Đang tải... (xem toàn văn)
Trong không gian R cho hệ véc tơ Hãy xác định một cơ sở và số chiều của M.. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ cơ Bài 61.[r]
(1)BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bộ môn Đại số và Xác suất Thống kê 9-2015 Chú ý sinh viên Bài Cho hai ma trận Các bài tập soạn tài liệu này dùng cho các sinh viên học môn ĐSTT tín và A= , B = −1 3 sử dụng chung các bài tập học −1 3 phần ĐSTT Yêu cầu việc chuẩn bị bài tập cho tuần giảng viên thông báo trực tiếp cho a) Tính det(AB) và det(BA) sinh viên b) Tính hạng ma trận BA + 4I Ma trận và định thức Bài Cho hai ma trận A = ,B= 3 −1 Bài Cho ma trận A = a) Tính det(A3 B + 4A2 B ) −2 b) Tính (A + 2B)2 − 19(A + 2B) a) Tính A567 b) Tính det(A576 + 2A567 + 3A675 ) Bài Cho các ma trận vuông cấp ba −4 2 4 Bài Cho ma trận A = 1 −4 2 Tính A200 + A = 2 −2 , B = 2 3 −4 −2 −1 A Hãy xác định giá trị det(AB) 3 x x x 3 x Bài 10 Cho các ma trận vuông cấp ba Bài Giải phương trình: =0 x x 3 −5 x x x 3 A = 2 −2 , B = −2 2 −2 −1 2 x x x x Bài Giải phương trình: =0 Hãy xác định giá trị det(A2 B − 3AB ) x x x x 1 Bài 11 Cho các ma trận vuông cấp ba −2 Bài Tính giá trị định thức A = 3 −1 , B = 3 x 1 −3 x 1 D= a) Hãy xác định giá trị det(A3 B − 3A2 B ) 1 x b) Tính hạng ma trận A + 3B 1 x Bài 12 Cho A = 1 Bài Cho ma trận vuông cấp ba −2 A = 2 các ma trận vuông cấp ba −2 −2 , B = −3 −2 −1 a) Chứng minh ma trận A3 B + 3A2 B khả nghịch b) Tính hạng ma trận A2 B − 2AB a) Tính det(A + 3A ) b) Tính hạng ma trận A + 5I (2) Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài 13 Tính nghịch đảo ma trận −3 −2 A= −1 −2 Bài 14 Cho ma trận A = 1 2 a) Tính A − 8A + 17A b) Tính A−1 Bài 15 Tìm x để ma trận sau a x x b b x A= c c c d d d khả nghịch: x x x d Bài 21 Giải phương trình ma trận X = 3 −1 Bài 22 Tính hạng ma trận 1 A = 2 3 Bài 23 Tính hạng ma trận −1 −1 2 −1 A= 1 −2 −2 −4 −1 −2 Bài 24 Tính hạng ma trận sau theo x 1 x 1 x x 1 A= x x 1 x x với a, b, c, d là các số cho trước x Bài 25 Tính hạng ma trận sau theo x Bài 16 Cho ma trận A = 4 Hãy tìm x để x x x x x A4 − 3A3 là ma trận khả nghịch A= x 1 x Bài 17 Tìm x để ma trận sau khả nghịch x 1 1 1 Bài 26 Tính hạng ma trận sau theo x x 2 2 A= x x −2 −2 x x x x x x −1 A = x x x x x x Bài 18 Tìm x để ma trận sau khả nghịch Bài 27 Cho ma trận x x x x x x x 1 x A= 1 x x x x −2 −2 A= x x −2 −2 x x 1 2 Bài 19 Giải phương trình ma trận Hãy tính x biết r(A) = −1 2 −1 X = 2 −2 Hệ phương trình −2 −2 Bài 20 Giải phương trình ma trận −2 1 = −2 3 X 0 −1 −2 Đại học Giao thông Vận tải Bài 28 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Cramer 2x1 + 2x2 + 5x3 = 21 2x1 + 3x2 + 6x3 = 26 x1 − 6x2 − 9x3 = −37 Tháng năm 2015 (3) Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê Bài 29 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Bài 36 Cho hệ phương trình khử Gauss x1 + x2 + 2x3 = x + 3x + 2x + 2x − 3x = 3x1 + x2 + 4x3 = −2x1 + x2 + 2x3 − 4x4 + 6x5 = 5x1 − 4x2 + x3 = x1 − 2x2 + x3 + 2x4 − 3x5 = 4x1 − x2 + 5x3 = λ Bài 30 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Xác định λ để hệ trên có nghiệm Giải hệ với λ tìm khử Gauss x1 + 3x2 + 2x3 − 3x4 − 4x5 = 14 Bài 