LỜI NÓI ĐẦU Khởi đầu lịch sử, đại số tuyến tính gắn liền với việc giải phương trình tuyến tính Để nghiên cứu sâu sắc cấu trúc tập nghiệm điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm, người ta xây dựng khái niệm trừu tượng không gian vectơ ,ánh xạ tuyến tính Ngày nay, đại số tuyến tính ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác từ giải tích, hình học vi phân, lí thuyết biểu diễn nhóm tới học, vật lý,kỹ thuật,kinh tế… Vì vậy,nó trở thành mơn học sở cho việc đào tạo cử nhân, kỹ sư thuộc ngành khoa học tự nhiên công nghệ,kỹ thuật kinh tế tất trường đại học giới Đối tượng phục vụ báo cáo sinh viên ngành kinh tế quản trị kinh doanh, người sử dụng toán học “Phương tiện” để tìm hiểu phân tích vấn đề kinh tế quản trị kinh doanh.Vì báo cáo khơng sâu vào việc trình bày chứng minh mà tập trung vào việc giới thiệu ý nghĩa khái niệm kết liên quan đến việc tìm hiểu phân tích vấn đề kinh tế Tuy nhiên, báo cáo trọng đến việc đảm bảo tính logic tốn học rèn luyện kỹ “thực hành” Để giải ví dụ, tập cụ thể Tuy cố gắng trình biên soạn laị mà tơi học học phần tốn A1 (Đại số tuyến tính) Nhưng sai sót điều khó tránh khỏi Rất mong nhận góp ý, phê bình thầy giáo bạn sinh viên giúp cho báo cáo hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Người làm báo cáo SV Nguyễn Thị Trâm Anh Đại số tuyến tính 1 Chương 1: TẬP HỢP – ÁNH XẠ - QUAN HỆ - SỐ PHỨC Bài 1: Khái niệm tập hợp, tập hợp con, phép toán tập hợp Tập hợp: 1.1 Khái niệm: Tập hợp khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa, mà hiểu cách trực giác sau: “Một tập hợp quần tụ đối tượng có thuộc tính đó; đối tượng gọi phần tử tập hợp Ví dụ: - Tập hợp sinh viên trường đại học - Tập hợp số nguyên tố Ta thường ký hiệu tập hợp chữ viết hoa A, B, C,…, X, Y, Z, … phần tử tập hợp thường ký hiệu chữ viết thường a, b, x, y Để phần tử a thuộc tập hợp A, ta viết a ∈ A đọc “a thuộc A” Nếu b phần tử A ta ký hiệu b ∉ A đọc “b khơng thuộc A” Ví dụ: - ¥ tập hợp số tự nhiên - ¢ tập hợp số nguyên - ¡ hp cỏc s thc - Ô l hp số hữu tỉ - S = {1; 2;3} tập hợp số nguyên dương nhỏ - Tập rỗng tập hợp khơng có phần tử Ký hiệu: ∅ Ví dụ: tập hợp số thực mà bình phương số – tập rỗng 1.2 Cách xác định tập hợp: Một tập hợp xác định cách như: - Phương pháp liệt kê: Một tập hợp xác định cách liệt kê hết phần tử thuộc tập hợp Phương pháp dùng tập hợp hữu hạn Ví dụ: A = {1; 3; 4; 5; 7} - Phương pháp thuộc tính đặc trưng: Một tập hợp nhận biết cách thuộc tính đối tượng dựa vào thuộc tính ta biết phần tử có thuộc tập hợp hay khơng Ví dụ: B = {M | OM = r} tập hợp điểm nằm mặt cầu tâm O bán kính r C = {n ∈ ¥ | n M3} tập hợp số tự nhiên chia hết cho 1.3 Sự hai tập hợp: Định nghĩa: Hai tập hợp A B gọi phần tử A phần tử B ngược lại phần tử B phần tử A Khi ta viết A = B Từ định nghĩa muốn chứng minh A = B phải chứng minh điều sau: - Nếu x ∈ A x ∈ B Đại số tuyến tính - Nếu x ∈ B x ∈ A Tập hợp con: 2.1 Định nghĩa: Cho hai tập hợp A B Nếu phần tử tập hợp A phần tử tập hợp B ta nói tập A chứa B, hay tập A tập hợp tập hợp B Ký hiệu: A ⊂ B Ví dụ: - ÂÔ Ă - Tp hp {1; 3} l hp tập hợp {1; 2; 3} - Tập hợp tam giác tập hợp tập hợp tam giác 2.2 Tính chất: - Với tập hợp A A ⊂ A ; - Với tập hợp A ∅ ⊂ A ; - Nếu A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C (tính chất bắc cầu); - Nếu A ⊂ B B ⊂ A A = B 2.3 Tập tập tập hợp Cho A tập hợp, ký hiệu P( A) tập tập tập A Nếu A có n phần tử P(A) có 2n phần tử Ví dụ: A = {a} P( A) = {∅, a} A = {a, b, c} P( A) = {∅,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}} Các phép toán tập hợp 3.1 Hợp tập hợp 3.1.1 Định nghĩa: Cho A B hai tập hợp tùy ý, ta gọi tập hợp C gồm phần tử thuộc hai tập A, B hợp hai tập A, B A Ký hiệu: C = A ∪ B A ∪ B = {x | x ∈ A x ∈ B} Biểu đồ Venn: A B Ví dụ: Nếu định nghĩa A, B, C tập sau: A = {x | f ( x) = 0} B = {x | g ( x) = 0} C = {x | f ( x ).g ( x) = 0} Khi C = A ∪ B 3.1.2 Định lý: Với A, B, C tập i) Nếu B ⊂ A A ∪ B = A ; ii) Với tập hợp A A ∪ ∅ = A A ∪ A = A ; iii) A ∪ B = B ∪ A ; iv) A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C 3.2 Giao tập hợp 3.2.1 Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý Ta gọi tập hợp C gồm phần tử thuộc hai tập hợp A, B giao hai tập hợp A, B A C = A ∩ B = {x | x ∈ A x ∈ B} Ký hiệu: Biểu đồ Venn: A Đại số tuyến tính B 3.2.2 Định lý: Với A, B, C tập hợp tùy ý ta có khẳng định sau: i) Nếu B ⊂ A A ∩ B = B Với tập hợp A A ∩ ∅ = ∅ A ∩ A = A ; ii) A ∩ B = B ∩ A ; iii) ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) 3.2.3 Định lý: Cho A, B, C tập tùy ý đó: i) A ∩ ( A ∪ B) = A ; ii) ( A ∩ B) ∪ B = B ; iii) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ; iv) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) 3.3 Hiệu hai tập hợp 3.3.1 Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý Ta gọi tập hợp C gồm phần tử thuộc A không thuộc B hiệu tập A tập B Ký hiệu: C = A\B A \ B = {x | x ∈ A x ∉ B} Biểu đồ Venn: A\ B A B 3.3.2 Định lý: Với A, B, C, D tập đó, đó: A \ B = ∅ A ⊂ B ; Với A, B A \ B ⊂ A ; Nếu A ⊂ B D ⊂ C A \ C ⊂ B \ D ; Nếu A ⊂ B với tập C ta có C \ B ⊂ C \ A 3.4 Phần bù Nếu B ⊂ A A\B gọi phần bù B A, ký hiệu C A ( B) hay C A ( B) = {x ∈ A | x ∉ B} Thực chất phần bù C A ( B) hiệu A\B với điều kiện B ⊂ A nên tính chất liên quan đến phần bù suy từ tính chất phép hiệu A\B 3.4.1 Định lý: Với tập A, B, C tùy ý ta có - A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B) ∩ ( A \ C ) ; A \ ( B ∩ C ) = ( A \ B) ∪ ( A \ C ) - Cơng thức đối ngẫu De Morgan Đại số tuyến tính - C A (U Bi ) = I (C A ( Bi )) ; - C A (I Bi ) = U(C A ( Bi )) i i i i Ta phát biểu phần bù hợp giao phần bù, phần bù giao hợp phần bù 3.5 Hiệu đối xứng A B: Ký hiệu: A∆ B = ( A \ B) ∪ ( B \ A) Biểu đồ Venn: A\ B A B 3.6 Tích Descartes tập hợp Giả sử a b hai đối tượng bất kỳ, từ hai đối tượng ta thành lập đối tượng thứ ba ký hiệu (a; b) gọi cặp (a; b) Hai cặp (a; b) (c; d) gọi a = c b = d Nếu a ≠ b cặp (a; b) (b; a) coi khác 3.6.1 Định nghĩa: Tích Descartes n tập hợp A1 , A2 , , An tập hợp gồm tất dãy thứ tự (a1 ; a2 ; ; an ) a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , , an ∈ An Ta ký hiệu tích Descartes A1 × A2 × × An Nếu A1 = A2 = = An tích Descartes chúng ký hiệu An 3.6.2 Ví dụ: Cho A1 = {a; b} , A2 = {c; d }, A3 = {1; 2} Khi đó: A1 × A2 × A3 = {(a; c;1), (a; d ;1), (a; c; 2), ( a; d ; 2), (b; c;1), (b; c; 2), (b; d ;1), (b; d ; 2)} 3.6.3 Nhận xét: A × B = ∅ A = ∅ B = ∅ Nếu A × B ≠ ∅ A '× B ' ⊂ A × B A ' ⊂ A B ' ⊂ B Bài 2: Khái niệm ánh xạ - Các ánh xạ đặc biệt Đại số tuyến tính Ánh xạ: 1.1 Khái niệm: Cho hai tập hợp X Y Một quy tắc tương ứng f phần tử x ∈ X với phần tử y ∈ Y gọi ánh xạ từ tập X vào tập Y f Ký hiệu: f : X → Y X  →Y Phần tử y ∈ Y , tương ứng với phần tử x ∈ X qua ánh xạ f, đó, x gọi tạo ảnh y y gọi ảnh x qua ánh xạ f Ngoài ra, X gọi tập nguồn (miền xác định), Y gọi tập đích (miền giá trị) ánh xạ f 1.2 Ví dụ: - Hàm số y = x – ánh xạ từ tập số thực ¡ vào ¡ - Hàm số y = lg x ánh xạ từ ¡ + vào ¡ - Phép tương ứng số x ∈ ¡ + với số y ∈ ¡ cho x = y không ánh xạ với giá trị x > ta có hai giá trị y là: y = x y = − x tương ứng với x - Phép tương ứng f : ¡ → ¡ cho f ( x) = ánh xạ với x = −1∈ ¡ x +1 khơng có y ∈ ¡ tương ứng với x cho 1.3 Định nghĩa: Bộ phận A tập X gọi ổn định ánh xạ f với f : X → Y ⇔ ∀a ∈ A, f ( a) ∈ A 1.4 Ánh xạ nhau: Định nghĩa: Cho f g hai ánh xạ từ X vào Y Ánh xạ f gọi ánh xạ g f(x) = g(x) với x ∈ X Nếu với x ∈ X có f ( x) = a với a phần tử xác định Y, ta nói f ánh xạ khơng đổi, hay ánh xạ số Nếu X = Y f ( x) = x, với x ∈ X f gọi ánh xạ đồng X Ký hiệu 1X Nhận xét: Hai ánh xạ f g chúng có chung tập nguồn chung tập đích ∀x ∈ X , f ( x) = g ( x) Ảnh tạo ảnh: 2.1 Ảnh tập hợp: a) Định nghĩa: Cho ánh xạ f : X → Y A tập X Tập Y gồm ảnh tất phần tử A gọi ảnh tập A qua ánh xạ f Ký hiệu: f(A) Hay, f ( A) = { f ( x) | x ∈ A} Khi đó, y ∈ f ( A) ⇔ ∃x ∈ A, y = f ( x) b) Định lý: Cho ánh xạ f : X → Y Với hai tập tùy ý A B X ta có: f ( A ∪ B) = f ( A) ∪ f ( B ) f ( A ∩ B) ⊂ f ( A) ∩ f ( B) (Sinh viên tự chứng minh tập.) 2.2 Tạo ảnh tập hợp: Đại số tuyến tính a) Định nghĩa: Cho ánh xạ f : X → Y U tập tùy ý Y Tập X gồm phần tử x ∈ X cho f ( x) ∈ U gọi tạo ảnh toàn phần U qua