Trờng đại hoc vinh Khoa toán Dạy học số nội dung chủ đề giới hạn thông qua việc tổ chức hoạt động toán học cho học sinh lớp 11 thpt Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: lý luận phơng pháp dạy học môn toán Mà số: 60.14.10 Thầy giáo hớng dẫn: Ts: chu trọng Nguyễn thị hờng lớp 42a2 khoa toán Vinh 2005 Trang Phần I Mở đầu Phần II Nội Dung Chơng I Cơ sở lý luận thực tiễn I.1 Hoạt động I.1.1 Sơ lợc hoạt động I.1.2 Cấu tạo tính chất hoạt động I.1.3 Hoạt động ý thức I.1.4 Kết luận I.2 Phơng pháp tiếp cận hoạt động dạy học I.2.1 Phơng pháp tiếp cận hoạt động I.2.2 Vận dụng phơng pháp tiếp cận hoạt động vào dạy học I.3 Nhu cầu định hớng đổi phơng pháp dạy học 10 I.4 Xu hớng tổ chức hoạt động dạy học toán 11 I.4.1 Hoạt động dạy học toán 11 I.4.2 Các thành tố sở PPDH hoạt động dạy học toán 12 I.4.3 Dạy học toán theo hớng tổ chức hoạt động toán học I.5 Thực tiễn dạy học chủ đề giới hạn trờng THPT 17 18 I.5.1 VÞ trÝ cđa kiÕn thøc giới hạn chơng trình sách giáo khoa hành 18 I.5.2 Thực tiễn dạy học chủ đề giới hạn trờng phổ thông 19 Kết luận chơng I 20 Chơng II Dạy học chủ đề giới hạn thông qua việc tổ chức 21 hoạt động toán học cho học sinh II.1 Xây dựng hệ thống hoạt động sở để tổ chức dạy học II.1.1 Hoạt động với dÃy số 21 21 II.1.2 Hoạt động víi c¸c biĨu thøc to¸n häc II.2 Tỉ chøc c¸c hoạt động mà trọng tâm hoạt động sở 25 30 để dạy học chủ đề giới h¹n II.2.1 D¹y häc néi dung “giíi h¹n d·y sè” 31 II.2.2 Dạy học nội dung giới hạn hàm số 40 KÕt ln ch¬ng II 51 Ch¬ng III Thùc nghiƯm s phạm 52 III.1 Mục đích thực nghiệm 52 III.2 Néi dung thùc nghiƯm 52 III.3 KÕt qu¶ thùc nghiƯm 55 Phần III Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Phần I mở đầu I Lý chọn đề tài Đổi nội dung phơng pháp dạy học nhu cầu cấp thiết giáo dục nớc ta Bộ giáo dục đào tạo đà đẩy mạnh vận động đổi phơng pháp dạy học tất cấp học, ngành học năm ngần đây, với t tởng chủ đạo đợc phát biểu dới nhiều hình thức khác nh: lấy ngời học làm trung tâm, hoạt động ho¸ ngêi häc”, “ph¸t huy tÝnh tÝch cùc”, “tÝch cùc hoá hoạt động học tập Những ý tởng bao hàm yếu tố tích cực có tác dụng thúc đẩy đổi phơng pháp dạy học (ppdh) nhằm nâng cao hiệu giáo dục đào tạo Thích hợp với định hớng số xu hớng dạy học không truyền thống nh: Dạy học phát giải vấn đề, dạy học áp dụng lý thuyết tình huống, dạy học hoạt động hóa, dạy học chơng trình hoá Trong khoá luận chọn ppdh thông qua việc tổ chức hoạt động phơng pháp có tác dụng lớn việc hoạt động hoá ngời học, góp phần phát huy tính tích cực sáng tạo cho học sinh, phù hợp với quan điểm tâm lý học giáo dục học cho ngời phát triển hoạt động học tập diễn hoạt động Trong chơng trình toán THPT chủ đề giới hạn nội dung khó lạ Những kiến thức giới hạn đòi hỏi học sinh trình độ suy luận khả nhận thức vấn đề trừu tợng Để khắc phục giảm bớt khó khăn giúp học sinh tiếp thu vận dụng đợc nội dung này, ngời giáo viên phải có biện pháp s phạm hợp lý mà điều quan trọng tổ chức điều khiển cho học sinh tự giác, tích