37 Cho hệ phương trình 5x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 − 6x5 = 17 x + x2 + x3 − x − x5 = 3x1 − 2x2 + x3 + 2x4 − 2x5 = −1 2x + 3x − 2x + 4x + x = Bài 31 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp 3x1 + 4x2 − 2x3 + x4 − 2x5 = khử Gauss 6x1 + 8x2 − 3x3 + 4x4 − 2x5 = λ x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = Xác định λ để hệ trên có nghiệm Giải hệ với λ tìm 2x + 3x + x − 2x = 4 3x1 + 5x2 − 2x3 + 2x4 = Bài 38 Cho hệ phương trình 6x1 + 10x2 − 3x3 + x4 = 13 3x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = Bài 32 Giải hệ phương trình sau: 2x1 − x2 + 3x3 + 3x4 = x + 2x − 3x + 2x = 4x1 − 3x2 − x3 − 7x4 = λ 2x + 3x + x − x = a) Tìm λ để hệ cho có nghiệm 3x1 + 5x2 + 2x3 + 4x4 = 23 b) Giải hệ tương ứng với hệ cho 4x + 6x + 6x + 2x = 22 Bài 33 Cho hệ phương trình 2x1 + 3x2 − x3 = 3x1 + x2 + 4x3 = λx1 + 4x2 + 3x3 = a) Tìm giá trị λ để hệ có nghiệm b) Giải hệ λ = Bài 39 Cho hệ phương trình 2x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 3x1 − 2x2 + x3 + 3x4 = 4x1 − 5x2 − x3 + 8x4 = λ a) Tìm λ để hệ cho có nghiệm b) Giải hệ tương ứng với hệ cho Bài 40 Cho hệ phương trình Bài 34 Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số λ x1 + x2 + 2x3 − 2x4 = 3x1 + x2 − x3 + 4x4 = x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 = 2x + 3x + 3x − x = 6x1 + 4x2 + 5x3 + λx4 = 3x1 + 5x2 + 2x3 + x4 = Giải hệ với λ 6= −2 6x1 + 10x2 + λx3 + 2x4 = 18 Bài 41 Cho hệ phương trình Bài 35 Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số α 2x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 3x1 + 4x2 − 2x3 + 5x4 = 2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 4x1 + 9x2 − 7x3 + λx4 = x1 + x2 + 3x3 + x4 = 3x1 + 5x2 − 5x3 + (α + 5)x4 = Giải hệ với λ 6= Đại học Giao thông Vận tải Tháng năm 2015 (4) Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài 42 Xác định nghiệm hệ phương trình sau Bài 49 Tìm λ để x = (1, 4, λ) biểu diễn theo theo tham số λ các véc tơ đây, không gian tuyến tính R3 : x1 + x2 + x3 − x4 = a1 = (1, 1, −2); a2 = (2, −3, 1); a3 = (−1, −3, 4), x + x − x + x = Bài 50 Tìm λ để x = (2, 3, 2, λ) biểu diễn theo x − x2 + x3 + x4 = các véc tơ đây, không gian tuyến tính R4 : −x1 + x2 + x3 + x4 = λ a1 = (1, 1, 2, 2); a2 = (2, 3, 1, 4); a3 = (3, 4, 2, 3), Bài 43 Xác định nghiệm hệ phương trình sau Bài 51 Tìm λ để x = (4, 12, −7, λ) biểu diễn theo tham số λ theo các véc tơ đây, không gian tuyến tính R4 : x1 + x2 − 3x3 − 3x4 = 2x + 3x + 4x − x = a1 = (1, 1, −1, −2); a2 = (1, 2, −3, −1); a3 = (1, −1, 4, 2), a4 = (1, 3, 2, 1) 3x1 + 4x2 + 2x3 + 2x4 = 7x1 + 9x2 + x3 + x4 = λ Bài 52 Trong không gian R3 cho hệ véc tơ {a1 , a2 , a3 } với Không gian tuyến tính a1 = (−2, 1, 1), a2 = (1, −2, 1), a3 = (1, 1, 2) Bài 44 Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ a) Chứng minh hệ {a1 , a2 , a3 } là hệ độc lập tuyến tính {a1 , a2 , a3 } với b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) phần tử x = (1, 3, −2) qua hệ {a1 , a2 , a3 } a1 = (1, 1, −1), a2 = (3, 2, 1), a3 = (−1, 1, 3) Bài 53 Trong không gian R4 cho hệ véc tơ Chứng minh phần tử x = (7, 7, 3) là tổ hợp {a1 , a2 , a3 } với tuyến tính hệ {a1 , a2 , a3 } a = (1, 2, −1, 1), a2 = (1, −2, 2, 1), a3 = (1, 1, −1, 1) Bài 45 Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ {a1 , a2 , a3 } với a) Chứng minh hệ {a1 , a2 , a3 } là hệ độc lập tuyến tính a1 = (1, 1, −2), a2 = (3, −4, 1), a3 = (−3, 2, 1) b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) phần tử x = (4, 6, −1, 3) qua hệ {a1 , a2 , a3 } Chứng minh phần tử x = (5, −6, 1) là tổ hợp tuyến tính hệ {a1 , a2 , a3 } Bài 54 Trong không gian R3 cho hệ véc tơ Bài 46 Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ {a1 , a2 , a3 } với {a1 , a2 , a3 } với a1 = (1, −1, −1), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, 1, λ), a1 = (1, 2, 3), a2 = (3, 1, −1), a3 = (5, 3, 1) đó λ là tham số a) Tìm các giá trị λ để hệ {a1 , a2 , a3 } là hệ Hãy tìm tất các biểu diễn tuyến tính phần tử độc lập tuyến tính x = (2, 3, 4) qua hệ {a1 , a2 , a3 } b) Thay λ = 1, hãy tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) phần tử x = (4, 2, 3) qua hệ {a1 , a2 , a3 } Bài 47 Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } với a1 = (1, 1, 2), a2 = (2, 3, −1) Bài 55 Trong không gian R3 cho hệ véc tơ a3 = (3, −1, 2), a4 = (2, 8, −2) Hãy tìm tất {a1 , a2 , a3 } với các biểu diễn tuyến tính có thể có a4 trên hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } a1 = (1, 1, 1), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, 1, 4) Bài 48 Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } với a1 = (1, 2, −2), a2 = (2, −1, 3) a3 = (3, 1, 4), a4 = (5, 5, 3) Hãy tìm tất các biểu diễn tuyến tính có thể có a4 trên hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } Đại học Giao thông Vận tải a) Chứng minh hệ {a1 , a2 , a3 } là hệ độc lập tuyến tính b) Hãy cho biết hệ {a1 , a2 , a3 } có là sở R3 hay không? Tại sao? Tháng năm 2015 (5) Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê Bài 56 Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1 , a2 , a3 , a4 } với a1 = (1, 2, 1, 2), a2 = (1, 2, −1, 1), a3 = (2, 1, 3, 1), a4 = (1, 3, −2, 2) a) Chứng minh hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } là hệ độc lập tuyến tính b) Hãy cho biết hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } có là sở R4 hay không? Tại sao? Bài 64 Trong không gian tuyến tính R4 cho M là không gian hai chiều có sở là {u1 , u2 , u3 } với u1 = (1, 2, −1, 1), u2 = (2, 1, 3, 2), u3 = (−1, 2, 1, 2) Hãy xác định số thực λ biết phần tử x = (2, 5, 3, λ) nằm M Bài 65 Trong không gian R3 cho các tập M và cho hệ véc tơ N sau Bài 57 Trong không gian R {a1 , a2 , a3 , a4 } với a1 = (1, 1, −1, 2), a2 = (2, 3, −1, 1), a3 = (−1, 1, 1, 3), a4 = (2, 2, 5, 6) a) Hãy cho biết hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } là hệ độc lập tuyến tính hay là hệ phụ thuộc tuyến tính? b) Cho b ∈ R4 là phần tử nào Hãy cho biết hệ {a1 , a2 , a3 , a4 , b} là hệ độc lập tuyến tính hay là hệ phụ thuộc tuyến tính? M = {(x1 , x2 , x3 ) | x1 + x2 − x3 = 0}, N = {(x1 , x2 , x3 ) | x1 + x2 − x3 ≥ 0} Hãy cho biết các tập trên, tập nào là không gian R3 Ứng với tập là không gian R3 , hãy xác định sở và số chiều nó Bài 58 Xác định giá trị λ để hệ {a1 , a2 , a3 } Bài 66 Trong không gian tuyến