Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/toihoctoan
CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ THƯỜNG GẶP I. Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0). Tìm m để hàm số thỏa mãn một số tính chất sau: Dạng 1: Để hàm số đồng biến trên R thì ' 0 ' 0, 0 > ≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ¡ y a y x Dạng 2: Để hàm số nghịch biến trên R thì ' 0 ' 0, 0 < ≤ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ¡ y a y x Dạng 3: Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến, (nghịch biến) (x 1 ; x 2 )bằng d thì ta thực hiện các bước như sau: - TXĐ: D = R - Tính y’. - Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến): 0 0 a ≠ > ∆ (1) - Biến đổi 1 2 x x d− = thành 2 2 1 2 1 2 ( ) 4x x x x d+ − = (2) - Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo m. - Giải phương trình, đối chiếu điều kiện (1) để chọn nghiệm. Dạng 4: Để hàm số có cực trị (Cực đại, cực tiểu) ' 0y⇔ = có 2 nghiệm phân biệt ' 0 0 ≠ ⇔ ∆ > y a Dạng 5: Để hàm số khơng có cực trị (Cực đại, cực tiểu) ' 0y⇔ = có nghiệm kép hoặc vơ nghiệm ' 0 0 ≠ ⇔ ∆ ≤ y a Lưu Ý: Hàm số ln có cực trị ⇔ phương trình y’ = 0 ln có 2 nghiệm phân biệt m ∀ ' 0,⇔ ∆ > ∀ y m Dạng 6: Để hàm số đạt cực đại tại x = A '( ) 0 "( ) 0 f A f A = ⇔ < Dạng 7: Để hàm số đạt cực tiểu tại x = B '( ) 0 "( ) 0 f B f B = ⇔ > Dạng 8: Để hàm số đạt cực trị bằng h tại x = x 0 0 0 '( ) 0 ( ) f x f x h = ⇔ = Dạng 9: Để hàm số đi qua điểm cực trị M( 0 0 ;x y ) 0 0 0 '( ) 0 ( ) f x f x y = ⇔ = Dạng 10: Để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng (d): Phương pháp: Hiển nhiên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 , khi đó 2 điểm cực trị là 1 1 1 2 2 2 M (x ;y )&M (x ;y ) . 1/ Nếu (d) là trục Oy thì 1 2 ycbt x 0 x⇔ < < 2/ Nếu (d) là đường thẳng x = k thì 1 2 ycbt x k x⇔ < < 3/ Nếu (d) là đường thẳng ax + by + c = 0 thì 1 1 2 2 ycbt (ax by c)(ax by c) 0⇔ + + + + < 4/ Nếu đường tròn (C) thì tương tự trường hợp 3. Dạng 11: Để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng (d): Phương pháp: Hiển nhiên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 , khi đó 2 điểm cực trị là 1 1 1 2 2 2 M (x ;y )&M (x ;y ) . 1/ Nếu (d) là trục Oy thì 1 2 1 2 x x 0 ycbt 0 x x < < ⇔ < < Trường THPT Nguyễn Hữu Thận 1 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 2/ Nếu (d) là đường thẳng x = k thì 1 2 1 2 x x k ycbt k x x < < ⇔ < < 3/ Nếu (d) là đường thẳng ax + by + c = 0 thì 1 1 2 2 ycbt (ax by c)(ax by c) 0⇔ + + + + > 4/ Nếu đường tròn (C) thì tương tự trường hợp 3. Dạng 12: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau: - TXĐ: .D = ¡ - Đạo hàm: y’ = f’(x); y’ = 0 (*) - Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ Pt(*) có hai nghiệm phân biệt 0 0 a ≠ ⇔ ∆ > (**) - Khi đó, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thỏa mãn hệ: '( ) 0 Ax '( ). ( ) Ax f x y B y f x g x B = ⇒ = + = + + Tức là, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình y = Ax + B. - Vậy đối chiếu điều kiện (**) phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số có dạng y = Ax + B. Dạng 13: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau: - TXĐ: ' \ ' b D a = − ¡ - Đạo hàm: y’ = f’(x); y’ = 0 2 ( ) Ax 0g x Bx C⇔ = + + = (*) - Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ Pt(*) có hai nghiệm phân biệt khác ' ' b a − 0 0 ' ( ) 0 ' A b g a ≠ ⇔ ∆ > − ≠ (**) - Khi đó, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thỏa mãn hệ: ' 2 2 2 2 '( ) 0 0 ( )' 2 ' ' ( ) ( ' ')' ' ( ' ') ' ' + + = = ÷ + + + + ⇔ ⇒ = = + + = + + + + = + ax bx c f x ax bx c ax b a x b y ax bx c y a x b a ax bx c a x b y a x b Tức là, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình 2 ' ax b