0.25 +  2  1  6  sin ,  5  2  2  6  x k  x k  x k p p p p é = + ê = Û Î ê ê = + ê ë ¢  2 1  sinx 3cos 2 sin( ) ,( os )  10 10  2  arcsin 2  10  ,  2  arcsin 2  10  x x c  x k  k  x k a a a p p a p - = Û - = = é = + + ê ê Û Î ê = + - + ê ë ¢  Vậy pt có 4 họ nghiệm :  2  6  5  2  6  ,  2  arcsin 2  10  2  arcsin 2  10  x k  x k  k  x k  x k p p p p a p p a p é = + ê ê ê = + ê Î ê ê = + + ê ê ê = + - + ê ë ¢  0.25  0,25  II.2  (1điểm)  2. Giải hệ :  3 3 2  3  7 3 ( ) 12 6 1  (1)  ( , )  4 1 3 2 4   (2)  x y xy x y x x  x y  x y x y + + - - + = ì ï Î í + + + + = ï î ¡  Giải: ĐK 3 2 0 x y + ³ ( ) ( )  3 2 3 2 2 3  3 3  (1) 8 12 6 1 3 3  2 1 2 1 1  x x x x x y xy y  x x y x x y y x Û - + - = - + - Û - = - Û - = - Û = -  + Với  1 y x = -  thay vào  (2)  ta được :  3  3 2 2 4 x x + + + =  Đặt  3  3 2, 2    (b 0) a x b x = + = + ³  . Ta có hệ  :  3  3 2  4  2 3 2 2  2  2  3 4  2 2  a b  a x  x  b  a b  x ì + = = + = ì ì ï Û Þ Û = í í í = = - + = î î ï î  +  2 1 x y = Þ = -  . Vậy nghiệm của hệ là:  2  1  x  y = ì í = - î  0.25  0.25  0.25  0.25 III.  (1điểm)  Tính  4  2  0  sin sin 2  os  x x x  I dx  c x p ò + =  + Ta có  4 4  2  0 0  sin sinx  2  os cos  x x  I dx dx  c x x p p ò ò = +  Đặt  4 4  1 2  2  0 0  sin sinx  ; 2  os cos  x x  I dx I dx  c x x p p ò ò = =  +Tính  1  I : Đặt  2  2  4  1  0  sinx 1  ; os (cos )  os cos  1 1 sinx 2 1 2 2  ln ln  4 4 4  cos cos cos 2 1 sinx 4 2  2 2  0 0 0  u x du dx v dx c xd x  c x x  x dx x  I  x x x p p p p p - ò ò ò = Þ = = = - = + + Þ = - = - = - - -  + Tính  4  2  0  (cos ) 2  2 2ln cos 2ln  4  cos 2  0  d x  I x  x p p ò = - = - = -  Vậy  1 2  2 1 2 2 2  ln 2ln  4 2 2  2 2  I I I p + = + = - - -  0.25  0.25  0.25  0.25  0.25  IV.  (1điểm)  I  M  S A  B  C D  Gọi  I BM AC = Ç  ,suy ra  I  là trọng tâm của tam giác  BCD  2  2 2 2  1 6 1 18  ; 3  3 2 3 4  a a  IM BM IC AC a IM IC CM  BM AC Þ = = = = Þ + = = Þ ^  Mặt khác  ( ) ( ) ( ) BM SA BM SAC SBM SAC ^ Þ ^ Þ ^  + Ta có  2  1 1 9 2  . ( , ) 3 2.3  2 2 2  ABM  a  S AB d M AB a a = = =  Theo bài ra  ·  0  60 SBA =  . Xét tam giác vuông  SAB  có  2  0 3  1 9 2  tan 60 3 6 3 6 9 3( )  3 2  SABM  a  SA AB a V a a dvtt = = Þ = =  0.25  0.25  0.25  0.25 V.  (1điểm)  + Ta dễ dàng CM được B Đ T sau:  2 2 2  1 2 1 2  1 2 1 2  1 2 1 2 1 2  , , ,  ( )  ;  , 0  a a b b  a a a a  b b b b b b Î ì + + ³ " í > + î ¡  (Tuyệt phẩm Svac­xơ)  +Ta có  2 2 2  2  3 4 (3 2 ) 3  3 1 2 3 3 (3 2 )   (1)  9 2 11  11  x x  x x + + = + ³ = +  2 2 2  2  40 36 (40 6 ) 11  2 40 9 2 2 (40 6 )  (2)  40 4 44 11  y y  y y + + = + ³ = +  +Từ  3 11 11 11  (1),(2) (3 2 ) (40 6 ) (49 6 6 ) 5 11  11 11 11  P x y x y Þ ³ + + + = + + =  + Dấu đẳng thức xẩy ra  1  3  2  3  x  y ì = ï ï Û í ï = ï î  0.25  0.25  0.25  0.25  VI.a (1điểm)  PHẦN RIÊNG:  1.  