Đang tải... (xem toàn văn)
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, hình chiếu vuông góc của S trên mpABC trùng với trung điểm H của cạnh AB, cạ[r]
(1)THPT NGUYỄN HỮU CẢNH ĐỀ CƯƠNG TOÁN 12 HK I CHƯƠNG I: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x) xác định trên D, với D là khoảng, đoạn nửa khoảng a Hàm số y f ( x ) gọi là đồng biến trên D x1 , x2 D, x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) b Hàm số y f ( x ) gọi là nghịch biến trên D x1 , x2 D, x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f ( x ) có đạo hàm trên khoảng D a Nếu hàm số y f ( x ) đồng biến trên D thì f '( x) 0, x D b Nếu hàm số y f ( x ) nghịch biến trên D thì f '( x) 0, x D Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: a, b và có đạo hàm trên khoảng (a,b) a Định lý Nếu hàm số y f ( x) liên tục trên đoạn thì tồn ít điểm c ( a, b) cho: f (b) f ( a) f '(c)(b a ) b Định lý Giả sử hàm số y f ( x ) có đạo hàm trên khoảng D - Nếu f '( x) 0, x D và f '( x) 0 số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số - đồng biến trên D Nếu f '( x) 0, x D và f '( x ) 0 số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số nghịch biến trên D Nếu f '( x) 0, x D thì hàm số không đổi trên D Tính chất hàm số đơn điệu: a Cho hàm số y f ( x ) đồng biến ( nghịch biến) trên D thì phương trình f ( x ) 0 có nhiều nghiệm b Cho hàm số y f ( x ) đồng biến ( nghịch biến) trên D Khi đó: phương trình f ( x) f y x y c Cho hàm số y f ( x ) đồng biến và y g ( x ) nghịch biến trên D Khi đó, phương trình f ( x) g y có nhiều nghiệm d Cho hàm số y f ( x ) đơn điệu trên D Nếu phương trình f '( x) 0 có k nghiệm ( k hữu hạn) thì phương trình f ( x ) 0 có nhiều ( k+1) nghiệm II BÀI TẬP A Dạng 1.Xét chiều biến thiên hàm số y f ( x ) y x x 2 y x 3x 12 x 10 3 y x 3x x 1 y x4 x2 1 4 Đề cương toán 12 - HKI T SANG (2) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 2 y x3 x 3 x3 y x 3x 3x 1 y 2x x2 x 1 y 2x x2 x y x 10 y x x x 11 y 2 x x 12 y x 3x x 13 y x x 12 14 y x x2 15 y 2 10 x x B Dạng Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước y x mx (m 6) x 2m đồng biến trên R x3 y ( m 2) x (m 8) x nghịch biến trên R (m 1) x y mx (3m 2) x 3 nghịch biến trên tập xác định nó mx y x m đồng biến trên khoảng xác định nó x2 x m y= mx đồng biến trên khoảng xác định nó y mx 3x (m 2) x nghịch biến trên R 2 y x (m 1) x (m 2) x m nghịch biến trên R 1 m y x m x m x nghịch biến trên R m 1 x3 mx 3m x tăng trên R 10 y 3x x mx tăng trên (-1; ) y f ( x) 4mx x 2m 1 x 1 1; 11 tang trên y Đề cương toán 12 - HKI T SANG (3) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH x2 3x m ; x 1 12 giảm trên ( ) 1 y f ( x) mx3 m 1 x m x 3 tăng trên 2, 13 mx y f ( x) x m giảm trên khoảng ,1 14 x m 1 x 4m 4m y f ( x) x m 1 0, 15 đồng biến trên y f ( x) x3 m 1 x m 3 x 0,3 16 tăng trên y y f ( x) x3 x m 1 x 4m 1,1 17 giảm trên C Dạng Sử dụng tính đơn điệu để giải PT,BPT,BĐT Bài 1: Giải các phương trình sau: x3 3x x x x x 1 3 3x x x x x x 6 Bài 2: Giải các hệ Phương trình sau x 1 x y 3 y 0 2 4 x y x 7 x x y y 1 x x xy 4 xy x 1 3 2 y xy 8 x y y 6 2 x 1 x y y x y 6 x 3 x y y 0 x x y y y 0 x y 0 x x y y 0 2 x x 6 y x y y x x Đề cương toán 12 - HKI T SANG (4) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH x3 12 x y y 16 0 x x y y 0 3 x y y x x xy y x y 13 y 14 x 5 y y y x 22 x 21 x 1 x 2 x 11x 2 y 10 y x 3x y y y x 1 0 x y x y xy 11 4 x x 12 y 4 y 13 y 18 x x x x y y y 0 12 x5 xy y10 y x y 6 13 x x x 1 y y 1 1 y xy 2012 y y 2013 x 14 BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x) xác định trên D⊂R và x0 D x0 gọi là điểm cực đại hàm số y f ( x) tồn (a,b) chứa điểm x0 f ( x) f ( x0 ), x (a, b) \ x0 cho (a, b) D và Khi đó f ( x0 ) gọi là già trị cực đại hàm số và M ( x0 ; f ( x0 )) gọi là điểm cực đại hàm số x0 gọi là điểm cực tiểu hàm số y f ( x ) tồn (a,b) chứa điểm x0 cho (a, b) D và f ( x) f ( x0 ), x (a, b) \ x0 Khi đó f ( x0 ) gọi là giá trị cực tiểu hàm số và M ( x0 ; f ( x0 )) gọi là điểm cực tiểu hàm số Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị hàm số Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Giả sử hàm số y f ( x) có cực trị x0 Khi đó, y f ( x ) có đạo hàm điểm x0 thì f '( x0 ) 0 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị : Định lý (Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số ) Giả sử hàm số y f ( x ) liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng ( a, x0 ) và ( x0 , b) Khi đó : Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu x0 Đề cương toán 12 - HKI T SANG (5) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại x0 Định lý (Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số ) Giả sử hàm số y f ( x ) có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm x0 , f '( x0 ) 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Khi đó: Nếu f ''( x0 ) thì hàm số đạt cực đại điểm x0 Nếu f ''( x0 ) thì hàm số đạt cực tiểu điểm x0 II BÀI TẬP A Dạng Tìm cực trị hàm số x3 y x2 3x 2 y x x 3x y 2x 4 y x x x 3x y x y x x 2x y x2 x 1 x2 x y x 1 y x x 10 y 5 x x x3 y x2 11 B Dạng 2.Tìm điều kiện tham số để hàm số có cực trị thõa mãn điều kiện cho trước y x3 mx2 m 1 x 1 đạt cực đại x x mx y xm đạt cực tiểu x 2 x3 7m 1 x 16 x m 3 để hàm số có cực trị y x mx m 36 x để hàm số có cực đại cực tiểu 2 x mx 2m y x 1 để hàm số có cực trị y Đề cương toán 12 - HKI T SANG (6) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT .Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x ) xác định trên D⊆R Nếu tồn điểm x0 D cho f ( x) f ( x0 ), x D thì số M f ( x0 ) M Max f ( x) xD gọi là giá trị lớn hàm số f(x) trên D, ký hiệu x D, f ( x) M M Max f ( x) xD x0 D, f ( x0 ) M Như Nếu tồn điểm x0 D cho f ( x) f ( x0 ), x D thì số m f ( x0 ) gọi là giá trị nhỏ hàm số f(x) trên D, ký hiệu x D, f ( x) m m Min f ( x) xD x0 D, f ( x0 ) m Như m Min f ( x) xD .Phương pháp tìm GTLN,GTNN hàm số : Cho hàm số y f ( x ) xác định trên D⊆R Bài toán 1.Nếu D (a, b) thì ta tìm GTLN,GTNN hàm số sau: Tìm tập xác định hàm số Tính f '( x) và giải phương trình f '( x) 0 tìm nghiệm thuộc tập xác định Lập bảng biến thiên Kết luận D a, b Bài toán Nếu thì ta tìm GTLN,GTNN hàm số sau: Tìm tập xác định hàm số Tính f '( x) và giải phương trình f '( x) 0 tìm nghiệm x1 , x2 thuộc tập xác định Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ) f (b) M Max f ( x) m Min f ( x) x a ,b x a ,b Kết luận: Số lớn là và số nhỏ là Bài toán 3.Sử dụng các bất đẳng thức thông dụng : Cauchy, Bunhiacốpxki, … Bài toán 4.Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình, tập giá trị hàm số II BÀI TẬP A Dạng Tìm GTLN, GTNN hàm số 3x y f ( x) x trên 0; 2 2 y f ( x) x x x 1 y f ( x) x trên 1, 2 3x 10 x 20 y f ( x) x 2x B Dạng 3.Ứng dụng bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đề cương toán 12 - HKI T SANG (7) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 2 Cho x y 1 Tìm Max, Min biểu thức P 2( xy y ) xy x P x y 1 x 1 y Cho x, y và x y 1 Tìm Min biểu thức 2 Cho hai số thực thay đổi x,y thõa mãn x y 1 Tìm GTLN, GTNN biểu thức 2( x xy ) P xy y Cho hai số thực không âm x, y thay đổi và thõa điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ 2 và giá trị lớn biểu thức P (4 x y )(4 y 3x ) 25 xy BÀI 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I LÝ THUYẾT Đường tiệm cận đứng Đường thẳng (d): x x0 gọi là đường tiệm cận đứng đồ thị (C) hàm số y f ( x) lim f ( x ) x x0 lim f ( x ) x x0 lim f ( x ) lim f ( x ) Hoặc x x0 x x0 Đường tiệm cận ngang Đường thẳng (d): y y0 gọi là đường tiệm cận ngang đồ thị (C) hàm số f ( x) y0 lim f ( x) y0 y f ( x ) xlim x Đường tiệm cận xiên Đường thẳng (d) y ax b(a 0) gọi là tiệm cận xiên đồ thị (C) đồ thị lim f ( x ) (ax b) 0 lim f ( x) ( ax b) 0 hàm số y f ( x ) x x Chú ý: Cách tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số y f ( x) Đường thẳng (d) y ax b(a 0) là tiệm cận xiên đồ thị hàm số y f ( x ) và f ( x) f ( x) a lim ; b lim f ( x) ax a lim ; b lim f ( x) ax x x x x x x II BÀI TẬP Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng đồ thị hàm số sau: 2x y f ( x) x 1 a x2 x y f ( x) x2 b 3x y f ( x) x 27 c Đề cương toán 12 - HKI T SANG (8) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH y f ( x) 5 x d Tìm các tiệm cận đồ thị hàm số sau: y f ( x) 2 x x 1 a 3x x y f ( x) 3x 1 b y f ( x) c x3 x x2 x 1 x2 5x 2x d Tìm các tiệm cận các đồ thị hàm số sau: y f ( x) x 1 y f ( x) 2x a 2x y f ( x) x2 x b c y f ( x) 2 x x2 x 2 d y f ( x) 3x x BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I LÝ THUYẾT Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y f ( x) có đồ thị (C) điểm Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M ( x0 , y0 ) (C ) có dang : y f '( x0 )( x x0 ) y0 Trong đó f '( x0 ) gọi là hệ số góc tiếp tuyến tiếp điểm M ( x0 , y0 ) Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y f ( x) có đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước Gọi M ( x0 , y0 ) là tiếp điểm tiếp tuyến, ta có M (C ) y0 f ( x0 ) Phương trình tiếp tuyến có dạng y f '( x0 )( x x0 ) y0 Vì hệ số góc tiếp tuyến k nên f '( x0 ) k , giải PT f '( x0 ) k tìm x0 y0 Kết luận Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc Nếu hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc -1 Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y f ( x) có đồ thị (C) qua điểm A( xA , y A ) Cách 1: ( Điều kiện tiếp xúc) Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A với hệ số góc k Đề cương toán 12 - HKI T SANG (9) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH d: y k ( x xA ) y A (1) d là tiếp tuyến đồ thị hàm số và hệ phương tình có nghiệm f ( x ) k ( x x A ) y A f '( x ) k (I) Giải hệ (I) tìm k Thay k vào (1) để viết phương tình tiếp tuyến Cách 2: ( Tọa độ tiếp điểm) Gọi M ( x0 , y0 ) là tiếp điểm tiếp tuyến, ta có M (C ) y0 f ( x0 ) Phương trình tiếp tuyến có dạng y f '( x0 )( x x0 ) y0 Tiếp tuyến qua A nên ta có: y A f '( x0 )( x A x0 ) y0 Giải tìm x0 y0 II BÀI TẬP A Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số x y f ( x) x có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị Cho hàm số a Tại điểm A(-2;3) b Tại điểm thuộc (C) có hoành độ c Tại điểm thuộc (C) có tung độ -2 d Tại các giao điểm (C) và đường thẳng y 2 x e Biết tiếp tuyến có hệ số góc f Biết tiếp tuyến song song đường thẳng d : y 32 x 2017 g Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y x 2017 Cho hàm số y f ( x ) x 3x có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị a Tại điểm A(2;4) b Tại điểm thuộc (C) có hoành độ -2 c Biết tiếp tuyến có hệ số góc d Biết tiếp tuyến song song đường thẳng d : y 24 x 2017 d:y 1 x 2017 45 e Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2x y f ( x) x có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị Cho hàm số a Tại điểm A(-2;5) b Tại điểm thuộc (C) có hoành độ -2 c Tại điểm thuộc (C) có tung độ d Tại các giao điểm (C) và hai trục tọa độ e Biết tiếp tuyến có hệ số góc f Biết tiếp tuyến song song đường thẳng d : y 12 x 2017 g Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y 12 x 2017 Cho hàm số y f ( x ) 4 x x x có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị Đề cương toán 12 - HKI T SANG (10) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 10 a Viết phương trình tiếp tuyến (C) A có hoành độ là b Biết tiếp tuyến có hệ số góc 28 c Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) x y 0 x x có đồ thị (C) Cho hàm số a Viết phương trình tiếp tuyến (C) M có tung độ b Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với góc phần tư thứ hai Cho hàm số y f ( x) x x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x y f ( x) x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết Cho hàm số tiếp tuyến qua