y a + = - Vậy đối chiếu điều kiện (**) phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số có dạng 2 ' ax b y a + = Dạng 14: Để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = mx + n, (m ≠ 0). Phương pháp: - Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu (1) - Lập phương trình đường thẳng ( )∆ đi qua 2 điểm cực trị - Gọi I I I(x ;y ) là trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị. - Đk (1) ycbt (d) ( ) kết quả I (d) ⇔ ⊥ ∆ ⇒ ∈ Trường THPT Nguyễn Hữu Thận 2 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Lưu ý: Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp 1. Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị: ' 0 0 y a ≠ ⇔ ∆ > 2. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hồnh: (Hàm số có hai giá trị cực trị trái dấu) ' 0 0 . 0 ≠ ⇔ ∆ > < y CĐ CT a y y . 3. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 1phía đối với trục hồnh: ' 0 0 . 0 ≠ ⇔ ∆ > > y CĐ CT a y y 4. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía trên trục hồnh: . ' 0 0 0 . 0 ≠ ∆ > ⇔ + > > y CĐ CT CĐ CT a y y y y 5. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía dưới trục hồnh: ' 0 0 0 . 0 ≠ ∆ > ⇔ + > < y CĐ CT CĐ CT a y y y y 6. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung: ' 0 0 . 0 ≠ ⇔ ∆ > < y CĐ CT a x x 7. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 1 phía đối với trục tung: ' 0 0 . 0 ≠ ⇔ ∆ > > y CĐ CT a x x 8. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm bên phải trục tung: ' 0 0 . 0 0 ≠ ∆ > ⇔ > + > y CĐ CT CĐ CT a x x x x 9. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm bên trái trục tung: ' 0 0 . 0 0 ≠ ∆ > ⇔ > + < y CĐ CT CĐ CT a x x x x 10. Để hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc với trục hồnh: . 0 CĐ CT y y ⇔ = II. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). PTTT tại 0 0 ( ; ) ( )M x y C∈ có dạng: 0 0 0 '( )( )y f x x x y = − + Trường THPT Nguyễn Hữu Thận 3 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Lưu Ý: Để viết được PTTT cần phải tìm được 3 yếu tố sau: = 0 0 0 0 x : Hoành độ tiếp điểm y f(x ):Tung độ tiếp điểm f '(x ) :Hệ số góc của tiếp tuyến Đặc biệt: Cho (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’ ta có: = = ⇔ ⊥ ⇔ = − ≡ ⇔ ∩ ⇔ ≠ ≠ = a a' a a' *d / /d' ; *d d' a.a' 1 ; *d d ' ; *d d ' a a' b b' b b' * Các dạng tiếp tuyến thường gặp: 1/ PTTT của (C) tại điểm có hồnh độ x 0 : - Ta đi tìm: = ⇒ = − + 0 0 0 0 0 0 y f(x ) PTTT cần tìm là : y f '(x )(x x ) y f '(x ) 2/ PTTT của (C) tại điểm có hồnh độ y 0 : - Ta đi tìm: = ⇒ = − + ⇒ 0 0 0 0 0 0 0 x bằng cách Gpt :f(x ) y PTTT cần tìm là : y f '(x )(x x ) y f '(x ) 3/ PTTT của (C) khi cho biết hệ số góc k: - Ta đi tìm: = ⇒ = − + ⇒ = 0 0 0 0 0 0 0 x bằng cách Gpt :f '(x ) k PTTT cần tìm là : y f '(x )(x x ) y y f(x ) 4/ PTTT của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b: - Ta đi tìm: = ⇒ = − + ⇒ = 0 0 0 0 0 0 0 x bằng cách Gpt :f '(x ) a PTTT cần tìm là : y f '(x )(x x ) y y f(x ) 5/ PTTT của (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b: - Ta đi tìm: = − ⇒ = − + ⇒ = 0 0 0 0 0 0 0 x bằng cách Gpt : a.f '(x ) 1 PTTT cần tìm là : y f '(x )(x x ) y y f(x ) 6/ PTTT của (C) tại điểm thỏa mãn phương trình f”(x) = 0: - Ta đi tìm: = ⇒ = ⇒ = − + ⇒ 0 0 0 0 0 0 0 0 x bằng cách Gpt : f ''(x ) 0 y f(x ) PTTT cần tìm là : y f '(x )(x x ) y f '(x ) III. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên [a; b]. - Tìm y’ = f’(x); Gpt f’(x) = 0 trên [a; b] ta tìm được các điểm cực trị: ∈ 1 2 3 x ;x ;x ; . [a;b] - Tính và so sánh: 1 2 3 f(a); f(b); f(x ); f(x ); f(x ); - Suy ra: { } { } = = 1 2 3 [a;b] 1 2 3 [a;b] Max y Max f(a); f(b); f(x ); f(x ); f(x ); min y min f(a); f(b); f(x ); f(x ); f(x ); IV. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: f(x) + g(m) = 0 (*) - Biến đổi pt(*) thành hệ: y f(x) (C) y g(m) (d) = = - Số nghiêm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (d) và đồ thị hàm số (C). Dựa vào đồ thị (C), ta có: …… Lưu Ý: Đường thẳng y = g(m) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox. Trường THPT Nguyễn Hữu Thận 4 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Đặc biệt: Giả sử (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x). Biện luận số giao điểm của hai đồ thị (C 1 ), (C 2 ). Phương pháp: Xét phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 ) là: f(x) g(x) f(x) g(x) 0 (*)= ⇔ − = Suy ra: Số giao điểm của hai đồ thị (C 1 ), (C 2 ) chính là số nghiệm của phương trình (*). V. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). * Dạng 1: CMR điểm I(x 0 ; y 0 ) là tâm đối xứng của (C). Phương pháp: - Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo vectơ 0 0 OI (x ;y )= uur - Thực hiện phép đổi trục: 0 0 x X x y Y y = + = + , thế x và y vào cơng thức y = f(x) ta được Y = F(X). - Chứng minh hàm số Y = F(X) là hàm số lẻ. Suy ra I(x 0 ; y 0 ) là tâm đối xứng của (C). * Dạng 2: CMR đường thẳng x = x 0 là trục đối xứng của (C). Phương pháp: - Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo vectơ 0 OI (x ;0)= uur - Thực hiện phép đổi trục: 0 x X x y Y = + = , thế x và y vào cơng thức y = f(x) ta được Y = F(X). - Chứng minh hàm số Y = F(X) là hàm số chẵn. Suy ra x = x 0 là trục đối xứng của (C) VI. Sự tiếp xúc của các đồ thị: * Dạng 1: Sự tiếp xúc của hai đường cong có phương trình: (C) y = f(x) và (C’) y = g(x). Phương pháp: (C) tiếp xúc (C’) f(x) g(x) f '(x) g'(x) = ⇔ = có nghiệm, nghiệm của hệ phương trình trên là hồnh độ tiếp điểm của hai đường cong đó. * Dạng 2: Tìm A, để từ A kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị y = f(x) (C). Phương pháp: - Giả sử A(x 0 ; y 0 ) - Phương trình đường thẳng đi qua A(x 0 ; y 0 ) và có hệ số góc k có dạng (d): y = k(x-x 0 ) + y 0 - Đường thẳng (d) tiếp xúc (C) 0 0 f(x) k(x x ) y (1) f '(x) k (2) = − + ⇔ = có nghiệm. - Thay (2) vào (1) ta được: f(x) = f’(x)(x - x 0 ) + y 0 (3) ⇒ Số nghiệm của phương trình (3) là số tiếp tuyến kẻ từ A tới (C). Vậy để từ A kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị (C) ⇔ (3) có n nghiệm phân biệt ⇒ điểm A(nếu có). * Dạng 3: Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) (C) đi qua điểm A(x 0 ; y 0 ). Phương pháp: - Gọi phương trình đường thẳng đi qua A(x 0 ; y 0 ) và có hệ số góc k có dạng (d): y = k(x-x 0 ) + y 0 - Để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) 0 0 f(x) k(x x ) y (1) f '(x) k (2) = − + ⇔ = có nghiệm. - Thay (2) vào (1) ta được: f(x) = f’(x)(x - x 0 ) + y 0 (3) - Giải (3) tìm được 0 0 0 0 y f(x ) x k f '(x ) = ⇒ = , ta tìm được tiếp tuyến. VII. Tìm trên đồ thị (C): y = f(x) tất cả các điểm cách đều 2 trục tọa độ: Phương pháp: - Tập hợp những điểm cách đều 2 trục tọa độ trong mp(Oxy) là đương thẳng y = x và y = -x, khi đó: Trường THPT Nguyễn Hữu Thận 5 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Tọa độ của điểm thuộc (C): y = f(x) đồng thời cách đều 2 trục tọa độ là nghiệm của hệ: y f(x) y x y f(x) y x = = ⇒ = = − Kết quả VIII. Tìm điểm cố định mà đồ thị ln đi qua: - Cho hàm số y = f(m, x) với m là tham số. Tìm điểm cố định mà họ đương cong trên đi qua với mọi giá trị của m. Phương pháp: Biến đổi y = f(m, x) thành hàm bậc nhất, bậc 2, bậc 3,……theo m. Thơng thường ta biến đổi được như sau: - Ta có: 2 Am B 0, m (1) y f(m,x) Am Bm C 0, m (2) + = ∀ = ⇔ + + = ∀ - Đồ thị hàm số (1) ln đi qua điểm M(x; y) khi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình: A 0 B 0 = = (*) (Đối với (1)) hoặc A 0 B 0 C 0 = = = (**) (Đối với (2)). - Giải (*) hoặc (**) để tìm x rồi suy ra y tương ứng. Từ đó ta kết luận các điểm cố định. * Nhắc lại kiến thức Vi-ét: 1 2 1 2 . b S x x a c P x x a = + = − = = * Một số biểu thức đối xứng thường gặp: 1. PSxx 2 22 2 2 1 −=+ ; 2. P PS x x x x 2 2 1 2 2 1 − =+ ; 3. P S xx =+ 21 11 ; 4. 