1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGA ĐỘ DÀI CÁC THƯƠNG SUY RỘNG CỦA MÔĐUN CÓ KIỂU ĐA THỨC NHỎ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2011 2 MỤC LỤC MỤC LỤC 0 1 MỞ ĐẦU 0 2 CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0 5 1.1. Phổ và giá của môđun 0 5 1.2. Vành Noether 0 6 1.3. Iđêan nguyên tố liên kết 0 6 1.4. Sự phân tích nguyên sơ của môđun 0 7 1.5. Chiều Krull của môđun 0 8 1.6. Hệ tham số của môđun 09 1.7. Số bội 1 0 1.8. Dãy chính qui và độ sâu 12 1.9. Môđun đối đồng điều địa phương 12 1.10. Phức đối ngẫu 14 1.11. Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng 15 1.12. Biểu diễn thứ cấp 16 CHƯƠNG 2. ĐỘ DÀI THƯƠNG SUY RỘNG CỦA MÔĐUN CÓ KIỂU ĐA THỨC NHỎ 1 8 2.1. Kiểu đa thức của môđun 1 8 2.2. Hàm độ dài thương suy rộng và bất biến ( )pf M 22 2.3. Độ dài thương suy rộng của môđun có kiểu đa thức nhỏ 25 KẾT LUẬN 34 3 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Cho ( , )R m là một vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất ;m M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull là d ; 1 ( , ., ) d x x x= là một hệ tham số của ;M 1 ( , ., ) d n n n= là bộ gồm d số nguyên dương. Xét 1 1 1 1 ( ; ) ( /( , ., ) ) . ( , ., ; ) d n n M d d d I n x M x x M n n e x x M= −l như là một hàm theo các biến 1 ( , ., ), d n n n= trong đó ( ; )e x M là số bội của M đối với hệ tham số x . Năm 1992, Nguyễn Tự Cường [3] đã chứng minh được rằng bậc nhỏ nhất của các đa thức theo các biến 1 , ., d n n chặn trên hàm ( ; ) M I n x là độc lập với việc chọn hệ tham số .x Bậc bé nhất này là một bất biến của môđun ,M ký hiệu là ( )p M và gọi là kiểu đa thức của .M Bất biến này cho ta một cách phân loại các lớp môđun trên vành địa phương. Chẳng hạn, M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi ( )p M =− ∞ ; M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi ( ) 0p M ≤ . Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ; . ; , M d x M J x n n n e x M q n= − trong đó ; ( ) x M q n là độ dài của thương suy rộng 1 1 1/( , ., ,1). d n n d x x Xét ( ) ( ) M J x n như là một hàm của các biến nguyên dương 1 ( , ., ) d n n n= . 4 Năm 1985, R. Y. Sharp và M. A. Hamieh [8] đã đặt ra câu hỏi: độ dài của thương suy rộng 1 1 1/( , ., ,1) d n n d x x (một cách tương tương đương là hàm ( ) ( ) M J x n có là đa thức theo n khi n đủ lớn? Năm 2000, mặc dù chưa trả lời được hàm ( ) ( ) M J x n có phải là đa thức theo n hay không nhưng N. T. Cường và N. Đ. Minh [4] đã chỉ ra rằng hàm ( ) ( ) M J x n luôn nhận giá trị không âm và bị chặn trên bởi những đa thức và bậc nhỏ nhất của các đa thức theo các biến 1 , ., d n n chặn trên hàm ( ) ( ) M J x n là độc lập với việc chọn hệ tham số .x Bậc bé nhất này là một bất biến của môđun ,M ký hiệu là ( ).pf M Bất biến này cho ta một cách phân loại khác các lớp môđun trên vành địa phương. Chẳng hạn, M là môđun giả Cohen-Macaulay khi và chỉ khi pf(M) = - ; ∞ M là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi pf(M) ≤ 0. Năm 2003, ngoài việc chỉ ra ví dụ cụ thể chứng tỏ rằng ( ) ( ) M J x n không phải là đa thức theo n khi n đủ lớn, N. T. Cường, M. Morales và L. T. Nhàn [5] còn chỉ ra kết quả: nếu ( ) 3p M ≤ và pf(M) > 0 thì luôn tồn tại hệ tham số x để ( ) ( ) M J x n không là đa thức theo n. Mục đích của luận văn là trình bày lại kết quả nói trên của N. T. Cường, M. Morales và L. T. Nhàn trong [5]. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 2 chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cở sở có sử dụng trong luận văn nhằm làm cơ sở cho việc trình bày Chương 2 như: phổ và giá của môđun, vành Noether, iđêan nguyên tố liên kết, sự phân tích nguyên sơ của môđun, chiều Krull của môđun, hệ 5 tham số của môđun, số bội, dãy chính quy và độ sâu, phức đối ngẫu, đối đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay… Chương 2: Độ dài thương suy rộng của môđun có kiểu đa thức nhỏ. Chương này trình bày về khái niệm và một số tính chất của kiểu đa thức ( ),p M khái niệm môđun thương suy rộng và câu hỏi của Sharp và Hamieh [8] về độ dài thương suy rộng. Từ đó chúng tôi trình bày kết quả của N. T. Cường, M. Morales và L. T. Nhàn trong [5] nói rằng: nếu p(M) ≤ 3 và ( ) 0pf M > thì luôn tồn tại hệ tham số x để ( ) ( ) M J x n không là đa thức theo n . Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn trân trọng đến cô cùng các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. 6 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này sẽ trình bày một số khái niệm cơ sở có sử dụng trong luận văn như: phổ và giá của môđun, vành Noether, iđêan nguyên tố liên kết, sự phân tích nguyên sơ của môđun, chiều Krull của môđun, hệ tham số của môđun, số bội, dãy chính quy và độ sâu, phức đối ngẫu, đối đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay… 1.1. Phổ và giá của môđun 1.1.1. Phổ và vành. Kí hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành .R Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R . Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu { } ( ) P I .V I P SpecR= ∈ ⊇ 1.1.2. Giá của môđun. Tập con { } = 0 . P Supp M P Spec R M∈ ≠ của SpecR được gọi là giá của môđun .M Với mỗi x M∈ ta kí hiệu { } ( ) 0 ; R Ann x a R ax= ∈ = { } { } 0 0, . R Ann M a R aM a R ax x M= ∈ = = ∈ = ∀ ∈ Ta có ( ) R Ann x và R Ann M (hoặc ( )Ann x và Ann M nếu không để ý đến vành R ) là những iđêan của vành ,R R Ann M được gọi là linh hóa tử của môđun .M Hơn nữa, nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì 7 { } = ( ) . R R Supp M V Ann M P Spec R Ann M P= ∈ ⊆ 1.2. Vành Noether 1.2.1. Định nghĩa. Vành R được gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng các iđêan trong R đều dừng, nghĩa là nếu 0 1 1 . . n n I I I I + ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ là một dãy tăng các iđêan trong R thì tồn tại một số tự nhiên n sao cho 1 . n n I I + = = Chú ý: Vành R là vành Noether khi và chỉ khi mọi iđêan trong vành R đều hữu hạn sinh. 1.2.2. Ví dụ (i) Vành các số nguyên ¢ là vành Noether vì mọi iđêan của ¢ có dạng ( )m m∈¢ ¢ có nghĩa là mọi iđêan của ¢ đều hữu hạn sinh (sinh bởi một phần tử). (ii) Mọi trường X đều là vành Noether. Do trường X bất kỳ chỉ có hai iđêan là { } 0 và .X Vậy dãy tăng các iđêan chỉ là { } 0 X⊂ suy ra dãy dừng hoặc mọi iđêan đều hữu hạn sinh vì { } 0 0 , 1 .X= = 1.3. Iđêan nguyên tố liên kết 1.3.1. Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Ta gọi iđêan nguyên tố P của R là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử ,x M∈ 0x ≠ sao cho (0: ) ( ). R R P x Ann x= = Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là R Ass M (hoặc Ass M nếu không để ý đến vành R ). 