điểm A(0, -2) Cho hàm số y f ( x) 4 x x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến y f ( x) đồ thị hàm số qua điểm M(-1, -9) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm M(2,0) y f ( x) 3x x biết tiếp tuyến B Dạng2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số thõa mãn điều kiện cho trước Cho hàm số y f ( x) x 3x x (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ 2 Cho hàm số y f ( x) x x 10 x 12 (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn m y f ( x) x x ( C ) 3 ( m là tham số ) Gọi M là điểm Gọi m là đồ thị hàm số thuộc (Cm ) có hoành độ -1.Tìm m để tiếp tuyến (Cm ) M song song với đường thẳng x y 0 2x x có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp Cho hàm số tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A,B và tam, giác OAB có diện tích x 1 y f ( x) x (C) Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) Cho hàm số hai điểm phân biệt A, B cho tiếp tuyến (C) A và B song song với y f ( x) Đề cương toán 12 - HKI T SANG (11) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 11 x2 x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết Cho hàm số tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung A và B và tam giác OAB cân O x2 x y f ( x) x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) Cho hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên đồ thị hàm số x2 x y f ( x) x có đồ thị (C) Tìm trên (C) các điểm A để tiếp Cho hàm số tuyến đồ thị hàm số A vuông góc với đường thẳng qua A và tâm đối xứng đồ thị hàm số Cho hàm số y f ( x) x 3x có đồ thị (C) Viết phương trình Parabol qua y f ( x) các điểm cực trị đồ thị (C) và tiếp xúc với đường thẳng y x y f ( x ) x x x 10 Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn 4x y f ( x) x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị 11 Cho hàm số (C) biết tiếp tuyến tạo với trục Ox góc 45 2x y f ( x) x có đồ thị (C) và điểm M thuộc (C) Gọi I là giao 12 Cho hàm số điểm hai tiệm cận đồ thị (C) Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A và B a Chứng minh M là trung điểm đoạn AB b Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi c Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ x 1 y x Chứng minh với m đường thẳng y x m luôn cắt 13 Cho hàm số đồ thị (C) hai điểm phân biệt A và B Gọi k1 , k2 là hệ số góc tiếp tuyến với ( C) A và B Tìm m để tổng k1 k2 đạt giá trị lớn C Dạng Biện luận số tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm Cho hàm số y f ( x) x x (C) Tìm trên đường thẳng x = điểm mà từ đó có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) hàm số Cho hàm số y f ( x) x x (C) Tìm trên đường thẳng y= điểm mà từ đó có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) hàm số 3 Cho đường thẳng (d):x = và hàm số y f ( x) x x x có đồ thị (C) Từ điểm trên (d) có thể bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị (C) Cho hàm số y f ( x) x 3x có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm mà từ đó kẻ đến đồ thị (C) hàm số hai tiếp tuyến vuông góc với Cho hàm số y f ( x) x x có đồ thị (C) a Viết phương trình tiếp (C) qua gốc tọa độ O Đề cương toán 12 - HKI T SANG (12) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 12 b Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến với (C) M còn cắt (C) hai điểm A và B cho A là trung điểm MB c Tìm điểm M trên trục tung cho qua M có thể kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Cho hàm số y f ( x) x 3x có đồ thị (C) Tìm điểm trên trục Ox cho từ đó có thể kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) Cho hàm số y f ( x ) x 3x x có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y 2 x các điểm kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) Cho hàm số y f ( x) x 3x có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y x các điểm kẻ hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị (C) x 1 y f ( x) x có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết Cho hàm số khoảng cách từ điểm I(1,1) đến tiếp tuyến này là lớn 10 Cho hàm số y f ( x) x 3x có đồ thị (C).Tìm các điểm thuộc trục hoành mà từ đó có thể kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), đó có hai tiếp tuyến vuông góc với xm y f ( x) x Tìm m để từ điểm A(1,2) kẻ hai tiếp tuyến 11 Cho hàm số AB,AC đến đồ thị hàm số cho ABC ( Với B, C là hai tiếp điểm ) BÀI 7: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ I LÝ THUYẾT Giao điểm hai đồ thị Cho hàm số y f ( x ) có đồ thị (C1 ) và hàm số y g ( x) có đồ thị (C2 ) Hai đồ thị (C1 ) và (C2 ) cắt điểm M ( x0 ; y0 ) ( x0 ; y0 ) là nghiệm hệ y f (x) phương trình y g ( x ) Hoành độ giao điểm hai đồ thị (C1 ) và (C2 ) là nghiệm phương trình f ( x ) g ( x ) (1) Phương trình (1) gọi là phương trình hoành độ giao điểm (C1 ) và (C2 ) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C1 ) và (C2 ) Sự tiếp xúc hai đường cong Cho hai hàm số y f ( x ) và y g ( x) có đồ thị là (C1 ) và (C2 ) và có đạo hàm điểm x0 Hai đồ thị (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc với điểm chung M ( x0 , y0 ) điểm đó chúng có chung cùng tiếp tuyến Khi đó điểm M gọi là tiếp điểm Hai đồ thị (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc với và hệ phương trình sau có f ( x) g ( x) nghiệm f '( x) g '( x) Đề cương toán 12 - HKI T SANG (13) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH II a b 13 Nghiệm hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm BÀI TẬP x 1 y f ( x) x có đồ thị (C) và đường thẳng (d) : y x m Cho hàm số Chứng minh với m, (d) và (C) cắt hai điểm phân biệt Giả sử (d) và (C) cắt hai điểm A và B Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ Cho hàm số y f ( x) x x x (C) Định m để đường thẳng (d): y mx 2m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt Cho hàm số y f ( x) x 2( m 2) x 2m (Cm ) Định m để đồ thị (Cm ) cắt trục Ox bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Định m để đồ thị hàm số y f ( x) x mx m cắt trục Ox ba điểm phân biệt Cho hàm số y f ( x) x (3m 2) x 3m có đồ thị (Cm ) Tìm m để đường thẳng y cắt đồ thị (Cm ) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Cho hàm số y f ( x) x x (C) Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1,2) với hệ số góc k (k>-3) cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm AB Cho hàm số y f ( x) x x (C) Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3,20) và có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt x 1 y f ( x) x có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ Cho hàm số thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích ( O là gốc tọa độ ) Cho hàm số y f ( x) x x (1 m) x m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành 2 ba điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thõa mãn điều kiện x1 x2 x3 y f ( x ) x3 mx x m 3 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành 10 Cho hàm số x x22 x32 15 ba điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thõa mãn điều kiện 1 x có đồ thị (C) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng 11 Cho hàm số d: y = m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho OA vuông góc với OB (Với O là gốc tọa độ ) 12 Chứng minh đồ thị hàm số y f ( x) x ax bx c (C) cắt trục hoành ba y f ( x) x điểm cách thì điểm uốn nằm trên trục hoành x 1 y x có đồ thị (C) 13 Cho hàm số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho b Tìm k để đường thẳng y kx 2k cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A,B cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành Đề cương toán 12 - HKI T SANG (14) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 14 BÀI 8: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I LÝ THUYẾT Các bước chính tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y f ( x) Tìm tập xác định hàm số Sự biến thiên Tính các giới hạn và tìm các tiệm cận đồ thị hàm số (nếu có) Tính đạo hàm y’ và giải phương trình y’ = (nếu có) Lập bảng biến thiên Nêu kết luận tính biến thiên và cực trị hàm số Đồ thị Tìm các điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số (như giao với trục tung, trục hoành (nếu có) và lấy thêm số điểm đặc biệt khác) Vẽ đồ thị hàm số và nhận xét II BÀI TẬP: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau: y f ( x) x x b y x 3x c y f ( x) x x e y f ( x) x 3x d y f ( x) x 3x 2 f y f ( x) x( x 3) g y f ( x ) 2 x 3x Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau: a y f ( x) x x h y f ( x) x x x b y f ( x) 2 x x d y f ( x) x x c y f ( x) x x 1 y f ( x) x x 2 e f y f ( x) x x Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau: x 1 x 1 y f ( x) y f ( x) x2 x a b x x 1 y f ( x) y f ( x) x x 1 c d 2x y f ( x) y f ( x) x x e g CHƯƠNG II LŨY THỪA LOGARIT HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT BÀI 1: BÀI LŨY THỪA I LÝ THUYẾT A Định nghĩa Cho a là số thực tùy ý, n là số nguyên dương Khi đó tích n thừa số a gọi là lũy n thừa bậc n Kí hiệu: a Như vậy: n Trong biểu thức a thì a gọi là số, n gọi là số mũ Chú ý: Đề cương toán 12 - HKI T SANG (15) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH Với a 0 thì a 1 , a a , a , a n : không có nghĩa 15 a n an B Các phép toán lũy thừa Cho a, b là các số thực dương, m,n là hai số thực tùy ý m n m n a a a am a m n n a n a a ab m m n m a m.n a m b m m am a m b b m n + Nếu a thì a a m n m n + Nếu a thì a a m n m n a a m n m m a b a b Cho a, b là các số thực dương, m,n là hai số nguyên dương n am 10 11 12 13 14) II n a m m a n n a n b n a.b n a na b b n m n n n a 0 , a m n a a n a n lẻ an a n chẵn BÀI TẬP A DẠNG TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 5 3 2 I 5 0, A 4 5 B 9 27 144 : C 16 3 0,75 Đề cương toán 12 - HKI 0,25 3 1 10 J 4 2 11 K 63 22 31 T SANG 4 (16) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 3 16 2 D : : 16 : 3 1 E 0, 25 25 : : 4 F 153 L 251 12 13 N 81 14 G 2 21 .8 2 52 M 161 0,75 32 51 3 O 8 15 1 8 2 42 0, 001 2 7 5 H 8 : 3 B DẠNG ĐƠN GIẢN MỘT BIỂU THỨC 13 a a a3 A 1 a4 a4 a 1 12 2 a a a 1 B a 2a a a C a3 a3 a a a a3 a a 1 a b a b 14 D : a b4 1 a a b a b a E a 5 b a b b a b b3 a F a6b ax a x 2ab G = a x a x Với x = b và a > , b > Đề cương toán 12 - HKI 1 2 T SANG 1 2 27 33 (17) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 17 4a 9a a 3a 1 2 a a với < a 1, H = 2a 3a a b a b 3 a3b I = a b a 10 J = 4 a b x y 11 a a ab x K= 2 xy a : b a a 3 x x y x x y y a a 14 a a 1 12 L = a a BÀI HÀM SỐ LŨY THỪA I LÝ THUYẾT Định nghĩa Hàm số y x với gọi là hàm số lũy thừa Chú ý: Tập xác định hàm số lũy thừa y x tùy thuộc vào giá trị , cụ thể: Với nguyên dương, tập xác định là \ 0 Với nguyên âm 0, tập xác định là 0; ( x ) Với không nguyên, tập xác định là Đạo hàm hàm số lũy thừa Hàm số y x với có đạo hàm với x và u u 1.u Chú ý: Khảo sát hàm số lũy thừa y x x x 1 Đạo hàm II 0 y x Chiều biến thiên Hàm số luôn đồng biến Tiệm cận Không có Đồ thị Đồ thị luôn qua điểm (1;1) 0 y x Hàm số luôn nghịch biến Tiệm cận ngang là trục Ox Tiệm cận đứng là trục Oy BÀI TẬP Đề cương toán 12 - HKI T SANG (18) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 18 Bài Tìm tập xác định các hàm số sau: y x y x 11 y x2 12 2 13 y x2 x x 1 y x2 x 1 y x2 y x x y x 5 4 15 y x 3x x2 y x 19 y x 3x 1 y x 11 y x y x2 x BÀI LOGARIT I LÝ THUYẾT Đề cương toán 12 - HKI 10 13 12 y x x 13 y x x x2 y x 1 14 x2 x y x x2 y 18 x 20 10 y x x 18 y x x x y x x 1 x 1 y x 3 17 y x 3x 3 14 y x x 10 Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: y x y x2 x 3 y x4 16 x2 x y x y x y x y x x 3 y x x y x 15 5 15 y x 2x2 16 y x x T SANG (19) NHÓM ĐỊNH NGHĨA THPT NGUYỄN HỮU CẢNH NHÓM QUI TẮC BẢNG CÔNG THỨC LOGARIT loga b c a c b log a a 1 loga 0 ; ; log a a b b log b a a b log a b.c log a b log a c b 1 log a log a b