cực tham gia vào hoạt động toán học cần thiết Vì lý chọn đề tài: Dạy học số nội dung chủ đề giới hạn thông qua việc tổ chức hoạt động toán học cho học sinh lớp 11 THPT II Mục đích nghiên cứu 1.Xây dựng hệ thống hoạt động để tổ chức dạy học số nộ i dung chủ đề giới hạn Nâng cao hiệu dạy học chủ đề giới hạn thông qua việc tích cực hoá hoạt động học sinh III Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu ý tởng lý thuyết hoạt động, phơng pháp tiếp cận hoạt động tâm lý học đại Vận dụng phơng pháp tiếp cận hoạt động vào dạy học chủ đề giới hạn Thực nghiệm s phạm kiểm tra tính khả thi hiệu phơng pháp dạy học đà đề xuất chủ đề giới hạn IV Giả thuyết khoa học Nếu dạy học chủ đề giới hạn theo hớng tổ chức hoạt động toán học cho học sinh nâng cao đợc hiệu dạy học, đáp ứng yêu cầu đổi phơng pháp dạy học toán V phơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách khoa học toán, giáo dục học, tâm lý học phục vụ đề tài Quan sát: Dự giờ, quan sát việc dạy giáo viên việc học học sinh ë trêng phỉ th«ng Thùc nghiƯm s pham: Tổ chức thực nghiệm nhằm kiểm chứng giả thuyết, đánh gía tính khả thi hiệu việc vận dụng biện pháp đà đề xuất VI cấu trúc luận văn Phần I Mở đầu - Lý chọn đề tài - Mục đích nghiên cứu - Nhiệm vụ nghiên cứu - Giả thiết khoa học - Phơng pháp nghiên cứu Phần II Nội Dung Chơng I Cơ sở lý luận thực tiễn I.1 Hoạt động I.1.1 Sơ lợc hoạt động I.1.2 Cấu tạo tính chất hoạt động I.1.3 Hoạt động ý thức I.1.4 Kết luận I.2 Phơng pháp tiếp cận hoạt động dạy học I.2.1 Phơng pháp tiếp cận hoạt động I.2.2 Vận dụng phơng pháp tiếp cận hoạt động vào dạy học I.3 Nhu cầu định hớng đổi phơng pháp dạy học I.4 Xu hớng tổ chức hoạt động dạy học toán I.4.1 Hoạt động dạy học toán I.4.2 Các thành tố sở PPDH hoạt động dạy học toán I.4.3 Dạy học toán theo hớng tổ chức hoạt động toán học I.5 Thực tiễn dạy học chủ đề giới hạn trêng THPT hiƯn I.5.1 VÞ trÝ cđa kiÕn thøc giới hạn chơng trình sách giáo khoa hành I.5.2 Thực tiễn dạy học chủ đề giới hạn trờng phổ thông Chơng II Dạy học chủ đề giới hạn thông qua việc tổ chức hoạt động toán học cho học sinh II.1 Xây dựng hệ thống hoạt động sở để tổ chức dạy học II.1.1 Hoạt động với dÃy số II.1.2 Hoạt động víi c¸c biĨu thøc to¸n häc II.2 Tỉ chøc c¸c hoạt động mà trọng tâm hoạt động sở để dạy học chủ đề giới hạn II.2.1 Dạy häc néi dung “giíi h¹n d·y sè” II.2.2 D¹y häc nội dung giới hạn hàm số Chơng III Thực nghiệm s phạm III.1 Mục đích thực nghiệm III.2 Nội dung thực nghiệm III.3 Kết thực nghiệm Phần III Kết luận Phần II Nội dung Chơng I Cơ sở lý luận thực tiễn I.1 Hoạt động I.1.1 Sơ lợc hoạt động Hoạt động phơng thức tồn ngời, dòng hoạt động tạo nªn cc sèng cđa ngêi TriÕt häc Max – xít coi hoạt động trình đa chủ thể vào thực tiễn ngợc lại trình đa hoạt động thành chủ thể trình sáng tạo chủ thể trình lĩnh hội toàn có thực xung quanh cần cho sống với t cách tồn xà hội chủ thể Chính trình quy định toàn nội dung vận hành tâm lý Hoạt động đợc xem nh vận động tạo thành tâm