8 { = = ( ) Ass M P Spec R P Ann x∈ với } .x M∈ 1.3.2. Tính chất. (i) Cho M là một R-môđun và P là iđêan nguyên tố liên kết của M khi và chỉ khi tồn tại một môđun con Q của M sao cho / .Q R P≅ (ii) Gọi { } ( ) Ann x x M= ∈ ∑ khi đó nếu P là phần tử tối đại của ∑ thì P là iđêan nguyên tố liên kết của .M (iii) R là vành Noether và M là R-môđun. Khi đó, Ass M ≠ ∅ khi và chỉ khi 0M ≠ . Hơn nữa, nếu M là R-môđun Noether thì tập Ass M là tập hữu hạn. (iv) Cho M là R-môđun. N là môđun con của M thì Ass N Ass M⊆ . (v) Cho M là R-môđun. Khi đó .Ass M Supp M⊆ Nếu P Supp M∈ và P tối tiểu trong Supp M theo quan hệ bao hàm thì .P AssM∈ 1.3.3. Bổ đề. Giả sử 0 0M M M ′ ′′ → → → → là một dãy khớp ngắn các R- môđun. Khi đó: (i) ;Ass M Ass M Ass M Ass M ′ ′ ′′ ⊆ ⊆ ∪ (ii) .Supp M Supp M Supp M ′ ′′ = ∪ 1.4. Sự phân tích nguyên sơ của môđun 1.4.1. Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán và M là R-môđun. (i) Môđun con N M≠ của M được gọi nguyên sơ nếu tồn tại một iđêan nguyên tố p của R sao cho { } ( / )Ass M N p= . Khi đó ta cũng nói N là p− nguyên sơ. (ii) Cho N là môđun con của mô đun .M Một phân tích nguyên sơ của N là một biểu diễn 1 2 . n N M M M= ∩ ∩ ∩ trong đó i M là các môđun 9 con i p − nguyên sơ của .M Phân tích trên được gọi là thu gọn nếu i p là các đôi một phân biệt và không có i M nào thừa. 1.4.2. Chú ý. Nếu 1 M và 2 M là các môđun con p− nguyên sơ của M thì 1 2 M M∩ cũng là môđun con p− nguyên sơ của M. Vì thế mọi phân tích nguyên sơ của môđun đều có thể thu gọn được. Định lý sau khẳng định sự tồn tại phân tích nguyên sơ của mọi môđun con của môđun Noether và tập các iđêan nguyên tố liên kết có thể được xác định thông qua một phân tích nguyên sơ thu gọn. 1.4.3. Định lý. Cho M là R-môđun Noether và N là môđun con của M. Khi đó: (i) N có sự phân tích nguyên sơ thu gọn; (ii) Nếu 1 2 . n N N N N= ∩ ∩ ∩ và 1 2 . n N N N N ′ ′ ′ = ∩ ∩ ∩ là hai phân tích nguyên sơ thu gọn của N trong đó i N là i p − nguyên sơ, 1,2, .,i n= và i N ′ là i p ′ − nguyên sơ, 1,2, .,i m= thì n m= và { } { } 1 1 , ., , ., . n n p p p p ′ ′ = Vì thế { } 1 , ., n p p không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn của .N Hơn nữa ta có { } 1 , ., ( / ); n p p Ass M N= (iii) Cho 1 2 . d N N N N= ∩ ∩ ∩ trong đó, i N là i p − nguyên sơ, 1,2, .,i n= là phân tích nguyên sơ thu gọn của N. Nếu i p là phần tử tối tiểu trong tập ( / )Ass M N thì môđun con i N tương ứng không phụ thuộc vào sự phân tích nguyên sơ thu gọn của N. 1.5. Chiều Krull của môđun 1.5.1. Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của R : 0 1 2 . n P P P P⊃ ⊃ ⊃ ⊃ được gọi là một xích nguyên tố có độ dài bằng n . 10 (i) Cho P Spec R∈ . Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với 0 P P= được gọi là độ cao của ,P ký hiệu là ( ).ht P Nghĩa là ( )ht P Sup= {độ dài các xích nguyên tố với 0 P P= }. Cho I là một iđêan của R khi đó ta định nghĩa. ( ) { ( ) , }.ht I inf ht P P Spec R P I= ∈ ⊇ (ii) Cận trên của tất cả độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành ,R ký hiệu là .dim R Ta có { ( ) }.dim R sup ht P P Spec R= ∈ (iii) Cho M là một R-môđun. Khi đó ( / ) R dim R Ann M được gọi là chiều Krull của môđun ,M ký hiệu là R dim M (hoặc dim M nếu không để ý đến vành R ). Như vậy, dim R có thể vô hạn do ( )ht P có thể vô hạn và .dim M dim R≤ 1.6. Hệ tham số của môđun Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan tối đại duy nhất là m; M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull > 0dim M d= . (i) Một hệ gồm d phần tử 1 : ( , ., ) d x x x= của m được gọi là một hệ tham số của M nếu 1 ( /( , . ) ) R d M x x M < ∞l . ( ( )∗l là kí hiệu độ dài của R- môđun). (ii) Nếu 1 : ( , ., ) d x x x= là một hệ tham số của môđun M thì hệ các phần tử 1 ( , ., ) i x x được gọi là một phần hệ tham số với mọi 1,2, ., .i d= (iii) Iđêan q được sinh bởi một hệ tham số 1 : ( , ., ) d x x x= được gọi là iđêan tham số của M với 1 ( , ., ) . d q x x R=