BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH F NGUYỄN THỊ THẾ NGHIÊN CỨU ĐỊNH TÍNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ NGẪU NHIÊN ITƠ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Vinh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH F NGUYỄN THỊ THẾ NGHIÊN CỨU ĐỊNH TÍNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ NGẪU NHIÊN ITÔ Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê Toán học Mã số: 62.46.01.06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Nguyễn Đình Cơng PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Vinh - 2012 i LỜI CAM ĐOAN Luận án hồn thành hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Đình Công PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án chưa công bố trước Tác giả Nguyễn Thị Thế ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Đình Cơng PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Tôi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, GS.TSKH Nguyễn Đình Cơng, người đặt tốn, hướng dẫn tận tình, chu đáo giúp tơi tiếp cận vấn đề nghiên cứu cách chủ động suốt q trình thực luận án Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, thầy thường xuyên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi để tập trung học tập, nghiên cứu Một phần luận án hồn thành thời gian tơi nhận học bổng Erasmus liên minh Châu Âu để sang học tập nghiên cứu Trung tâm Hệ động lực - Khoa Toán - TU Dresden - Đức, đứng đầu GS Stefan Siegmund Tôi xin gửi lời cảm ơn tới giáo sư Siegmund giúp đỡ, hướng dẫn suốt thời gian Đức Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Khoa Sau đại học, Ban Giám hiệu, phòng ban chức Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh; đặc biệt tạo điều kiện để tơi tham gia khóa thực tập sinh Đức Tôi xin cảm ơn đồng nghiệp Khoa Toán, Tổ Xác suất - Thống kê Toán ứng dụng gánh vác nhiệm vụ giảng dạy thay suốt thời gian dài Tôi xin cảm ơn thầy cô, bạn bè trao đổi, hỗ trợ, chia công việc sống Một lời cảm ơn đặc biệt xin dành cho thành viên đại gia đình tơi, người yêu thương thông cảm cho tơi i tơi chưa làm trịn trách nhiệm gia đình, người ln bên tơi lúc, nơi, thuận lợi lúc khó khăn Gia đình nơi tạo niềm tin nghị lực giúp tơi hồn thành luận án MỤC LỤC Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 13 1.1 Số mũ Lyapunov 13 1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô 16 1.2.1 Chuyển động Brown 16 1.2.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ 18 1.3 Phổ Lyapunov phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính khơng ơtơnơm 21 1.4 Tính qui Lyapunov phương trình vi phân đại số tuyến tính số 23 1.4.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tính số 23 1.4.2 Phương trình vi phân đại số liên hợp 26 1.4.3 Tính qui Lyapunov phương trình vi phân đại số Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itơ 2.1 Ví dụ mở đầu 29 31 31 2.2 Nghiệm phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itơ 32 2.3 Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô số 35 2.4 Kết luận chương 43 Phổ Lyapunov phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itơ tuyến tính số 44 3.1 Dịng ngẫu nhiên hai tham số cảm sinh 3.2 Phổ Lyapunov 44 47 3.3 Kết luận chương 61 Tính qui Lyapunov phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itơ tuyến tính số 62 4.1 Phương trình liên hợp phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itơ tuyến tính số 62 4.2 Chỉ số phương trình liên hợp 4.3 Tính qui Lyapunov 69 71 4.3.1 Phổ Lyapunov phương trình liên hợp 71 4.3.2 Tính qui Lyapunov 78 4.4 Kết luận chương 95 Kết luận chung kiến nghị 96 Danh mục cơng trình NCS liên quan đến luận án 98 Tài liệu tham khảo 99 BẢNG KÝ HIỆU N: Tập hợp số tự nhiên; R+ : [0, +∞); Rn : Khơng gian véc tơ Euclide n− chiều; Rd×n : Khơng gian d × n− ma trận thực; I : Ma trận đơn vị cấp n; x> : Chuyển vị véc tơ cột; |x| : Giá trị tuyệt đối số thực x; √ kxk = x> x chuẩn Euclide véc tơ x; C(X, Y )/C (X, Y ): Tập hàm liên tục/ khả vi liên