Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/hocthemtoan
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Tính tích phân dạng I f cos x sin x dx đặt t cos x dt sin dx Bài tập giải mẫu: 2 Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I sin x cos x 1 cos x dx Giải: Cách 1: Ta có: 2 I sin x cos x 1 cos x dx sin x cos x 1 2cos x cos x dx cos x 2cos x cos x sin xdx Đặt t cos x dt sin xdx x t Đổi cận t x Khi t 2t t 17 I t 2t t dt t 2t t dt 12 2 Cách 2: 2 I sin x cos x 1 cos x dx sin x cos x 1 cos x cos x dx cos x cos x cos3 x d cos x cos x cos x cos x 17 12 Cách 3: sin xdx dt Đặt t cos x … bạn đọc tự giải (cách dễ nhất) cos x t Cách 4: du sin xdx u cos x Đặt 2 1 cos x dv sin x 1 cos x dx 1 cos x d 1 cos x v Khi www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 12 12 3 I cos x 1 cos x sin x 1 cos x dx 1 cos x d 1 cos x 30 30 17 1 cos x 12 12 Bài 2: Tính tích phân sau I dx sin x Giải: Cách 1: Nhân tử mẫu cho sin x ta I dx sin x sin xdx sin xdx sin x cos x Đặt t cos x dt sin xdx t x Đổi cận x t Khi 2 2 dt dt 1 dt dt dt t t 2 1 t 1 t 1 t 1 t 0 I 1 ln t ln t ln 2 Cách 2: x 1 x 2dt Đặt t tan dt tan 1 dx dx dx 2 t 1 sin x 2tdt dt 2t t t 1 t2 x t Đổi cận x t www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 dx Khi I sin x 1 t dt ln t 3 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com ln 3 ln 3 Cách 3: x d tan dx dx dx x 2 I dx ln tan ln x x x x x 2 sin x sin cos tan cos tan 3 2 2 3 Cách 4: I dx sin x 3 sin xdx sin xdx 1 cos x 1 cos x d cos x 2 1 cos x 1 cos x sin x cos x 3 1 1 1 cos x cos x d cos x cos x d 1 cos x cos x d 1 cos x 2 1 ln cos x ln cos x ln 2 3 Cách 5: u sin x du cos xdx Đặt … Bạn đọc tự giải dx v cot x dv sin x Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I sin x sin x 3cos x dx Giải: Cách 1: Ta có: sin x sin x sin x cos x 1 Đặt t 3cos x ta dt 3sin x 3cos x t 1 2t cos x cos x 3 x t Đổi cận t x Khi www.MATHVN.com dx sin x 3cos x dx 2dt ; 3 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 4t 2 34 I dt t t 9 27 27 1 Cách 2: Đặt t 3cos x … bạn đọc tự giải Cách 3: u cos x du 2 sin x Đặt d 1 3cos x sin x dx dv v 3cos x 3cos x 3cos x Khi 42 42 I cos x 1 3cos x sin x 3cos xdx 3cos xd 1 3cos x 30 90 27 1 3cos x 34 2 27 Cách 4: Phân tích 1 3cos x cos x 1 3 d 1 3cos x dx d 1 3cos x 3cos x 3cos x 3cos x 3cos xd 1 3cos x d 1 3cos x 9 3cos x … Đến dễ rùi, bạn đọc tự làm Chú ý: Nếu ta đặt t cos x tích phân ban đầu trở thành tích phân hàm hữu tỷ lại phải đặt lần công nên ta lựa chọn cách phù hợp a sin x b sin x a.sin x bcosx Tổng quát: dx dx ta đặt c d cos x t c d cos x c d s inx sin x sin x sin x.cos x dx cos x Bài 3: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I Giải: Cách 1: sin x.cos x sin x.cos x dx dx cos x cos x 0 Ta có I dt sin xdx Đặt t cos x cos x t www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 t x Đổi cận t x Khi 2 t 1 t2 1 I 2 dt t dt 2t ln t t 2 1 Cách 2: Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 2 t ln 1 1 cos x 1 sin