Đang tải... (xem toàn văn)
Sáng tạo Bất đẳng thức - Tác giả:Phạm Kim Hùng tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về t...
Mục lục Lời nói đầu Cộng tác viên xi Bất đẳng thức Cơ Sở 11 Bất đẳng thức AM-GM 1.2 Bất đẳng thức Cauchy-SchwarzHoldetr 1.2.1 1.22 1.3 Bất đẳng thức Holder Bất đẳng thức Chebyshev 1.3.2 14 Kĩ thuật phân tách Chebyshev Bất đẳng thức với hàm lồi 1⁄41 Hàm lồi với bất đẳng thức Jensen 1.4.2 1.5 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ứng dụng Hàm lồi với kĩ thuật xét phần tử biên Khai triển Abel bất đẳng thức hoán vị 1.5.1 Khai triển Abel 1.6 Bất đẳng thức đối xứng biến 1.6.1 Bất đẳng thức khơng có điều kiện ~* 1.6.2 Bất đẳng thức đối xứng có điều kiện Mục lục H 1.7.1 71 so - Bất đẳng thức đa thức đối xứng sơ cấp 17 71 ee we Lí thuyết đa thức đối xứng sơ CAP giải toán bất Đa thức đối xứng sơ cấp ứng dụng ¬— ng nh nh nh nh nh ch đẳng thức nh nh nh nh C - - - Ích Phương pháp cân hệ SỐ ee - -Bài toán mở đầu 1.8.1 17.2 1.8 10 1.8.2 cộng Can hệ số với bất đẳng thức liên bệ trung bình 18.3 rz - Holder Cân hệ số với bất đẳng thức Cauchy - Schwa trúng bình nhân (AM-GM) - Đạo hàm ứng dụng 1.9.1 1.9.2 19.3 1.9.4 "nh: Kién thite K thuyột â ch - - c2 nh loc ô2 Cac baitodnchon 92 Ban vé sang tao bat ding thite 2.2.1 2.2.2 223 2.9.4 3.1.2 3.1.3 31.4 3.1.5 83 84 - - 87 Tnhh nh 103 | 105 105 © Bất đẳng thức cũ Và mỚI oo Một cách xây dựng bất đẳng thức 89 nh nh nh ee -‹: 201 ng 201 (có 203 206 Từ chứng - phản biện đến kết luận - : oo _ 208 es Sang tao bat ding thie © thức Các phương pháp chứng minh bất đẳng biến mạnh 3.1 Phương pháp dồn biến định lí dồn 311 _ 86 Sáng tạo bất đẳng thức 21 80 eet 83 eee = ch 75 j ch nh nh nh ee Mở rộng thi toán quốc tế 2004 1.11 Một số toán đáng ý 74 ee Khảo sát ham nhiéu bien nh nh nh voc vee Khao st ham s6 mot bién 74 nh nh {ch nh M 211 : - - - - - Bài tốn mở đầu có ¬ đẳng thức biến Phương pháp dồn biến bất ch Định lí dồn biến mạnh SM.V - - ¬ Định lí S.M:V số ứng dụng c so h h hh nỢ Phương pháp dồn biến toàn miền 212 212 216 222 224 230 Mục lục 3.2 iil Phương pháp phân tích bình phương S.O.S 3.4 Bài tốn mớ đầu Q Q Q Q v 3.2.2 Định lí biểu diễn sở phương pháp S.O.S số 233 Q Q Q He QC 239 3.2.3 Những ứng dụng quan trọng phương pháp S.O.S 244 3.2.4 Suy luận từ tốn 249 Phuong phắp phan ching Xa ee ; 0.020.000.4004 254 000000 254 3.3.1 Baitodnmd dau 3.3.2 Nhìn nhận bất đẳng thức góc độ phản chứng 255 3.3.3 Các 257 toán áp dụng Phương pháp quy nạp tổng quát ee eee Q Q Qua Q TQ eee 262 3.4.1 Bài toán mở đầu ee 262 3.4.2 Phương pháp quy nạp tổng quát định líLGI 265 3.4.3 Các toán áp dụng 267 3.4.4 Xây dựng hàm số toán tổng quát QQQ Q Q H K 276 3.5 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển 277 3.6 Nhìn lại phương pháp chứng minh bất đẳng thức 285 3.6.1 Phương pháp dồn biến .Ặ.ẶẶ 285 3.6.2 Phương pháp phân tích bình phương SO.S 287 3.6.3 Phuong pháp phản chứng .: Ặ.Ặ.c co 288 3.6.4 Phương pháp quy nạp tổng quát .