Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh Hoàng thị hơng huyền Một số tính chất trình wiener trình liên quan luận văn thạc sĩ toán học Vinh-2008 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh Hoàng thị hơng huyền Một số tính chất trình wiener trình liên quan luận văn thạc sĩ toán học Chuyên nghành: xác suất - thống kê Mó s: 60.46.15 Người hướng dẫn khoa học: TS Ngun Trung Hoµ Vinh-2008 I lời nói đầu Xỏc sut thng kờ l lĩnh vực tốn ứng dụng, địi hỏi sở tốn học sâu sắc Ngày mơ hình xác suất thực ứng dụng rộng rãi khoa học tự nhiên khoa học xã hội Tuy nhiên thực tế đặc biệt lĩnh vực kinh tế, thị trường chứng khoán, học thống kê, khí tượng thuỷ văn,…ta thường gặp hệ ngẫu nhiên mà khứ có ảnh hưởng mạnh đến tiến triển tương lai Khi làm dự báo cho trình thế, ta cần phải tính đến khơng mà q khứ Mơ hình xác suất để nghiên cứu trình trình dừng Để phục vụ nghiên cứu q trình dừng cơng cụ tốn học cần thiết bao gồm khái niệm trình cấp hai, hàm tự tương quan, phép tính tích phân, vi phân cho q trình cấp hai tích phân ngẫu nhiên độ đo ngẫu nhiên gia số trực giao Quá trình Wiener trình ngẫu nhiên liên tục quan trọng gặp nhiều thực tiễn Trong dạng nguyên thủy toán liên đến chuyển động hạt chuyển động bề mặt chất lỏng, nhận cú "hích" từ phân tử chất lỏng Hạt xem chịu lực ngẫu nhiên mà, phân tử nhỏ gần nhau, xem liên tục và, hạt bị giới hạn mặt chất lỏng sức căng bề mặt, điểm thời gian vector song song với bề mặt Trong luận văn chúng tơi tập trung nghiên cứu số tính chất trình Wiener trình liên quan Luận văn gồm hai chương Chương Trình bày số kiến thức trình ngẫu nhiên trình cấp Chưong Nghiên cứu số tính chất q trình Wiener q trình liên quan Luận văn thực trường Đại Học Vinh hướng dẫn trực tiếp Tiến sỹ Nguyễn Trung Hồ Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy dành cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trường Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Văn Quảng, PGS TS Trần Xuân Sinh, PGS TS Phan Đức Thành, thầy cô giáo môn xác suất thống kê ứng dụng, Khoa Toán, Khoa sau đại học Trường Đại Học Vinh Vinh, tháng 12 năm 2008 Tác giả Chương Một số kiến thức trình ngẫu nhiên trình cấp 1.1 Q trình ngẫu nhiên 1.1.1 Định nghĩa kí hiệu Đối tượng nghiên cứu trình ngẫu nhiên họ vô hạn biến ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t ∈ T Giả sử T tập vơ hạn Nếu với t ∈ T , Xt biến ngẫu nhiên ta kí hiệu X = { X t , t ∈ T } , gọi X hàm ngẫu nhiên (Với tham biến t ∈ T ) +) Nếu T tập đếm ta gọi X = { X t , t ∈ T } trình ngẫu nhiên với tham số rời rạc +) Nếu T = ¥ ta gọi X = { X n , n ∈ ¥ } dãy