x.cos x sin x.cos x d cos x I dx dx cos x cos x cos x 0 cos x 1 cos x ln cos x 2ln d cos x sin x cos x 0 Chú ý: d cos x d 1 cos x ta đặt t cos x Tổng quát: I a sin x.cos x dx ta đặt t b c.cos x t cos x b c.cos x 4sin x dx cos x Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau I Giải: sin x 1 cos x sin x 1 cos x 4sin x Ta có sin x sin x cos x sin x sin x cos x 1 cos x 1 cos x sin x Cách 1: 4sin x Khi I I dx cos x 4sin x 2sin x dx cos x 4cos x 0 Cách 2: I 4sin x dx cos x 4sin x 4sin x cos x dx sin xdx cos xd cos x 4cos x 2cos x 0 0 Cách 3: 1 cos x sin x 4sin x I dx dx cos x cos x 0 dt sin xdx Đặt t cos x cos x t www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Gmail: Loinguyen1310@gmail.com t x Đổi cận t x 1 t 1 2 Khi I dt 4t dt 2t 8t t Chú ý: Có thể đặt t cos x Cách 4: dt dx x 2t Đặt t tan sin x 1 t2 t2 cos x 1 t2 Chú ý: Nếu ta phân tích theo hướng sau 4sin x 4sin x (1 cos x )(1 cos x ) 4sin x 2sin x … lại có cách khác, bạn đọc tự làm khám cos x cos x phá nhé! cos3 x Tương tự I dx sin x 12 Bài 5: Tính tích phân sau I tan xdx Giải: Cách 1: 12 Ta có: 12 sin x tan xdx cos x dx 0 Đặt t cos x dt 4sin xdx sin xdx dt x t Đổi cận x 12 t 12 12 1 sin x dt dt 1 Khi I tan xdx dx ln t ln cos x 41 t 41 t 4 0 2 Cách 2: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 12 I 12 tan xdx 0 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com sin x 12 d cos x 1 dx ln cos x 12 ln cos x cos x 4 cos x dx sin x Bài 6: Tính tích phân sau I Giải: 2 1 sin x cos xdx cos x cos x dx cos xdx sin x sin x sin x I 4 1 sin x cos xdx 4 Đến ta đặt t sin x Hoặc 1 3 2 I cos x cos x sin x dx cos xdx sin xdx sin x sin x 2 4 4 4 Bài tập tự giải có hướng dẫn: 3sin x cos x dx ln 2 3sin x cos x Bài 1: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân: I HD: sin x cos x Tách làm hai tích phân I 3 dx dx kết hợp với công thức 2 3sin x 4cos x 3sin x cos x 0 sin x cos2 x ta kết 3cos x 4sin x dx 2 3sin x cos x Cách khác: Sử dụng tích phân liên kết J Bài 2: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân sau I sin x.tan xdx ln HD: Ta có sin x tan x 1 cos x sin x đặt t cos x cos x sin x dx 1 3ln cos x Bài 3: (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I HD: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 2 sin x cos x dx đặt t cos x sin x 3sin x 4sin x Ta có I dx dx cos x cos x cos x 0 sin x dx 2 cos x Bài 4: (ĐHQGHN – A 1997) Tính tích phân sau I HD: sin x cos2 x Ta có sin x đặt t cos x cos2 x cos x Bài 5: Tính tích phân sau I sin x x sin x cos x.cos 2 dx ln 2 HD: Ta có sin x cos x.cos x sin x cos x 1 cos x cos x đặt t cos x cos x dx 1 cos x Bài 6: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân: I sin x sin 3 x 1 dx ln cos x Bài 7: Tính tích phân: I HD: Phân tích sin 3x sin 3x sin 3x 1 sin x sin 3x.cos 3x đặt t cos x Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau: I ecos x sin xdx HD: Sử dụng công thức nhân đôi sin x sin x cos x đặt t cos x Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau: I tan x esin x cos x dx ln e 1 HD: Tách thành tổng hai tích phân đơn giản Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau: I esin x cos x cos xdx e 1 HD: Tách thành tổng hai tích phân đơn giản Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau: I www.MATHVN.com sin x dx cos x www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Bài 12: Tính tích phân sau: I 2sin x sin x cos x Gmail: Loinguyen1310@gmail.com dx HD: Đặt t cos x t cos x 1 cos2 x sin x dx 4sin x Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau: I dx cos x cos x HD: Đặt t cos x cos x Bài 14: Tính tích phân sau: I cos x dx HD: Phân tích cos x sin x từ đặt t sin x sin x dx ln cos x Bài 15: Tính tích phân sau I HD: Phân tích sin x 2sin x cos x đặt t cos x t cos x cos x cos x 1 b Dạng 2: Tính tích phân dạng I f sin x .cos xdx đặt u sin x du cos xdx a Để tính tích phân dạng a.sin x b.sin x c d cos x dx ta đổi biến cách đặt t c d cos x Bài tập giải mẫu: 2sin x Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau I dx sin x Giải: Cách 1: Ta có I 2sin x cos x sin x dx sin x dx 0 Đặt sin x t cos xdx www.MATHVN.com dt www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com t x Đổi cận t x 2 1 dt Khi I ln t ln 2 21 t Hoặc đặt sin 2x t Cách 2: ' cos 2x 1 sin x d (1 sin x ) 1 I dx dx ln 1 sin2 x ln sin x 1 sin x sin x 2 0 Cách 3: Biến đối – sin x cos x sin x cos x – sin x sin x cos x sin x d cos x sin x 2sin x cos x sin x I dx dx ln cos x sin x ln sin x cos x sin x cos x sin x 0 0 Hoặc đặt t sin x cos x Bài 2: Tính tích phân sau I cos x cos x dx Giải: Đặt t sin x dt cos xdx t x Đổi cận x t Khi I cos x cos x dx dt 2t dt t 3 cos u dt sin udu 2 t u Đổi cận t u Khi Đặt t www.MATHVN.com 10 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Gmail: Loinguyen1310@gmail.com sin x sin x cos x cos x sin x sin x cos 4 4 4 4 tan x tan x 1 1 4 cos x cos x cos x cos x cos x cos x 4 4 4 1 cos x cos x 4 dx Khi xét: J cos x cos x 4 Sử dụng đồng thức: sin sin x x sin x cos x cos x sin x 1 4 4 4 sin tan( x ) tan x cos x cos( x ) J tan x dx tan xdx ln cos x ln cos x C 4 4 2 I ln cos x xC cos x 4 Cách 2: dx dx dx 2 2 cos x (cos x sin x ) cos x (1 tan x) cos x cos x 4 d (1 tan x ) 2 ln tan x C I ln tan x x C tan x Tương tự: J Bài 1: (ĐHQGHN – D 2001) Tìm nguyên hàm: 1 tan x I tan x cot x dx x ln C 3 6 tan x Dạng 4: Tìm nguyên hàm: I dx a sin x b cos x Phương pháp: www.MATHVN.com 58 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com x x Sử dụng công thức: a sin x b cos x a b sin( x ) a b sin cos Khi x d tan dx I x a b tan x cos x a b tan x ln tan C a b Cách 2: Ta có dx I 2 sin( x ) 2 a b a b2 2 a b2 Cách 3: ln sin( x ) dx sin ( x ) a b2 d (cos( x )) ( x ) 1 cos cos( x ) C cos( x ) Có thể sử dụng phương pháp đại số hoá đặt: t tan x Bài tập giải mẫu : Bài 1: Tìm nguyên hàm I dx sin x cos x Giải : x x Ta có: sin x cos x sin( x ) 4sin cos x d tan dx ln tan x C I 12 12 x x x cos 6 tan tg Dạng 5: Tìm nguyên hàm: I a1 sin x b1 cos x a2 sin x b2 