Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/toihoctoan
Phương pháp tích phân hàm số hữu tỉ I) Các dạng tích phân: Dạng I: I = 1 1 ln dx adx ax b ax b a ax b a β β β α α α = = + + + ∫ ∫ . ►Chú ý: Nếu I = 1 1 1 ( ) . .( ) ( ) (1 ) k k k dx ax b adx ax b ax b a a k β β β α α α − − + = + = + + − ∫ ∫ Dạng II: I = 2 ( 0) dx a ax bx c β α ≠ + + ∫ + Nếu ∆ > 0: 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ( )( ) ( )ax bx c a x x x x a x x x x x x = = − ÷ + + − − − − − thì I = 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 ln ln ln ( ) ( ) ( ) x x dx x x x x a x x x x x x a x x a x x x x β β β α α α − − = − − − = ÷ − − − − − − ∫ + Nếu ∆ = 0: 0 2 2 0 1 1 ( ) 2 b x ax bx c a x x a − = = ÷ + + − thì I = 2 2 0 0 1 1 ( ) ( ) dx dx ax bx c a x x a x x β β β α α α = = − + + − − ∫ ∫ + Nếu ∆ < 0: I = 2 2 1 ( ) dx a x m n β α + + ∫ ; ta đổi biến số: tanx m n t+ = Dạng III: I = 2 mx n dx ax bx c β α + + + ∫ Biến đổi: ( ) 2 2 2 2 ' 1 . . ax bx c mx n A B ax bx c ax bx c ax bx c + + + = + + + + + + + Vậy I = 2 2 2 ( )' . . ax bx c dx A dx B ax bx c ax bx c β β α α + + + + + + + ∫ ∫ ; trong đó 2 dx ax bx c β α + + ∫ thuộc dạng II. Ta có: 2 2 2 ( )' . .ln ax bx c A dx A ax bx c ax bx c β β α α + + = + + + + ∫ 1 Nguyễn Công Mậu Phương pháp tích phân hàm số hữu tỉ II) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính tích phân 2 1 0 4 9 5 6 x I dx x x − = − + ∫ Giải: 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 4 9 3( 2) ( 3) ( 3) ( 2) 3 3ln 3 ln 2 5 6 ( 2)( 3) ( 3) ( 2) x x x d x d x I dx dx x x x x x x x x − − + − − − = = = + = − + − = − + − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ = 2 3ln ln 2 3 − . Ví dụ 2: Tính tích phân 2 1 0 6 9 4 4 x J dx x x − = − + ∫ Giải: 2 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 6 9 3( 2) 3 ( 2) ( 2) 1 3 3 3ln 2 3. 4 4 ( 2) ( 2) ( 2) 2 x x d x d x J dx dx x x x x x x x − − − − − = = = − = − + = − + − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ = 3 3ln 2 2 − − . Ví dụ 3: Tính tích phân 2 3 3 2 1 ( 1) x x K dx x + − = − ∫ Giải: 2 3 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 ( 1) 3( 1) 1 1 3 ( 1) 1 ( 1) ( 1) x x dx dx K dx dx x x x x − + − + = = + + = − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 3 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 1 15 3 ( 1) ( 1) ln 1 3. ln 2 8 1 ( 1) 1 2 ( 1) d x d x x d x x x x x x − − − = + + − − = − − − = + − − − − ∫ ∫ ∫ ►Chú ý: Có thể đổi biến số t = x -1 Ví dụ 4: Tính tích phân 3 2 2 2 0 8 2 4 x x x K dx x + + + = + ∫ Giải: 3 2 2 1 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 0 8 2 4 2 2 1 1 2 4 2 4 4 2 4 x x x x x x K dx x dx x dx K x x x + + + − − = = + + = + + = + ÷ ÷ + + + ∫ ∫ ∫ • Tính 1 2 2 0 2 1 4 x K dx x − = + ∫ : Đặt 2 2 tan 2(1 tan ) ; 0 0; 2 4 x t dx t dt khi x t x t π = ⇒ = + = → = = → = 2 Nguyễn Công Mậu Phương pháp tích phân hàm số hữu tỉ 1 /4 /4 /4 /4 /4 /4 0 0 0 0 0 0 sin ( os ) 2 (4 tan 1) 8 2 8 2 8ln cos 2 cos cos t d c t K t dt dt dt t t t t π π π π π π π = − = − = − − = − − = ∫ ∫ ∫ ∫ 8ln 2 2 π = − 4ln 2 2 π = − Ví dụ 5: Tính tích