Đang tải... (xem toàn văn)
1 MA MB Phân tích MI theo MA, MB 2 Chú ý: Khi chứng minh các bài toán vectơ, ngoài 2 kỹ thuật trên, ta cần chú ý thêm kỹ thuật chèn điểm trong quy tắc 3 điểmtổng, hiệu, quy tắc trun[r]
(1)ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 VECTƠ VÀ CÁC ĐỊNH NGHĨA Các em xem video bài giảng https://www.youtube.com/watch?v=Q7fQdPeb2Bo&list=PLyaLUur87xVgaW57SXJ3xgpT 27DVF21N7&index=1 https://www.youtube.com/watch?v=nX2FpKtiVf8&list=PLyaLUur87xVgaW57SXJ3xgpT2 7DVF21N7&index=2 ĐIỀU CHỈNH NHỎ ÂM THANH ĐỂ DỄ NGHE HƠN NHỮNG ĐIỀU EM CẦN NHỚ Khái niệm vectơ Vectơ là đoạn thẳng có hướng Vectơ AB có A là điểm đầu, B là điểm cuối Vectơ còn kí hiệu: a, b, x, d A B Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng Kí hiệu Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Hãy kể tên các vectơ khác , có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C Giá vectơ AB là đường thẳng qua điểm A và B Ví dụ: Đường thẳng d qua điểm A và điểm B nên đường thẳng d là giá vectơ AB , và d là giá vectơ BA Hai vectơ a và b gọi là cùng phương vectơ đó có giá song song trùng a b a b Nhận xét: Hai vectơ a và b không cùng phương giá cắt Hai vectơ a và b gọi là cùng hướng chúng cùng phương và cùng chiều mũi tên a a b b Hai vectơ a và b gọi là ngược hướng chúng cùng phương và ngược chiều mũi tên a a b b (2) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD(2 đường thẳng AD và BC không song song) Gọi điểm M, N nằm trên đường thẳng CD a) Các cặp vectơ sau có cùng phương hay không ? Nếu cùng phương thì hãy xét hướng các cặp vectơ đó? AB và CD , DC và MN , AD và BC b) Hãy các vectơ cùng hướng với CN Độ dài vectơ AB là độ dài đoạn AB Kí hiệu AB AB Hai vectơ a và b gọi là chúng cùng hướng và cùng độ dài Kí hiệu a b a b Ví dụ 3: Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Hãy kể tên các vectơ với vectơ BM Nhận xét: AB, AC cùng phương A, B, C thẳng hàng AB, CD cùng phương Hai đường thẳng AB và CD song song trùng AB Hai điểm A, B trùng AB AC B C BÀI TẬP Bài Cho hình lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O a) Chỉ các vectơ khác và cùng phương với vectơ FC b) Tìm các vectơ AB ĐÁP ÁN: a) AB, BA, ED, DE , FO,OF, OC , CO, CF b) FO, OC , ED Bài Có kết luận gì vị trí các điểm A, B, C các trường hợp sau: a) AB, AC cùng phương b) AB, CD cùng phương c) AB, AC cùng hướng và độ dài AC > AB d) AB, AC ngược hướng và độ dài AB = AC e) AB AC f) AB TRẢ LỜI a) Ba điểm A, B, C thẳng hàng vì AB, AC cùng phương thì đường thẳng AB, AC song song trùng Hai đường AB, AC có chung điểm A nên không thể song song được, có thể trùng Do đó, điểm A, B, C thẳng hàng (3) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 b) AB, AC cùng hướng nên suy điểm A, B, C thẳng hàng và điểm B và C nằm cùng phía điểm A Mặt khác, độ dài AC > AB nên điểm B nằm điểm A và C c) AB, AC ngược hướng nên điểm A, B, C thẳng hàng và A phải nằm điểm B và C Mặt khác độ dài AB = AC nên A là trung điểm BC Bài Cho tam giác ABC đều, có M là trung điểm BC Các đẳng thức sau đây đúng hai sai: AB a) AB AC b) BM MC c) AB BC CA d) AM TRẢ LỜI a) Đẳng thức AB AC sai vì vectơ AB, AC độ dài, không cùng hướng theo định nghĩa ĐẲNG THỨC SAI b) ĐẲNG THỨC ĐÚNG Hai vectơ BM , MC cùng hướng và độ dài nên đây là vectơ c) ĐẲNG THỨC ĐÚNG Tam giác ABC nên cạnh AB, BC, CA có độ dài Nghĩa là AB BC CA d) ĐẲNG THỨC ĐÚNG Vì đây chính là công thức tính độ dài đường cao tam giác Bài Cho tứ giác ABCD Chứng minh ABCD là hình bình hành AB DC Chứng minh:” ABCD là hình bình hành AB DC “ A Vì ABCD là hình bình hành nên vectơ AB, DC cùng phương, cùng hướng và độ dài Suy AB DC B Chứng minh : “ AB DC ABCD là hình bình hành” C Tứ giác ABCD có AB DC , suy ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ {𝐴𝐵 , 𝐷𝐶 𝑐ù𝑛𝑔 ℎướ𝑛𝑔 ⟹Tứ giác ABCD có AB // CD và độ dài AB = CD Suy AB DC 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 Vậy ABCD là hình bình hành AB DC Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi M và N là trung điểm AB và CD AN và CM cắt DB E và F Chứng minh DE EF FB Bài Cho tam giác ABC Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AD Dựng MK CP, KL BN a) Chứng minh KP PN b) Xét tính chất tứ giác AKBN Chứng minh A và L trùng D (4) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 L A LỜI GIẢI N P a) MK CP Tứ giác MCPK là hình bình hành K KP MC C Mặt khác: PN là đường trung bình tam giác ABC nên tứ giác B M PNCM là hình bình hành PN MC Vậy KP PN MC b) Theo câu a ta có KP PN , suy P là trung điểm KN Xét tứ giác AKBN có P là trung điểm đường chéo KN và AB Suy tứ giác AKBN là hình bình hành nên BN KA Mặt khác theo giả thiết ta có: KL BN Suy KL KA A L BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm O Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD và DA a) Các cặp vectơ sau đây có cùng phương không: AB và MB , M A QM và BD , AD và MC Q b) Tìm các vectơ cùng hướng, ngược hướng với vectơ MN ? c) Tìm các vectơ với các vecto OB ? TRẢ LỜI a) Hai vectơ AB và MB cùng phương vì có giá trùng Hai vectơ QM và BD cùng phương vì có giá song song N O D P C Hai vectơ AD và MC không cùng phương vì có giá cắt nhau(kéo dài đường MC và AD thấy rõ đường thẳng này cắt b) Các vectơ cùng hướng với vectơ MN là: AC, QP, AO, OC Các vectơ ngược hướng với vectơ MN là: CA, PQ, OA, CO, NM c) Các vectơ với vectơ OB là DO, QM , PN Bài Cho hình bình hành ABCD và E là điểm đối xứng C qua D Chứng tỏ AE BD Bài Cho tam giác ABC Hãy dựng các điểm M, N cho AM BC, AN CB Nhận xét gì hai vecto AM , AN và điểm A, M, N Bài Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF Dựng EH và FG AD Chứng minh CDGH là hình bình hành Bài Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD cho AM = CN Chứng minh AN MC và MD BN B (5) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Bài Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD, AB = 2CD Từ C vẽ CI DA a) Chứng minh I là trung điểm AB và DI CB b) Chứng minh AI IB DC Bài Cho hình bình hành ABCD Dựng AM BA, MN DA, NP DC, PQ NM Chứng minh AQ BÀI TẬP VỀ TỔNG VÀ HIỆU VECTƠ CÁC KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI VECTƠ Kỹ thuật 1: Quy tắc điểm Với điểm A, B, M tùy ý, ta có M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Quy tắc theo phép cộng: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑴 + 𝑴𝑩 𝑨𝑩 A B A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Quy tắc theo phép trừ: 𝑴𝑩 𝑴𝑨 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑩 M B Kỹ thuật 2: Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC Ý nghĩa: Tổng vectơ cạnh vectơ đường chéo Ta có thể áp dụng theo các cách khác: BA BC BD ; CB CD CA Tính chất phép cộng vectơ Cho vectơ a, b, c tùy ý, ta có Tính chất giao hoán: a b b a Tính chất kết hợp : a b c a b c B A C D (6) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Tính chất vectơ-không: a a a Vectơ đối Vectơ ngược hướng với vectơ a và có cùng độ dài với vectơ a gọi là vectơ đối vectơ a Kí hiệu là a Vectơ đối vectơ AB là BA Nhận xét: BA AB Nếu vectơ a và b đối thì ta có : a b BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Có cách để chứng minh đẳng thức vectơ Một là biến đổi từ vế trái thành vế phải Hai là biến đổi từ vế phải thành vế trái Ba là chứng minh đẳng thức đó tương đương với đẳng thức đúng đã biết Bài Cho điểm A, B, C, D, E, F tùy ý Chứng minh a) AB BC CD DA b) AB AD CB