lý, ý thức, nhân cách, vận động gắn chủ thể hoạt động với giới đối tợng xung quanh I.1.2 Cấu tạo tính chất hoạt động a Cấu tạo hoạt động Lý thuyết tâm lý học đại cơng hoạt động xuất phát từ quan điểm vật lịch sử cho ngời thực tác động qua lại với thực xung quanh hoạt động bao gồm trình lĩnh hội kinh nghiệm xà hội lịch sử trình sáng tạo giới đối tợng, không xem hoạt động ngời chuỗi phản ứng, chuỗi cử động Mà xem hoạt động ngời đơn vị sống Cấu trúc vĩ mô hoạt động đà đợc A.N Lêonchiep mô tả tác phẩm ngời tiếp sau ông nh P.Ia Galpêril, Đ.B Elcônin, V.V Đavđov, đà có đóng góp to lớn việc tờng minh hóa vấn đề lý thuyết hoạt động vào giáo dục Một quan điểm lý thuyết hoạt động A.N Lêonchiep phân tích cấu trúc vĩ mô hoạt động hoạt động nhằm vào đối tợng cụ thể, đối tợng hoạt động động thực hoạt động Nh khái niệm hoạt động gắn liền với khái niệm động cách tất yếu Không có hoạt động động Hoạt động không động hoạt động thiếu động mà hoạt động với động ẩn dấu mặt chủ quan mặt khách quan Thành phần hợp thành hoạt động riêng rẽ ngời hành động thực hoạt động Hành động trình bị chi phối biểu tợng kết phải đạt đợc nghĩa trình nhằm mục đích đợc ý thức Đối tợng mà hành động nhằm vào gọi mục đích hành động, mục đích đối tợng cần chiếm lĩnh Đồng thời hành động giải đáp nhiệm vụ định, nhiệm vụ mục đích đợc đề điều kiện định Vì hành động có chất lợng đặc biệt, yếu tố cấu thành đặc biệt phơng thức thực hành động gọi thao tác Tóm lại dòng diễn biến chung hoạt động Lêonchiep viết phân tích đà tách ra, hoạt động riêng rẽ theo động kích thích chúng, tiếp hành động trình tuân theo mục đích có ý thức, cuối thao tác phụ thuộc trực tiếp vào điều kiện để đạt mục đích cụ thể Chính đơn vị tạo thành cấu trúc vĩ mô hoạt động b Tính chất hoạt động Hoạt động có hai tính chất tính đối tợng tính chủ thể Hai tính chất tảng phạm trù hoạt động Không có hai tính chất phạm trù không tồn + Tính đối tợng: Hoạt động hoạt động có đối tợng, trình ngời tác động vào khách thể Chẳng hạn hoạt động học tập nhằm vào tri thức, kĩ năng, kĩ xảo để hiểu biết, tiếp thu vào vốn liếng kinh nghiệm thân tức lĩnh hội chúng Đối tợng hoạt động dạy học nhằm hình thành phát triển nhân cách ngời học Do đặc điểm hoạt động ta hiểu khái niệm hoạt động hàm ý hoạt động có đối tợng + Tính chủ thể: Hoạt động có đối tợng thực mối liên hệ chủ thể giới xung quanh hoạt động có chủ thể, chủ thể tiến hành Giáo viên chủ thể hoạt động dạy, học sinh chủ thể hoạt động học Trong hoạt động dạy học, thầy tổ chức điều khiển hoạt động trò, trò thực hoạt động để đến hình thành nhân cách, thầy trò chủ thể hoạt động dạy học Điểm bật tính chủ thể tính tự giác tính tích cực I.1.3 Hoạt động ý thức ý thức hình thành vận hành trình chuyển hoá qua lại chủ thể khách thể Các trình đợc thực hoạt động chủ thể Nh ý thức sinh hoạt động phục vụ hoạt động, ý thức tâm lý ngời mang tính chất tích cực Hoạt động ý thức hai mặt vấn đề, chúng hợp thành thể thống Từ luận điểm X.L Rubinstêin đà đến khẳng định nguyên