phân 2 2 1 1 2 2 2 5 x x L dx x x − − + = + + ∫ Giải: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( 2 5) 4( 1) 1 1 4 2 5 2 5 2 5 ( 1) 4 x x x x x x dx L dx dx dx dx x x x x x x x − − − − − − + + + − + + + = = = − + + + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ( 2 5) 7 2 2 2ln 2 5 2 2ln 2 5 5 d x x x L x x L L x x − − − + + = − + = − + + + = − + + + ∫ • Tính 1 2 1 1 ( 1) 4 dx L x − = + + ∫ . Đặt 2 1 2 tan 2(1 tan ) ; 1 0; 1 4 x t dx t dt khi x t x t π + = ⇒ = + = − → = = → = /4 1 0 /4 0 1 1 7 2 2ln 2 2 8 5 8 L dt t L π π π π = = = ⇒ = − + ∫ Ví dụ 6: Tính tích phân 2 2 1 2 1 2 2 x L dx x x − = − + ∫ Giải: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (2 2) 1 ( 2 2) 2 2 2 2 ( 1) 1 x d x x dx L dx dx x x x x x − + − + = = + = − + − + − + ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 1 ln 2 2 ln 2 4 4 x x− + + = + π π ►Chú ý: Tính 2 2 1 ( 1) 1 dx dx x − + ∫ bằng cách đổi biến số 1 tanx t − = ta được kết quả : 2 2 1 ( 1) 1 4 dx dx x π = − + ∫ Ví dụ 7: Tính tích phân 2 2 2 1 1 ( 4) I dx x x = + ∫ Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 ( 4) 1 1 1 1 1 1 . . tan 4 ( 4) 4 4 4 4 4 2 2 x x dx dx x I dx arc x x x x x + − = = − = − − = + + ∫ ∫ ∫ 3 Nguyễn Công Mậu Phương pháp tích phân hàm số hữu tỉ 1 1 1 1 1 ar tan 1 ar tan 8 8 4 2 8 2 4 c c π π = − − = + − ÷ ÷ Ví dụ 8: Tính tích phân 1 2 0 (3 1) 6 9 x dx I x x − = + + ∫ Giải: 2 2 2 2 3 1 3( 3) 10 3 10 6 9 ( 3) ( 3) 3 ( 3) x x x x x x x x − + = − = − + + + + + + ( ) 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 1 4 5 3 10 3ln 3 10. 3 ln 4 ln 3 10. 3ln 3 ( 3) 3 4 3 3 6 dx dx I x x x x ⇒ = − = + + = − + − = − ÷ + + + ∫ ∫ Ví dụ 9: Tính tích phân 3 2 1 (2 1) 2 5 x dx I x x + = − + ∫ Giải: Ta có: 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2 5 2 5 ( 1) 2 x x x x x x x + − = + − + − + − + 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ln 2 5 3 ln8 ln 4 3 ln 2 3 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 dx dx dx I x x x x x ⇒ = − + + = − + = + − + − + − + ∫ ∫ ∫ Đổi biến số: 2 1 2 tan 2(1 tan )x t dx t dt− = ⇒ = + Khi 1 0x t = ⇒ = ; Khi 3 4 x t π = ⇒ = 2 4 4 2 0 0 2(1 tan ) 3 3 3 ln 2 3 ln 2 ln 2 . ln 2 4(1 tan ) 2 2 4 8 t dt I dt t π π π π + = + = + = + = + + ∫ ∫ Ví dụ 10: Tính tích phân 1 0 ( 1)(2 1) xdx I x x = + + ∫ Giải: Ta có: (2 1) ( 1) 1 1 ( 1)(2 1) ( 1)(2 1) 1 2 1 x x x x x x x x x + − + = = − + + + + + + 1 1 1 1 0 0 0 0 1 2 1 1 ln 1 ln 2 1 ln 2 ln3 1 2 2 1 2 2 dx dx I x x x x ⇒ = − = + − + = − + + ∫ ∫ Ví dụ 11: Tính tích phân 1 4 2 0 13 36 xdx I x x = − + ∫ Nhận xét: 1 1 2 2 2 2 0 0 1 1 1 ( 4)( 9) 5 9 4 xdx I x dx x x x x = = − ÷ − − − − ∫ ∫ Giải: Đổi biến số: 2 2t x dt xdx= ⇒ = Khi 0 0x t = ⇒ = ; Khi 1 1x t = ⇒ = 4 Nguyễn Công Mậu Phương pháp tích phân hàm số hữu tỉ 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 9 1 8 9 1 32 ln ln ln ln 2 13 36 2 ( 4)( 9) 10 9 4 10 4 10 3 4 10 27 dt dt t I dt t t t t t t t − = = = − = = − = ÷ ÷ − + − − − − − ∫ ∫ ∫ Ví dụ 12: Tính tích phân 1 5 6 3 0 2 x dx I x x = − − ∫ Giải: 1 3 2 6 3 0 1 .3 3 2 x x dx I x x = − − ∫ . Đổi biến số: 3 2 3t x dt x dx= ⇒ = Khi 0 0x t= ⇒ = ; Khi 1 1x t= ⇒ = 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 . . 