biến ngẫu nhiên (một phía) +) Nếu T = ¢ ta gọi X = { X n , n ∈ ¢} dãy biến ngẫu nhiên hai phía +) Nếu T khoảng đường thẳng thực, tức là, T thuộc tập sau: (−∞, ∞), [a, ∞), (−∞, b], [a, b), [a, b], (a, b], (a, b), ta gọi X = { X t , t ∈ T } trình ngẫu nhiên với tham số liên tục trường hợp thế, tham số t đóng vai trị thời gian +) Nếu T tập ¡ d , ta gọi X = { X t , t ∈ T } trường ngẫu nhiên Nói chung, ta thường nghiên cứu q trình ngẫu nhiên có dạng X = { X n , n ∈ ¥ } ; X = { X t , t ∈ [0, ∞)} , X = { X t , t ∈[0, 1]} 1.1.2 Phân phối hữu hạn chiều Giả sử X = { X t , t ∈ T } trình ngẫu nhiên, I = (t1,…,tn) tập hữu hạn T Hàm phân phối đồng thời X t , , X t : { n F1 ( x1 , , xn ) = F ( x1 , , xn ; t1 , , tn ) = P X t ≤ x1 , , X t ≤ xn n } gọi phân phối hữu hạn chiều X ứng với I, tập {F1} gọi họ phân phối hữu hạn chiều X Đấy khái niệm then chốt lý thuyết trình ngẫu nhiên Nhiều tính chất quan trọng q trình xác định tính chất họ phân phối hữu hạn chiều Rõ ràng họ phân phối hữu hạn chiều thoả mãn điều kiện sau: (i) Điều kiện đối xứng, tức là, F ( x1, , xn ; t1 , , tn ) không thay đổi hoán vị cặp ( xk , tk ) (ii) Điều kiện quán theo nghĩa lim F ( x1 , , xn ; t1, , tn ) = F ( x1, , xn −1; t1, , t n−1 ) xn →∞ Hai trình tập tham số (nhưng xác định khơng gian xác suất khác nhau) gọi tương đương ngẫu nhiên yếu, chúng có họ phân phối hữu hạn chiều Hai trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } Y = { Yt , t ∈ T } không gian xác suất ( Ω , , P) gọi là: +) Tương đương ngẫu nhiên hay Y X, với t ∈ T ta có P { ω ∈Ω | X t (ω ) = Yt (ω )} = +) Bằng nhau, P { ω ∈Ω | X t (ω ) = Yt (ω ), ∀t ∈ T } = Hiển nhiên hai trình tương đương ngẫu nhiên; hai trình tương đương ngẫu nhiên tương đương ngẫu nhiên yếu 1.1.3 Quỹ đạo khơng gian quỹ đạo Cho q trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } không gian xác suất ( Ω , , P) Khi cố định ω ∈ Ω, X( ω ) = X.( ω ) : T → ¡ hàm số t ∈ T Ta gọi X.( ω ) quỹ đạo (thể hay hàm chọn) trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } ứng với ω Các tính chất quỹ đạo cho phép ta phân loại trình ngẫu nhiên Chẳng hạn, T khoảng đó, ta nói: +) X = { X t , t ∈ T } trình liên tục, hầu hết quỹ đạo hàm liên tục, tức là: P{ ω ∈ Ω | X.