ánh xạ f Ký hiệu: f −1 (U ) Khi đó, f −1 (U ) = {x ∈ X | f ( x) ∈ U } x ∈ f −1 (U ) ⇔ f ( x ) ∈ U b) Định lý: Cho ánh xạ f : X → Y Với hai tập A, B Y - f −1 ( A ∪ B ) = f −1 ( A) ∪ f −1 ( B ) ; - f −1 ( A ∩ B ) = f −1 ( A) ∩ f −1 ( B ) (Sinh viên tự chứng minh tập nhỏ) Các loại ánh xạ đặc biệt 3.1 Đơn ánh: 3.1.1 Định nghĩa: Ánh xạ f : X → Y gọi đơn ánh với hai phần tử khác x1 x2 X f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) Nói cách khác, f đơn ánh phần tử tập đích có tối đa tạo ảnh tập nguồn Từ định nghĩa trên, để chứng minh f đơn ánh ta chứng minh: ∀x1 , x2 ∈ X , x1 ≠ x2 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) Hoặc ∀x1 , x2 ∈ X , f ( x1 ) = f ( x2 ) x1 = x2 3.1.2 Ví dụ: Ánh xạ f : ¡ → ¡ xác định f ( x) = x khơng đơn ánh f(1) = f(-1) = nh x f : Ơ Ô xỏc nh f (n) = n đơn ánh với hai số tự nhiên khác m, n 1 ≠ n m Nếu A ⊂ E , ánh xạ nhúng tắc iA : A → E xa x đơn ánh gọi đơn ánh tắc từ A vào E 3.2 Toàn ánh: 3.2.1 Định nghĩa: Ánh xạ f : X → Y gọi toàn ánh f(X) = Y Nói cách khác f : X → Y toàn ánh với y ∈ Y tồn x ∈ X cho f(x) = y Tồn ánh f : X → Y cịn gọi ánh xạ toàn ánh từ X lên Y Từ định nghĩa trên, để chứng minh f toàn ánh ta cần chứng minh ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X cho f(x) = y Nhận xét: Nói cách khác ánh xạ f : X → Y toàn ánh phần tử Y có tạo ảnh X 3.2.2 Ví dụ: Ánh xạ f : ¡ → ¡ xác định công thức f ( x) = cos x khơng tồn ánh tồn số ∈ ¡ mà khơng có x ∈ ¡ để cos x = Tuy nhiên xét ánh xạ g từ tập số thực ¡ vào đoạn [-1, 1] g tồn ánh 3.3 Song ánh Đại số tuyến tính 3.3.1 Định nghĩa: Ánh xạ f : X → Y gọi song ánh vừa đơn ánh vừa tồn ánh Để chứng minh ánh xạ f song ánh ta phải chứng minh f đơn ánh f toàn ánh, chứng minh ∀y ∈ Y tồn x ∈ X cho f ( x) = y 3.3.2 Ví dụ: Ánh xạ đồng 1X : X → X song ánh Ánh xạ f :¡ → ¡ x a x2 khơng song ánh khơng phải tồn ánh (cũng khơng đơn ánh) Nhận xét: Một ánh xạ từ E vào E gọi hốn vị E Ví dụ: Cho f :¥ → ¥ x a 2x g :¥ → ¥ y  y a 2  y −1  Nếu y chẵn Nếu y lẻ Khi f đơn ánh khơng tồn ánh g tồn ánh không đơn ánh (Sinh viên tự kiểm tra.) 3.4 Tích ánh xạ: 3.4.1 Định nghĩa: Cho hai ánh xạ f : X → Y g : Y → Z Ánh xạ h: X → Z gọi x a g ( f ( x)) ánh xạ tích hai ánh xạ f g Ký hiệu h = g o f hay h = gf Nhận xét: Theo định nghĩa ta xác định tích gf tập đích f chứa tập nguồn g Nếu f : X → X g : X → X ta xác định tích fg tích gf, nhiên gf khác với fg, hay tích hai ánh xạ khơng giao hốn Ví dụ: Nếu f g hai ví dụ cho g o f = Id N f og : ¥ → ¥ x xa  x −1 Nếu y chẵn Nếu y lẻ 3.4.2 Định lý: Cho f : X → Y , g : Y → T h : T → U h(gf)=(hg)f 3.4.3 Định lý: Giả sử f : X → Y g : Y → T hai ánh xạ h = gf : X → T Khi đó: a) Nếu f, g đơn ánh h đơn ánh; b) Nếu h đơn ánh f đơn ánh; c) Nếu h đơn ánh f toàn ánh g đơn ánh; d) Nếu f, g tồn ánh h tồn ánh; e) Nếu h tồn ánh g tồn ánh; Đại số tuyến tính f) Nếu h tồn ánh g đơn ánh f tồn ánh 3.4.4 Hệ quả: Giả sử f : X → Y g : Y → T song ánh gf song ánh 3.5 Ánh xạ ngược 3.5.1 Định nghĩa: Giả sử f : X → Y g : Y → X hai ánh xạ thỏa: gf = 1X fg = 1Y g gọi ánh xạ ngược ánh xạ f Ví dụ: Ánh xạ f :¡ → ¡ x a x3 có ánh xạ ngược f −1 : ¡ → ¡ ya y Trong trường hợp hàm, khái niệm ánh xạ ngược khái niệm hàm số ngược 3.5.2 Định lý: Ánh xạ f : X → Y có ánh xạ ngược f song ánh Nếu f song ánh f −1 song ánh 3.5.3 Định lý: IÁnh xạ ngược ánh xạ 3.5.4 Định lý: Nếu f : E → F g : F → G song ánh, g o f : E → G song ánh −1 ( g o f ) = f −1 og −1 3.6 Thu hẹp thác triển (hoặc mở rộng) ánh xạ: 3.6.1 Thu hẹp ánh xạ: Cho X Y hai tập hợp f : X → Y ánh xạ, gọi A tập X Khi thu hẹp f vào A ánh xạ ký hiệu f | A xác định bởi: f |A: A → Y x a f ( x) 3.6.2 Thác triển (mở rộng) ánh xạ: Cho X Y hai tập hợp f : X → Y ánh xạ, X’ tập hợp cho X ⊂ X ' Khi đó, mở rộng f X’ ánh xạ g : X ' → Y cho ∀x ∈ X , g ( x ) = f ( x) Ví du: f :¡ * →¡ sin x xa x g :¡ → ¡ Khi đó, ánh xạ g mở rộng f xác định bởi:  sin x  xa  x 1 x≠0 x=0 Nhận xét: g mở rộng f liên tục Tóm tắt chương: Đại số tuyến tính Chương giới thiệu số kiến thức tảng Toán học bao gồm: Khái niệm tập hợp, ánh xạ, quan hệ, số nội dung phép số phức Sinh viên cần tham