lý ý thức hoạt động có quan hệ qua lại quy định lẫn Theo nguyên lý này, hoạt động ngời quy định hình thành ý thức, tâm lý ngời Ngợc lại ý thức, tâm lý điều chỉnh hoạt động ngời điều kiện thực tơng ứng hoạt động I.1.4 Kết luận Từ phân tích giúp nhận đợc ý nghĩa vô quan trọng trình giáo dục dó là: Bản chất tri thức hoạt động, trình giáo dục trình tổ chức cho học sinh hoạt động theo mục đích đà định Đó trình giúp học sinh chuyển ý, thao tác bên vào t bên trong, biến thao tác thành kỹ năng, lực I.2 Phơng pháp tiếp cận hoạt động dạy học I.2.1 Phơng pháp tiếp cận hoạt động Vận dụng lý thuyết hoạt động vào nghiên cứu lý giải hình thành phát triển tâm lý ngời gọi phơng pháp tiếp cận hoạt động Có thể nói vắn tắt phơng pháp tiếp cận hoạt động nh sau: - Hoạt động đợc xem quy luật chung tâm lý häc ngêi – Con ngêi lµ chđ thĨ cđa hoạt động 10 Sau phát biểu thừa nhận định lý, cần tổ chức hoạt động để củng cố định lý a Hoạt động ngôn ngữ - Để học sinh hiểu đợc nội dung định lý cần vạch rõ cấu trúc định lý, nêu rõ giả thiết, kết luận, ý nghĩa định lý - Yêu cầu học sinh phát biểu lại định lý lời lẽ biết cách diễn đạt lại định lý dới dạng ngôn ngữ khác b.Khái quát hoá, đặc biệt hoá Ví dụ Từ định lý ta mở rộng cho k d·y (k ≥ , k∈ N) lim( u1n + u 2n + + u kn ) = lim u1n +lim u 2n + + lim u kn Tuỳ toán mà đặc biệt hoá với k giá trị c.Nhận dạng thể định lý Việc vận dụng định lý thể toán: - Chứng minh tồn không tồn giới hạn dÃy số - Tìm giới hạn dÃy số - Tính tổng cấp số nhân vô hạn có công bội q với q < Giáo viên nên phân tách hoạt động thành hoạt động thành phần, trọng đến hoạt động sở đồng thời kết hợp với thao tác nh phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá để tổ chức hoạt động học sinh Ví dụ Tính lim n k (k N*) Hoạt động 1: Đặc biệt hoá với k = lim =0 n Hoạt động 2: Phân tích biểu thức nk = 11 nn n (k sè hạng, k 2) Hoạt động 3: Trên sở khái quát hoá định lý lim (un vn) = lim un lim tõ ®èi víi hai d·y (un), (vn) thành k dÃy tức giới hạn tích k dÃy số tích giới hạn k dÃy số Thực phân tích 36 lim 1  1 1 = lim  = lim lim lim = k n n n  n n n n ( có k số hạng) Hoạt động 4: Tổng hợp hoạt động ta có lim n k = 0( k ∈ N *) n + 3n − - n) VÝ dô TÝnh lim ( Hoạt động 1: Giáo viên thông báo phơng pháp để tính giới hạn cách tờng minh cần phải nhân chia biểu thức ( n + 3n − - n) víi biĨu thøc liên hợp lim ( n + 3n − - n) = lim = lim 2 n + 3n − − n n + 3n − + n 3n − n + 3n − + n   3n Hoạt động Chia tử mÉu cđa biĨu thøc   + 3n − + n  cho n  n  lim Hoạt động Ta có lim lim 3n n + 3n − + n n k = lim 1+ n − n n2 = (k N*) đặc biệt hoá víi k = 1, k = 2: = lim = n n vµ lim 37 n =0 Hoạt động Phân tích giới hạn biểu thức cần tính thành giới hạn biểu thức đơn giản cách áp dụng định lý phép toán giới hạn lim 1+ n − n n2 = 3−0 = +1 VËy lim ( n + 3n − − n) = VÝ dô Tìm lim sin n n Hoạt động H·y nhËn xÐt vÒ d·y sè un = sin n ? - ≤ sin n ≤ ∀ ∈ N* n dÃy un = sin n dÃy bị chặn Hoạt động DÃy số sin n n nhận giá trị nh nào? sin n ≤ ≤ n n