3 2 3 ( 2)( 1) 3 2 3 2 1 3 3 2 3 1 tdt t I dt dt dt t t t t t t t t t + − = = = − − = + ÷ ÷ − − − + − − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 0 0 2 1 2 1 1 ln 2 ln 1 (0 ln 2) (ln 2 0) ln 2 9 9 9 9 9 t t= − + + = − + − = − Ví dụ 13: Tính tích phân 3 2 1 ( 1) dx I x x = + ∫ Giải: a) 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) dx x x dx dx x x I dx dx x d x x x x x x x x x x − + − + − = = = − = − + + = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 3 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 ( 1) dx d x x x x d x dx x x x x x x x − + + − = − − + + = + + = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 2 2 1 1 ( 1) 17 17 4 17 ln ln 1 72 1 72 3 72 dx d x x x x x + = − − = − = − + + ∫ ∫ Ví dụ 14: Tính tích phân 3 8 1 0 2 x dx J x = − ∫ Giải: Đặt 4 3 4 . 0 0; 1 1t x dt x dx khi x t x t= ⇒ = = → = = → = 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 1 1 1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) ( 2) 4 2 4 ( 2)( 2) 8 2 ( 2)( 2) 8 2 2 2 dt dt t t d t d t J dt t t t t t t t + − − − + = = = = − = ÷ ÷ − − + − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 0 1 2 1 .ln ln( 2 1) 8 2 2 4 2 t t − = = − + Ví dụ 15: Tính tích phân 2 4 2 1 1 1 x K dx x − = + ∫ 5 Nguyễn Công Mậu Phương pháp tích phân hàm số hữu tỉ Giải: 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x x x K dx dx dx x x x x x − − − = = = + + + − ÷ ∫ ∫ ∫ Đặt 2 1 1 1t x dt dx x x = + ⇒ = − ÷ . 5 1 2; 2 2 khi x t x t= → = = → = 5/2 2 0 2 dt K t = − ∫ . Tương tự cách giải 3b) ta có: K 5/2 2 1 2 1 6 2 .ln ln 34 2 2 2 2 t t − + = = + Ví dụ 16: Tính tích phân 2 4 2 3 1 1 1 x L dx x x + = + + ∫ Giải: 2 4 2 3 1 1 1 x L dx x x + = + + ∫ 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 x x dx dx x x x x + + = = + + − + ÷ ∫ ∫ Đặt 2 1 1 1t x dt dx x x = − ⇒ = + ÷ . 2 1 0; 3 3 khi x t x t= → = = → = 2 2/ 3 0 3 dt L t = + ∫ . Với cách đặt 3 2 3 tan arctan 3 3 t u L= ⇒ = ▼Chú ý: Dạng tổng quát của tích phân ở ví dụ 15 và 16 là: ∫ +± ± β α dx abxx ax 224 2 Ví dụ 17: Tính tích phân 2 2 1 0 ( 1) dx J x = + ∫ Giải: 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 0 ( 1) . ( 1) 1 ( 1) x x dx xdx J dx x J J x x x + − = = − = − + + + ∫ ∫ ∫ • Tính 1 2 1 0 1 dx J x = + ∫ bằng cách đặt 1 tan 4 x t J π = → = • Tính 2 2 2 1 0 . ( 1) xdx J x x = + ∫ : Đặt 2 2 2 1 1 . ( 1) 2 1 u x du dx xdx dv v x x = = ⇒ = = − + + 6 Nguyễn Công Mậu Phương pháp tích phân hàm số hữu tỉ 1 2 2 2 0 1 0 1 1 1 2 1 2 1 4 8 x dx J x x π = − + = − + + + ∫ Vậy 1 4 8 J π = + III) Bài tập rèn luyện Tính các tích phân sau: 1) ∫ ++ + 1 0 23 2 )22( xx dxx 2) ∫ + 3 1 )1 2 ( 4 xx dx 3) ∫ + 1 0 4 )1( 3 x dxx 4) ∫ + + 2 0 4 2 1 dx x x 5) ∫ + 1 0 3 )1( 2 x dxx 6) ∫ − 3 2 )1( 2 xx dx 7) ∫ +++ − 1 0 )13 2 )(1 2 ( )3 2 3( xxx dxx 8) ∫ + ++ 2 1 1 4 1 23 dx x xx 9) ∫ + −+ 2 1 4 4 2 23 dx x xx 10) ∫ ++ +++ 3 1 1 24 12 23 4 dx xx xxx 11) ∫ + ++ 1 0 1 6 )1 45 3( x dxxx 12) ∫ − + + 1 1 1 2 ) 4 ( x dxxx 7 Nguyễn Công Mậu