tục từ miền X vào miền Y ; (Ω, F, P): Không gian xác suất; E: Kỳ vọng biến ngẫu nhiên; h.c.c : Hầu chắn; Gk : Đa tạp Grassmann gồm không gian véc tơ k− chiều Rn ; Φ|V : Hạn chế toán tử Φ lên tập V ; A∗ /A−1 : Ma trận liên hợp / nghịch đảo ma trận A; T rA: Vết ma trận A; kAk: Chuẩn toán tử ma trận A; ker A/ im A/ rank A : Tương ứng nhân/ ảnh/ hạng ma trận A; χ(h): Số mũ Lyapunov hàm h; kf k∞ = maxt∈[0,T ] |f (t)| với hàm liên tục f ∈ C([0, T ], R) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Trong khoa học kỹ thuật ứng dụng thực tiễn, có nhiều tốn dẫn đến nhu cầu cần nghiên cứu phương trình vi phân có tham gia nhiễu trắng Đó phương trình dạng x(t) ˙ = f (t, x(t)) + G(t, x(t))ξt , x(t0 ) = x0 , (1) đó, ξt “nhiễu trắng” (White noise) Chẳng hạn, năm 1908, nhà vật lý người Pháp Langevin nghiên cứu chuyển động hỗn loạn hạt chất lỏng đề cập tới phương trình x˙ t = −αxt + σξt , đây, x˙ t vận tốc hạt thời điểm t; α, σ số dương Thành phần σξt thể tác động lực vào va chạm ngẫu nhiên với phần tử chất lỏng ξt nhà vật lý gọi nhiễu trắng hiểu trình Gauss dừng với kỳ vọng mật độ phổ toàn đường thẳng (mật độ phổ biến đổi Fourier hàm tự tương quan) Quá trình khơng tồn theo nghĩa thơng thường, hàm tương quan lúc phải hàm Dirac delta Dựa vào đặc điểm này, nhiễu trắng thường dùng lý tưởng hóa nhiễu ngẫu nhiên mà thời điểm khác độc lập có thăng giáng rộng Q trình dạng có hàm mẫu khơng đâu khả vi, ta khơng thể xét (1) phương trình vi phân thường 1.2 Năm 1944, Kiyosi Itô công bố báo “Stochastic Integral” Proceedings of the Imperial Academy, Tokyo [49] Bài báo đem đến công cụ mới, chứng minh chặt chẽ mặt tốn học, cho tính tốn ngẫu nhiên, đáp ứng nhu cầu thực tiễn đề cập trước Trong báo này, Itơ giới thiệu loại tích phân cơng thức tiếng, sau mang tên ơng− Tích phân ngẫu nhiên Itô Công thức Itô Công thức Itô, công cụ tính tốn hàm ngẫu nhiên, có vai trị cơng thức Newton-Leibniz giải tích cổ điển Tích phân Itơ xây dựng dựa vào chuyển động Brown Do hầu chắn quĩ đạo chuyển động Brown có biến phân khơng bị chặn đoạn hữu hạn nên tích phân ngẫu nhiên Itơ khác hẳn với tích phân Riemann-Stieltjes giải tích cổ điển Sau báo tảng Itô, lý thuyết tích phân ngẫu nhiên Itơ nghiên cứu, phát triển mở rộng theo nhiều hướng khác Một áp dụng quan trọng tích phân ngẫu nhiên Itô dùng để phát triển đầy đủ lý thuyết quan trọng: Lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô, viết tắt PTVPNN Lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ đời đem đến cơng cụ chặt chẽ mặt tốn học, đáp ứng cho nhu cầu nghiên cứu phương trình vi phân có tham gia nhiễu trắng, mà phương trình Langevin trường hợp đặc biệt 1.3 Trong thực tiễn ứng dụng, có nhiều tốn, chẳng hạn mô tả hệ động lực, thiết kế mạch điện, lý thuyết điều khiển, nghiên cứu hệ học nhiều vật, phản ứng hóa học dẫn đến phải nghiên cứu hệ phương trình bị “ràng buộc đại số” số điều kiện Từ xuất nhu cầu nghiên cứu phương trình vi phân đại số, viết tắt PTVPĐS 1.4 Thực tế, ràng buộc đại số đặt lên hệ, hệ hoạt động khơng thể tránh khỏi bị ảnh hưởng nhiễu cách ngẫu nhiên Vì vậy, dẫn đến nhu cầu nghiên cứu tác động ngẫu nhiên lên hệ có ràng buộc đại số Khi mơ hình tốn học cho hệ vi phân đại số với nhiễu trắng, dẫn đến nghiên cứu phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô, viết tắt PTVPĐSNN ... phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itơ Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itơ xem mở rộng phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ phương trình vi phân đại số Các kết thu phương trình vi phân. .. cơng trình nghiên cứu phương trình vi phân đại số cơng trình nghiên cứu phương trình vi phân đại số tuyến tính thu nhiều kết Phương trình vi phân đại số tuyến tính thu tuyến tính hóa phương trình. .. Itơ phương trình vi phân đại số Bên cạnh phương trình vi phân thường (PTVP), phương trình vi phân đại số phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ nghiên cứu thu nhiều kết quả, phương trình vi phân đại