n (*) ∀ ∈ N* n Hoạt động Từ bất đẳng thức (*) gợi cho sử dụng định lý để tìm giới hạn dÃy sin n n Sử dụng ®Þnh lý 4, tõ lim (- 1 ) = lim = n n => lim sin n =0 n Hớng tổ chức hoạt động ví dụ tập cho học sinh phát giải vấn đề Dạy học phát giải vấn dề xu hớng không truyền thèng cã t¸c dơng rÊt lín viƯc tÝch cùc hoá hoạt động học sinh, từ học sinh lĩnh hội khắc sâu kiến thức Ví dụ Tính tổng cấp số nhân vô hạn có công bội q với q < Hoạt động Giả sử (un) cấp số nhân vô hạn cã c«ng béi q víi q < TÝnh tỉng Sn n số hạng đầu qn Sn = u1 q Hoạt động Khi n lim Sn bao nhiêu? 38 − qn lim Sn = lim u1 q (1) Hoạt động 2.1 Thực phân tích − qn u1 u1 n q u1 − q = − q - − q (2) Hoạt động 2.2 Tổng hợp ( 1) (2) lim Sn = lim ( V× q < u1 u1 u1 u1 n - lim lim q n q ) = lim 1− q 1− q 1− q 1− q nªn lim q n = => lim Sn = lim u1 u1 = 1− q 1− q Ho¹t động Hoạt động ngôn ngữ Giáo viên thông báo cho học sinh: Giới hạn Sn đợc gọi tổng cấp số nhân vô hạn có công bội q víi q < KÝ hiƯu S = u1 + u2 +…+ un + … = u1 1− q Trên ví dụ khai thác số ứng dụng định lý giới hạn dÃy số Trong dạy học giáo viên nên đa nhiều ví dụ đa dạng cho học sinh giúp học sinh hiểu đợc nội dung, ý nghĩa định lý vận dụng linh hoạt vào toán Mở rộng khái niệm giới hạn dÃy số DÃy số dần tới vô cực khái niệm mở rộng từ giới hạn dÃy số Để dạy khái niệm ta cho học sinh bắt đầu hoạt động quan sát đến hoạt động ngôn ngữ, hoạt động nhận dạng vận dụng định lý Hoạt động Quan sát số dÃy só sau chúng có đặc điểm chung? un = n un = n2 + 5n + un = (- 1)n 3n 39 Đặc điểm chung: Các dÃy số không bị chặn, n lớn u n lớn, lớn tuỳ ý miễn chọn n đủ lớn Hoạt động Hoạt động ngôn ngữ Giáo viên thông báo: Những d·y sè cã tÝnh chÊt trªn ta nãi r»ng d·y số dần tới vô cực Sau yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa tổng quát Cần phải nhấn mạnh cho học sinh dÃy (u n) dÃy không bị chặn nên giới hạn, không đợc áp dụng định lý giới hạn dÃy số đà trình bày Hoạt động Hoạt động nhận dạng Chứng minh dÃy số sau dần tíi v« cùc: un = n cos π n un = (-1)n + n2 ViÖc chøng minh đợc thực dựa vào định nghĩa Ta có un = n > M M ∀ > 0, M lín t ý Chän sè tù nhiªn N ≥ M, ®ã ∀ > N ta cã un > M tøc lµ n lim n cos π n = Ta cã => n > ∞ ∀ > 0, M lín tuú ý M un = n2 > M M Chän sè tù nhiªn N ≥ => lim [(-1)n +1 n2] = M > N n un > M ∞ Trong mơc nµy cịng chó ý cho học sinh định lý sau: Nếu lim un = (un ≠ 0, ∀ ∈ N*) th× lim n Ngợc lại lim un = lim un un = ∞ = Nh vËy dạy học nội dung giới hạn dÃy số cần hớng hoạt động vào hai việc cở hình thành khái niệm giới hạn vận dụng ®Þnh lý ®Ĩ häc sinh hiĨu râ vỊ néi dung này, tạo tiền đề để dạy học giới hạn hàm số Bài tập củng cố Bài áp dụng định nghĩa để chứng minh 40 lim lim n =1 n +1 lim =0 n +1 3n + = 2n − Bài Tính giới hạn sau n + 2n lim n + 2n + lim ( n n −4 lim n n +4 lim lim lim ( 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) ) n + n + − n) sin n + cos n n +1 + + + + (2n − 1) lim 2n 1 n2 + − n2 + lim n ( n + n − n ) Bµi Chøng minh r»ng lim an = a th× lim