khảo thêm phụ lục 1, giới thiệu số nội dung logic toán nhằm bước đầu làm quen với cấu trúc mệnh đề toán học số phương pháp chứng minh mệnh đề toán học Đây nội dung để học tốt mảng kiến thức sau Khi học xong chương này, sinh viên phải trả lời câu hỏi sau: Tập hợp gì? Có cách để xác định tập hợp? Chứng minh tập chứng minh hai tập nào? Ánh xạ gì? Cách chứng minh phép tương ứng ánh xạ? Muốn chứng minh ánh xạ đơn ánh, toàn ánh, song ánh nào? Bài tập: A Về tập hợp Chứng minh với tập A, B, C ta ln có: a) A \ ( A \ B) = A ∩ B ; b) A ∩ ( B \ C ) = ( A ∩ B) \ ( A ∩ C ) ; c) ( A \ B) ∪ ( A \ C ) = A \ ( B ∩ C ) ; d) ( A \ B) ∪ ( B \ A) = ( A ∪ B) \ ( A ∩ B); e) A ∩ ( B \ A) = ∅ f) A \ B = A \ ( A ∩ B) = ( A ∪ B ) \ B Các đẳng thức sau, đẳng thức đúng? a) A \ ∅ = A ; b) ( A \ B) \ C = A \ ( B \ C ); c) A ∩ ( B \ C ) = ( A ∩ B ) \ ( A ∩ C ) Chứng minh rằng: a) ( A ∩ B) × (C ∩ D) = ( A × C ) ∩ ( B × D) ; b) A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C ) c) A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ) d) A × ( B \ C ) = ( A × B) \ ( A × C ) e) ( A × C ) ∩ ( B × D) = ( A ∩ B) × (C ∩ D) Tích Descartes có tính chất kết hợp khơng? Vì sao? Giả sử X tập có n phần tử r số tự nhiên khác không bé n Tính a) Số tập X gồm r phần tử; b) Số phần tử P(X) B Về phép Tìm tất phép tập sau xác định dấu phép thế: a) X = {1, 2,3} Đại số tuyến tính 10 Phương trình (2) tương đương với hệ b1 − b2 + b3 =  b1 + 2b2 + 3b3 = b + b + 2b = 1 Phương trình (3) tương đương với hệ c1 − c2 + c3 =  c1 + 2c2 + 3c3 = c + c + 2c = 1 Ta dùng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình trên, lập ma trận hệ số mở rộng: 1 −1 1  1 −1 1   −1 1    d2 →d2 − d1   d → d − d3   →  −1  →  1 −1  d3 → d3 − d1 1 1   1 1  0 −1   −1   −1 1    d3 → d3 − d →  1 −1   0 −1 −3  Vậy với hệ (1) ta có a3 = −2;  a2 = −1 − a3 = 1; a = a − a + =  Hệ (2) ta có b3 = 3;  b2 = − b3 = −2; b = b − b + = −4 1 Hệ (3) ta có c3 = −1;  c2 = −c3 = 1; c = c − c = 1 Vậy ma trận đổi sở B sang sở B’ CB→ B '  −4  =  −2  ■  −2 −1 b) Giả sử [ x][ B ] = ( x1 , x2 , x3 ) [ x][ B '] = ( y1 , y2 , y3 ) Khi đó, cơng thức tính tọa độ x sở B theo tọa độ x sở B’ là:  x1 = y1 − y2 + y3  x1   −4   y1   x  =  −2   y  ⇔  x = y − y + y  2  2   2   x3   −2 −1  y3   x3 = −2 y1 + y2 − y3 ■ 3) Trong ¡ n [ x] cho sở B(u1 , u2 , , un +1 ) B '(v1 , v2 , , ) với u1 = 1, u2 = x, u3 = x , , un +1 = x n v1 = 1, v2 = ( x − a ), v3 = ( x − a ) , , +1 = ( x − a ) n , với a số a) Tìm ma trận đổi sở từ B sang B’ b) Tìm ma trận đổi sở từ B’ sang B Đại số tuyến tính 69 Giải: a) Ta có vk +1 = ( x − a ) k = Ck0 (− a ) k + Ck1 (− a ) k −1 x + + Ckk x k = Ck0 (− a) k u1 + Ck1 (− a) k −1 u2 + + Ckk uk +1 + 0uk + + + 0un +1 Lần lượt cho k = 0, 1, 2, …, n ta có CB→ B ' C00 C10 (−a )  C11 0  M M  = M M  M M  M  M 0  Ck0 (− a) k Cn0 (−a) n   Ck1 (− a) k −1 Cn1 (−a ) n −1  O M O M   M M  O Ckk M   M M M M   Cnn  b) Ta có: k uk +1 = x k = [ ( x − a ) + a ] = Ck0 a k + Ck1 a k −1 ( x − a ) + + Ckk ( x − a ) k = Ck0 a k v1 + Ck1 a k −1v2 + + Ckk vk +1 + 0vk + + + 0vn +1 Lần lượt cho k giá trị k = 0, 1, …., n ta có C B '→ B C00 C10 a  C11 0  M M  = M M  M M   M M 0  Ck0 a k Cn0 a n   Ck1 a k −1 Cn1 a n −1  O M O M   M M  O Ckk M ■  M M M M  Cnn  Bài 6: Khơng gian dịng ma trận – Tổng giao không gian Khơng gian dịng ma trận: 1.1 Định nghĩa: Cho ma trận A = (aij ) ∈ M m×n ( K ) Với i = 1, 2, …., m đặt ui = (ai1 , ai2 , , ain ) WA = u1 , u2 , , um không gian V n sinh vectơ u1 , u2 , , um Ta gọi u1 , u2 , , um vectơ dịng WA khơng gian dịng ma trận A 1.2 Nhận xét: Khơng gian dịng ma trận không thay đổi ta áp dụng phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận Do đó, ta dễ dàng tìm sở số chiều không gian 1.3 Định lý:Cho A, B ∈ M m×n ( K ) Khi đó: i) Nếu A tương đương dịng với B WA = WB ii) dim WA = r ( A) Đại số tuyến tính 70 1.4 Hệ quả: Cho A ∈ M m×n ( K ) B dạng bậc thang ma trận A Khi chọn vectơ dịng khác B làm sở cho khơng gian dịng WA 1.5 Ví dụ: Tìm sở số chiều cho không gian ¡ sinh vectơ u1 = (1, 2, −3, 4); u2 = (2,3, 0, −1); u3 = (4, 7, −12,15); u4 = (3,1, −9, 