(ω ) hàm liên tục t ∈ T } = +) X = { X t , t ∈ T } trình bước nhảy, hầu hết quỹ đạo hàm bậc thang +) X = { X t , t ∈ T } q trình khơng có gián đoạn loại hai, hầu hết quỹ đạo hàm khơng có gián đoạn loại hai Ta kí hiệu ¡ T không gian tất hàm thực xác định T Mỗi phần tử ¡ T kí hiệu x• Ta gọi ¡ T khơng gian quỹ đạo Như vậy, ta xem trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } không gian xác suất ( Ω , , P) ánh xạ từ Ω vào không gian quỹ đạo: X : Ω → ¡ T , X( ω ) = X g( ω ) Nói chung, miền giá trị ánh xạ không gian E ¡ T Chẳng hạn, Nếu X trình liên tục, với xác suất 1, miền giá trị X không gian E = C(T) gồm hàm liên tục T; X q trình khơng có gián đoạn loại hai, với xác suất 1, miền giá trị X không gian E = D(T) gồm hàm khơng có gián đoạn loại hai T Trong trường hợp thế, ta xem q trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } không gian xác suất ( Ω , , P) ánh xạ từ Ω vào không gian E: X : Ω → E , X( ω ) = X g( ω ) +) Ví dụ cuối mục 1.1.2 chứng tỏ tồn hai trình X, Y tương đương ngẫu nhiên, X có tất quỹ đạo liên tục, tất quỹ đạo Y gián đoạn 1.1.4 Phân phối trình ngẫu nhiên khơng gian quỹ đạo Cho trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } không gian xác suất ( Ω , , P) Như trình bày trên, ta xem X = X g ánh xạ từ không gian mẫu Ω vào không gian quỹ đạo: X( ω ) = X g( ω ) Hơn nữa, với tập trụ CI ( B ) ta có: { } { ω ∈ Ω | X( ω )∈ CI ( B ) } = ω ∈Ω | ( X t , , X t ) ∈ B ∈  n T Từ suy X ánh xạ đo từ ( Ω , ) vào ( ¡ ,σ (C )) , tức X-1(C) ∈ , ∀C ∈ σ (C ) Do đó, hàm tập PX(C) = P(X-1(C)), ∀C ∈ σ (C ) độ đo xác suất σ (C ) Ta gọi PX phân phối xác suất không gian quỹ đạo trình X = { X t ,t ∈T} 1.1.5 Định lý tồn Kolmogorov Bây ta quan tâm đến toán ngược lại: Cho trước họ phân phối hữu hạn chiều (PI ) (trên ¡ I ) thoả mãn điều kiện đối xứng qn Tìm khơng gian xác suất ( Ω , , P) trình X = { X t , t ∈ T } xác định ( Ω , , P) cho họ phân phối hữu hạn chiều (PI ), tức là, { } P ω ∈ Ω | ( X t , , X t ) ∈ B = PI (B), ∀B ∈I n Định lý Tồn không gian xác suất ( Ω , , P) trình X = { X t , t ∈ T } xác định ( Ω , , P) nhận PI làm họ phân phối hữu hạn chiều Ta khơng cho chứng minh chi tiết định lý này, ý cách xây dựng tường minh +) Lấy không gian quỹ đạo làm không gian mẫu: Ω = ¡ T , ω = x• +) Lấy σ - trường trụ làm σ - trường sở:  = σ (C ) +) Độ đo xác suất sở P xác định sau: với tập trụ CI ( B) P(CI(B)) = PI (B) Theo điều kiện đối xứng quán, ta chứng minh định nghĩa không phụ thuộc vào biểu diễn tập trụ, tức là, tập C có hai cách biểu diễn: C = CI ( B) = CI ' ( B ') P(CI(B)) = P(CI' (B')) Sau chứng minh P có tính chất cộng tính đếm trường tập trụ C nhờ định lý mở rộng độ đo, ta nhận độ đo xác suất P σ (C ) +) Lấy hàm toạ độ làm trình ngẫu nhiên, tức là, Xt : ¡ T →¡ , X t ( x• ) = xt Quá trình vừa xây dựng gọi q trình tắc Theo định lý trình ngẫu nhiên, tồn trình tắc tương đương ngẫu nhiên yếu với Chú ý Định lý tồn Kolmogorov tổng quát: điều kiện tự nhiên: đối xứng quán, khơng địi hỏi điều