an = a Bài Cho dÃy số (un) xác định u1 = 0; u2 = un + = a Chøng minh r»ng un + = - u n + + u n ( ∀ ∈ N) n un + b Xác định công thøc tÝnh un theo n Suy lim un II.2.2 Dạy học nội dung giới hạn hàm số Việc dạy học giới hạn hàm số tơng tự nh việc dạy học dÃy số, dạy học cần phải tạo đợc liên hệ nội dung kiến thức dÃy hàm để học sinh từ kiÕn thøc ®· biÕt lÜnh héi kiÕn thøc vỊ giíi hạn hàm số dễ dàng Dạy học giới hạn hàm số phải đạt đợc mục đích sau đây: - Làm cho học sinh hiểu rõ khái niệm giới hạn hàm số 41 - Làm cho học sinh nắm đợc nội dung định lý, vận dụng vào toán cụ thể - Học sinh có kĩ tính giới hạn dạng vô định đà quy định chơng trình Để đạt đợc mục đích việc tổ chức hoạt động giáo viên phải hiệu quả, tích cực hoá đợc hoạt động học sinh Đối với nội dung này, ta thực hoạt động sau: Hình thành khái niệm giới hạn hàm số Hoạt động Giáo viên đa toán: Cho hàm sè y = 2x + 1, cho biÕt lim xn = t×m lim yn VËn dơng kiÕn thøc tõ học trớc, học sinh tìm kết qu¶ lim yn = lim (2xn + 1) = lim xn + = Hoạt động Đặt vấn đề Ta thấy ví dụ (xn) thuộc tập xác định hàm số cho hàm số y = f(x), dÃy (xn ) a mà a không thuộc tập xác định hàm số này, dÃy (yn) tơng ứng có giới hạn không? x Hoạt động 2.1 Cho hµm sè f(x) = x −1 x → 1, f(x) không xác định điểm f(x) dần đâu? Hoạt động 2.2 Hình thành khái niệm Trên trục số ta xác định số điểm dần tới từ phía bên phải phía bên tr¸i 0,5 0,9 0,99 1,01 1,2 0,7 1,5 Lóc giá trị tơng ứng f(x) thay đổi nh nào? Quan sát bảng sau x 0,5 0,8 0,9 0,99 0,999 1,001 1,01 1,1 1,2 1,5 f(x) 1,5 1,8 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2,2 2,5 42 Căn vào bảng ta thấy x dần đến giá trị tơng ứng f(x) dần đến Hoạt động 2.3 Tổng quát hoá Trên lấy giá trị x øng víi hai d·y sè (x n) → 1, nÕu dÃy (xn) dần tới dÃy (f(xn)) dần tới đâu? Ta có lim f(xn) = lim x n − = lim x + = n −1 xn ( ∀ ∈ N*) mµ xn → th× f(xn) → n VËy mäi d·y sè (xn) cho xn ≠ x − dần tới hay có giới hạn 2 Ta nói x dần tới hàm số x Hoạt động 2.4 Hoạt động ngôn ngữ Yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa tổng quát, sau giáo viên bổ xung xác hoá lại nội dung định nghĩa Dạy học vận dụng định lý Khi dạy định lý giới hạn hàm số cần ý số điểm sau: * Định lý phép toán giới hạn hàm số áp dụng trờng hợp giới hạn hữu hạn * Cho học sinh trực giác thấy rõ điều sau - Nếu tổng có số hạng dần đến , số hạng lại có giới hạn hữu hạn tổng dần đến vô - Nếu tích có số hạng dần đến giới hạn hữu hạn khác tích dần đến f ( x )` Nếu thơng g( x ) mà dần tới f (x) , số hạng lại có , g (x) a (hữu hạn) thơng Để dạy học vận dụng định lý, tổ chức số hoạt động sau: 2.1 Nhận dạng thể Ví dụ Tính giới hạn 43 a b c d lim (k ∈ N*, a ∈ R) xk x →a lim x + x + x→ x+3 2x + lim x →∞ x + 2x + lim x2 cos x →0 x Cã thĨ ®Ĩ cho học sinh độc lập giải gợi ý để dẫn dắt hoạt động học sinh câu hỏi nh: - Các em đà gặp giới hạn có dạng tơng tự nh cha? Nếu gặp gặp đâu? HÃy nhớ lại cách giải? - Từ cách giải giới hạn tơng tự hÃy tìm lời giải cho toán? Ví dụ (Về