cos x dx Phương pháp: www.MATHVN.com 59 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Sử dụng đồng thức: a1 sin x b1 cos x A a2 sin x b2 cos x B a2 cos x b2 sin x Để ý: a2 sin x b2 cos x a2 b22 sin( x ) Kết hợp dạng 3-4 để giải Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tìm nguyên hàm sau I 8cos x dx sin x cos x Giải: Biến đổi: 8cos x cos x cos x 2 sin x cos x sin x (1 cos x ) 3sin x sin x cos x cos x cos x sin x cos x Phân tích: cos x A( sin x cos x) B ( cos x sin x) ( A B) sin x ( A B 3) cos x Đồng đẳng thức: A B A A B B cos x 2 3( cos x sin x) 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 2dx d ( sin x cos x ) x 3 ln tg C 2 sin x cos x ( sin x cos x) sin x cos x 12 sin x Bài 2: (ĐHQGHN – A 2000) Tìm nguyên hàm I dx sin x Giải: sin x sin x Ta có: sin x sin x cos x I Đồng thức: sin x A sin x cos x B cos x sin x A B sin x A B cos x A A B 1 A B B www.MATHVN.com 60 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 1 (sin x cos x) (cos x sin x) 2 sin x 1 cos x sin x 2 sin x cos x 2(sin x cos x) sin x cos x sin x I sin x sin x cos x dx 1 d (sin x cos x ) (sin x cos x) dx sin x cos x 2 dx 1 1 4 x I sin x cos x 2 ln tan sin x cos x C 2 sin x 4 Tương tự sin x cos x Tìm nguyên hàm I 3sin x cos x Dạng 6: Tìm nguyên hàm I a sin x b cos x dx c sin x d cos x Phương pháp: a sin x b cos x B (c cos x d sin x) - Đặt: A c sin x d cos x c.sin x d cos x - Sau dùng đồng thức Bài tạp giải mẫu : Bài 1: Chứng minh a.sin x b.cos x a.sin x b.cos xdx Ax ln | a.sin x b.cos x | C ( A, B, C số) Giải: Ta phân tích: a.sin x b.cos x A a '.sin x b '.cos x B a '.cosx b '.sin x , tìm hệ số A B Khi a.sin x b.cos x a '.cosx b '.sin x a '.sin x b '.cos xdx Ax B a '.sin x b '.cos xdx Ax B ln | a '.sin x b '.cos x | C Bài 2: Tìm nguyên hàm I 2.sin x 3.cos x dx sin x cos x Giải: Ta có www.MATHVN.com 61 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 2.sin x 3.cos x A(sin x cos x ) B(cos x 2sin x) A 2.sin x 3.cos x (sin x cos x) (cos x 2sin x) 5 B I x ln | cos x 2sin x | C 5 Tương tự: Chứng minh rằng: a.sin x b.cos x B (a '.sin x b '.cos x)2 dx A a '.sin x b '.cos x dx a '.sin x b '.cos x , với A, B số Ta phân tích a.sin x b.cos x A a '.sin x b '.cos x B a '.cosx b '.sin x , tìm hệ số A B Khi a.sin x b.cos x a '.sin x b '.cos x dx A B dx a '.sin x b '.cos x a '.sin x b '.cos x Hồn tồn tương tự, ta tính tích phân dạng Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm I sin x cos x A sin x cos x sin x cos x sin x cos x B a '.sin x b '.cos x dx dx 3cosx sin x 2 A 2 sin x 2.cos x B a.sin x b.cos x sin x cos x 2 3cosx sin x 2 2 sin x cos x dx sin x cos x C dx dạng tích phân mà biết cách tính Tích phân sin x cos x sin x cos x Ví dụ 2: Tìm ngun hàm I dx 3 sin x cos x I Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: Tìm nguyên hàm: sin x 3cos x I dx x ln sin x cos x C sin x cos x Bài 4: (HVNHHN – 1999) Tìm nguyên hàm: cos x 2 x I dx cos x ln tan C sin x cos x 2 6 www.MATHVN.com 62 