kiện khác Tuy nhiên, ta cần lưu ý điểm sau đây: Thứ là, không gian quỹ đạo ¡ T lớn Thứ hai là, σ - trường trụ σ (C ) không chứa nhiều tập hợp quan trọng như: tập C(T) gồm hàm liên tục T; tập hàm bị chặn Điều do: tập σ (C ) ràng buộc số đếm toạ độ, tính liên tục, chẳng hạn, ràng buộc tất toạ độ (trong lân cận có lực lượng khơng đếm được) Thật vậy, ta trở lại ví dụ xét cuối 1.1.2: Ω = [ 0,1] ,  σ - trường Borel [0, 1], P độ đo Lebesgue thông thường, T = [ 0,1] , X t (ω ) = 0, ∀ω ∈ [ 0,1] , ∀t ∈ [ 0,1] ,  víi t ≠ ω Yt (ω )t =  1 víi t = ω Hai trình tương đương ngẫu nhiên, nên có phân phối khơng gian quỹ đạo: PX = PY Nếu C(T) ∈ σ (C ) = P(X ∈ C (T )) = PX ( C (T ) ) = PY ( C (T ) ) = P(Y ∈ C (T )) = Vô lý! Một vấn đề quan trọng lý thuyết trình ngẫu nhiên là: tìm điều kiện đặt lên họ phân phối hữu hạn chiều để bảo đảm q trình cho có liên tục, khơng có gián đoạn loại hai, v v… 1.1.6 Bản liên tục Định lý Cho X = { X t , t ∈ [ 0,1] } q trình ngẫu nhiên khơng gian xác suất đủ ( Ω , , P) Giả sử với tất t , t + h ∈ [ 0,1] P { X t + h − X t ≥ g (h)} ≤ q (h), g q hàm chẵn h, không tăng h ↓ cho ∞ ∑ g (2 −n ) < ∞, n =1 ∞ ∑2 n q(2− n ) < ∞ n =1 X có liên tục Chú ý Có thể chứng minh rằng: Mỗi q trình có liên tục Chính xác hơn, hai trình ngẫu nhiên liên tục xác định không gian xác suất tương đương ngẫu nhiên Hệ Cho X = { X t , t ∈ [ 0,1] } q trình ngẫu nhiên khơng gian xác suất đủ ( Ω , , P) Giả sử với tất t , t + h ∈ [ 0,1] p E X t +h − X t ≤ Kh ln h 1+ r , p < r K số dương Khi X có liên tục Chứng minh: Suy trực tiếp từ bất đẳng thức Markov: 10 Vì gia số biến ngẫu nhiên độc lập, nên n −1 n −1 Var ∑ ( Wt − Wt ) = ∑ Var ( Wt − Wt )2 i =0 i+1 i i+1 i =0 i n −1 = ∑ [E ( Wt − Wt )4 − (E ( Wt − Wt ) ) ] i+1 i =0 i i+1 i n-1 = ∑ [3(ti +1 − ti ) − (ti +1 − ti )2 ] i=0 n-1 = 2∑ (ti +1 − ti ) i=0 ≤ I (b − a) → ( I → 0) Bây ta đặt n-1 S = ∑ Wt − Wt i+1 i=0 i ý ES = / π ∑ ti +1 − ti ≥ / π b−a I → ∞, ( I → 0) VarS = ES2 - (ES)2 = (1 − / π )(b − a) Với A dương tuỳ ý chọn I đủ bé cho ES > A Khi đó, ta có P { S ≤ A} ≤ P{|S- ES| ≥ ES - A} ≤ VarS/(ES - A)2 → I → Nếu Wt có biến phân giới nội, tức là, với xác suất sup S < ∞ I với A P{sup S ≥ A} ≥ P{S ≥ A} → I ( I → 0) Vơ lý! 2.4.3 Các tính chất q trình Wiener Tính chất 1: W(t), t ≥ trình Wiener với tham số σ Khi kỳ vọng phương sai 34 ∫ W (t )dt 1  σ2 E  ∫ W (t)dt  = 0  2σ Var( ∫ W (t )dt ) = Chứng minh: 1  σ 2t σ 2 |0 = Ta có: E  ∫ W (t)dt  = ∫ EW (t)dt = ∫ σ tdt = 2 0  Và 1 1 0 0 Var( ∫ W (t )dt ) = ∫∫ r ( s, t ) st = ∫∫ 2σ min( s, t )dsdt = 2σ 1 ∫∫ min(s, t )dsdt ( gi¶ sư s < t) 0 = 2σ ∫ dt ∫ sds 4σ 2σ = = Tính