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 P PS x x x x − =+ 5. )3( 23 2 3 1 PSSxx −=+ ; 6. 2224 2 4 1 2)2( PPSxx −−=+ ; 7. PSdxxd 4 22 21 −=⇒−= 8. 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 4 )d x x d x x x x S P S = − ⇒ = − + = − . Bài tập: 1. Định m để hàm số: a. mmxxxy +++= 23 3 nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1 b. 3 2 4 ( 3) .y x m x mx= + + + nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2. c. 3 2 1 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x= − + − + + − đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. 2. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 3 1 3 1 1y x m x m x= − + + + + . Định m để: a. Hàm số ln đồng biến trên R. b. Hàm số ln đồng biến trên khoảng ( ) 2;+∞ . 3. Xác định m để hàm số 3 2 2 1 3 2 x mx y x= − − + . a. Đồng biến trên R. b. Đồng biến trên ( ) 1;+∞ . Trường THPT Nguyễn Hữu Thận 6 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 4. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 3 2 1 12 5 2y x m x m x= − + + + + . a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 2;+∞ . b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) ; 1−∞ − . 5. Cho hàm số 133 23 ++−= mxxxy (C m ) a) Xác định m để (C m ) có cực đại, cực tiểu. b) Gọi );(),;( 2211 yxNyxM là hai điểm cực trị. CMR: )1)((2 212121 −−=− xxxxyy c) Xác định m để (C m ) có hai điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục hồnh. d) Xác định m để (C m ) có hai điểm cực trị nằm về 1 phía đối với trục hồnh. e) Xác định m để (C m ) có hai điểm cực trị nằm phía trên đối với trục hồnh. f) Xác định m để (C m ) có hai điểm cực trị nằm phía dưới đối với trục hồnh. g) Xác định m để (C m ) có hai điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung. h) Xác định m để (C m ) có hai điểm cực trị nằm về 1 phía đối với trục tung. i) Xác định m để (C m ) có hai điểm cực trị nằm bên phải đối với tung. k) Xác định m để (C m ) có hai điểm cực trị nằm bên trái đối với tung. l) Xác định m để (C m ) có cực trị tiếp xúc với trục hồnh. m) Xác định m để (C m ) có cực trị nằm về một phía đối với đường thẳng d: y = x +1 n)Xác định m để (C m ) có cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng d’: y = -x +1 o)Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số (C m ) 6. Tìm m để hàm số y = x 3 – 3x 2 + m 2 x + m có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua (d): y = 1 5 2 2 x − . 7. Xác định m để y = x 4 – 2mx 2 + m có cực đại, cực tiểu thoả mãn: a) Lập thành tam giác đều b) Lập thành tam giác vng c) Lập thành tam giác có S = 4 8. Cho hàm số 3 2 1 (2 1) (1 4 ) 1 3 y x m x m x= − − + − + (C m ) a) Xác định m để (C m ) có cực đại, cực tiểu. b) Xác định m để (C m ) có hai điểm cực trị x 1 ; x 2 sao cho 1 2 4x x− = . c) Xác định m để (C m ) có hai điểm cực trị x 1 ; x 2 thỏa mãn: 2 2 1 2 2x x+ ≤ . 9. Cho hàm số ( ) 3 2 1 2 1 3 y x mx m x= − + + − . Định m để: a. Hàm số ln có cực trị. b.Có cực trị trong khoảng ( ) 0;+∞ . c. Có hai cực trị trong khoảng ( ) 0;+∞ . 10. Cho hàm số y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 )x + m 3 − m 2 (1) (m là tham số) (ĐH Khối−A 2002) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm k để phương trình − x 3 + 3x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). 11. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 3 1 3 2 m y x m x mx C= − − − + . Chứng minh rằng ( ) m C ln đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi. 12. Cho hàm số ( ) ( ) 2 2 6 4 : 2 m x m x C y mx + − + = + . Chứng minh rằng đồ thị ( ) m C ln đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. 13. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) 4 2 : 1 2 3 1 m C y m x mx m= − + − + . Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên. Trường THPT Nguyễn Hữu Thận 7 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 14. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 6 1 1 m y m x m x m x m C= + − + − + + + ln đi qua ba điểm cố định. 15. Cho hàm số 4 2 2y x x= − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): a. Tại điểm có hồnh độ 2x = . b. Tại điểm có tung độ y = 3. c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: 1 : 24 2013 0− + =d x y . d. Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: 2 : 24 2013 0+ + =d x y . e. Tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 5) 16. Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + 2. (C) a) Khảo sát và vẽ (C) đồ thị của hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 3 – 3x 2 + 2 - m = 0. c) Chứng minh đồ thị (C) có một tâm đối xứng. 17. Cho hàm số: 3 2 2 3 1y x x= - - , đồ thị (C). 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2/ Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng d: 1y x= - 3/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2 2 3 0x x m- - = 4/ Biện luận theo a số giao điểm của ( C) và đường thẳng d 1 có phương trình: 1y ax= - . 18. Cho hàm số: 2 3 x y x + = − , đồ thị (C). 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại 3 1; 2 A − ÷ 3/ Tìm ( )M C∈ sao cho khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận đứng bằng nhau. 4/ Chứng minh tích các khoảng cách từ ( )M C∈ đến 2 đường tiệm cận khơng đổi 5/ Tìm ( )M C∈ sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. 19. Cho hàm số y x mx m 4 2 1= + − − (C m ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –2. 2) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (C m ) ln ln đi qua hai điểm cố định A, B. Tìm m để các tiếp tuyến tại A và B vng góc với nhau. 20. Cho hàm số 1 ( ) 2 m mx y C x m − = + . a) Tìm m để (C m ) đi qua điểm K(1; 0). b) Khảo sát và vẽ (C) với m vừa tìm được. c) Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số 1 2 1 x y x − = + . d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại N(0; 1). e) Biện luận sự tương giao giữa đồ thị (C) với đương thẳng (d): y = x + k. f) Chứng minh rằng (d’): y = - x + k ln cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm k để độ dài AB nhỏ nhất. g) Chứng minh rằng m ∀ , hàm số ln đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. h) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị (C m ) đi qua H ( 1; 2)− . i) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C 2 ). j) Viết phương trình tiếp tuyến của (C 2 ) tại điểm có tung độ bằng 7 4 . k) Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M 2 ( )C∈ đến 2 đường tiệm cận khơng đổi. Trường THPT Nguyễn Hữu Thận 8 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ l) Tìm điểm N 2 ( )C∈ sao cho khoảng cách từ đó đến 2 đường tiệm cận bằng nhau. m) Tìm điểm P 2 ( )C∈ sao cho tổng khoảng cách từ đó đến 2 đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất. Trường THPT Nguyễn Hữu Thận 9 . Đường thẳng y = g(m) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox. Trường THPT Nguyễn Hữu Thận 4 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Đặc biệt:. cần tìm là : y f '(x )(x x ) y y f(x ) 4/ PTTT của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b: - Ta đi tìm: = ⇒ = − + ⇒ = 0 0