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Gmail: Loinguyen1310@gmail.com HD: Phân tích sin x cos x sin x đặt t x 3 Dạng 7: Tìm nguyên hàm I dx a sin x b cos x c Phương pháp: 2t sin x t x Đặt: t tan 2 cos x t 1 t2 Bài 1: Tìm nguyên hàm I 2dx x ln tan C sin x cos x 2 4 Dạng 8: Tìm nguyên hàm I a1 sin x b1 cos x c1 dx a2 sin x b2 cos x c2 Cách giải: Biến đổi: a1 sin x b1 cos x c1 A a2 sin x b2 cos x c2 B a2 cos x b2 sin x c Sau đưa dạng quen thuộc để giải a sin x b cos x m Hoặc: I dx c sin x d cos x n a sin x b cos x m B (c cos x d sin x ) C Đặt: A c sin x d cos x n c sin x d cos x n c sin x d cos x n Sau dùng đồng thức Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tìm nguyên hàm I 5sin x dx sin x cos x Giải: Ta phân tích: 5sin x A sin x cos x 1 B cos x sin x C A B sin x B A cos x A C 2 A B A 2b A B A C C 2 www.MATHVN.com 63 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 5sin x cos x sin x 2 2sin x cos x 2sin x cos x 2sin x cos x d (2sin x cos x 1) dx I 2 dx 2 x ln 2sin x cos x J 2sin x cos x 2sin x cos x dx Tính: J sin x cos x Đặt: t tan J 2 dt 2t 1 t2 x dx ;sin x ; cos x 1 t2 1 t2 1 t2 dt d (t 1) t 2 ln C ln t 2t t2 t 1 tan Khi I x ln sin x cos x ln Bài 2: Tìm nguyên hàm I x x tan 2 tan x x tan 2 C C sin x cos x dx 4sin x 3cos x Giải: sin x cos x cos x sin x C A B sin x cos x sin x cos x sin x cos x Dùng đồng thức ta được: A , B , C Khi Đặt: I sin x cos x cos x 3sin x dx dx sin x 3cos x 4sin x 3cos x sin x 3cos x 0 x ln sin x 3cos x I1 ln Tương tự: Bài 1: Tìm nguyên hàm: 5sin x x I dx x ln sin x cos x ln tan C sin x cos x 2 4 a sin x b1 sin x cos x c1 cos x Dạng 9: Tìm nguyên hàm I dx a2 sin x b2 cos x HD: Biến đổi: www.MATHVN.com 64 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com a1 sin x b1 cos x sin x c1 cos2 x A sin x B cos x a2 sin x b2 cos x c sin x cos2 x Đưa dạng quen thuộc để giải Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tìm nguyên hàm I 4sin x dx sin x cos x Giải: Ta phân tích: 4sin x 5sin x cos x ( A sin x B cos x )( sin x cos x ) C (sin x cos x ) ( A C ) sin x ( A B 3) sin x cos x ( B C ) cos x A C A A B B 1 B C C 4sin x sin x cos x I cos x sin x J sin x cos x sin x cos x dx J dx sin x cos x x x sin cos x d tan x dx ln tan C x 2 x x tan cos tan x I cos x sin x ln tan Bài 2: Tìm nguyên hàm I C cos x sin x cos x dx Giải: www.MATHVN.com 65 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Ta phân tích: cos2 x A sin x B cos x (sin x cos x) C sin x cos x A 3B C ( 3B C ) cos x ( B A) sin x cos x A C sin x B A B A C C cos x sin x cos x 4 sin x cos x 4(sin x cos x ) dx cos x sin x 4 sin x cos x dx Tính: J sin x cos x dx 1 x x J ln tan C I cos x sin x ln tan C 2 4 2 6 2 6 sin x 3 Tương tự: sin x 1 x Bài 1: Tìm nguyên hàm: I dx ln tan C sin x cos x 12 I Dạng 10: Tìm nguyên hàm: I dx a sin x b sin x cos x c cos x Phương pháp: Biến đổi: dx cos x (a tan x b tan x c ) Đặt: t tan x dt dx cos x dt I at bt c Dạng quen thuộc giải I 2 Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tìm