- 289 3.6.5 4_ 233 3.2.1 kĩ thuật phân tích 3.3 —— Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển '290 Một số vấn đề chọn lọc bất đẳng thức 291 4.1 Bat dang thtte Schur suy rong Q Q SỦ 291 4.2 Nhimg bat ding thitckKila! 2.0.0.0 00 000.00 0000, 298 4.3 Bat đẳng thức Nesbitt số dạng mở rộng 303: 4.4 Suy luận phát triển , ¬ 308 4.5 Bất đẳng thức thuận nghịch ' .Ặ co 312 4.5.1 Phương pháp tích phân bất đẳng thức 312 4.5.2 Bất đăng thức thuận nghịch 314 iv Muc luc 46 Đi tìm lời giải sơ cấp 4.7 4.9 ee ee 317 4.6.1 Trélai van d@écé dién 00 .2 0004 317 4.6.2 Thêm toán 4biến 320 Lý thuyết trội bất đẳng thttc Karamata 320 4.7.1 320 47.2 4.8 Các trội số tính chất lên quan ¬ Bất đẳng thức Karamata Dồn biến không xác định Ốc 324 QQQ ee 48.1 a>bhaya3? 342 4.9.4 Bất đẳng thức hoán vị tổng quát 343 4.9.5 Chỉ bất đẳng thức bậc nhất?” 344 4.9.6 Các dạng tổng bình phương - 344 4.10 Tan mạn với bất đẳng thức oẶẶ Ặ 346 Q ee Q Quang 4.10.1 Các cặp thuận nghịch no 346 4.10.2 Sáng tạo bất đẳng thức 347 4.10.3 Quan điểm toán bất đẳng thức hay 4.10.4 Học toán mạng co ee es Phụ lục 348 349 Tác giả toán Tai liéu tham khdo 347 hở ee ee ee ee “dd 349 350 Chuong Bat dang thức Cơ Sở Để làm quen với bất đẳng thức việc nắm vững bất đẳng thức vô quan trọng Trên giới có nhiều bất đẳng thức, nhiều định lí liên quan tới bất đẳng thức, nhiều kĩ thuật nhỏ chứng minh bất đẳng thức nên để biết hết chúng điều không thể, điều quan trọng phải hiểu thật rõ bất đẳng thức bản, yếu tố quan trọng để bạn học tốt bất đẳng thức Tác giả nhấn mạnh tới bất đẳng thức cần thiết sau đãy: Bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng>strung bình nhan (AM —G™M), bat dang thitc Cauchy— Schwarz va tong quat làbat đẳng thức Holder bất đẳng thức Chebusheu bất đẳng thức Jensen Đây bất đẳng thức quen thuộc chương trình phổ thơng, để nắm vững chúng điều đơn giản, dễ dàng bạn bắt đầu làm quen với bất đẳng thức Chương sách cung cấp cho bạn đầy đủ kĩ sử dụng bất đẳng thức đó, thêm số toán liên quan tới bất đẳng thức đối xứng biến, bất đẳng thức hoán ` vị, phương pháp cân hệ số kĩ thuật khai triển Abel Day 1A chương hiệu bạn học sinh THƠS, bạn học sinh lớp 10, 11 muốn rèn luyện kĩ chứng minh bất đẳng thức Đối với bất đẳng thức đó, đặc biệt để bạn đọc thấy rõ hiệu AM - GM ta có kĩ thuật Cơsi ngược, với phân tách Chebsheu với bất đẳng thức Hoider Theo cách nghĩ học sinh Việt za lạ khó áp dụng, tác giả chọn kĩ thuật ấp dụng chúng “Chẳng hạn với bất đẳng thức bất đẳng thức Chebusheu ta có kĩ thuật Cauchụ — Schuarz ta có bắt đẳng thúc Nam bất đẳng thức Holder với bạn học sinh giỏi toán, sách giúp bạn có cách nhìn khác bất đẳng thức quan trọng này, bình thường bất đẳng thức Cauchw— Schuarz Phần sử dụng đạo hàm phần lí thuyết quan trọng mà bạn cần phải nắm rõ Chuong Bat đẳng thức sở Bất đẳng thức AM-GM 1.1 1.11 Định Bất đẳng (Bắt lý 1.1 có bất đẳng thúc AM-GM thức đẳng ứng dụng AM-GM) thức Với mợi số thực dương dị, ga, đụ ta A +ũạ+ +d@ ————————> n tana¿ dạ, Đẳng thức xấu 0à khí = = = Gn CHỨNG MINH Rõ ràng bất đẳng thức với nø = bất đẳng thức với n số với 2w số + 0a + + dạn > T /G162 0ạ Tỉ đa +1 0n+2 -đ2n > 2n X/a0a đạ, Do bắt đẳng thức n luỹ thừa Mặt khác bất đẳng thức với œ số với n — Ì số, ta cần chọn + Gn-1 ), tant -1 s=a, ayn = s/(n => s 8+ m — Ì >n† a)Q2 -An—18 142 nm—1 n-1 =>s>(n-1)*VWajag.