CD c) AD BE CF AE BF CD Giải: a) VT AB BC CD DA AC CA AA VP b) Cách 1: AB AD CB CD DB DB (luôn đúng) Cách 2: AB AD DA AB DB CB CD Cách 3: VT AB AD AC CB AC CD AC AC CB CD CB CD VP c) Ta dùng kỹ thuật 1: quy tắc điểm Cách 1: Biến đổi từ vế trái thành vế phải VT AE BF CD ED DF FE AE BF CD AE BF CD Cách 2: Biến đổi từ vế phải thành vế trái VP AD DE BE EF CF FD AD BE CF DE EF FD AD BE CF AD BE CF Cách 3: Biến đổi tương đương AD BE CF AE BF CD AD AE BE BF CF CD ED FE DF FE ED DF (đúng) Bài Cho hình bình hành tâm O Chứng minh: a) DA DB DC b) DA DB OD OC c) CO OB BA d) MA MC MB MD Giải a) Cách 1: VT DA DB DC BA DC (vì vectơ đối nhau) Cách 2: VT DA DC DB BD DB b) Cách 1: VT DA DB DA BD BD DA BA CD OD OC A D O B C (7) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Cách 2: VT DA DB BA CD OD OC Cách 3: DA DB OD OC BA CD c) Cách 1: VT CO OB CO BO CO OD CD BA Cách 2: VT CO OB OA OB BA Cách 3: CO OB BA CO OB BA CO OA d) Cách 1: VT MA MC MB BA MD DC MB MD BA DC MB MD MB MD VP (Do BA, DC là vectơ đối nhau) Cách 2: MA MC MB MD MA MB MD MC BA CD (đẳng thức đúng) Bài Cho tam giác ABC Vẽ bên ngoài tam giác các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh RJ I Q PS I Q Giải B VT RJ I Q PS RA AJ IB BQ PC CS RA CS AJ IB BQ PC P J Khó khăn lớn bài này là không biết cách tìm điểm chèn Các em hãy vẽ hình rõ ràng, bạn nhận RJ có mối liên hệ gần với điểm A, tương tự cho các điểm B và C C A R S Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O A a) Xác định các điểm M, N, P cho OM OA OB, ON OC OB, OP OA OC Chứng minh M các điểm M, N, P nằm trên đường tròn (O) b) Chứng minh OA OB OC GIẢI O a) Muốn chứng minh M, N, P nằm trên đường tròn (O) thì ta chứng B minh OM = ON = OP = R Đầu tiên ta có OM OA OB , suy tứ giác OAMB là hình bình N hành Mặt khác, OA = OB nên suy tứ giác OAMB là hình thoi Lại có tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn (O) nên góc AOB 1200 OAM 600 Hình thoi OAMB có góc OAM 600 nên tam giác OAM OA OM M O Tương tự ta chứng minh các tam giác NOB và POC và suy điểm P, N thuộc đường tròn (O) b) Ta có OA OB OC OM OC Ta chứng minh O là trung điểm MC Tứ giác OCPA là hình thoi(do câu a) nên AP OC Mặt khác, tứ giác OMAP là hình thoi nên AP MO Suy OC MO O là trung điểm MC OM OC Vậy OA OB OC P C (8) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 BÀI TOÁN VỀ ĐỘ DÀI VECTƠ Bài Cho tam giác ABC vuông A biết AB a , AC 2a Tính độ dài vectơ tổng AB AC và độ dài vectơ hiệu AB AC GIẢI Bài Cho hình thoi ABCD có góc BAD = 600 và cạnh AB a Gọi O là giao điểm hai đường chéo Tính a) Tính các độ dài AB BC , BA BC , AB AD b) Tính các độ dài AO BO , OB DC Giải a) AB BC AC a 3cm B BA BC CA CA a 3cm O A AB AD AC AC a 3cm b) AO BO AO OD AD AD a C D a Bài Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh AB a Xác định các vectơ sau đây và tính độ dài chúng theo a a) a OA OB OC OD b) b AB AD c) c AB AD d) d AB AC Giải OB DC DO DC CO CO a) a OA OB OC OD OA OC OB OD a b) b AB AD AC b AC a c) c AB AD DB c DB DB a (9) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 d) d AB AC a Bài Cho tam giác ABC có cạnh AB a Kẻ đường cao AH a) Gọi E, F là hai điểm trên cạnh BC cho BE = EF = FC Tỉnh tổng u AB EA AC FA A b) Xác định vectơ AH BH Tính độ dài AH BH theo a Giải a) F E B C H u AB EA AC FA EA AB FA AC EB FC u b) AH BH AH HC AC AH BH AC AC a Bài 10 Cho các vectơ a và b khác a) Khi nào thì ta có a b a b b) Khi nào thì ta có a b a b Giải a) b a A C B b) Bài 11 Chứng minh tam giác ABC có CA CB CA CB thì tam giác ABC vuông GIẢI Ta có CA CB BA Gọi điểm D cho tứ giác ACBD là hình bình hành Từ ta có CA CB CD CA CB CA CB BA CD BA CD D A B C (10) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Hình