giới hạn bên) lim a TÝnh x → 1+ biÓu thøc x −1 = x → 1+ lim ( x − 1) x → 1+ lim x b Tính Ta có xác định với ≥1 x x −1 lim x −1 x →0 x nÕu x ≥ x = - x nÕu x < Vì hàm số y = x có hai công thức biểu diễn khác hai phía so với điểm nên ta phải xét giới hạn hàm số bên trái điểm bên phải điểm lim x = lim (− x ) = x→ 0− x→ 0− lim x = lim x = x 0+ x 0+ Từ định lý điều kiện tồn giới hạn hàm số, suy 44 lim x = x →0 c Cho hµm sè x − 3x + x2 − f (x ) = − x nÕu x > x < Tìm giới hạn bên trái, bên phải giới hạn (nếu có) hàm số f(x) x → Híng dÉn gi¶i  x lim f ( x ) = lim  −  = x →1 − x →1 −    x − 3x +   lim f ( x ) = lim   x → 1+ x → 1+  x −  x −2 ( x − 2)( x − 1) x →1 + ( x − 1)( x + 1) = lim = lim x + = − x →1+ râ rµng lim f ( x ) = lim f ( x ) ⇒ + − x→ x→ 1 ∃ lim f ( x ) = x 2.2 Hoạt động phức hợp Ví dụ Cho hàm số f (x ) 3x + a x x nÕu x ≤ x > Xác định giá trị a ®Ĩ f (x ) cã giíi h¹n x > tìm giới hạn Hoạt động 1: TÝnh lim f ( x ) vµ lim f ( x ) x Hoạt động 2: Lập phơng trình x 1+ lim f ( x ) = lim f ( x ) x → 1− 45 x 1+ Hoạt động 3: Giải phơng trình để tìm a Từ tìm lim f ( x ) x→ D¹y häc dạng vô định Trong chơng trình lớp 11 THPT giới hạn hàm số, quan tâm đến dạng vô định là: ; ; ∞ ∞ ; ∞ - ∞ Đối với dạng vô định lên đa nhiều ví dụ tăng dần mức độ từ dễ đến khó để hình thành phơng pháp chung tính giới hạn đồng thời thực đợc phân bậc hoạt động Hoạt động cần đợc tập chung biến đổi biểu thức nhằm khử dạng vô định để áp dụng định lý phép toán giới hạn 3.1 Dạng Bài toán 0 Tính giới hạn 0 hàm phân thức ®¹i sè x2 − 4x + VÝ dơ Tính lim x3 x Hoạt động 1: Phân tích (x2- 4x + 3) thành nhân tử x2 4x + = (x - 3) (x – 1) Ho¹t ®éng 2: Rót gän biĨu thøc x − x + = ( x − 3)( x − 1) = x x3 x3 Hoạt động Tỉng hỵp x − x + = lim ( x − 1) = lim x→ x−3 x→ VÝ dô TÝnh x3 + x2 − lim x→ x − x + x + x Hoạt động 1: Phân tích tử mẫu biểu thức thành nhân tử Hoạt động 2: Rút gọn biểu thức Hoạt động 3: Tổng hợp để tìm kết qủa 46 f ( x )` * Phơng pháp chung: Với giới hạn dạng lim g( x ) x x o f ( x ), g( x ) hàm đa thức nhân x0 nghiệm ( x x o ) f1 ( x ) f ( x )` = lim ( x − x )g ( x ) = lim x →x o g( x ) x → xo x →x o o lim Ta cã = víi ®iỊu kiƯn f1 ( x )` g1 ( x ) = … f k ( x )` f k ( x o ) = g (x ) x →x o gk ( x ) k o lim 2 f k ( x o ) + g k ( x o ) > Bài toán Tính giới hạn 0 hàm phân thức đại số chứa thức bậc hai Với giới hạn dạng lim x x o Thực phép nhân liên hợp ( f (x) − a ®ã g( x ) f (x) + a ) f ( xo ) = a ta đợc: lim x x o g( x o ) = f (x) − a = g( x ) ( x − x o ) f1 ( x ) f ( x) − a2 = lim lim x → x o [ f ( x ) + a]g( x ) x → x o [ f ( x ) + a]( x − x o )g1 ( x ) f (x ) f ( x) o = lim [ f ( x ) + a]g ( x ) = 2ag ( x ) x →xo o ( g1 ( xo ) ≠ 0) Phơng pháp đợc mở rộng cho giới hạn: lim x →x o lim x →xo lim x →xo f (x) − a ®ã g( x ) − b f ( xo ) f1 ( x ) − f2 ( x ) ®ã g( x ) f1 ( x ) − f2 ( x ) g1 ( x ) − g2 ( x ) ®ã g1 ( x o ) = g2 ( x o ) 47 = a vµ g( x o ) f1 ( x o ) = f1 ( x o ) = = b f2 ( x o ) f2 ( x o ) vµ g( x o ) = Thực phép nhân liên