nguyên hàm I dx 3sin x sin x cos x cos x Giải: www.MATHVN.com 66 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Ta có: 3sin x 2sin x cos x cos x cos x tan x tan x 1 dx cos x (3tan x tan x 1) 1 Đặt: t tan x dt dx I dt dt cos x 3t 2t 3(t 1)(t ) t (t 1) 1 1 1 Ta phân tích: (t 1) 1 1 3(t 1) t (t 1) t t 3 3 I 2 dt dt 1 1 t 1 t ln t ln t C ln C t t 3 tan x Khi I ln C 3tan x Tương tự : dx sin x cos x Bài 1: Tìm nguyên hàm: I ln C 2 3sin x 2sin x cos x cos x 3sin x cos x I Dạng 11: Tìm nguyên hàm: I sin x.cos x a sin x b cos x 2 dx Cách giải: Để ý rằng: sin x cos xdx d (a sin x b cos x) 2(a b ) TH 1: 1 d (a sin x b cos x) I ln a sin x b cos x C 2 2 2 2 2(a b ) a sin x b cos x 2(a b ) TH 2: 1 d (a sin x b cos x) I a sin x b cos x 2 2(a b ) a sin x b cos x 2( a b )(1 ) 1 C Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tìm nguyên hàm I sin x cos x dx sin x cos x Giải: www.MATHVN.com 67 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Ta phân tích: sin x cos xdx d 2sin x cos x Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 2 d sin x cos x 2 2sin x cos x ln sin x cos x C sin x cos x Bài 2: Tìm nguyên hàm I dx sin x 3cos x Giải: Ta phân tích: sin x cos xdx d sin x 3cos x 2 d 2sin x 3cos x 1 I C 2 2 2sin x 3cos x 2sin x 3cos2 x I Dạng 12: Tìm nguyên hàm: I dx a sin x b cos x Phương pháp: TH 1: c a b Ta biến đổi: 1 a sin x b cos x c 1 cos x 2c x cos x d dx tan x C I 2c x c x c cos cos TH 2: c a b Ta biến đổi : 1 a sin x b cos x c 1 cos x 2c x sin x d dx 1 x I x c x c cotg C 2c sin sin 2 TH 3: c a b x Ta thực phép đặt : t tan dt 2t 1 t2 dx ;sin x ; cos x 1 t2 1 t2 1 t2 Sau thực tính nguyên hàm biểu thức đại số www.MATHVN.com 68 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Gmail: Loinguyen1310@gmail.com Bài tập giải mẫu : Bài 1: Tìm nguyên hàm I 2dx sin x cos x Giải: Ta thấy: c a b (vì: 12 2 12 ) x Đặt: t tan dt 2t 1 t2 dx ;sin x ; cos x 1 t2 1 t2 1 t2 x tg dt d (t 1) t C I 2 2 ln C ln x t 2t t2 t 1 tg 2 dx Bài 2: Tìm nguyên hàm I sin x cos x Giải: Ta thấy: c a b (vì : 12 12 ) Ta biến đổi : 1 sin x cos x 2 x 1 cos x 2 sin 2 8 x d dx 1 x 2 8 I x x cot C 2 sin sin 2 8 2 8 Tương tự : dx Tìm nguyên hàm: I sin x cos x HD: Tương tự VD2 Bài tập tổng hợp : dx sin x sin x 6 Bài 1: (ĐHMĐC – 2000) Tính tích phân sau I Giải: www.MATHVN.com 69 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com dx dx 2dx sin x sin x cos x sin x sin x sin x sin x cos x 6 I dx cos2 x tan x tan x 2d tan x tan x tan x 3 d tan x tan x tan x 1 3 d tan x tan x tan x 2 d tan x tan x 2 d tan x ln tan x ln tan x tan x ln ln ln ln ln 3 Bài 2: Tính tích phân sau I sin x cos x dx 12 Giải: 1 1 I dx dx cot x 4 sin x cos x sin x 12 12 4 12 sin x Bài 3: Tính tích phân sau I dx sin x Giải: sin x 3sin x sin x I dx dx sin x dx x 1 cos x dx x x sin x c sin x sin x x sin x C Bài 4: Tính nguyên hàm I www.MATHVN.com sin x cos x sin x cos x dx 70 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 sin x cos x A sin x cos x B cos x