-.dn-1 Từ nhận xét ta có điều phải chứng minh Đăng thức xảy tất biến 1, đạ, , a„ Bắt đẳng thức AM —- GM la bat đẳng thức quen thuộc có ứng dụng rộng rãi, bát đẳng thức mà bạn cần phải ghi nhớ rõ sử dụng cách thành thạo Khi sử dụng bất đẳng thức cần ý tới điều kiện đẳng thức ø = ø¿ = = a„ cần tách hệ số cho phù hợp Có nhiều cách chứng minh bát đẳng thức AM — GŒM, cách chứng minh hay cách chứng minh sử dụng phương pháp quy nạp Cauch (như chứng minh trên) Có lẽ mà nhiều người lầm lẫn ring Cauchy phat hién bat dang phải thức Ông người đưa chứng minh hay khơng thức đẳng bất người phát đầu tiên, bất đẳng thức mà quen gọi opzrki Bunhiacopzki thực chất phát nhà tốn hoc Schwarz, BunhiaC có va Cauchy Theo cach goi tên chung giới, bất đẳng thức BunhiaCopzki Cauchy) c6 tên bất đẳng thức Cauchụ — Schuarz, bat ding thitc Cési (hay Day Means) c ten lA bat ding thite AM — GM (Arithmetic Means - Geometri nhằm lẫn kì lạ đáng ngạc nhiên thời gian dài !? Sau số toán đặc trưng sử dụng bất đẳng thức AM — ỚM 1.1 Bat dang thitc AM-GM Ví dụ 1.1.1 Chứng minh uới số thực không am a,b,c ta cé u11 a b ec atb+e LỜI GIẢI Sử dụng bat dang thite AM — GM cho số 1 1): 3 (a+ b t9(+;+2)> — +~+-| >3Vab =9 Vabc==9 Bất đẳng thức tổng quát chứng minh hoàn toàn tương tự 1 —#—+ +—=>—————_ ay đa an + đạ + Ví dụ 1.1.2 (Bất đẳng thức Nesbitt) Chứng minh uới số thực không adm a,b,c ta có a b+e + b c+a + đạ, + € „3 a+b 92 LỜI GIẢI Xét biểu thức sau S= M= ‘a b+c b b cta c c taxb a beet ctala+tb b N=—3, > +2S > suy 2S > Day la diéu phai chitng minh O Ví dụ 1.1.3 (Bất đẳng thức Nesbitt 4.biến) Chứng mảnh vdi moi sé thuc không âm a,Èb,c ta có bát đẳng thức -ƠƯ, Ơ b+c c+d d+a qa+b—” Chương Bất đẳng thức sở LỜI GIẢI Đặt _ 4a b Cc d — b € d _ ¢ d a etd dta ato’ “bret “Fae tetdtdta N Tacé M+N=4 a lato’ b —baetetd!dtala+s Theo bất đẳng thức AM — GM thi M = +ỡ N+S= a+b b+c c+ởd bee ate tctd b+d d+a atc b+e ctd dt+a a+b b+c atd ct+d a+b ate, ate 4(a+c) a+b+c+d b+d d+a >4 , g+bÐC b+d b+d A(b+d) atb+ctd —- Vay M + N +2S > suy > Đẳng thức xây a = b=c=d Ví dụ 1.1.4 a Tỉ Giả sử ơi, đạ, , ứn số thực đương cho œị +ú¿ + tan = Chitng minh vdi moi số nguyên đương k ta có bắt đẳng thúc ak + ak + + ak > ako} + ak} + + ako} LỜI GIẢI Sử dụng bất đẳng thức AM — GM ta có (k— 1)a# +1=aF+aF+ + d` +1> kVaFŒ~1) = ka~}, Thay a béi aj, a2, ; đạ cộng bất đẳng thức lại ta (k~1)(ak +ak+ 4ak)+n> kf} +ap + + ak-1), Vậy ta cần chứng minh + + ak} ako} + as Sử dụng bất đẳng thức AM ~ ƠM _ >n ak (k—-2) aah 4141 42.412 (k= 1) Var?