tính R4 , không gian cho đây là hệ phụ thuộc tuyến tính: M xác định a1 = (2, 3, −2, 3), a2 = (2, −1, 2, 1), a3 = (1, 1, 1, λ) M = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) | x1 − x2 − x3 + x4 = 0} Bài 59 Trong không gian R cho hệ véc tơ Hãy xác định sở và số chiều M {a1 , a2 , a3 } với a1 = (2, 1, 2, 3), a2 = (1, 4, 1, 5), a3 = (3, −2, 3, λ) a) Tìm λ để hệ {a1 , a2 , a3 } là hệ phụ thuộc tuyến tính b) Với λ tìm hãy xác định biểu diễn tuyến tính a2 theo hệ {a1 , a3 } Bài 67 Trong không gian tuyến tính R4 cho không gian M = {(x1 , x2 , x3 , x4 )|2x1 − x2 − x3 + 4x4 = 0} và phần tử w ∈ M với w = (1, 5, 1, 1) Hãy xác định Bài 60 Hãy tìm tọa độ véc tơ x = (10, 9, 9) sở và số chiều M và cho biết tọa độ sở đây không gian tuyến tính R3 : w trên sở đưa a1 = (1, 1, 2); a2 = (1, 2, 3); a3 = (3, 1, −1) Bài 68 Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ Bài 61 Hãy tìm tọa độ véc tơ x = (8, 8, 19, 19) sở (a) = {a1 , a2 , a3 } và véc tơ x có tọa độ trong sở đây không gian tuyến tính R4 : sở (a) là x = (1, 2, −3) Hãy tìm tọa độ véc tơ x sở (b) = {b1 , b2 , b3 }, biết ma trận chuyển a1 = (1, 1, 2, 3); a2 = (2, 1, 3, 4); từ sở (a) sang sở (b) là a3 = (2, 3, −2, 1); a4 = (1, 3, 3, 1) Bài 62 Trong không gian tuyến tính R3 cho M là −1 không gian hai chiều có sở là {u1 , u2 } với 1 T = 2 3 −1 u1 = (1, 2, −2), u2 = (2, 2, −1) Cho các phần tử u = (4, 7, 2), v = (1, 3, 5) Hãy xác Bài 69 Trong không gian tuyến tính ba chiều E cho hai hệ sở (a) và (b) với ma trận chuyển sở từ hệ định số thực λ cho u − λv ∈ M (a) sang hệ (b) là Bài 63 Trong không gian tuyến tính R4 cho M là không gian hai chiều có sở là {u1 , u2 } với T = 1 −2 3 u1 = (2, 1, −1, 1), u2 = (1, 2, 3, −1) 3 Cho các phần tử u = (0, 1, 1, 3), v = (1, 1, 1, −1) Hãy Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (b) sang hệ (a) xác định số thực λ cho u − λv ∈ M Đại học Giao thông Vận tải Tháng năm 2015 (6) Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài 70 Trong không gian tuyến tính ba chiều E cho Bài 76 Trong không gian tuyến tính R3 cho hai hệ hai hệ sở (a) = {a1 , a2 , a3 } và (b) = {b1 , b2 , b3 } với sở (a) = {a1 , a2 , a3 } và (b) = {b1 , b2 , b3 } với b1 = 2a1 +3a2 −a3 , b2 = a1 +4a2 +2a3 , b3 = 3a1 −a2 +a3 Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (b) sang hệ (a) a1 = (3, 1, 4), a2 = (5, −4, 2), a3 = (2, 1, 1) b1 = (3, −2, 3), b2 = (4, 1, −2), b3 = (3, 4, 2) Bài 71 Trong không gian tuyến tính ba chiều E cho hai hệ sở (a) và (b) với ma trận chuyển sở từ hệ Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (b) sang hệ (a) (a) sang hệ (b) là −2 −1 Ánh xạ tuyến tính 3 T = 2 2 Bài 77 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định công Cho biết phần tử x có tọa độ sở thứ thức (a) là xa = (2, 4, 5) Hãy tính tọa độ xb phần tử f (x) = (x1 + 2x2 − x3 , x1 − x2 + 2x3 , 2x1 − x2 − x3 ) x sở thứ hai (b) Bài 72 Trong không gian tuyến tính ba chiều E cho với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 hai hệ sở (a) = {a1 , a2 , a3 } và (b) = {b1 , b2 , b3 } với a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính b1 = a1 +a2 −3a3 , b2 = 2a1 −3a2 +2a3 , b3 = 4a1 +5a2 +a3b) Hãy