7); u5 = (2,5, −6,9) Giải: Có thể xem u1 , u2 , u3 , u4 , u5 vectơ dòng ma trận A 1 2  A = 4  3  2 −3  −1 −12 15   −9  −6  Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận A dạng bậc thang 4 1 −3  1 −3   −1 −9  0 −1 −9  −1          → −12 15  → − − − − 1 d →d − d  d32 →d32 − d11   d → d5   −9  d4 →d −3d1  −5 −5 −1 −1  d5 → d5 − d1  1  0 1  −6  1 −3  1 −3  0 −1 −9  0 −1 −9         =B  →  → − − 0 − d → d5 + d d →d − d d → d4 − d3   3   0 0  0 0  0 0  0 0  1 2  A = 4  3  2 −3 Vậy W = WA = WB Do đó, dim W = Tổng không gian – Tổng trực tiếp 2.1 Định lý:Trong không gian vectơ V cho m ( m ≥ ) không gian W1 , W2 , , Wm Khi tập hợp W = {x = x1 + x2 + + xm | xi ∈ Wi , i = 1, m} khơng gian V, không gian nhỏ (theo quan hệ bao hàm) m không gian V chứa UWi , W gọi không gian tổng không gian i =1 Wi , ký hiệu m W = ∑Wi = W1 + W2 + + Wm i =1 2.2 Nhận xét: i) Mỗi x ∈ W = W1 + W2 + + Wm biểu diễn thành tổng vectơ từ không gian thành phần W1 ,W2 , ,Wm Tuy nhiên, cách biểu diễn khơng Đại số tuyến tính 71 ii) Nếu W = w1 , w2 , , wm Z = z1 , z2 , , zn W + Z = w1 , w2 , , wm , z1 , z2 , , zn 2.3 Ví dụ: 1) Trong ¡ , xét sở tắc C = {e1 , e2 , e3} Ta có khơng gian ¡ sau: W, Z, T W = e1 , e2 = {( x, y, 0) | x, y ∈ ¡ } ; Z = e2 , e3 = {(0, y, z ) | y, z ∈ ¡ } T = e1 = {( x, 0, 0) | x ∈ ¡ } Khi đó, W + Z = e1 , e2 , e3 = ¡ ; Z + T = e1 , e2 , e3 = ¡ W + T = e1 , e2 = W ■ 2) Với V = ¡ , xét không gian sau: W1 = {(α , β , γ ) ∈ ¡ | α = β = −γ } = {(α , α , −α ) | α ∈ ¡ } W2 = {(α , β , γ ) ∈ ¡ | α = β = γ } = {( β , β , β ) | β ∈ ¡ } Khi đó, vectơ (3,3, −1) ∈ W1 + W2 (3,3, -1) = (2,2,-2) +(1,1, 1) (2, 2, −2) ∈ W1 (1,1,1) ∈ W2 Tuy nhiên, vectơ (3, 0,3) ∉ W1 + W2 W1 + W2 = {(α + β , α + β , β − α ) | α , β ∈ ¡ } ■ 3) Với V = ¡ , xét không gian sau: W1 = {(α , β , γ ) ∈ ¡ | α − β + 2γ = 0}; W2 = {(α , β , γ ) ∈ ¡ | α + β = 0} Chứng minh V = W1 + W2 Giải: Kiểm tra W1 + W2 ⊂ V Ngược lại, với vectơ Kiểm tra (α , β , γ ) ∈ V β −α   α , β , ÷∈W1   β −α   α −β   (α , β , γ ) =  α , β , ÷+  0, 0, γ + ÷     α −β   0, 0, γ +   ÷∈W2  Suy ra, V ⊂ W1 + W2 Do đó, V = W1 + W2 ■ 2.4 Định nghĩa: Tổng n W = ∑Wi i =1 gọi tổng trực tiếp với có cách biểu diễn x = x1 + x2 + + xn , với xi ∈Wi , i = 1, n x ∈W Khi n Wi = W1 ⊕ W2 ⊕ ⊕ Wn ta ký hiệu W = ⊕ i =1 Trường hợp W = W1 ⊕ W2 , ta nói W1 (tương ứng W2 ) khơng gian bù trực tiếp W2 (tương ứng W1 ) 2.5 Định lý:Cho W ,W1 ,W2 , ,Wm khơng gian khơng gian vectơ V Khi đó, W tổng trực tiếp W1 ,W2 , , Wm phần tử x W viết cách dạng: x = x1 + x2 + + xm , với xi ∈Wi , i = 1, m 2.6 Định lý:Giả sử W1 W2 hai không gian khơng gian vectơ V đó, khẳng định sau tương đương: Đại số tuyến tính 72 i) W1 + W2 tổng trực tiếp; ii) W1 ∩ W2 = {0} 2.7 Định lý:Cho W1 W2 hai không gian không gian vectơ hữu hạn chiều V Khi đó, dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 ) 2.8 Hệ quả:Nếu tổng W + Z hai không gian hữu hạn chiều W, Z không gian vectơ V tổng trực tiếp dim W + dim Z = dim(W ⊕ Z ) 2.9 Ví dụ: 1) Trong không gian ¡ xét hai không gian W = {( x, y, z ) | x, y ∈ ¡ } Z = {( x, x, z ) | x, z ∈ ¡ } Hãy xác định dimW, dimZ, tìm W ∩ Z W + Z Giải: Ta có: W = {( x, y , z ) | x, y ∈ ¡ } = (1, 0,1); (0,1, 0) Z = {( x, x, z ) | x, z ∈ ¡ } = (1,1, 0);(0, 0,1) Do đó, dimW = dimZ = Ta có: W ∩ Z = {( x, x, x) | x ∈ ¡ } = (1,1,1) , nên dim(W ∩ Z ) = Từ ta được, dim(W + Z ) = dim W + dim Z − dim(W ∩ Z ) = + − = = dim ¡ Do W + Z ⊂ ¡ , nên W + Z = ¡ ■ 2) Cho U không gian sinh vector u1 = (1,3, −2, 2,3); u2 = (1, 4, −3, 4, 2); u3 = (2,3, −1, −2,9) V không gian sinh vector v1 = (1,3, 0, 2,1); v2 = (1,5, −6, 6,3); v3 = (2, 5,3, 2,1) Hãy tìm sở số chiều U + V U ∩ V Giải a) Tìm sở U +V Lập ma trận A có dịng vector u1 , u2 , u3 , v1 , v2 , v3 , thực phép biến đổi sơ cấp dòng ta đưa ma trận dạng bậc thang Khi số chiều U + V rank A ta chọn dịng khác ma trận A làm vector sở U + V 1 1  A :=  1 1  2 3 5 -2 3  -3 2  -1 -2 9 1  -6 3  1 Sau phép biến đổi sơ cấp dòng ta ma trận bậc thang sau: Đại số tuyến tính 73 1 0 0  0 0 0 0 0  0 0 e1 = (1, 0, 0, −4, 7); e2 = (0,1, 0, 2, −2); e3 -4 7  -2  -1 0  0  