hợp ta tính đợc giới hạn dạng 0 hạm phân thức đại số chứa bậc ba VÝ dơ1: TÝnh giíi h¹n lim x +8 −3 x →1 x + x − Gi¶i ( x + 8) − Ta cã = lim x → ( x + x − 3)( x + + 3) 1 = x →1 ( x + 3)( x + + 3) 24 = lim VÝ dơ TÝnh giíi h¹n 1+ x −3 8− x x x →0 lim Ho¹t động 1: Gọi số vắng để tách giới hạn thành hai giới hạn có dạng 0 giới hạn chứa thức bặc hai hc bËc ba (2 + x − 2) + (2 − − x ) 1+ x −3 8− x = lim lim x x x →0 x →0 1+ x −2 −3 − x + lim x x x →0 x →0 = lim Hoạt động 2: Tính giới hạn đà phân tích phơng pháp nhân với biểu thức liên hỵp 2x + x −2 =1 = lim x x →0 x ( + x + 1) x →0 lim − − x lim = lim x x → x ( + 23 − x →0 x x + (8 − x )2 12 = 1+ x −3 8− x 13 = = 1+ 12 12 x x →0 VËy lim 3.2 D¹ng ∞ ∞ Muèn tính giới hạn dạng ta lựa chọn hai cách dới Cách 1: (đợc sử dụng cho phân thức đại số) chia tử vµ mÉu cho l thõa bËc cao nhÊt cđa x có mặt phân thức 48 Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp, thực theo bớc sau: Bớc Chọn hai hàm số g(x), h(x) thoả mÃn: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) lim g( x ) = lim h( x ) = L Bớc Khẳng định: x→ ∞ x→ ∞ lim f ( x ) = L Bíc KÕt ln: x→ ∞ VÝ dơ 1: Tính giới hạn 3x x x a lim b c 3x − x + lim x→ ∞ 7x − lim ( x − ) (6 x + ) x→ ∞ (2 x + ) Từ ví dụ cụ thể trên, ta đến toán tổng quát sau: Tính giới hạn lim an x n + an −1 x n −1 + + ao x →∞ bm x m + bm −1 x m + + bo Đây cách phân bậc hoạt động, yêu cầu học sinh độc lập giải Ví dụ 2: Tính giới hạn lim x x +2 x2 + Giải Chia tử mẫu cho x với lu ý: 1+ x +2 = x - 1+ x2 x2 nÕu x > nÕu x < ta chia hai trờng hợp 49 TH1: x +2 lim x2 + x →+∞ TH2: lim x →−∞ Râ rµng lim 1+ x +2 x +2 x →+∞ lim = x →+∞ 1+ = − lim x →−∞ x +2 x2 + ≠ 1+ 1+ x =1 x2 x =1 x2 x +2 lim x →−∞ x2 + ⇒ lim x →∞ x +2 x2 + kh«ng tån t¹i x − sin x x →∞ x + sin x VÝ dơ TÝnh giíi h¹n lim cho häc sinh thực hoạt động sau: Hoạt động 1: Chia tử mẫu biểu thức x sin x x + sin x cho x sin x x − sin x x = sin x x + sin x 1+ x Hoạt động 2: Đánh giá giá trị biểu thức x có: sin x x ≤ x ⇔ − sin x x sin x ≤ ≤ x x x (1) sin x x x Hoạt động 3: Sử dụng nguyên lý kẹp để tìm giới hạn lim 1 Ta cã lim (− x ) = lim x = x→ ∞ x→ ∞ (2) sin x =0 x→ ∞ x Tõ (1) vµ (2) ⇒ lim x − sin x = x →∞ x + sin x Hoạt động 4: Tổng hợp lại ta đợc kết lim Trên xin trình bày phơng pháp ví dụ điển hình để dạy học hai dạng vô định 0 Còn dạng vô định - đa hai dạng để tính toán Bµi tËp cđng cè 50 ∞ vµ ... dạy học chủ đề giới hạn trờng phổ thông Chơng II Dạy học chủ đề giới hạn thông qua việc tổ chức hoạt động toán học cho học sinh II.1 Xây dựng hệ thống hoạt động sở để tổ chức dạy học II.1.1 Hoạt. .. tài: Dạy học số nội dung chủ đề giới hạn thông qua việc tổ chức hoạt ®éng to¸n häc cho häc sinh líp 11 THPT II Mục đích nghiên cứu 1.Xây dựng hệ thống hoạt động để tổ chức dạy học số nộ i dung chủ. .. động toán học trờng THPT 22 Chơng II Dạy học số nội dung chủ đề giới hạn thông qua việc tổ chức hoạt động toán học cho học sinh Để nâng cao chất lợng học tập học sinh trớc tiên phải trang bị cho