Gọi  1  M  là điểm đối xứng với  M  qua  AD  1  1  (1,1) :1( 0) 1( 1) 0 1 0  MM AD  n u MM x y x y Þ = = Þ - + + = Û + + = r r  Gọi  1  I AD MM = Ç Þ  toạ độ  I  là nghiệm của hệ  1  1  1 0  1 1  2  ( ; ) ( 1;0)  0 1  2 2  2  ( 1;2) : 1( 1) 2( 0) 0 2 1 0  AB CH  x  x y  I M  x y  y  n u AB x y x y ì = - ï + + = ì ï Û Þ - - Þ - í í - = î ï = - ï î = = - Þ - + + - = Û - + = r v  Suy ra toạ độ  A là nghiệm của hệ  2 1  (1;1) ( 1; 2) (2; 1) : 2( 1) 1( 1) 0  0  2 1 0  AC  x y  A AM n AC x y  x y  x y - = - ì Þ Þ = - - Þ = - Þ - - - = í - = î Û - - = uuuur r  Toạ độ C là nghiệm cuả hệ  2 3  1  ( ; 2)  2 1  2  x y  C  x y + = - ì Þ - - í - = î  Vì  0  0  2  0  0 0  0  1  ( ; )  2  5  1  ( 1; ); ( 1, 2) 2 ( 1) 16  3  2  (5;3) (KTM)  ( 3; 1)  o  x  B AB B x  x  x  AB x AM AB AM x  x  B  B + Î Þ = é - Þ - - - Þ = Û - = Û ê = - ë é Þ ê - - ë uuur uuuur  Vì  , B C  phải khác phía với AD  (5,3) B Þ  không TM. Vậy  1  (1;1); ( 3; 1); ( ; 2)  2  A B C - - - -  0.25  0.25  0.25  0.25  2.  ĐK: ( )  2 2  0  1  (1) log ( 3) 1 log 4 ( 3) 1 4  1  3  ( 3)( 1) 4  0 1  3 2 3  ( 3)(1 ) 4  x  x  x x x x x x  x  x  x x x  x  x  x x x > ì í ¹ î Þ Û + - = Û + - = > é ì í ê = + - = é î ê Û Û ê ê < < = - + ì ë ê í + - = ê î ë  0.25  0.25  0.25  0.25 VII.a  (1điểm)  ĐK:  0  ( 4)! ( 3)!  (1) 7( 3)  ( 1)!3! !3!  ( 4)( 2) ( 1)( 2) 42 12  n  n n  n  n  n n  n n n n n ³ ì + + Þ Û - = + í Î + î Û + + - + + = Û = ¢  + Với  10  2 0 10 1 9 2 2 8 4  10 10 10  12  (1 2 ) 3 (1 2 ) (1 2 ) .3 (1 2 ) 9 .  n  x x C x C x x C x x = Þ + + = + + + + + + é ù ë û  Ta có:  0 10 0 0 1 2 2 3 3 4 4  10 10 10 10 10 10 10  2 1 9 2 1 0 1 2 2  10 10 9 9 9  4 2 8 4 2 0  10 10 8  (1 2 ) 2 4 8 16 .  3 (1 2 ) 3 2 4 .  9 (1 2 ) 9 .  C x C C C x C x C x C x  x C x x C C C x C x  x C x x C C + = + + + + + é ù ë û + = + + + é ù ë û + = + é ù ë û  Vậy hệ số của số hạng chứa  4  x  là :  0 4 1 2 2 0  10 10 10 9 10 8  16 3 4 9 8085 C C C C C C + + =  0.25  0.25  0.25  0.25  1.  I  H  B  A  M VI.b ngtrũn ( ) : (1, 1) 5 52 5 C I R MI - = = > ị M nmngoingtrũn Tacú 2 2 2 . 27 3 27 3 9 6MA MB MI R MB MB MA AB = - = ị = ị = ị = ị = Gi H ltrungimca AB 2 2 4 4 AB IH R ị = - = Gingthngiqua (7,3)M cúvtpt 2 2 ( , ),( 0) : Ax 7 3 0n A B A B By A B + ạ ị D + - - = r .Theotrờntacú: 2 2 2 0 7 3 ( , ) 4 4 5 12 0 12 5 A A B A B d I IH A AB B A A B = ộ - - - ờ D = = = + = ờ = - + ở +Vi 0 : 3A y = ị D = +Vi 12 :12 5 69 0 5 B A x y = - ị D - - = 2. t 4 5 log (3 1) 3 4 1 (1) log (3 2 ) 1 2 3 2 5 3. 1(*) 5 5 x x t t t t t t t t + = ị = - ị + = ổ ử + = + = ỗ ữ ố ứ Xộthm 1 2 ( ) 3. 5 5 t t f t ổ ử = + ỗ ữ ố ứ lhmnghchbin.M (1) 1 1f t = ị = lnghim duynhtcaphngtrỡnh(*) +Vi 1 1t x = ị = VII.b +Tacú: 0 1 2 2 3 3 (1 ) . (1) n n n n n n n n x x xC xC x xC x xC x C x + = + + + + + Lyohmhaivca(1)tac: 1 0 1 2 2 (1 ) (1 ) 2 3 . ( 1) (2) n n n n n n n n x nx x C C C x n C x - + + + = + + + + + Thay 1x = vo(2) dpcm ị 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 (Micỏchgiiỳngvgnuchoimtia) ===HT=== 0.25