log a c log a log a b c b ; log a b log a b NHÓM ĐỔI CƠ SỐ II 19 b log a b a log a n b log a b n log c log b c a log a b.log b c log a c log a b log a b log a b.log a 1 b log a b log BÀI TẬP Bài Tính log log log 16 log log3 15 log log 15 log log 5 log3 log3 27 log 5 Bài Tính 27 log a a a a a log10 10 1 log10 log10 2 log3 27 log3 3 log5 2 log5 3 log5 11 12 81log3 log 36 34log9 Đề cương toán 12 - HKI T SANG (20) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 20 81log3 27 log9 36 34log9 25log5 49log7 42log2 3 2log10 10 3log8 3 2log16 Bài Tính 42 log2 2 log 3 log7 log5 1 log5 log125 27 5 log 3log 36 log 8.log 81 log 25 log log8 12 log 15 log8 20 Bài 25 log8 49 log6 A log a3 a log a log a a a Cho a > 0; a khác Tính giá trị biểu thức: A log a a.b b c log b log c a a Cho và Tính log 2 , log 2 135 , log 180 , log3 37,5 , Cho log a , log b Tính log 1875 log 54 24 log 10 30 , , Cho log m Tính log 54 24 theo m Cho log a Tính log 25 15 theo a log Cho log 25 a , log b Tính Cho log a , log b Tính log30 49 8 Cho log a , log b Tính các logarit sau theo a và b a log5 27 c log 12 d log5 30 Cho log 27 a , log b , log c Tính log 35 theo a, b, c 10 Cho log a , log b , log c Tính log140 63 theo a, b, c 2 11 Cho a , b và a b 14ab Chứng minh rằng: b log 15 log a b log a log b 2 12 Cho a , b và a b 7ab Chứng minh rằng: Đề cương toán 12 - HKI log a b log a log b T SANG (21) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 21 2 13 Cho a , b và a 4b 12ab Chứng minh rằng: log a 2b log log a log b BÀI HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT I LÝ THUYẾT A Hàm số mũ Định nghĩa x Hàm số mũ là hàm số có dạng y a , a 1, x , a là số Tính chất a x 0, x Hàm số y a + Nếu a thì hàm số đồng biến trên + Nếu a thì hàm số nghịch biến trên Chẳng hạn: x 4 y a 1 là hàm đồng biến trên vì + x 1 y a 1 là hàm nghịch biến trên vì + B Hàm số logarit Định nghĩa 0 a 1 Hàm số logarit là hàm số có dạng y log a x , x , a gọi là số Tính chất log a x Hàm số y log a x 0; + Nếu a thì hàm số đồng biến trên khoảng 0; + Nếu a thì hàm số nghịch biến trên khoảng Chẳng hạn: 0; vì a 3 + log x là hàm đồng biến trên khoảng Đề cương toán 12 - HKI T SANG (22) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH + log x 22 a 1 vì 0; là hàm nghịch biến trên khoảng C Các công thức tính đạo hàm a a x 1) e e 3) x 5) 7) II x 2) u e u.e 4) x u log a x ln x a u.a ln a u ln a x.ln a 6) x 8) u log a u u u.ln a u u ln u BÀI TẬP Bài Tính đạo hàm các hàm số sau 1) 3) 5) 7) 9) y x2 2x ex y x 1 e3 x y x 4) y e cos x e x e x e x e x y 11) y ln x 6) y x x e x y s inx cos x e x 2) x 8) y 2 ln x x 10) y 4 x log x ex y ln x ln x 12) y ln x x Bài Tìm tập xác định các hàm số sau: 1) 3) 5) y log x x 10 y log x 3x y e 4) y log x 3x y log x 3x 1 3x x x e 1 2x y ln 1 x 7) 8) 2) y log x x 6) y log x y log x 3 8) 10) y log 3x x 1 Bài Chứng minh các hàm số thỏa mãn hệ thức đã ra: Đề cương toán 12 - HKI T SANG (23) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 1) y x 1 e x 23 x , y y e , y y y 0 x 2) y e s inx y x2ex x 3) , y y y e y ln y x , xy e 4) Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau 2x 1;0 1) y x e trên đoạn 3x 0; 2 2) y e trên đoạn y ln x x 1 1;3 3) trên đoạn x2 y ln x 2;1 4) trên đoạn 5) y x ln x trên đoạn 2;0 BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1: Phương pháp đưa cùng số f (x) a g ( x ) (1) Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho dạng : a Nếu số a là số dương khác thì (1) f ( x) g ( x) Nếu số a thay đổi (có chứa biến chứa tham số) thì a (1) (a 1) f ( x) g ( x) 0 (ít gặp) Bài : Giải các phương trình sau 2x x 8 41 x x x 1 2x 125 x 4 7 x x x 16 0 49 16 3x (3 2) 3 2 x 1 x x 6.5 3.5 52 x 3 x 3 35 x.55 x x 1 x 25 x x Đề cương toán 12 - HKI T SANG (24) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 24 x x 129 x 10 x 1 x 2 x 3 x x1 x 2 11 9.5 x x1 12 72 x x x 13 12 x 9 x 14 x 81x 15 2 x 16 ( x x 2) 4 x x x x x 17 4.3 0 Bài : Giải các phương trình sau 2 x 2 x ( x 1)3 ( x 1) x 1 ( x 1) x x x x x x 3 x x ( 10 3) ( 10 3) x x x 8.3 3.2 24 x 1 x 3 x x x x 2x 4.2 0 Dạng : Phương pháp đặt ẩn phụ f ( x) Đặt t a , t với a và f ( x) thích hợp để đưa phương trình biến số x đã cho phương trình với biến t, giải phương trình này tìm t (nhớ so điều kiện t > 0) từ đó tìm x Bài : Giải các phương trình sau x x 4.3 45 0 2x x 2 0 x x 8.3 0 x2 x2 4 6.2 0 x x 6.2 0 x 1 1 x 26 x 1 x 0 7 2 sin x 9cos x 10 9 x 10 x 5 x x 16 10.2 2 x x 5 x (đặt t= x 5 x ) x 3 x 12 0 11 x x 12 (7 3) (2 3) 0 x x 13 (2 3) (2 3) 14 x2 x2 x2 14 15.25 34.15 15.9 0 Đề cương toán 12 - HKI T SANG (25) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH x x 25 x 15 6.9 13.6 6.4 0 2x 4x x 16 3.4 2.3 5.36 x x 3 x 17 (3 5) 16.(3 5) 2 2 x 6 x 4.15x 3 x 3.52 x 6 x 18 Bài : Giải các phương trình sau x x x x 3.8 4.12 18 2.27 0 x2 x 2 x x 3 2 x x ( 1) ( 1) 2 0 x x x 4.3 9.2 5.6 2 x 1 9.2 x x 22 x2 0 x x x 25 15 2.9 x x x1 125 50 2 x x 2 4x 6 x 5 42 x 3 x 7 1 cos x cos x ( ) ( ) 4 12 23 x 6.2 x 3( x 1) x 1 2 10 Dạng : Phương pháp lôgarit hóa Biến đổi phương trình đã cho các dạng sau : a f ( x ) b f ( x) log a b a f ( x ) b g ( x ) f ( x ) g ( x) log a b f ( x) g ( x) c f ( x ) g ( x)log a b log a c a b Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình chứa phép nhân, chia các hàm số mũ Bài Giải các phương trình sau 3x x 1 2x 5x x6 2 x 3x.4 x2 36.32 x 57 75 53 log5 x 25 x x 53 5log x 4 3x 2 x x 18 x x x Đề cương toán 12 - HKI T SANG (26) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 26 9.x log9 x x x 10 x x 500 Dạng : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Cách : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm nhất) Đưa phương trình đã cho dạng f ( x) g ( x) (*) Bước : Chỉ x0 là nghiệm phương trình (*) Bước : Chứng minh f ( x) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm nghịch biến f ( x) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm f ( x) là hàm nghịch biến, g ( x) là hàm Từ đó suy tính nghiệm Cách : Đưa phương trình đã cho dạng f (u ) f (v) , chứng minh f là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến trên D) Từ đó suy f (u ) f (v) u v Bài : Giải các phương trình sau x x 1 17 x x x 5 x x x ( 2) ( 2) 10 x x 3.25 (3x 10).5 x 0 x x x (2 3) x 2(1 ) 0 x 3 x x.2 x 0 x x x(2.3 1) 3 1 x x e e 2x x 3x 2x x 3x.2 (1 3x ).2 x x 0 x 2x x 1 x x 1 x 2 10 2 Bài : Giải các phương trình sau x x x (2 3) (2 3) 4 x x2 x ( x 1) 2 x 1 x x x ( 2) ( 2) x ( 5) x x x 6 x BÀI 6: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Dạng 1: Phương pháp đưa cùng số Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho dạng Đề cương toán 12 - HKI T SANG (27) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH log a 27 0 a 1 f ( x) log a g ( x) f ( x ) g ( x) 0 a 1 log a f ( x) b b f ( x) a Bài : Giải các phương trình sau log (5 x 1) 4 log x log x log 27 x 11 log x log3 ( x 2) 1 log ( x 3) log (6 x 10) 0 log( x 1) log( x x 1) log x log (1 x 1) 3log x 40 0 log ( x 3) log ( x 7) 0 log ( x 2) 6log x 2 8 log x log (3 x) log ( x 1)3 log ( x 1) log (2 x 1) 2 10 1 log ( x 1) log x log x1 11 Bài : Giải các phương trình sau log (4 x 15.2 x 27) 2log 0 4.2 x log ( x 2).log x 1 log ( x x 2) log ( x x 12) 3 log 3 2log9 x log x.log ( x 1) log x log x log x.log x log x log x log 3.log 225 log ( x 1) log x log ( x 4)3 log 2 ( x x) log 2 ( x x) 6 x log ( x x 6) log log x 2 Dạng : Phương pháp đặt ẩn phụ Biến đổi phương trình dạng chứa loại hàm số lôgarit, đặt ẩn phụ t để đưa phương trình biến số x đã cho phương trình với biến t, giải phương trình này tìm t từ đó tìm x Đề cương toán 12 - HKI T SANG (28) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 28 Bài : Giải các phương trình sau log 2 x 2log x 0 log x log (8 x) 0 log ( x 1) log x log x2 16 log x 64 3 log (3 x ).log 2x 1 log x2 (2 x) log 2x x 2 log x log x ( ) 1 x log x 2log x log x 8 log (3x 1).log (3x1 3) 6 log1 x (6 x x 1) log1 x (4 x x 1) 0 10 lg(10 x ) 6lg x 2.3lg(100 x ) 11 log x 3log2 x x log2 12 x 13 log4(log2x) + log2(log4x) = Bài : Giải các phương trình sau log x log x log 22 ( x 1) 6log x 0 4log9 x log x 3 2 log ( x 1) log ( x 1) 25 log 2 log x 3 x log 2 x x log 2.3log x log x (2 x x 1) log x1 (2 x 1) 4 log x7 (9 12 x x ) log x3 (6 x 23 x 21) 4 log x x(2 2) log2 x 1 x (2 2) 2 10 log ( x x 1).log ( x x 1) log 20 ( x Dạng : Phương pháp mũ hóa x 1) Đưa phương trình đã cho các dạng sau 0 a 1 log a f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) a Đề cương toán 12 - HKI T SANG (29) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 29 f ( x) a t g ( x) bt log a f ( x) log b g ( x) đặt t suy Khử x hpt để thu phương trình theo ẩn t, giải pt này tìm t, từ đó tìm x Bài : Giải các phương trình sau log (9 x 8) x 2 x log (5 x1 20) 2 3log3 (1 x x ) 2log x 2log tan x log sin x log ( x x 2) log x 2log ( x x ) log x Bài : Giải các phương trình sau x log (9 x ) 3 log x log ( x 2) log x log ( x 2) 2log ( x x ) log x 2log cot x log cos x Dạng : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Cách : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm nhất) Đưa phương trình đã cho dạng f ( x) g ( x) (*) Bước : Chỉ x0 là nghiệm phương trình (*) Bước : Chứng minh f ( x) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm nghịch biến f ( x) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm f ( x) là hàm nghịch biến, g ( x) là hàm Từ đó suy tính nghiệm Cách : Đưa phương trình đã cho dạng f (u ) f (v) , chứng minh f là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến trên D) Từ đó suy f (u ) f (v) u v Bài : Giải các phương trình sau log ( x 3) 4 x 2 lg( x x 12) x lg( x 3) log x ( x 3).log x x 0 x (log x 3) x log x 0 2 ln( x x 1) ln(2 x 1) x x Bài : Giải các phương trình sau Đề cương toán 12 - HKI T SANG (30) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 30 log 22 x ( x 1) log x 6 x log x2 x x 3x 2 2x 4x BÀI 7: CHUYÊN ĐỀ:HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT Bài : Giải các hệ phương trình sau : log ( x y ) 1 log ( xy ) x2 xy y 81 23 x 5 y y x x 1 y x log ( y x) log y 1 x y 25 x y 1 3log (9 x ) log y 3 x y 2 x y 18 3x.2 y 972 log 3 ( x y ) 3 log y x log x y 2 x y 12 (ĐH A-2009) (ĐH D-2002) (ĐH A-2004) (ĐH B-2005) xy xy 32 log ( x y ) 1 log ( x y ) y 1 log x y x 4096 x y 0 10 log x log y 0 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau : x y 3 1152 log ( x y ) 2 Đề cương toán 12 - HKI T SANG (31) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 31 log1 x (1 y y ) log1 y (1 x x ) 4 log (1 y ) log1 y (1 x) 2 1 x 4log3 ( xy ) 2 ( xy ) log3 x y 3x y 22 2 x y y x x y x x y ln(1 x) ln(1 y ) x y x 12 xy 20 y 0 x x x 3 y x y y y 3 BÀI 8: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I LÝ THUYẾT Áp dụng các phương pháp giải phương trình mũ và kết hợp với tính chất : f ( x) a g ( x ) f ( x) g ( x ) Nếu a thì a f ( x) a g ( x ) f ( x) g ( x) Nếu a thì a a a f (x) a g(x) (a 1) f ( x ) g ( x) Tổng quát : II BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp đưa cùng số Bài : Giải các bất phương trình sau : x 2 x 27 x x x 1 ( 2) ( 2) ( ) x 2 x ( )16 x 3 x 1 x 2 16 x x x x x x x x x x x x 12 ( 10 3) x x x 5 x x x ( 10 3) x 1 x 3 9 x 2 Đề cương toán 12 - HKI T SANG (32) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH x 2 10 x2 x 32 1 Bài : Giải các bất phương trình sau : x x 1 x x 1 3 ( 1) x2 x x x 1 ( 1) 1 3 x x x x x x 1 Dạng : Phương pháp đặt ẩn phụ Bài : Giải các bất phương trình sau : x x 2.3 x 6 x7 17 2 x 3 x 9 x x x 2.49 7.4 9.14 x x x 5.2 10 2.5 x x x x 1 3.2 2 2x x 13.62 x x 6.42 x x 6.9 x 1 x x x x x x.3 x 8.3x 2 1 x x 3 Bài : Giải các bất phương trình sau : x2 x 1 3 2 x x2 3 1 1x 1x 12 3 x x 1 x 1 3 12 2.3x x2 1 3x x 1 x2 x 2 x x1 51 x2 x Dạng : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số x 1 x x x 2 x x x 2.2 3.3 Đề cương toán 12 - HKI T SANG (33) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 33 BÀI : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I LÝ THUYẾT Nếu a thì log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) Nếu a thì log a f ( x) log a g ( x) f ( x ) g ( x) a log a f ( x) log a g ( x) f ( x) 0; g ( x) (a 1) f ( x ) g ( x) Tổng quát : II BÀI TÂP: Giải các bất phương trình sau : log (2 x 1) 31 log log 0,5 (2 x ) 2 16 3x log x ( ) 1 x2 2log (4 x) log (2 x 3) 2 x2 x log 0,7 log 0 x4 2x 1 log ( ) x 1 log x x log x log ( x 3) 3 x log x log (9 72) 1 log x (5 x x 3) log x 64 log x 16 3 10 log( x x 2) 2 log x log 11 2 2 x 1 x x 12 x x.2 3.2 x x 12 PHẦN HÌNH HỌC I LÝ THUYẾT CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP V S h Trong đó: - S là diện tích đáy - h là đường cao khối chóp Đề cương toán 12 - HKI T SANG (34) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 34 3V V B.h S Hệ quả: CÁC TÍNH CHẤT – CÔNG THỨC CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC h - Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc có thể dùng vecto a b a.b 0 a.b cos a,b a b Để tính góc hai đường thẳng dùng vecto theo định lý cosin: 3V h S Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nên dùng: Các công thức diện tích tam giác hay dùng: 1 abc SABC AH BC AB.AC sin A p.r 2 4R AB BC AC p p AB P AC P BC , p= AB AC BC 2R Định lý sin: sin C sin B sin A - - II 2 Định lý cosin: a b c 2bc.cos A b2 c2 a ma Trung tuyến từ đỉnh A: Diện tích HÌNH VUÔNG – HÌNH CHỮ NHẬT = cạnh x cạnh Diện tích HÌNH THOI – HÌNH BÌNH HÀNH = AB.AD.sinBAD Diện tích hình thang = (đáy lớn+ đáy bé) x đường cao chia Các hệ thức bản: Đường cao tam giác = cạnh x Trong tam giác vuông: đường cao x cạnh đáy = tích hai cạnh góc vuông Đường chéo hình vuông= cạnh x BÀI TẬP A DẠNG 1: CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG ĐÁY Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O Biết SA vuông góc mặt phẳng đáy, góc BSA 300, cạnh AB=2a, AC= a Tính thể tích khối chop S.ABCD theo a Tính góc SO và mp(ABCD) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SCD) với M là trung điểm AB Tính khoảng cách hai đường thẳng SB và CD Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, SA vuông góc với mp(ABC), cạnh SC tạo với mp(ABC) góc 45o Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Tính góc tạo (SBC) và (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) Tính khoảng cách AB và SM với M là trung điểm BC Đề cương toán 12 - HKI T SANG (35) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 35 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh đáy a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a √3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Tính góc hợp (SBD) và (ABCD) Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SCD) theo a Tính khoảng khoảng cách hai đường thẳng SB và AC Bài 4: Cho khối chóp S.ABC có tam giác ABC tâm O, cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), cạnh bên SC tạo với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Xác định góc SO và mp(ABC) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) Tính khoảng cách hai cạnh AB và SC Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, hai cạnh bên SB,SC tạo với đáy các góc 450 , 300 Cạnh AC 2a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Tính góc hợp (SBD) và (ABCD) Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SCD) theo a Tính khoảng khoảng cách hai đường thẳng SB và AC B DẠNG 2: MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG ĐÁY Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O Biết mặt bên (SAB) là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc mặt phẳng đáy,cạnh AB=2a, AC= a Gọi H là trung điểm AB Tính thể tích khối chop S.ABCD theo a Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) AB Tính khoảng cách hai đường thẳng SB và CD Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc S trên mp(ABC) trùng với trung điểm H cạnh AB, cạnh SC tạo với mp(ABC) góc 45o Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Tính góc tạo (SBC) và (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) Tính khoảng cách AC và SB Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Gọi I là trung điểm AB Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Tính góc hợp (SBD) và (ABCD) Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBD) theo a Tính khoảng khoảng cách hai đường thẳng SB và AC Bài 4: Cho khối chóp S.ABC có tam giác ABC tâm O, mặt bên (SBC) là tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc với (ABC) và cạnh SB tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Xác định góc SC và mp(ABC) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) Tính khoảng cách hai cạnh SA và BC Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O Mặt bên (SAB) là tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) có AB a; SAB 30 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Đề cương toán 12 - HKI T SANG (36) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 36 Tính góc hợp SD và (ABCD) Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SCD) theo a Tính khoảng khoảng cách hai đường thẳng SB và AC C DẠNG 3: KHỐI CHÓP ĐỀU Bài : Cho hình chóp S.ABCD , có O là giao điểm AC và BD biết AB= a , SA=2a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Tính góc hợp SC và (ABCD) Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC) theo a Tính khoảng khoảng cách hai đường thẳng BD và AC Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có O là trọng tâm tam giác ABC cạnh AB=2a, canh SC tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chop S.ABC theo a Tính góc (SBC) và mp(ABC) Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC) Tính khoảng cách hai