chất 2: W(t), t ≥ q trình Wiener với tham số σ Với 1 0 X = ∫ td W(t), Y = ∫ t d W(t) Khi σ2 σ2 EX = 0, EY = 0, VarX = , VarY = hệ số tương quan X Y ρ ( s, t ) = Chứng minh: 35 15 a) Ta tìm kỳ vọng phương sai X Y: sử dụng công thức b  E  ∫ f (t ) d W(t)  = a  b b  Var  ∫ f (t ) d W(t)  = σ ∫ f (t )dt a a  Ta có: b  EX = E  ∫ f (t ) d W(t)  = a  1  σ2 2 VarX = Var  ∫ f (t )d W(t)  = σ ∫ t dt = 0  b  EY = E  ∫ t d W(t) = a  1  σ2 VarY= Var  ∫ t d W(t)  = σ ∫ t dt = 0  b) Tìm hệ số tương quan X Y Ta có: ρ ( s, t ) = Cov( X ( s ), Y (t ) VarX(s)VarY(t) Do VarX(s) = EX(s)X(s) - m2(s) 1  = EX (s) = E  ∫ sd W(s).∫ sd W(s)  0  σ2 = σ ∫ s ds = 2 Tương tự σ2 VarY(t)= Mặt khác Cov(X(s), Y(t)) = EX(s)Y(t) - m(s)m(t) = EX(s)Y(t) 36 1  = E  ∫ sd W(s).∫ t d W(s)  0  1  = E  ∫ td W(t).∫ t d W(t) 0  =σ ∫ t dt = σ2 Do σ2 15 ρ ( s, t ) = = σ2 σ2 Tính chất 3: W(t), t ≥ q trình Wiener với tham số σ Khi hàm trung bình tự tương quan trình sau: t a) X (t ) = ∫ sd W(s) , t ≥ m(t) = r ( s, t ) = σ s3 t b) X (t ) = ∫ cos tsd W(s) , − ∞ < t < ∞ m(t) = r ( s, t ) = σ  sin( s + t ) sin( s − t )  +  (s + t ) (s − t )    t c) X (t ) = ∫ (t − s)d W(s) , − ∞ < t < ∞ m(t) = t −1 σ  ( t − s − s + t + nÕu t − s s > t - thì: s t −s  t r(s, t) = E  ∫ (s - u )d W(u) + ∫ (s - u )d W(u)  ∫ (t - u )d W(u) t −1  s −1  t −1 t t − s  = + E  ∫ (s - u )d W(u) + ∫ (t - u )d W(u)  t −1  s −1   u u3  s = σ  stu − ( s + t ) +  |t −1 2  = σ  (t − s )3 − 3( s + t ) +    Như σ  ( t − s − s + t + nÕu t − s số ε Khi X(t) q trình Gauss dừng với hàm tự tương quan σ t  (1 − ) nÕu t ≤ ε r (t ) =  ε ε 0 nÕu t > ε  Chứng minh: 40 1) Chứng minh X(t) trình Gauss dừng Ta có n X(t) q trình Gauss dừng ⇔ ∑ α i X (ti ) có phân phối chuẩn i =1 Với ∀n ∈ ¥ * , ti ∈ [ 0, ∞ ) ,α i ∈ ¡ (i = 1, n) n n i =1 i =1 E[∑ α i X (ti )]=∑ α i EX (ti ) = +) Ta có n n i =1 i =1 +) Var[∑ α i X (ti )]=E[∑ α i X (ti )] = n = E[∑α i2 X (ti ) + 2∑ α iα j X (ti ) X (t j )]= i =1 i≠ j n = [∑ α i2 EX (ti ) + 2∑ α iα j EX (ti ) X (t j )] i =1 i≠ j Ta có  W(ti + ε ) − W(ti )  EX (ti ) = E   ε   2 i = Do E  W (ti + ε ) + W (ti ) − W(ti ) W(ti + ε )   ε  EW(ti + ε ) = σ (ti + ε ), EW(ti ) = σ 2ti EW(ti ) W(ti + ε ) = σ min(ti , ti + ε ) = σ 2ti Nên EX (ti ) = σ (ti + ε ) Mặt khác  W(ti + ε ) − W(ti )   W(t j + ε ) − W(t j )  EX (ti ) X (t j ) = E    ε ε    = E [ W(ti + ε ) − W(ti ) ]  W(t j + ε ) − W(t j )    ε2 Giả sử ≤ ti ≤ t j phân biệt hai trường hợp: 41 a) t j > ti + ε : Trong trường hợp khoảng (ti , ti + ε ) (t j , t j + ε ) rời nhau, W(ti + ε ) − W(ti ) W(t j + ε ) − W(t j ) độc lập, EX (ti ) X (t j ) = b) ti ≤ t