0 = (0, 0,1, 0, −1) Khi đó, gọi sở U+ V Suy ra, dim U + V = Để tìm sở U ∩ V ta tìm điều kiện để vector x = ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) thuộc U thuộc V Ta có vector x thuộc U x biểu thị tuyến tính qua vector sở U tức hệ phương trình với ma trận hệ số sau có nghiệm x1   1 x1  1 1 → d − 3d1   dd2 →    d +2d d →d + d  x2  d34 →d34 − d11  −3 x2 − 3x1  d43 →d34 − 22d2 0 d5 → d5 − d1 d5 → d5 + d  −2 −3 −1 x3  →  −1 x3 + x1  → 0       −2 x4   −6 x4 − x1  0  x5   −1 x5 − 3x1  0      Vậy để vector x thuộc U x1   −3 x2 − x1  0 x3 + x2 − x1   0 x4 − x1 − x2  0 x5 − x2 − x1  − x1 + x2 + x3 =  −4 x1 − x2 + x4 = −6 x − x + x =  Ta có vector x thuộc V x biểu thị tuyến tính qua vector sở V tức hệ phương trình với ma trận hệ số sau có nghiệm 1  3  −6  2 1  x1  x1  1 1  d → d −3d   d →d +3d  x2  d2 → d2 − d1 0 −1 x2 − 3x1  d3 →d3 − d2 0 4 4 d5 → d5 − d1 d5 → d5 − d  −6 0 x3  → x3  →     x4  0 −2 x4 − x1  0  −1 x5 − x1  0 x5     Vậy để vector x thuộc V x1   −3 x2 − 3x1  0 x3 + x2 − 3x1   0 x4 + x1 − x2  0 x5 − x2 + x1  −3 x1 + x2 + x3 =  4 x1 − x2 + x4 = 2 x − x + x =  Do đó, để x thuộc U giao V  −3 x1 + x2 + x3 = 4 x − x + x =   x1 − x2 + x5 =   − x1 + x2 + x3 =  −4 x1 − x2 + x4 =   −6 x1 − x2 + x5 = Đại số tuyến tính 74 Hệ phương trình có ma trận hệ số là: -3   A :=  -1 -4  -6 -2 -1 -2 -1 0 0 0 0  0  1 0  0  1 Thực phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A dạng bậc thang sau 1 0  0 0 0  0 0 0 0 0 0 0  -1  1 -2  0  0 Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số  x1 = x = t   x3 = −t  x = 2t   x5 = t với t ∈¡ Khi sở U ∩ V gồm vector u = (0,1, −1, 2,1) Do đó, dim U ∩ V = Chú ý: Sinh viên tham khảo thêm không gian nghiệm hệ phương trình tài liệu viết đại số tuyến tính Tóm tắt chương Trong chương này, sinh viên tiếp cận với kiến thức cốt lõi đại số tuyến tính bao gồm kiến thức khơng gian vectơ như: Định nghĩa, tính chất, khái niệm độc lập phụ thuộc tuyến tính, khái niệm sở, số chiều, tọa độ không gian vectơ hữu hạn chiều v/v… Sau học xong chương sinh viên cần trả lời câu hỏi sau: Khơng gian vectơ gì? Có tính chất nào? Thế khơng gian vectơ con? Cách chứng minh không gian vectơ không gian vectơ con? Đại số tuyến tính 75 Thế hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính? Cách chứng minh hệ vectơ độc lập tuyến tính? Hệ độc lập tuyến tính tối đại có tính chất gì? Hệ sinh gì? Điều kiện để hệ vectơ trở thành sở? Có cách để chứng minh hệ vectơ sở? Ma trận chuyển sở xác định nào? Tọa độ vectơ sở xác định nào? Cách chuyển tọa độ vectơ từ sở sang tọa độ vectơ sở khác? Tổng khơng gian vectơ gì? Tổng trực tiếp không gian vectơ định nghĩa nào? BÀI TẬP Chứng minh tập hợp nghiệm hệ phương trình tuyến tính n ẩn trường K lập thành không gian vectơ trường K Chứng minh tập hợp nghiệm hệ phương trình tuyến tính khơng n ẩn trường K không lập thành không gian vectơ trường K Xét xem tập hợp sau với phép cộng phép nhân với số thông thường lập thành không gian vectơ a) Tập ma trận thuộc M(m, n, K) b) Tập ma trận vuông cấp n đối xứng trường K c) Tập ma trận chéo cấp n trường K d) Tập ma trận vuông cấp n K có định thức Cho K trường V = K × K với phép toán xác định sau: (a, b) + (c, d) = (a+c, b + d) k(a,b) = (ka, 0) Chứng minh V không gian vectơ trường K Cho U không gian vectơ V Chứng tỏ hiệu tập hợp V\U không gian vectơ V Cho V tập hàm thực, dương liên tục đoạn [-a, a] Trên V ta định nghĩa phép toán cộng nhân sau: ( f + g )( x) = f ( x ).g ( x) (α f )( x) = ( f ( x))α a) Chứng minh V không gian vectơ ¡ b) Tập hợp tất hàm số chẵn V có khơng gian V khơng? Đại số tuyến tính 76 c) Tập hợp tất hàm số lẻ V có phải khơng gian vectơ V khơng? Cho V tập hợp tất hàm số f : ¡ → ¡ với phép toán cộng nhân thông thường, nghĩa là: ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) (α f )( x ) = α f ( x) Hãy kiểm tra xem V có phải không gian vectơ ¡ không? Trong tập hợp W ¡ n sau đây, tập hợp không gian ¡ n a ) W = {( x1 , x2 , , xn ) | xi ≥ 0}; b) W = {( x1 , x2 , , xn ) | x1 + x2 = 3x3 }; c) W = {( x1 , x2 , , xn ) | x1 + 3x2 = 1}; d ) W = {( x1 , x2 , , xn ) | x12 = x2 }; e) W = {( x1 , x2 , , xn ) | x1 x2 = 0}; f ) W = {( x1 , x2 , , xn ) | x1 = x2 = = xn }; g ) W = {( x1 , x2 , , xn ) | x1 + x2 + + xn = n}; h) W = {( x1 , x2 , , xn ) | x1 Ô } Trong cỏc W sau ¡ n với phép toán cộng phép toán nhân định nghĩa sau: ∀x = ( x1 , x2 , , xn ); y = ( y1 , y2 , , yn ) ∈ ¡ n , ∀α ∈ ¡ x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) α x = (α x1 , α x2 , , α xn ) Trong tập hợp sau đây, tập hợp không gian ¡ n a ) W = {( x1 , x2 , , xn ) | xn ≥ 0}; b) W = {( x1 , x2 , , xn ) | x1 + x2 = 3x3 }; c) W = {( x1 , x2 , , xn ) | x1 + x2 = 1}; d ) W = {( x1 , x2 , , xn ) | x12 = x2 }; e) W = {( x1 , x2 , , xn ) | x1 x2 = 0}; f ) W = {( x1 , x2 , , xn ) | x1 = x2 = = xn }; g ) W = {( x1 , x2 , , xn ) | x1 + x2 + + xn = n}; h) W = {( x1 , x2 , , xn ) | x1 Ô } 10 Cho Vi họ không gian vectơ V Ký hiệu ∑Vi tập hợp gồm phần tử có dạng xi + xi + + xi với xi ∈Vi , j = 1, 2, , n Chứng minh tập không gian vectơ V 11 Trong ¡ cho hai vectơ u1 = (1, −2,3); u2 = (0,1, −3) a) Vectơ u = (2, -3, 3) có biểu thị tuyến tính qua (u1 , u2 ) khơng? b) Tìm m để v = (1, m, -3) biểu thị tuyến tính qua (u1 , u2 ) Đại số tuyến tính j j j 77 12 Trong ¡ cho vectơ u1 = (1,1,1); u2 = (2,3, −1, 0); u3 = (−1, −1,1,1); u4 = (1, 2,1, −1) v = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) Tìm điều kiện để vectơ tổ hợp tuyến tính a) (u1 , u2 , u3 ) ; b) (u1 , u2 , u3 , u4 ) 13 Xét xem hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính a ) {u1 = (1, 0,1); u2 = (1, 2,3); u3 = (10,11,12); u4 = (4,5, 6)}; b) {u1 = (1, 0,1); u2 = (1, 2,3); u3 = (2, 2, 4)}; c) {u1 = (1, 0,1); u2 = (1, 2,3); u3 = (2, 2,5)}; d ) {u1 = (1, 0,1); u2 = (1, 2,3)} e){u1 = (1, −2,3, −4); u2 = (3,3, −5,1); u3 = (3, 0, 3, −10)}; 14 Trong ¡ 3[ x] (không gian đa thức hệ số thực bậc không 3), xét hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? a ) {u1 = x3 − x + 3; u2 = x + 1}; b) {u1 = x − x + 3; u2 = x + 1; u3 = x + x − x + 10}; c ) {u1 = x3 − x + 3; u2 = x + x − 1; u3 = x + x + 2}; d ) {u1 = x3 ; u2 = x ; u3 = x; u4 = x + 3x; u5 = 1} 15 Trong không gian vectơ V cho vectơ x, y, z Chứng minh {x+y, y+z, z+x} độc lập tuyến tính {x, y, z} độc lập tuyến tính 16 Trong không gian M (2; ¡ ) chứng minh hệ sau độc lập tuyến tính  −1  −1      ÷,  ÷,  ÷      −   17 Tìm hạng hệ vectơ sau tuyến tính tối đại ¡ , sau tìm hệ độc lập a ) {u1 = (1,1,1); u2 = (1, 2,1)}; b) {u1 = (1, 0, −1); u = (0,1, −1); u3 = (1, −1, 0)}; c ) {u1 = (2,1, 0); u2 = (0, −2,1); u3 (2, −1, 2)}; d ) {u1 = (1, −1, 0); u2 = (2, −1, −1); u3 (0,1, −1); u4 = (2, 0, −2)} 18 Hệ vectơ sau sở ¡ ? a ) B1 = {(1, 2,3); (0, 2,3)}; b) B2 = {(1, 2,3);(0, 2,3);(0, 0,5)}; c) B3 = {(1,1, 2); (1, 2,5);(5,3, 4)}; d ) B4 = {( −1, 0, 0);( −1,1, 0); (1, −1,1);(2, 0,5)} Đại số tuyến tính 78 19 Trong ¡ chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) sở tìm tọa độ u B trường hợp sau: a ) u1 = (1,1,1); u2 = (1,1, 2); u3 = (1, 2,3); u = (6,9,14); b) u1 = (2,1, −3); u2 = (3, 2, −5); u3 = (1, −1,1); u = (6, 2, −7); c ) u1 = (1, −1, 0); u2 = (1, 0, −1); u3 = (2, 0, 0); u = ( −3,1, −2); 20 Trong ¡ cho hai hệ vectơ B = {(1,1,1);(1,1, 2); (1, 2,3)} B’ = {(2,1,-1); (3,2,-5); (1,-1,m)} a) Chứng minh B sở ¡ b) Tìm m để B’ sở ¡ c) Trong trường hợp B’ sở ¡ tìm ma trận chuyển sở từ B sang B’ tìm tọa độ vectơ u = (1, 0, 0) hai sở 21 Trong ¡ cho hai hệ vectơ B = {(1,1, −1); (1, 0,1);(0,1,1)} B’ = {(0,0,1); (1, -1, 0);(1,1,1)} a) Chứng minh B B’ sở ¡ Tìm ma trận chuyển sở từ B sang B’ từ B’ sang B b) Tìm tọa độ vectơ x = (1, -1, 1) hai sở 22 Tìm sở số chiều không gian W ¡ sinh hệ vectơ sau: a) {(1, 4, -1, 3); (2,1, -3, -1); (0,2, 1, -5)}; b) {(1, -4, -2, 1); (1, -3, -1, 2); (3, -8, -2, 7)} 23 Tìm sở số chiều khơng gian W M (2; ¡ ) sinh hệ vectơ sau:   −5   1   −   −    ; ; ;    −4   −1 5  −5   −5   24 Tìm sở số chiều không gian V ¡ n trường hợp sau: a V tập gồm vectơ ( x1 , x2 , , xn ) thỏa x1 + x2 + + xn = b V tập gồm vectơ ( x1 , x2 , , xn ) thỏa x1 + x2 + + nxn = 25 Tìm sở số chiều không gian sau: a Tập hợp ma trận vuông cấp n b Tập hợp ma