đường thẳng SB và AC Bài 3: Cho khối chóp S.ABCD Gọi O là tâm hình vuông ABCD Biết AB=a, góc SA và mặt phẳng đáy là 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Tính góc tạo (SBC) và (ABCD) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) Tính khoảng cách AB và SC Bài 4: Cho tứ diện ABC cạnh 2a Gọi O là trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích khối chóp ABCD theo a Tính góc hợp AB và (BCD) Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(BCD) Tính khoảng cách BO và AC D DẠNG 4: HÌNH CHIẾU CỦA ĐỈNH TRÊN MẶT PHẲNG ĐÁY Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O Hình chiếu S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung điểm H cạnh AB, góc SB và mặt phẳng (SAD) 450, cạnh AB=2a, AC= a Tính thể tích khối chop S.ABCD theo a Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SCD) với M là trung điểm AB Tính khoảng cách hai đường thẳng SB và CD Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm H cạnh AB , cạnh SC tạo với mp(ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) Tính khoảng cách AB và SM với M là trung điểm BC Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, AC 2a Hình chiếu S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung điểm H cạnh AB, biết SC a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) Tính khoảng cách SC và BD Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh đáy 3a Hình chiếu S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB thỏa AB=3AH Cạnh bên SB tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Đề cương toán 12 - HKI T SANG (37) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 37 Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SCD) theo a Tính khoảng khoảng cách hai đường thẳng SB và AC Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có tam giác ABC tâm O, cạnh 2a Hình chiếu S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm H cạnh BC, cạnh bên SC tạo với (SAB) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) Tính khoảng cách hai cạnh AB và SC Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O Hình chiếu S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung điểm H cạnh AB biết SD a 6, AB a, AC a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SCD) theo a Tính khoảng khoảng cách hai đường thẳng SB và AC Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O Hình chiếu S trên mặt phẳng đáy là điểm H trên đoạn AB có AB=3AH Có AB 3a; SC 2a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) theo a Tính khoảng khoảng cách hai đường thẳng BD và AC Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O Biết mặt bên SAB là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh AB=a, AC= a Tính thể tích khối chop S.ABCD theo a Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SCD) với M là trung điểm AB Tính khoảng cách hai đường thẳng SB và CD Bài 9: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh 2a, mặt bên SAB là tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc với mp(ABC), góc SAB 30o Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) Tính khoảng cách AB và SC E DẠNG 4: LĂNG TRỤ ĐỨNG Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đếu cạnh a, cạnh bên A’B=2a Tính thể tích khối lăng trụ trên Tính góc A’C và mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ A đến (A’BC) Tính khoảng cách A’B và AC Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông A có cạnh AB a, BC a 5; B ' C a Tính thể tích khối lăng trụ trên Tính góc A’B và mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ A đến (A’BC) Tính khoảng cách A’B và AC Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông có cạnh AB a, AD ' a Tính thể tích khối lăng trụ trên Tính góc A’C và mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ C’ đến (A’BC) Tính khoảng cách BD và A’C Đề cương toán 12 - HKI T SANG (38) THPT NGUYỄN HỮU CẢNH 38 Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, tâm O có cạnh AB a, AD a , góc A’B và mặt phẳng đáy là 600 Tính thể tích khối lăng trụ trên Tính góc AD’ và mặt phẳng đáy (ABCD) Tính khoảng cách từ o đến (A’BD) Tính khoảng cách BD và A’C F DẠNG 6: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHÓP Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O Biết SA vuông góc mặt phẳng đáy, góc BSA 300, cạnh AB=2a Tìm tâm và bán khính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O Biết SA vuông góc mặt phẳng đáy, cạnh AB a, AC a 5; SC a Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông A Biết SA vuông góc mặt phẳng đáy (ABC), AB a, AC a 3; SC 2a Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B Biết SA vuông góc mặt phẳng đáy (ABC), AB a, AC a 3; SC 2a Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác Biết SA vuông góc mặt phẳng đáy (ABC), có ; góc cạnh bên SB và đáy là 600 Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác Biết SA vuông góc mặt phẳng đáy (ABC), có ; góc mặt bên (SBC) và đáy là 600 Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Bài : Cho hình chóp S.ABCD , có O là giao điểm AC và BD biết AB= a , SA=2a Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD Bài : Cho hình chóp S.ABC , có O là trọng tâm tam giác ABC biết AB= a , góc cạnh bên và mặt phẳng đáy là 300 Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O Hình chiếu S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung điểm H cạnh AB, góc SB và mặt phẳng (SAD) 450, cạnh AB=2a, AC= a Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD Bài 10: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm H cạnh AB , cạnh SC tạo với mp(ABC) góc 600 Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, AC 2a Hình chiếu S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung điểm H cạnh AB, biết SC a Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD HẾT - Đề cương toán 12 - HKI T SANG (39)