j ≤ ti + ε : Trong trường hợp ta có E [ W(ti + ε ) − W (ti ) ]  W(t j + ε ) − W(t j )  =   = E  W(ti + ε ) − W (t j ) + W(t j ) − W (ti )   W(t j + ε ) − W(t j )     E  W (ti + ε ) − W(t j )   W(t j + ε ) − W(t j )     (Vì W(t j ) − W(ti ) W(t j + ε ) − W(t j ) độc lập Lại có E  W (ti + ε ) − W(t j )   W(t j + ε ) − W(t j )  =    = E  W(ti + ε ) − W (t j )   W(t j + ε ) − W(ti + ε ) + W(ti + ε ) − W(t j )     = E  W(ti + ε ) − W (t j )   W(ti + ε ) − W(t j )     (Vì W(ti + ε ) − W(t j ) W(t j + ε ) − W(ti + ε ) độc lập) Vì E [ W(ti + ε ) − W (ti ) ]  W (t j + ε ) − W(t j )  = σ (ti + ε − t j ) = σ [ε − (t j − ti )]   Tương tự với ≤ t j ≤ ti Tóm lại ta có σ  (ε − t j − ti ) nÕu t j − ti ≤ ε EX (ti ) X (t j ) =  ε 0 nÕu t j − ti > ε  Đặt (ε − t j − ti ) nÕu t j − ti ≤ ε  K (ti , t j ) =  nÕu t j − ti > ε 0  Khi   n  σ2  n Var  ∑ α i X (ti )  =  ∑ α i2 (ti + ε ) + 2∑α iα j K (ti , t j )  i= j  i =1  ε  i =1  42 Suy X(t) trình Gauss 2) Ta có hàm tự tương quan q trình X(t) σ t  (1 − ) nÕu t ≤ ε r (t ) =  ε ε 0 nÕu t > ε  Vậy X(t) trình Gauss dừng với hàm tự tương quan Cho W(t) trình Wiener với tham số σ Đặt Tính chất 6: X (t ) = e −α t W(e 2αt ), α > số Khi X(t) q trình Gauss dừng với hàm tự tưong quan r (t ) = σ 2e−α t , − ∞ < t < ∞ Chứng minh: 1) Chứng minh X(t) trình Gauss dừng Ta có n X(t) q trình Gauss ⇔ ∑ β i X (ti ) có phân phối chuẩn i =1 Với ∀n ∈ ¥ * , ti ∈ [ 0, ∞ ) , βi ∈ ¡ (i = 1, n) n n i =1 i =1 E[∑ β i X (ti )]=∑ βi EX (ti ) = +) Ta có n n i =1 i =1 +) Var[∑ βi X (ti )]=E[∑ β i X (ti )] = n = E[∑ β i2 X (ti ) + 2∑ β i β j X (ti ) X (t j )]= i =1 i≠ j n = [∑ β i2 EX (ti ) + 2∑ β i β j EX (ti ) X (t j )] i =1 Mà i≠ j EX (ti ) = E e −2α t W 2e 2α t  = e−2α t E W2 (e 2α t ) = e −2α t σ 2e 2α t = σ   i i i Không tổng quát, giả sử ≤ ti ≤ t j Khi 43 i i i EX (ti ) X (t j ) = EX (ti )  X (ti ) + X (t j ) − X (ti )    = EX (ti ) + EX (ti )  X (t j ) − X (ti )    = EX (ti ) + EX (ti ) E  X (t j ) − X (ti )    = EX (ti ) = σ n  n  n 2 2 Vậy V ar  ∑ βi X (ti )  = ∑ βi σ i + 2∑ βi β jσ =σ (∑ β i ) i≠ j i =1  i =1  i =1 Suy X(t) trình Gauss 2) Ta tìm hàm tự tương quan trình X(t) r ( s, t ) = EX ( s ) X (t ) = e −α ( s +t ) E W 2e 2α s W 2e 2α t = e −α ( s+t )σ min(e2α s , e2α t ) Giả sử ≤ s ≤ t Thế ta có r ( s, t ) = σ 2e −α ( s +t )e 2α s = e 2α s = σ 2e −α (t −s ) Hoàn toàn tương tự cho trường hợp ≤ t ≤ s Và tính chất đối xứng, ta suy hàm tự tương quan trình X(t) r (t ) = σ 2e−α t , − ∞ < t < ∞ Vậy X(t) trình Gauss dừng với hàm tự tương quan nêu Tính chất 7: W(t) trình Wiener với tham số σ Đặt X (t ) = t +1 ∫ [ W(s)-W(t)]ds, −∞