sin x 2 A 2 sin x 2.cos x B I Gmail: Loinguyen1310@gmail.com sin x cos x 2 cos x sin x 2 2 sin x cos xdx sin x cos x C Bài 5: Tính tích phân sau I sin x.dx sin x cos x Giải: I sin x.dx (sin x cos x) (sin x cos x).dx sin x cos x sin x cos x d sin x cos x ln sin x cos x sin x cos x 4 Bài 6: (ĐHXD – 1997) Cho hàm số f x cos x 3sin x g x cos x 2sin x a Tìm A, B để g x Af x Bf ' x b Tính I g x f x dx A Đs: a B b I g x f x dx ln 10 sin x 2cos x 1 dx ln 3sin x cos x 2 4 Bài 7: (CĐSPHN – 2000) Tính tích phân I Lời kết: Do thời gian có hạn tuổi đời cịn trẻ nên đơi khơng thể tránh thiếu sót sai lầm nên mong bạn học sinh, quý thầy góp ý kiến bổ sung thêm, xin chân thành cảm ơn Mỗi tốn cịn cách khác hay tơi khơng biết không viết hết được, mong bạn đọc trao đổi Góp ý theo địa Loinguyen1310@gmail.com địa chỉ: Nguyễn Thành Long Số nhà 15 – Khu phố – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố hóa www.MATHVN.com 71 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Gmail: Loinguyen1310@gmail.com MỤC LỤC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng 1: ………………………………………………………… Trang → trang Dạng 2: …………………………………………………………………………………Trang → trang 12 Dạng 3: …………………………………………………………………………………Trang 12 → trang 17 Dạng 4: …………………………………………………………………………………Trang 17 → trang 22 Dạng 5: …………………………………………………………………………………Trang 22 → trang 25 Dạng 6: …………………………………………………………………………………Trang 25 → trang 27 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG HÀM LIÊN QUAN TỚI LƯỢNG GIÁC ……………………………………………………………………………………………Trang 28 → trang 35 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN LIÊN KẾT ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC ……………………………………………………………………… ………………… Trang 36 → trang 38 PHƯƠNG PHÁP CẬN TRUNG GIAN ĐỐI VỚI TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC ……………………………………………………………………… ………………… Trang 38 → trang 39 MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP CỦA TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng 1: ………………………………………………………… .Trang 39 → trang 47 Dạng 2: ………………………………………………………………………………… Trang 47 → trang 49 Dạng 3: ………………………………………………………………………………… Trang 49 Dạng 4: ………………………………………………………………………………… Trang 49 → trang 53 MỘT SÔ DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC …………………………………………………………………………………………….Trang 53 → trang 71 www.MATHVN.com 72 ... cos x sin x cos x PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG HÀM LIÊN QUAN TỚI LƯỢNG GIÁC Một số dạng thường gặp Dạng 1: Tính tích phân: I Pn x cos ax ... (HVKHQS – 1999) Tính tích phân sau I cos x.ln 1 cos x dx 1 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN LIÊN KẾT ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC sin x dx 6 sin x cos x Bài 1: (ĐHH – 2000) Tính tích phân sau I ... hai tích phân đơn giản Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau: I esin x cos x cos xdx e 1 HD: Tách thành tổng hai tích phân đơn giản Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân