H C VI N CƠNG NGH B U CHÍNH VI N THÔNG =====(===== SÁCH H NG D N H C T P TOÁN CAO C P (A2) (Dùng cho sinh viên h t o L u hành n i b HÀ N I - 2006 i h c t xa) Gi i thi u môn h c GI I THI U MÔN H C GI I THI U CHUNG: Toán cao c p A1, A2, A3 ch ng trình tốn i c ng dành cho sinh viên nhóm ngành tốn nhóm ngành thu c kh i k thu t N i dung c a toán cao c p A1, A3 ch y u phép tính vi tích phân c a hàm m t ho c nhi u bi n, cịn tốn cao c p A2 c u trúc i s i s n tính Có nhi u sách giáo khoa tài li u tham kh o vi t v ch Tuy nhiên v i ph ng th c t o t xa có nh ng c thù riêng, òi h i h c viên làm vi c c l p nhi u h n, ó c n ph i có tài li u h ng d n h c t p thích h p cho t ng môn h c T p tài li u h ng d n h c mơn tốn cao c p A2 c biên so n c ng nh m m c ích T p tài li u c biên so n theo ch ng trình qui nh n m 2001 c a H c vi n Cơng ngh B u Chính Vi n Thơng N i dung c a cu n sách bám sát giáo trình c a tr ng i h c k thu t, giáo trình dành cho h qui c a H c vi n Công ngh B u Chính Vi n Thơng biên so n n m 2001 theo kinh nghi m gi ng d y nhi u n m c a tác gi Chính th , giáo trình c ng có th dùng làm tài li u h c t p,tài li u tham kh o cho sinh viên c a tr ng, ngành i h c cao ng Giáo trình c trình bày theo cách thích h p i v i ng i t h c, c bi t ph c v c l c cho công tác t o t xa Tr c nghiên c u n i dung chi ti t, ng i c nên xem ph n gi i thi u c a m i ch ng th y c m c ích ý ngh a, yêu c u c a ch ng ó Trong m i ch ng, m i n i dung, ng i c có th t c hi u c c n k thông qua cách di n t ch ng minh rõ ràng c bi t b n c nên ý n nh n xét, bình lu n hi u sâu h n ho c m r ng t ng quát h n k t qu H u h t toán c xây d ng theo l c : t toán, ch ng minh s t n t i l i gi i b ng lý thuy t cu i nêu thu t toán gi i quy t tốn Các ví d minh ho tr c ti p khái ni m, nh lý ho c thu t tốn, v y s giúp ng i c d dàng h n ti p thu h c Sau ch ng có ph n tóm t t n i dung cu i câu h i luy n t p Có kho ng t 30 n 40 t p cho m i ch ng, t ng ng vói -5 câu h i cho m i ti t lý thuy t H th ng câu h i bao trùm toàn b n i dung v a c h c Có nh ng câu ki m tra tr c ti p ki n th c v a c h c nh ng c ng có nh ng câu ịi h i h c viên ph i v n d ng m t cách t ng h p sáng t o ki n Gi i thi u môn h c th c gi i quy t Vì v y vi c gi i t p giúp h c viên n m ch c h n lý thuy t ki m tra cm c ti p thu lý thuy t c a Các t p c cho d i d ng tr c nghi m khách quan, ây m t ph ng pháp r t phù h p v i hình th c t o t xa H c viên có th t ki m tra i chi u v i áp án cu i sách Tuy nhiên ph ng pháp tr c nghi m c ng có nh ng m t h n ch c a nó, ch ng h n ph ng pháp không th hi n c kh n ng trình bày k t qu , kh n ng l p lu n, mà ây m t nh ng yêu c u c a vi c h c tốn M t tốn có th gi i cho úng k t qu nh ng cách gi i sai th m chí sai c v b n ch t Hai l n sai d u tr bi n thành d u c ng cho k t qu úng nh ng th c ch t sai M t khác có th gi i tốn tr c nghi m b ng cách th tr ng h p lo i tr , nh ng cách làm tiêu c c kh c ph c nh ng h n ch c a ph ng pháp ki m tra tr c nghi m khuyên ng i c nên t gi i quy t tốn theo ph ng pháp t lu n, sau ó m i i chi u v i tr ng h p a, b, c, d ch n ph ng án úng Giáo trình g m ch ng t ng ng v i n v h c trình (60 ti t): Ch ng I: Lơ gích tốn h c, lý thuy t t p h p, ánh x c u trúc Ch ng II: Không gian véc t Ch ng III: Ma tr n Ch ng IV: Ch ng V: H ph Ch ng VI: Ánh x n tính Ch ng VII: Khơng gian véc t Euclide d ng toàn ph is nh th c ng trình n tính ng Ngồi vai trị cơng c cho ngành khoa h c khác, tốn h c cịn c xem m t ngành khoa h c có ph ng pháp t l p lu n xác ch t ch Vì v y vi c h c tốn c ng giúp ta rèn luy n ph ng pháp t Các ph ng pháp ã c gi ng d y cung c p t ng b c q trình h c t p ph thơng, nh ng ch ng I v n c h th ng hoá l i N i dung c a ch ng I c xem c s , ngơn ng c a tốn h c hi n i M t vài n i dung ch ng ã c h c ph thông nh ng ch v i m c n gi n Các c u trúc i s hồn tồn m i tr u t ng v y ịi h i h c viên ph i c l i nhi u l n m i ti p thu c Các ch ng cịn l i c a giáo trình i s n tính Ki n th c c a ch ng liên h ch t ch v i nhau, k t qu c a ch ng công c c a ch ng khác Vì v y h c viên c n th y c m i liên h c i m c a môn h c Gi i thi u môn h c tính khái qt hố tr u t ng cao Các khái ni m th ng c khái quát hoá t nh ng k t qu c a hình h c gi i tích ph thơng Khi h c ta nên liên h n k t qu ó M C ÍCH MƠN H C Cung c p cho sinh viên ki n th c c b n v i s : M nh , t p h p, ánh x , c u trúc i s i s n tính bao g m khái ni m v không gian vecto, ma tr n, nh th c, ánh x n tính, d ng song n tính, d ng tồn ph ng , làm c s ti p thu môn k thu t i n i n t PH NG PHÁP NGHIÊN C U MÔN H C h c t t môn h c này, sinh viên c n l u ý nh ng v n 1- Thu th p y sau : tài li u : Bài gi ng: Toán cao c p A2 Lê Bá Long, Nguy n Phi Nga, H c vi n Công ngh BCVT, 2005 Sách h ng d n h c t p t p: Toán cao c p A2 Lê Bá Long, Nguy n Phi Nga, H c vi n Cơng ngh BCVT, 2005 N u có i u ki n, sinh viên nên tham kh o thêm: Các tài li u tham kh o m c Tài li u tham kh o cu i cu n sách 2X t m c tiêu, th i h n cho b n thân: t m c m c tiêu t m th i th i h n cho b n thân, c g ng th c hi n chúng Cùng v i l ch h c, l ch h ng d n c a H c vi n c a môn h c c ng nh môn h c khác, sinh viên nên t t cho m t k ho ch h c t p cho riêng L ch h c mô t v tu n h c (t h c) m t k h c ánh d u s l ng công vi c c n làm ánh d u ngày sinh viên ph i thi sát h ch, n p lu n, ki m tra, liên h v i gi ng viên X Xây d ng m c tiêu ch ng trình nghiên c u Bi t rõ th i gian nghiên c u m i b t u nghiên c u th th c hi n, c nh nh ng th i gian ó hàng tu n Suy ngh v th i l ng th i gian nghiên c u “Ti t ki m th i gian” “N u b n m t nhi u gi nghiên c u”, b n nên xem l i k ho ch th i gian c a 3- Nghiên c u n m nh ng ki n th c c t lõi: Gi i thi u môn h c Sinh viên nên c qua sách h ng d n h c t p tr c nghiên c u gi ng môn h c tài li u tham kh o khác Nên nh r ng vi c h c thông qua c tài li u m t vi c n gi n nh t so v i vi c truy c p m ng Internet hay s d ng hình th c h c t p khác Hãy s d ng thói quen s d ng bút ánh d u dòng (highline maker) d u m c nh ng n i dung, công th c quan tr ng tài li u 4- Tham gia y bu i h ánh ng d n h c t p: Thông qua bu i h ng d n h c t p này, gi ng viên s giúp sinh viên n m c nh ng n i dung t ng th c a môn h c gi i áp th c m c; ng th i sinh viên c ng có th trao i, th o lu n c a nh ng sinh viên khác l p Th i gian b trí cho bu i h ng d n khơng nhi u, ó ng b qua nh ng bu i h ng d n ã c lên k ho ch 5- Ch ng liên h v i b n h c gi ng viên: Cách n gi n nh t tham d di n àn h c t p m ng Internet H th ng qu n lý h c t p (LMS) cung c p môi tr ng h c t p su t 24 gi /ngày ngày/tu n N u khơng có i u ki n truy nh p Internet, sinh viên c n ch ng s d ng s d ng d ch v b u ph ng th c truy n thông khác ( i n tho i, fax, ) trao i thông tin h c t p 6- T ghi chép l i nh ng ý chính: N u ch c khơng r t khó cho vi c ghi nh Vi c ghi chép l i m t ho t ng tái hi n ki n th c, kinh nghi m cho th y giúp ích r t nhi u cho vi c hình thành thói quen t h c t nghiên c u -Tr l i câu h i ôn t p sau m i ch ng, Cu i m i ch ng, sinh viên c n t tr l i t t c câu h i Hãy c g ng v ch nh ng ý tr l i chính, t ng b c phát tri n thành câu tr l i hoàn thi n i v i t p, sinh viên nên t gi i tr c tham kh o h án ng ng i ng n vi c liên h v i b n h c gi ng viên s tr giúp Nên nh thói quen ng d n, áp nh n c c ghi chép chìa khố cho s thành cơng c a vi c t h c! Ch CH ng 1: M u v logic m nh , t p h p ánh x c u trúc is NG 1: M U V LƠGÍCH M NH ,T PH P ÁNH X VÀ CÁC C U TRÚC IS 1.1 M C TIÊU, YÊU C U, Ý NGH A ây ch ng m u làm c s , làm ngôn ng cơng c khơng nh ng cho tốn h c mà cho ngành khoa h c khác Ta bi t r ng toán h c m t ngành khoa h c lý thuy t c phát tri n c s tuân th nghiêm ng t qui lu t l p lu n c a t lơgich hình th c Các qui lu t c b n c a lơgich hình th c ã c phát tri n t th i Aristote (Arít-xt t ) (th k th tr c công nguyên) v i s phát tri n r c r c a v n minh c Hy L p Tuy nhiên n th k 17 v i nh ng công trình c a De Morgan ( Mocgan), Boole lơgích hình th c m i có m t c u trúc i s p v i lý thuy t t p h p giúp làm xác hoá khái ni m toán h c thúc y toán h c phát tri n m nh m Vi c n m v ng lơgich hình th c giúp h c viên không nh ng h c t t mơn tốn mà cịn có th v n d ng th c t bi t l p lu n xác H c t t mơn lôgich c s h c t t i s Boole, v n d ng gi i toán v s công t c r le, s i n công ngh thông tin Yêu c u c a ph n ph i n m v ng khái ni m m nh toán h c, phép tốn liên k t m nh tính ch t c a chúng Khái ni m t p h p, ánh x c u trúc i s khái ni m c b n: v a công c v a ngôn ng c a tốn h c hi n i Vì vai trị n n t ng c a nên khái ni m t p h p c a r t s m vào ch ng trình tốn ph thơng (l p 6) Khái ni m t p h p c Cantor a vào cu i th k 19 Sau ó c xác hố b ng h tiên v t p h p Có th ti p thu lý thuy t t p h p theo nhi u m c khác Chúng ta ch ti p c n lý thuy t t p h p m c tr c quan k t h p v i phép tốn lơgich hình th c nh "và", "ho c", phép kéo theo, phép t ng ng, l ng t ph bi n, l ng t t n t i V i phép tốn lơgích ta có t ng ng phép toán giao, h p, hi u t p h p c a t p h p Trên c s tích Descartes ( -các) c a hai t p h p ta có khái ni m quan h hai mà hai tr ng h p c bi t quan h t ng ng quan h th t Quan h t ng ng c dùng phân m t t p ó thành l p không giao nhau, g i phân ho ch c a t p ó Quan h ng d mô ulô p (modulo) m t quan h t ng ng t p s nguyên T p th ng c a t p ; p Ch ng 1: M u v logic m nh , t p h p ánh x c u trúc is s nguyên mô ulô p T p ; p có nhi u ng d ng lý thuy t m t mã, an toàn m ng Quan h th t c dùng s p x p i t ng c n xét theo m t th t d a tiêu chu n ó Quan h t p h p s quan h th t Khái ni m ánh x s m r ng khái ni m hàm s ã c bi t Khái ni m giúp ta mô t phép t ng ng t m t t p n t p tho mãn i u ki n r ng m i ph n t c a t p ngu n ch cho ng v i m t ph n t nh t c a t p ích m i ph n t c a t p ngu n u c cho ng v i ph n t c a t p ích âu có t ng ng ta có th mô t c d i ngôn ng ánh x S d ng khái ni m ánh x t p h p ta kh o sát v n c a gi i tích t h p, ó ph ng pháp m s ph n t Gi i tích t h p c s d ng gi i quy t toán xác su t th ng kê toán h c r i r c Ta có th th c hi n phép toán c ng s , hàm s , a th c, véc t ho c nhân s , hàm s , a th c Nh v y ta có th th c hi n phép tốn i t ng khác Cái chung cho m i phép toán c ng hay nhân tính ch t giao hốn, k t h p, phân b M t t p h p có phép tốn tho mãn i u ki n ó c g i có c u trúc i s t ng ng Các c u trúc i s quan tr ng th ng g p nhóm, vành, tr ng, không gian véc t i s h c m t ngành c a toán h c nghiên c u c u trúc i s Lý thuy t Nhóm c Evarist Galois (Galoa) a vào u th k 19 cơng trình "Trong nh ng i u ki n m t ph ng trình i s có th gi i c?", ó Galoa v n d ng lý thuy t nhóm gi i quy t Trên c s lý thuy t nhóm ng i ta phát tri n c u trúc i s khác Vi c nghiên c u c u trúc i s giúp ta tách kh i i t ng c th mà th y c chung c a t ng c u trúc kh o sát tính ch t, c tr ng c a chúng Ch ng h n, t p ma tr n vuông c p, t ng c u n tính, a th c có c u trúc vành khơng ngun nên có nh ng tính ch t chung ó Các c u trúc i s có tính khái qt hố tr u t ng cao v y ng i ta ngh r ng khó áp d ng vào th c ti n Tuy nhiên th c t cho th y i s Boole c ng d ng r t hi u qu vi c gi i quy t toán v s m ch i n, vào máy tính Lý thuy t nhóm c ng d ng vào c h c l ng t Lý thuy t v nhóm vành c ng d ng lý thuy t m t mã, lý thuy t Ơtơmát 1.2 TĨM T T N I DUNG 1.2.1 Lơgíc m nh a M nh 10 Ch ng 1: M u v logic m nh b Liên k t m nh X Phép ph is : nh: p X Phép h i: p q q X Phép kéo theo: p ng c không p c p q X Phép n: p X Phép t , t p h p ánh x c u trúc c p ho c q q q ng: p XL ng t ph bi n: XL c p kéo theo q, p suy q ng t t n t i: cpt ng ng q cv im i c t n t i 1.2.2 T p h p ph n t a T p h p X a ph n t c a A ký hi u a A, c a thu c A X a không ph i ph n t c a A ký hi u a A, c a không thu c A X T p r ng A X T p con: B X T p b ng A B x (A A B) x B (B A) b Các phép toán t p h p XH p x A B x A x B X Giao x A B x A x B X Hi u x A\ B X Ph n bù A x X, A X T p t t c t p c a X : X Tích A B ( a , b) a A B C A x B X\A P X A A X A, b B ( a , b, c ) a A, b B, c C c Quan h X Quan h hai R X t p xR x , o ph n x n u 11 R X x X X , g i có tính: Ch ng 1: M u v logic m nh xR y i x ng n u o , t p h p ánh x c u trúc is yR x o b cc un u xR y yR z xR z o ph n xR y yR x x i x ng n u X Quan h hai R X c g i quan h t có tính ph n x i x ng b c c u, ký hi u ~ XL pt ng ng c a y, ký hi u y x y ng ng n u X x~ y X Quan h hai R X c g i quan h th t n u có tính ph n x ph n i x ng b c c u, ký hi u X Quan h th t X c g i quan h th t toàn ph n n u hai x, y c a X u có th so sánh ph n t b t k c v i nhau, ngh a x y ho c y x Quan h th t khơng tồn ph n c g i quan h th t b ph n 1.2.3 Ánh x a Ánh x : Ánh x t t p X vào t p Y m t quy lu t cho ng m i x m t ch m t y Y , ký hi u f : X Y , b Phân lo i: y f ( x) ho c x y n ánh n u f ( x) f ( x) X v i c g i công th c xác nh nh X f m t f ( y) X f m t toàn ánh n u f v a y f (X ) Y X f m t song ánh n u x X n ánh v a toàn ánh N u f m t song ánh có ánh x ng b i: y f ( x) x c f :Y X xác nh f ( y ) c ng m t song ánh c Các phép toán X H p c a hai ánh x g X f :X Z xác nh b i g f :X f ( x) Y g : Y Z ánh x g f ( x) L c l ng c a t p h p : Hai t p h p g i l c l ng n u có m t song ánh t t p lên t p T p có l c l ng v i 1, 2, , n 12 Ch ng 1: M u v logic m nh , t p h p ánh x c u trúc is c g i t p h u h n có n ph n t T p r ng t p h u h n có ph n t T p không h u han c g i t p vô h n X T p l c l ng v i t p s t nhiên Ï c T p s th c không m c c g i t p vô h n m 1.2.4 Gi i tích t h p n! Pn X S hoán v n ph n t np X S ch nh h p l p ch p p c a n ph n t X S ch nh h p không l p ch p p c a n ph n t n! p An n(n 1) (n p 1) (n p )! X S t h p ch p p c a n ph n t p Cn p An p! n! (n p )! p! X Nh th c Niu-t n ( a b) n