bình hành ACBD có đường chéo AB và CD nên ACBD là hình chữ nhật Suy tam giác ABC vuông C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho điểm A, B, C, D, E a) Chứng minh rằng: AC BD AD BC ; AB CD AD CB AB CD AC BD ; AD BE AE BD b) Chứng minh AB CD thì AC BD Bài Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh a) AC BD EF AF BC ED b) AD FC EB CD EA FB c) AB DC FE CF DA EB Bài Cho tứ giác MNPQ Chứng minh rằng: a) PQ MN PN MQ b) Gọi A, B, C, D là trung điểm các cạnh MN, NP, PQ, QN Chứng minh MB NC PD QA và OA OB OC OD với O là giao điểm AC và BD Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, CD Điểm K đối xứng với M qua N Chứng minh: a) MK AD BC b) MK AC BD Bài Cho hình bình hành tâm O Chứng minh: a) CO OB BA b) AB BC DB c) DA DB OD OC d) DA DB DC e) OA OB OC OD f) OD OC BC Bài Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M tuỳ ý Chứng minh a) AB OA OB b) MA MC MB MD Bài Gọi M và N là trung điểm AD và BC hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: a) AD MB NA b) CD CA CB Bài Cho G là trọng tâm tam giác ABC Các điểm M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA a) Chứng minh GM GN GP b) Chứng minh OM ON OP OA OB OC Bài Cho tam giác ABC Gọi A’ là điểm đối xứng B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng A qua C Chứng minh với điểm O tùy ý ta có OA OB OC OA OB OC Bài 10 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, trực tâm H, vẽ đường kính AD a) Chứng minh rằng: HB HC HD b) Gọi H’ đối xứng với H qua O Chứng minh HA HB HC HH Bài 11 Cho tam giác ABC cạnh a Tính độ dài các vectơ AB BC , CA CB và CA CB ĐÁP SỐ: AB BC AC a , CA CB BA a , CA CB a Bài 12 Cho tam giác ABC vuông A, biết AB a và B 600 Tính độ dài các vectơ AB AC và AB AC ĐÁP SỐ: AB AC 2a , AB AC 2a 10 (11) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Bài 13 Cho tam giác ABC cạnh a , đường cao AH Tính độ dài các vectơ AB BH , AB AC , AB AC a , AB AC a , AB AC a Bài 14 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính độ dài các vectơ AC AB, AB AD, AB BC ĐÁP SỐ: AB BH ĐÁP SỐ: AC AB a, AB AD a , AB BC a Bài 14.1 Cho hình thoi ABCD có BAD 600 và cạnh a Gọi O là giao điểm đường chéo Tính độ dài các vectơ AB AD, BA BC , OB DC Bài 15 Chứng minh tam giác ABC thỏa điều kiện AB AC vuông góc với AB AC thì tam giác ABC cân Bài 16 Cho tam giác ABC Nếu vectơ tổng AB AC nằm trên đường phân giác góc BAC thì tam giác ABC là tam giác gì? Đáp án: Tam giác ABC cân A Bài 17 Cho tứ giác ABCD Chứng minh AD BC AB DC thì AC BD PHÉP TOÁN NHÂN VECTƠ VỚI SỐ THỰC Kỹ thuật 3: Hai vec tơ cùng phương Hai vectơ a và b cùng phương Có số k Nếu k thì a và b cùng hướng Nếu k thì a và b ngược hướng cho a kb Độ dài a k b Chú ý: Hai vectơ a và b cùng phương thì ta có biểu diễn a kb Nếu a và b không cùng phương thì không thể viết a kb Ví dụ 1: Cho M là trung điểm đoạn thẳng AB Ta có: AB AM (Vì AB, AM cùng phương, cùng hướng và độ dài AB = 2AM) AB 2BM (Vì AB, BM cùng phương ngược A B M hướng và độ dài AB = 2BM) 1 AM BA (Vì AM , BA cùng phương ngược hướng và độ dài AM BA 2 Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O Điểm M trên cạnh AB cho AB = 3AM Ta có: M A B AB 3AM (Vì AB, AM cùng phương, cùng O hướng và độ dài AB = 3AM) D C CD 3 AM Vì CD, AM cùng phương ngược hướng và độ dài CD = 3AM 11 (12) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 3 CD MB Vì CD, MB cùng phương ngược hướng và độ dài CD MB 2 Kỹ thuật 4: Quy tắc trung điểm Cho I là trung điểm đoạn thẳng AB, ta có M IA IB AB AI AB 2 BI Với điểm M tùy ý, ta viết MA MB 2MI (Tổng hợp vectơ MA, MB theo MI ) A I B MA MB (Phân tích MI theo MA, MB ) Chú ý: Khi chứng minh các bài toán vectơ, ngoài kỹ thuật trên, ta cần chú ý thêm kỹ thuật chèn điểm quy tắc điểm(tổng, hiệu), quy tắc trung điểm, Trọng tâm tam giác, quy tắc hình bình hành Kỹ thuật 5: Trọng tâm tam giác Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì ta có GA GB GC MA MB MC 3MG với M là điểm tùy ý Hoặc MI BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Bài Gọi AM là trung tuyến tam giác ABC và D là trung điểm đoạn AM Chứng minh: a) 2DA DB DC b) 2OA OB OC 4OD , O là điểm tuỳ ý Giải a) Phân tích bài toán a: A Ta biến đổi vế trái thành vế phải Chú ý M là trung điểm BC, dùng kỹ thuật 2, ta có VT DA DB DC DA DM D =2 DA DM D là trung điểm AM nên: VT DA DB DC DA DM C =2 DA DM 2.0 b) Phân tích bài toán b: Ta biến đổi vế trái thành vế phải Chú ý M là trung điểm BC, dùng kỹ thuật 2, ta có VT 2OA OB OC 2OA 2OM OA OM Tiếp tục nhận xét D là trung điểm AM, và dùng kỹ thuật VT 2OA OB OC 2OA 2OM OA OM =2.2OD 4OD 12 M B (13) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E, F là trung điểm các cạnh AB, CD và O là trung điểm EF M là điểm tuỳ ý Chứng minh : a) AD BC 2EF b) OA OB OC OD c) AB AC AD AO d) MA MB MC MD 4MO GIẢI B a) Cách 1: AD AE EF F D E BC BE EF F C A VT AD BC AE BE F D F C 2EF O 2EF 2EF Cách 2: 2EF ED EC EA AD EB BC AD BC EA EB AD BC AD BC C F D b) VT OA OB OC OD 2OE 2OF OE OF 2.0 d) VT MA MB MC MD 2ME 2MF ME MF 4MO c) VT AB AC AD AE AF AE AF AO Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi M là điểm thuộc BC cho BM 2MC Chứng minh: a) AB AC 3AM b) MA MB MC 3MG Giải a) Ta biến đổi vế trái thành vế phải Vế phải cần có vectơ AM Ta dùng kỹ thuật chèn điểm M vào vectơ AB, AC AB AC AM MB AM MC AM MB AM 2MC 3AM MB 2MC Tiếp theo ta chứng minh tổng MB 2MC Nhận xét thấy đề cho điểm M thỏa BM 2MC Suy điểm M thuộc cạnh BC thỏa BM = 2MC Từ đây ta có biểu diễn 13 C M G B A (14) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 BM 2MC Khi đó: AB AC 3AM MB BM 3AM 3AM b) Ta dùng kỹ thuật chèn điểm G vào vectơ MA, MB, MC MA MB MC MG GA MG GB MG GC 3MG GA GB GC Do G là trọng tâm tam giác ABC nên GA GB GC Vậy MA MB MC 3MG 3MG Bài Cho tam giác ABC Lần lượt lấy các điểm M, N, P trên các đoạn AB, BC, CA cho AB = 3AM, BN = 3BN, CA = 3CP Chứng minh AM BN CP Bài Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC và GA GB GC Đây là bài toán chứng minh mệnh đề tương đương, ta làm bước: Bước 1: Chứng minh “Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA GB GC ” Bước 2: Chứng minh” Nếu điểm G thỏa GA GB GC thì G là trọng tâm tam giác ABC” Gọi điểm G1 là trọng tâm tam giác ABC Theo chứng minh bước ta có đẳng thức G1 A G1B G1C 1 Mặt khác, theo giả thiết ta có GA GB GC Lấy (1)-(2) ta G1 A GA G1B GB G1C GC 14 (15) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 3G1G G1G G1 G Suy G là trọng tâm tam giác ABC Vậy ta có điều phải chứng minh Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác, D là điểm đối xứng A qua O a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành Suy HA HB HC 2HO b) Chứng minh: OA OB OC OH c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh OH 3OG Từ đó có kết luận gì ba điểm O, H, G BÀI TOÁN TÍNH ĐỘ DÀI CỦA VECTƠ Chú ý: Nguyên tắc bài toán tính độ dài a b c ta thực bước: Dùng các kỹ thuật, quy tắc nêu trên ta biến đổi tổng hợp a b c vectơ u nào đó Tính độ dài a b c u 15 (16) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Bài Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là trung điểm OD, AB = 3cm, AD = 4cm a) Tính các độ dài AB BC , BA BC , CA CB b) Tính các độ dài AB AD AM , CO CD 2MB , AC BC Giải a) AB BC AC AC 5cm (Quy tắc điểm) A CA CB BA BA 3cm I O BA BC BD BD 5cm (Quy tắc hình bình hành) b) D M AB AD AM AO AM AO AM B E C AO AM MO 2MO BD CO CD 2MB 2CM 2MB CM MB CB 2CB AC BC AC AD Gọi điểm E cho ACED là hình bình hành có tâm I AC BC AC AD AE AE 3 Ta có AE AI AD DI 73 2 Bài Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh 4a, BD = 4a Gọi I là trung điểm OC a) Tính độ dài các vectơ BO BC 2CI , AB BC b) Tìm M trên CD cho vectơ MO MC 2IA có độ dài ngắn Giải B a) Ta có BO BC 2CI 2BI 2CI (I là trung điểm OC) 2 BI IC 2BC A BO BC 2CI BC 2BC 4a O AB BC BA BC BA BC 2BD AB BC 2BD 2BD 8a I C D M b) Ta dùng các kỹ thuật, quy tắc để biến đổi tổng MO MC 2IA thành vectơ Nhận xét I là trung điểm OC nên ta có MO MC 2MI Khi đó: MO MC 2IA 2MI 2IA MI IA 2MA 16 (17) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Lập luận MO MC 2IA 2MA 2MA ngắn Độ dài MA ngắn M là hình chiếu vuông góc A trên CD Vẽ đường thẳng d qua A và d CD , giao điểm M d CD chính là điểm cần tìm Ta tính độ dài AM Hình thoi ABCD có AB = BD = 4a, suy tam giác ABD và BCD đều, góc ACD 300 AB AB AC AO 4a (AO là đường cao tam giác ABD nên AO ) 2 Tam giác ACM vuông M có: AM AC.sin ACD 4a 3.sin 300 2a Bài Cho tam giác ABC và I là trung điểm BC Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn 2MA MB MC GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ ĐIỂM DỰA VÀO ĐẲNG THỨC VECTƠ Bài Cho tam giác ABC a) Xác định điểm M cho AM BC Ta có AM BC Suy vectơ AM và BC cùng hướng và cùng độ dài Vậy điểm M nằm vị trí cho tứ giác AMCB là hình bình hành b) Xác định điểm N cho BN 2 AC Ta có BN 2 AC Suy vectơ BN và AC ngược hướng và độ dài BN = 2AC Suy điểm N nằm vị trí cho tứ giác ACBN là hình thang có đáy AC, BN và BN = 2AC Bài Cho tam giác ABC a) Xác định điểm I cho IA 2IB A IA 2IB IB BA 2IB IB BA Suy vectơ IB , BA ngược hướng và AB = 3IB 17 A M B C A C N B I B (18) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Vậy điểm I nằm trên đoạn AB cho AB = 3IB b) Xác định điểm K cho KA 2KB CB C Ta biến đổi KA 2KB CB KI IA KI IB CB 3KI IA 2IB CB 3KI CB K A B I Ta đã có điểm I xác định câu a Hai vectơ KI và CB cùng hướng và độ dài CB = 3KI Vẽ đường thẳng qua I và song song với CB, chọn điểm K cho KI và CB cùng hướng và độ dài CB = 3KI Bài 3: Cho tam giác ABC a) Xác định điểm O cho OA OB 2OC C Gọi I là trung điểm AB Ta có OA OB 2OI OA OB 2OC 2OI 2OC OI OC O Vậy O là trung điểm IC A B c) Xác định điểm M cho MA MB MC BC I Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Ta có MA MB MC 3MG C d MA MB MC BC 3MG BC Vẽ đường thẳng d qua trọng tâm G và song song với BC Xác định điểm M trên d cho MG và BC cùng hướng, đồng thời độ dài BC = 3MG G Nhận xét: M là giao điểm d và AB A B M BÀI TOÁN 4: PHÂN TÍCH VECTƠ THEO VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG Bài 1: Cho tam giác ABC Gọi điểm M trên đoạn BC cho MB = 2MC Phân tích vectơ AM theo vectơ AB và AC GIẢI A Ta có MB MC BM BC 2 AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC C 3 3 B M Vậy ta phân tích AM AB AC 3 Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC cho NC = 2NA Gọi K là trung điểm MN a) Phân tích AK theo vectơ AB và AC 1 b) Gọi D là trung điểm BC Chứng minh KD AB AC 18 (19) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Giải A AN AM (vì K là trung điểm MN) N M 11 11 K AB AC AB AC 2 23 C B D 1 1 b) Ta có KD AD AK AB AC AB AC 4 1 AB AC Bài 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng với B qua G 1 a) Chứng minh AH AC AB và CH AC AB 3 3 b) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh MH AC AB 6 Giải a) Ta có AH AB AG (quy tắc hình bình hành) A H AM AC AB AC AB 3 G 2 B AC AB AB AC AB Suy AH C M 3 Mặt khác từ 2 1 AH AC AB AC CH AC AB CH AC AB 3 3 3 1 1 1 b) MH MC CH BC CH BA AC AC AB AC AB 2 3 6 Bài 4: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC cho 2CI = 3BI Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài cho 5FB = 2FC a) Phân tích AI , AF theo AB, AC a) Ta có AK b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính AG theo AI , AF Giải a) Ta có 2CI 3BI 2CI 3BI CA AI BA AI AI 3AB AC 1 Ta có 5FB 2FC 5BF 2CF A BA AF CA AF 3AF AB AC b) Ta có AB AC AM AG AB AC AG 3 35 AI AF Từ (1), (2), (3) ta có AG 48 16 BÀI TOÁN 5: CHỨNG MINH ĐIỂM THẰNG HÀNG 19 F B I C (20) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Bài 1: Cho tam giác ABC Gọi P là trung điểm AB, M là điểm đối xứng với B qua C Điểm N thỏa điều kiện A NA NC a) Phân tích vectơ PM , PN theo AB, AC P b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng Giải B a) Ta có PM PB BM AB BC 1 AB BA AC AB AB AC AB AC 2 2 Mặt khác: PN PA AN AB AC 3 PM AB AC b) Theo câu a ta có PN AB AC N C M PM AB AC PM 3PN PN AB AC Suy vectơ PM , PN cùng phương nên điểm P, M, N thẳng hàng Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi I là trung điểm CD Lấy điểm M trên đoạn BI cho BM = 2MI Chứng minh A, M, C thẳng hàng Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, gọi M và N là điểm trên đoạn AB và CD cho AB = 3AM, CD = 2CN a) Phân tích AN theo AB, AC b) Gọi G là trọng tâm tam giác MNB, phân tích AG theo AB, AC c) Gọi I là điểm xác định BI kBC Tính AI theo AB, AC và k Tìm k để đường thẳng AI qua điểm G 20 (21) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Giải a) Vì N là trung điểm CD và ABCD là hình bình hành nên ta có AD AC AN và AD AB AC AN AC AC AB AC AB AN AC AB b) Do G là trọng tâm tam giác BMN nên AG AB AM AN AB AN AB AG AB AC AB AB AC AG AB AC 18 c) AI AB BI AB kBC AB k BA AC M A B G D N C AI 1 k AB k AC k 1 k k 18 11 Bài Cho tam giác ABC Gọi điểm D định BD BC và I là trung điểm AD Gọi M là điểm thỏa AM x AC với x số thực a) Tính BI theo BA, BC b) Tính BM theo BA, BC c) Tính x để điểm B, I, M thẳng hàng AI qua G AI , AG cùng phương BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình bình hành ABCD tâm O, M là điểm tuỳ ý Chứng minh: a) OA OB OC OD b) MA MB MC MD 4MO 21 (22) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Giải a) OA, OC là vectơ đối nên OA OC A OB, OD là vectơ đối nên OB OD Vậy OA OB OC OD b) O là trung điểm AC nên MA MC 2MO O là trung điểm BD nên MB MD 2MO Vậy MA MB MC MD 4MO B O D C Bài Cho tam giác ABC a) Xác định điểm D cho AD AB b) Xác định điểm M cho AB AC 2CM c) Xác định điểm N cho AB AC AN d) Xác định điểm K cho KA 2KB CB e) Xác định điểm L cho LA LB LC BC f) Xác định điểm O cho OA OB 2OC g) Xác định điểm S cho 2SA SB SC AB Bài Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm M thoả a) MA MB 2MC b) MA MB MC c) MB MC BC d) MB MC MA e) MA MB MC Bài Cho hình bình hành ABCD tâm O a) Xác định điểm E cho EA EB EC b) Xác định điểm I cho IA IB IC ID c) Xác định điểm F cho 2FA 2FB 3FC FD Bài Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB và CD tứ giác ABCD Chứng minh 2MN AC BD BC AD Bài Cho tam giác ABC Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB và O là điểm tuỳ ý Chứng minh: a) AM BN CP b) OA OB OC OM ON OP Bài Cho tứ giác ABCD Gọi I, J, K là trung điểm các cạnh AD, BC, CD và G là trung điểm IJ Chứng minh: a) AB CD 2IJ b) GA GB GC GD c) AB AC AD AG d) AB AJ KA DA 3DB Bài Gọi G và G’ là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ Chứng minh AA BB CC 3GG Bài Cho G là trọng tâm tam giác ABC Gọi I là trung điểm AG Chứng minh AB AC 6GI Bài 10 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, I, J là trung điểm các cạnh AD, BC, AC và BD Chứng minh rằng: 22 (23) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 a) MN AB DC b) MN AC DB d) NA ND BA CD AB DC Bài 11 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J là trung điểm đường chéo AC, BD, và O là trung điểm IJ Chứng minh rằng: a) AB CD 2IJ b) AD BD 2IJ c) AB AD CB CD 4IJ d) OA OB OC OD Bài 12 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi M là điểm thuộc BC cho BM 2MC Chứng minh: a) AB AC 3AM b) MA MB MC 3MG Bài 13 Cho tam giác tâm O, M là điểm tuỳ ý bên tam giác Hình chiếu M xuống ba cạnh tam giác là D, E, F Chứng minh MD ME MF MO 2 Bài 14 Cho tam giác ABC Gọi J là điểm trên cạnh AC cho JA JC Hãy phân tích vectơ BJ theo hai vecto BA và BC Bài 15 Cho tam giác ABC Gọi K là điểm trên tia đối tia AB cho KB KA Hãy phân tích vectơ CK theo hai vecto CA và CB Bài 16 Gọi AD là phân giác góc A tam giác ABC, AB = 3, AC = Tính AD theo AB và AC c) IJ Bài 17 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và điểm H định bởi: OA OB OC OH Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC Bài 18 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Tính AB theo GB và GC ĐÁP SỐ: AB 2GB GC 23 (24) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Bài 19 Cho tam giác ABC có trọng tâm G và I là trung điểm AG Lấy điểm K trên đoạn AC Tính AK theo AC để ba điểm B, I, K thẳng hàng ĐÁP SỐ: AK AC Bài 20 Cho tam giác ABC a) Xác định điểm D thỏa mãn DA 3DB b) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MA 3MB Bài 21 Cho tam giác ABC Xác định D thỏa mãn DB 3DC Cho M là điểm bất kì và MB 3MC MN Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định ĐÁP ÁN: Đường thẳng MN qua điểm D cố định 2 Bài 22 Cho tam giác ABC Gọi D, E là các điểm xác định AD AB , AE AC Gọi K là trung điểm DE và M là điểm xác định BM mBC a) Phân tích các vecto AK , AM theo AB, AC và m b) Tìm m để A, K, M thẳng hàng Bài 23 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM và K là điểm trên cạnh AC cho AK AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Bài 24 Cho tam giác ABC Gọi M, N là trung điểm BC, AM Trên cạnh AB lấy điểm K cho AB = 3AK a) Phân tích CN , CK theo CA, CB b) Chứng minh ba điểm C, N, K thẳng hàng Bài 25 Cho tam giác ABC, gọi P là điểm đối xứng B qua C Đặt AB b, AC c a) Phân tích vecto AP theo b, c 1 b) Gọi Q, R là điểm thoả AQ c, AR b Tính RQ, RP theo b, c c) Chứng minh P, Q, R thẳng hàng Bài 26 Cho tam giác ABC Trên cạnh AC lấy điểm I thoả CA = 4CI và gọi J là điểm thoả BJ AC AB Hãy phân tích BI theo AB, AC suy B, I, J thẳng hàng Bài 27 Cho tam giác ABC Gọi I, J là hai điểm cho IA 2IB, 3JA 2 JC a) Tính IJ theo AB, AC b) Chứng minh IJ qua trọng tâm G tam giác ABC Bài 28 Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác định các hệ thức BC MA , AB NA 3AC Chứng minh MN song song AC Bài 29 Cho tam giác ABC Điểm I trên cạnh AC cho CI CA , J là điểm cho BJ AC AB 3 a) Chứng minh BI AC AB 24 (25) ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng c) Hãy dựng điểm J thoả điều kiện đề bài LỚP TOÁN THẦY XUÂN NHÂN CHUYÊN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH Cơ sở 1: E203 Chung cư Đào Duy Từ, số 51 đường Thành Thái, Phường 14, Quận 10, TPHCM Cở sở 2: Trường THPT Trần Khai Nguyên, quận LỊCH HỌC NĂM 2016 - 2017 LỚP 12 11 Ca 11 Ca 10 KHAI GIẢNG 17g45 Thứ ngày 2-8-2016 17g45 Thứ ngày 1-8-2016 19g30 Thứ ngày 1-8-2016 19g30 Thứ ngày 2-8-2016 THỜI GIAN HỌC Tối thứ 3,5,7 từ 17g45 đến 19g15 Tối thứ 2,4,6 từ 17g45 đến 19g15 Tối thứ 2,4,6 từ 19g30 đến 21g00 Tối thứ 3,5 từ 19g30 đến 21g00 ĐỊA ĐIỂM HỌC Cơ sở Cơ sở Cơ sở Cơ sở (Phòng 24) ĐẶC BIỆT: - LỚP 12T1 ĐƯỢC TĂNG CƯỜNG CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 - PHÒNG HỌC TRANG BỊ MÁY LẠNH - TÀI LIỆU PHÁT MIỄN PHÍ ĐĂNG KÍ QUA SỐ ĐT: 098 4321 969 Thầy Nhân 25 (26)