trận vuông đối xứng cấp n c Tập hợp ma trận vuông phản xứng cấp n 26 Trong ¡ chứng minh không gian sinh vectơ (1,2,3); (1, -1, 2) (-1, 1, 12) trùng với không gian sinh vectơ (0, 1, 5) (1, 3, 8) Nhận xét: Đại số tuyến tính 79 Ta phát biểu cách tổng quát sau: Cho S S’ tập hữu hạn khác ∅ không gian vectơ Chứng minh phần tử S tổ hợp tuyến tính vectơ S’ phần tử S’ tổ hợp tuyến tính vectơ S S = S ' 27 Trong ¡ cho vectơ u1 = (1,1, 2, 4); u2 = (2, −1, −5, 2); u3 = (1, −1, 4, 0); u = (2,1,1, 6) Chứng tỏ vectơ phụ thuộc tuyến tính Tìm sở cho khơng gian ¡ sinh vectơ 28 Tìm tọa độ vectơ 2   −7    sở  1   −1   −      ÷;  ÷;  0 ÷;  0 ÷ 1          29 Trong không gian ¡ cho hai không gian W1 = (1,3, −2, 2,3);(1, 4,3, −4, 2); (2,3, −1, −2,9) W2 = (1,3, 0, 2,1); (1,5, 6, −6,3); (2, 5,3, 2,1) a Tìm sở số chiều W1 ∩ W2 b Tìm sở số chiều W1+ W2 30 Trong không gian ¡ cho hai không gian sau W1 = (1, 2,1,1); (3, 6, 5, 7); (4,8, 6,8);(8,16,12, 20) W2 = (2, 7, 2, 2);(1,3,1,1);(3,10, 4,3);(6, 21, 7, 6) Tìm sở số chiều W1 ,W2 ,W1 ∩ W2 ,W1 + W2 31 Trong không gian ¡ cho hai không gian sau W1 = {(a, b, c, d ) | b − 2c + d = 0} W2 = {(a, b, c, d ) | a = d , b = 2c} Tìm sở, số chiều W1 ,W2 ,W1 ∩ W2 32 Trong không gian ¡ cho vectơ sau u1 = (1, 2, 0,1); u2 = (2,1,3,1); u3 = (7,8,9,5); u4 = (1, 2,1, 0); u5 = (2, −1, 0,1); u6 = (−1,1,1,1); u7 = (1,1,1,1) Đặt U = u1 , u2 , u3 ;W = u4 , u5 , u6 , u7 Hãy tìm sở cho khơng gian U ;W ;U + W ;U ∩ W Từ suy dim U ;dim W ; dim(U + W );dim(U ∩ W ) 33 Trong không gian ¡ cho vectơ sau u = (1, 1, 0, -1); v = (1, 0, 0, -1); w = (1, 0, -1, 0) Đặt U = u, v, w W = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) | x1 + x2 − x3 + x4 = 0} Hãy tìm sở cho không gian U ;W ;U + W ;U ∩ W Từ suy dim U ;dimW ; dim(U + W );dim(U ∩ W ) Đại số tuyến tính 80 34 Trong ¡ , cho vectơ u1 = (2,1, −1); u2 = (2, −1, 2); u3 = (3, 0,1); v1 = (−3,1, 2); v2 = (1, −2,5); v3 = (2, 4,1) a) Chứng minh b) Tìm 35 B = (u1 , u2 , u3 ); B ' = (v1 , v2 , v3 ) [u ]B ' ; v; [ w]B Trong ¡ biết u = (1, 2, 3), sở  4 [v]B = 5    ¡ 7  [ w]B ' = 8  9  cho vectơ u1 = (1,1, −1, 0); u2 = (−2, 3, 4,1); u3 = (−1, 4,3, 2); v1 = (1,1, −1, −1); v2 = (2, 7, 0, 3); v3 = (2, 7, 0, 2) Đặt W = {u1 ; u2 ; u3} a) Kiểm tra B = {u1 , u2 , u3} sở W b) Cho u = (a, b, c, d ) ∈ ¡ Tìm điều kiện để u ∈W với điều kiện tìm [ u ] B c) Kiểm tra B ' = {v1 , v2 , v3} sở W Tìm ma trận chuyển sở từ B sang B’ d) Tìm 36 [u ]B , v,[ w] B ' biết 1  u = (a, b, c, d ) ∈W ,[v ]B ' =     [ w] B 5  = 1    Trong không gian vectơ ¡ n , cho tập V có dạng: V = {x = ( x1 , , xn ) ∈ ¡ n / x1 + x2 + L + xn = 0} (a) Chứng minh V không gian (b) Tìm sở số chiều V 37 Trong không gian M (¡ ) , cho tập ¡ n   b  a F = A =  ÷/ a , b ∈ ¡  b a +b   hệ vectơ {u1 , u2 , , un } độc 38 Chứng minh lập tuyến tính khơng có vectơ biểu thị tuyến tính qua vectơ cịn lại hệ Tìm m để vectơ u = (7, −2, m) biểu thị tuyến tính qua vectơ u1 = (2,3,5); u2 = (3, 7,8); u3 = (1, −6,1) (a) Chứng tỏF khơng gian (b) Tìm sở số chiều F Đại số tuyến tính M (¡ ) 81 MỤC LỤC Trang Đại số tuyến tính 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Dúy Dy, Nguyễn Sum, Ngơ Sỹ Tùng, Bài tập tốn cao cấp – Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1999 [2] Phạm Huy Điển, Tính tốn, lập trình giảng dạy tốn học MAPLE, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2002 [3] Trần Văn Hạo, Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1971 [4] Trần Văn Hạo, Hoàng Kỳ, Bài tập đại số, NXB ĐH & THCN, Hà Nội, 1980 Đại số tuyến tính 83 ...Chương 1: TẬP HỢP – ÁNH XẠ - QUAN HỆ - SỐ PHỨC Bài 1: Khái niệm tập hợp, tập hợp con, phép toán tập hợp Tập hợp: 1.1 Khái niệm: Tập hợp khái niệm nguyên... xét xem quan hệ có tính chất gì? Trên tập số thực ¡ cho quan hệ T sau: aTb a = b Chứng minh T quan hệ tương đương E Về ánh xạ Trong ánh xạ từ X vào Y sau, ánh xạ đơn ánh, toàn ánh, song ánh Trong... tập hợp số nguyên - Ă l hp cỏc s thc - Ô l tập hợp số hữu tỉ - S = {1; 2;3} tập hợp số nguyên dương nhỏ - Tập rỗng tập hợp khơng có phần tử Ký hiệu: ∅ Ví dụ: tập hợp số thực mà bình phương số