n Cn a n n Cn 1a n 1b n Cn b n p Cn a p b n p p XS l c v phép m o Công th c c ng: A o Công th c nhân: o Ch nh h p có l p: o N u f :A 1.2.5 Các c u trúc B A A1 Ak f :A B A B, A1 Ak B B song ánh A A B , , P ( A) A B is Lu t h p thành trong, hay g i phép tốn hai ngơi, t p X m t ánh x t X X vào X , ký hi u * : X X X ( x, y ) x * y Lu t h p thành * c a t p X X Có tính k t h p n u X Có tính giao hốn n u c g i là: x, y , z x, y X : x ( y z) X :x y 13 ( x y) z y x áp án h CH ng d n gi i t p NG Câu áp án Câu áp án d 16 a) ; b) ; c) ; d) c 17 c b 18 a c 19 c c 20 c 21 b b 22 c a 23 d c 24 a 10 b 25 c 11 c 26 d 12 c 27 13 b 28 14 a) ; b) ; c) ; d) 29 15 c 30 Câu 1, 2, 3, 4, 5: S d ng tr c ti p gian véc t a) Gi i h ph Câu 6: 11; Gi i h ph b) u 3v1 d) u v1 5; ng trình t 5v2 v2 ( 1)v3 nh ngh a không gian véc t không ng trình u 11v1 ( 5)v2 15 0v3 ng t ta có k t qu sau c) v3 115 u v1 2v2 3v3 áp án h Câu 7: Bài tốn t ng 3 sau có nghi m ng v i vi c tìm giá tr c a = 12 Câu 8: Th c hi n phép bi n a) m t h sinh c a ; i s c p áp d ng ng trình nh lý 2.17 suy ra: a ng trình b c ln có nghi n v i m i (a, b, c) 53 h ph tr h ph b) c) d) không ph i h sinh c a Ho c h ph ng d n gi i t p ng trình t ng ng v i ng h p b) c) d) khơng ph i ln có nghi n v i m i (a, b, c) 53 Câu 10: a) Hai véc t u, v t l v i nên ph thu c n tính; B ng hai ph b) ng pháp nh câu 8) suy ra: c l p n tính; Câu 11: Áp d ng 12 12 12 c) d) ph thu c n tính nh lý 2.17 12 12 12 12 12 12 12 (n u 2) 12 12 12 12 0 V y h véc t ph thu c n tính 12 12 hay Câu 17: B ng ph ng pháp t ng t ví d 2.14, th c hi n phép bi n s c p áp d ng nh lý 2.17, nh n xét 2.18 suy ra: dimV1 r v1 , v2 , v3 dim V1 V2 Câu 18, 19: , dimV2 r u1 , u , u3 r v1 , v2 , v3 , u1 , u , u3 c gi i t ng t 116 2, dim V1 V2 2 i áp án h CH ng d n gi i t p NG Câu áp án Câu áp án b 11 a c 12 a a 13 c d 14 a c 15 b a 16 d b 17 c d 18 c d 19 a 10 b 20 b Câu 11: Quy n p theo n 1 Câu 12: 1 I 2003 1 500 1 Câu 13: N u t n t i A, B cho AB TrI xn * zn An I x z x xn An z zn 1 A2 x 1, z ny 1 0 1 y y tùy ý 117 BA I Tr AB n vơ lý Câu 14: A n BA nh ng áp án h CH ng d n gi i t p NG Câu áp án Câu áp án b 14 c c 15 b a 16 d d 17 b c 18 a c 19 c a 20 b b 21 a d 22 d 10 c 23 c 11 b 24 b 12 a 25 c 13 a Câu 9: Khai tri n Laplace theo hàng D 11 2 Câu 10: Áp d ng 2 3 u ta c 790 nh th c Vandermond có ph n t t ng ng ta có D 30( x 1)( x 2)( x 4) Câu 11: Khai tri n Laplace theo hàng th ba th t ta D 2 3 118 115 c 1, 2, 4, x áp án h Câu 14: det A m m m V y A kh ngh ch m ng d n gi i t p (m 4)(m 5)(m 1) 5, 4,1 Câu 17: Áp d ng cônh th c 4.19 A 4 có det A A11 ( 1)1 A13 ( 1)1 A22 ( 1) 2 15 , A23 A31 ( 1)3 1 , A32 A33 15 , ( 1) 3 4 V y A Câu 19: a) I b) 3I 23 A I A A 3A d) det A 15 11 A2 A ( 1) ( 1) 32 t 23 15 A I Am A 3I ( BA) A 119 2, 23 , 23 15 11 32 23 15 A I A A (CA) A 3, h ng r ( A) 23 , 11, I Câu 22: det( A) (m 3)(m 1) Khi m ( 1) 32 , A21 1 ( 1)1 , A12 B C Am áp án h Khi m ma tr n A ng d n gi i t p 1 1 1 1 suy h ng r ( A) 1 1 1 1 Khi 1 3 1 m ma tr n A suy h ng r ( A) 120 1 1 3 1 , 1 nh th c áp án h CH ng d n gi i t p NG d 16 b b 17 d a 18 b b 19 a b 20 c c 21 b a 22 d c 23 b b 24 a 10 d 25 c 11 b 26 b 12 d 27 d 13 b 28 a 14 a 29 c 15 c 30 b S d ng ph ng pháp kh Gauss ta có trh gi i t p t câu 7- câu 25 Câu 17: Ta th c hi n phép bi n tr n b sung c a h ph ng trình ~ A 14 it ng 14 3 m 7 2 0 1 0 0 0 m 0 0 0 ng lên hàng c a ma 0 4 3 m 121 0 0 m 5 8 1 2 m 0 áp án h x1 ng ng x4 x4 (m 1) x4 H t x2 ng d n gi i t p x2 x3 Khi m h vô nghi m Khi x4 , x3 m m x2 m x2 , x1 h 10 , m có nghi m x2 tùy ý Câu 24: Véc t (a, b, c) thu c vào không gian sinh b i v1 , v2 , v3 ch h ph ng trình sau có nghi m 2x x y y 2y a b c 3z 4z Ma tr n b sung 2 a b 1 c 1 ~ A 3 b c a 1 a b c 2b V y véc t (a, b, c) thu c vào không gian sinh b i v1 , v2 , v3 ch 3c 2(a 2b) hay 2a 4b 3c Câu 26: Ma tr n h s c a h (I ) 3 4 có h ng b ng 2 Do ó dimV1 2 T ng t ta c ng có dimV2 2 Không gian V1 V2 không gian nghi m c a h (I ) h (II ) có ma 3 2 1 10 3 Suy tr n h s 5 có h ng b ng Do ó dim(V1 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 122 dim(V1 V2 ) V2 ) 2 áp án h CH ng d n gi i t p NG Câu áp án Câu áp án b 21 d c 22 a a 23 c d 24 b c 25 a b 26 c d 27 b b 28 a a 29 c 10 b 30 a 11 c 31 c 12 b 32 b 13 a 33 d 14 c 34 c 15 b 35 d 16 a 36 c 17 b 37 b 18 d 38 d 19 c 39 c 20 b 40 d Các câu 1, 2, 3, 4, áp d ng tr c ti p Câu 10: Ma tr n c a A 11 f nh ngh a ánh x n tính c s t c c a r ( A) 3 1 r( f ) 123 dim Kerf r( f ) 54 áp án h nh th c c a ma tr n c a ánh x n tính f c s t c Câu 18: tr ng h p t 1 a) 1 1 d) ng ng 1 1 1 1 , b) 1 1 , c) 36 , 0 V y ánh x tr ng h p d) không ng c u t Câu 20: e'1 e1 e1 e'2 e1 e2 e2 e3 e'1 e'2 e'2 e'3 e4 e3 e'4 e1 e'1 e3 e2 e'3 e1 e'3 e'4 e2 e4 f (e'1 ) f (e1 ) e1 3e2 2e'1 e'2 e'3 e'4 T ng d n gi i t p ng t ta tính 2e3 c e'1 e4 f (e' ) e'1 e'2 e'2 e'3 4e'2 4e'3 3e'4 f (e'3 ) e'1 8e'2 6e'3 4e'4 f (e' ) e ' e '3 e ' 1 4 V y ma tr n c a f c s m i A' c tr ng c a A a th c P( ) 3 2 3 124 3 Câu 36: Ma tr n c a f có s t c c a P2 A 3 e'3 e'4 áp án h 3 ng d n gi i t p (1 )2 )(2 1 Câu 37: Ma tr n c a f có s t c A 2 1 c tr ng c a A a th c P( ) (1 ng trình t ng 3 2 1 1 1 ng trình t v z , y, z y (1,1,0) ng (kép) x y z 0 2y y z 0 x y z ( x, y, z ) nghi m c a h 0 ng v i ph z (1,0,1) ch n v2 ng trình: x (1,1,0) , v3 v1, v2 , v3 m t c s g m véc t riêng c a f v1 , f (v2 ) 3v2 , f (v3 ) 2y y x z (2, 1,1) có véc t riêng v H ph f (v1 ) x ng: ng trình ( x, y, z ) nghi m c a h ph y (2, 1,1) ch n v1 **) Giá tr riêng y 1 1 y, y, y 1 1 có véc t riêng v trình: ph 3) có h ph 2 Do ó A có giá tr riêng *) Giá tr riêng 1 )( 2 v 3v3 125 y z (1,0,1) ng áp án h CH ng d n gi i t p NG Câu áp án Câu áp án c 19 d a 20 c d 21 a c 22 b b 23 d a 24 b c 25 d d 26 c b 27 b 10 b 28 a 11 a 29 c 12 b 30 b 13 d 31 a 14 b 32 b 15 c 33 d 16 a 34 c 17 c 35 a 18 c 36 c Câu 30: Ma tr n c a d ng toàn ph A ng Q c s t c 2 2 2 1 a th c c tr ng A I 2 2 2 126 5 2 2 áp án h (5 )1 1 ng d n gi i t p ) (5 (1 ) V i giá tr riêng , véc t riêng v ( x, y, z ) nghi m c a h 2 H ph x y y ng trình t z ng x 2 y z ng v i h có nghi m x y z (1,1,1) x(1,1,1) Ch n u1 v ( x, x , x ) Tr c chu n hoá (1 ,1 ,1 ) c v1 V i giá tr riêng 0 (nghi m kép), véc t riêng v ( x, y, z ) nghi m c ah x 2 2 2 2 H ph ng trình t v ( x, y , z ) Ch n u y 1, 1,0 , u3 0 y z ng ng v i ph z, y, z 1,1,0 y ng trình x z y z 1,0,1 1,0, Tr c chu n hoá hai véc t ta có v2 x y z 2, 1 1 3 ,0 , v3 2 1 6 Câu 37: Xét d ng toàn ph Q ( x, y ) x ,1 6, X Y ; Q 5X Y Z2 Z ng có bi u th c t a xy y 127 c s t c áp án h ng d n gi i t p Ma tr n c a Q c s t c A tr n ta tìm ( x; y ) Nh v y n u có d ng t c Câu 38 x it a X2 36 x y 5X Q ( x, y ) Y2 36 , v2 X Y ng b c ã cho : Hyperbol X Y ; 13Y 3 X 13 13 13 13 10 Y 13 24 X 13 Parabol x z 6 2 X Câu 39 y Y2 34 17 x Câu 40 y z X 3 3 ;1 ; 5Y 5 5 y chéo hóa tr c giao ma 5; c c s tr c chu n m i v1 Xv1 Yv2 Z : Ellipsoid 34 2 Y2 18 6 6 Z Y ; Z X Y ; Z : Hyperbolic t ng 18 128 0: Tài li u tham kh o TÀI LI U THAM KH O G M FICHTENGƠN, Giáo trình phép tính vi tích phân, T p 1,2,3 Nauka, Moskva,1969 (ti ng Nga) G M FICHTENGƠN, C s gi i tích tốn h c, T p 1,2,3 NXB h c Trung h c chuyên nghi p, Hà n i, 1977 i K MAURIN, Analiza, Czes , c , PWN, Warszawa, 1976 R A ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New York,Don Mills, 1991 NGUY N ÌNH TRÍ (ch biên), Toán h c cao c p ,T p 1,2,3 NXB i h c Giáo d c chuyên nghi p, Hà n i, 1990 JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình tốn, T p 1,2,3,4 NXB Giáo d c, Hà n i, 1999 (d ch t ti ng Pháp, DUNOD, Paris,1999) 129 ... n 1- Thu th p y sau : tài li u : Bài gi ng: Toán cao c p A2 Lê Bá Long, Nguy n Phi Nga, H c vi n Công ngh BCVT, 2005 Sách h ng d n h c t p t p: Toán cao c p A2 Lê Bá Long, Nguy n Phi Nga, H c... th c c a ma tr n Bài toán chéo hoá ma tr n c xét ch ng v i toán chéo hố t ng c u n tính Ma tr n tr c giao toán chéo hoá tr c giao c a m t ma tr n c xét ch ng b ng cách s d ng tích vơ h ng 3.2... Tr a1 a) a2 a3 i v trí hai hàng c a nh th c ng h p sau ây không úng b1 x a1 b1 x b2 x a2 b3 x a3 c1 a1 b1 c1 b2 x c2 b3 x c3 x a2 a3 b2 c2 b3 c3 a1 b1 a1x b1 y c1 a1 b1 c1 b) a2 a3 b2 a2 x b2