= (k- 1a Thay ø ai, đa, , dn cộng bắt đẳng thức dạng lại ak} + ak} p+ ak-l5 n(k _ 2) > Í — 1)(øi + aa + + an) = (k— l)n 1.1 Bất đẳng thức AM-GM > at} +ag7} + ¢a% 1} >n Dang thttc xdy va chi aj = a2 = =a,=1 O Nhận xét Từ chứng minh ta suy ak +ak+ +ak n> (tet tan)! n n Với số nguyên dương k Ngoài bất đẳng thức k > số thực Nếu xét k < ta có bất đẳng thức „đi + 0g + + da „ Mai+ n W6a+ + — tên mì , V6i moi s6 thuc dugng m > Cac ban hay ty kiém nghiém cdc bat đẳng thức phương pháp trên, thực chất hệ trực tiếp Ví dụ 1.1.5 dị, dạ, , đụ Đồ (Bất 1, đẳng thức AM-GM suy rộng) Với số thực dương 2, , #„ sơ thực khơng âm có tổng ta có đ1# + 622 + + Gndn > aya5? a2".In LờỜI GIẢI Phương pháp chứng minh sử dụng quy nạp Cauchw hoàn toàn tương tự với bất đẳng thức AM — GŒM thông thường Tuy nhiên trường hợp n = cần lời giải chi tiết Ta phải chứng minh #z + = vaa,b,2,y số thực không âm da + bụ> a”b% có Cách làm đơn giản bắt đẳng thức xét với số hữu tỉ chuyển - qua giới hạn Hiển nhiên z, y hữu tỉ tốn chứng minh theo bất đẳng thức AM —- GM cỗ điển ta + nb > (m + n)am/(m+n) pm/(m+n) Trong z = m/(m+n) => ar + by > a*b%, vay = n/(m+n) Con néu z, thực tồn dãy số hữu tỈ r„ —> 2, Sn, —> ,T„ + s„ = arn + bsy > ab" @ arg + b(1 — rạ) > aTnpLTTn, Chuyển qua giới hạn + — +00 ta a# + bụ > a*b# Đây điều phải chứng minh Cách chứng minh ban, va bạn chưa học giới hạn tạm chấp nhận bat đẳng thức với số z¡ hữu tỉ Lí đơn giản, để định nghĩa xác cho luỹ thừa với số mũ thực, buộc phải có định nghĩa giới hạn Các kiến thức sở giới hạn hàm liên tục định nghĩa chương trình tốn phổ thông lớp 11, 12 Chuong Bat đẳng thức sở Vi du 1.1.6 (IMO Shortlist 1998) 1, chứng ruinh bắt đẳng thức sau x + (1+ø/)1+z) Với z,, z số thực đương có tích y + (1+z)(1+z) z3 (1+z)(1+) >3 — LỜI GIẢI Sử dụng bat dang thtte AM — GM cho sé x ity (1+ y)(1+ 2) lz, ~ 4° Tương tự ta có bắt đẳng thức với y, z cộng lại suy x (1+z)1+z) Mặt khác z + y (1+z2)(1+z) z3 > z+U+z (1+z)(1+) + z > 3‡⁄Z9Z = nên ta có đpcm LÌ Ví dụ 1.1.7 (IMO Shortlist 1990) Giả sử ø, b, c, d số thực không âm thoả man ab + be + cd + da = Chitng minh a? b3 c3 a bectd *tcetdta’atbtd atbte >s ~ Lời GIẢI Sử dụng bất đẳng thức AM — GM cho số a3 b+etd a oy Fee ey b+c+d 18 b+c+d + b3 ct+dt+a 2a 12 3 bất đẳng thức với b, c, d sau cộng lại Hồn tồn tương tự ta có thêm a3 + at+b+d ad + atbt+e > a+b+c+d —= Chi ¥ ring ab + bc + cd + da = (a+ c)(b+ d) nén (atb+ct+d)? > 4(ab+be+cd+da)=4>at+b+e+d>2, Thay kết vào bất đẳng thức ta có đpem Đẳng thức xảy va chi Vi du Magazine) 1.1.8 (Komal a(atb)' | | Khia=b=c=d=1/2 + b(b+c) Chứng minh vdi moi a,b,c duong + > 27 c(c+a) — 2(a+b+c)2 ... Bat đẳng thức sở 1.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Holder 1.2.1 Định Bất lý 1.2 đẳng thức (Bất đẳng Cauchy-Schwarz thức ứng dụng Cauchy-Schwarz) a1, dạ, , Đồ Ðị, bạ, , bạ, ta ln có bất đẳng thức. .. a?t?c2 + 2abe Bất đẳng thức hiển nhiên đũng theo bất đẳng thức AM — GM abe < Đẳng thức xảy ø = bồ = c= Như nói, y quan sử dụng bất đẳng thức AM phải chọn hệ số ghép cặp để đẳng thức xảy ví dụ... ngược bất đẳng thức AM ~ ŒM, kĩ thuật ấn tượng bất ngờ Nếu khơng sử dụng phương pháp bất đẳng thức khó dài Từ bát đẳng thức trên, xây dựng bất đẳng thức tương tự với b, c cộng bắt đẳng thức lại