lập ma trận ánh xạ f trên sở chính tắc R3 Cho biết phần tử x có tọa độ sở thứ (a) là xa = (1, −3, 5) Hãy tính tọa độ xb phần tử Bài 78 Cho ánh xạ f : R4 −→ R3 xác định công x sở thứ hai (b) thức Bài 73 Trong không gian tuyến tính R3 cho hai hệ f (x) = (2x1 −x2 −x3 +x4 , x1 +x2 −2x3 +x4 , x1 −x3 +x4 ) sở (a) = {a1 , a2 , a3 } và (b) = {b1 , b2 , b3 } với a1 = (2, −1, 3), a2 = (1, 1, 2), a3 = (2, 1, 4) b1 = (1, 2, 3), b2 = (3, 1, −2), b3 = (−1, 1, 2) với x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính b) Hãy lập ma trận ánh xạ f trên các sở chính Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b) tắc R3 và R4 Bài 74 Trong không gian tuyến tính ba chiều E cho 3 ba hệ sở (e), (a) và (b) Cho biết ma trận chuyển Bài 79 Cho ánh xạ f : R −→ R xác định công thức sở từ sở (e) sang sở (a) là −1 f (x) = (3x1 − 2x2 + x3 , x1 + x2 + x3 , x1 − x3 + α) Tea = 2 2 với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 (α là tham số) và ma trận chuyển sở từ sở (e) sang sở (b) là a) Hãy xác định α để ánh xạ f là ánh xạ tuyến tính 1 b) Với α tìm hãy lập ma trận ánh xạ f trên Teb = −2 sở chính tắc R3 −2 Bài 80 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b) định công thức Bài 75 Trong không gian tuyến tính ba chiều E cho hai hệ sở (a) và (b) với ma trận chuyển sở từ hệ f (x) = (2x1 − x2 + 2x3 , x1 + 2x2 − x3 , 3x1 + 4x2 − x3 ) (a) sang hệ (b) là với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 −4 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f trên sở chính tắc T = 2 R3 b) Hãy tìm ma trận f trên sở {a1 , a2 , a3 } Cho biết phần tử x có tọa độ sở thứ R3 với (a) là xa = (1, 4, −2) Hãy tính tọa độ xb phần tử a1 = (2, 1, −1), a2 = (1, −2, 3), a3 = (3, 2, 1) x sở thứ hai (b) Đại học Giao thông Vận tải Tháng năm 2015 (7) Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê Bài 81 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định công Bài 86 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác thức định công thức f (x) = (2x1 +3x2 +4x3 , x1 +2x2 −5x3 , 2x1 +x2 +3x3 ), f (x) = (x1 −2x2 +x3 , −2x1 −2x2 +2x3 , −5x1 −10x2 +7x3 ) với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính b) Hãy lập ma trận ánh xạ f trên sở {a1 , a2 , a3 } R3 , biết a1 = (0, 4, 0), a2 = (2, 0, 0), a3 = (0, 0, −1) với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f trên sở chính tắc R3 b) Hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng ánh xạ f Bài 82 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác Bài 87 Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 xác định công thức định công thức f (x) = (2x1 + x2 − 3x3 , 3x1 − 2x2 − x3 , x1 + 3x2 − 2x3 ) f (x) = (3x1 −x2 +2x3 +x4 , 3x2 −x3 +6x4 , 3x3 +5x4 , 3x4 ), với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f trên sở chính tắc R3 b) Xác định x ∈ R3 để f (x) = (6, 2, 6) với x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở chính tắc R4 b) Hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng ánh xạ f Bài 83 Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R3 xác định công thức Bài 88 Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 xác định công thức f (x) = (x1 + x2 − x4 , 3x1 − 2x2 + x3 , x1 + x3 − 2x4 ) f (x) = (2x1 , −3x1 +2x2 , 5x1 −x2 +2x3 , 2x1 −x2 +4x3 +2x4 ), với x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f trên cặp sở chính với x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 tắc R3 và R4 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở chính b) Tìm tất x ∈ R4 để f (x) = f (1, 2, 1, 2) tắc R4 Bài 84 Một tự đồng cấu f sở {a1 , a2 , a3 } với a1 = (8, −6, 7), a2 = (−16, 7, −13), a3 = (9, −3, 7) có ma trận: −18 15 A = −1 −22 20 −25 22 b) Hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng ánh xạ f Bài 89 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định công thức f (x) = (3x1 + x2 + x3 , x1 + 3x2 + x3 , −x1 + x2 + x3 ) với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Hãy xác định ma trận f sở a) Hãy lập ma trận ánh xạ f trên sở chính tắc {b1 , b2 , b3 } với b1 = (1, −2, 1), b2 = (3, −1, 2), b3 = R3 (2, 1, 2) b) Hãy xác định các giá trị riêng và véc tơ riêng Bài 85 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác ánh xạ f định công thức Bài 90 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác f (x) = (3x +x +2x , x +3x +2x , 3x +3x +5x ) định công thức 3 với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f trên sở chính tắc R3 b) Hãy ma trận f trên sở {a1 , a2 , a3 } R3 với a1 = (1, 1, 2), a2 = (2, 2, −3), a3 = (1, −1, 0) là ma trận đường chéo Đại học Giao thông Vận tải f (x) = (3x1 − x2 + 2x3 , −x1 + 3x2 − 2x3 , x1 + x2 + x3 ) với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f trên sở chính tắc R3 b) Hãy xác định các giá trị riêng và véc tơ riêng ánh xạ f c) Hãy xây dựng sở R3 bao gồm ba véc tơ riêng f Tháng năm 2015 (8) Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài 91 Tìm các giá trị riêng trận sau A = 1 3 và véc tơ riêng ma Bài 99 Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận cho đây Chứng minh ma trận đó đồng dạng với ma trận chéo và biến đổi ma trận đó ma trận chéo 2 A = 4 4 Bài 92 Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận sau Bài 100 Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng ma −1 trận cho đây Chứng minh ma trận đó A = 1 đồng dạng với ma trận chéo và biến đổi ma trận đó −1 ma trận chéo Bài 93 Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng ma −2 trận sau A = −3 −1 −1 A = 1 2 1 Bài 101 Cho ma trận A = 2 4 −1 Bài 94 Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng ma a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng A trận sau b) Ma trận A có chéo hóa không? Tại sao? Nếu 2 hãy tìm ma trận T và ma trận đường chéo B để A = 2 2 cho B = T −1 AT 2 2 Bài 95 Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng ma Bài 102 Cho ma trận A = 2 2 2 trận sau a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng A b) Ma trận A có chéo hóa không? Tại sao? Nếu A = 1 2 hãy tìm ma trận T và ma trận đường chéo B B = T −1 AT Bài 96 Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận sau Bài 103 Cho ma trận A = 1 2 2 3 0 −2 a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A A= 0 b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay 0 −3 không Nếu có hãy ma trận chuyển T và ma trận đường chéo B B = T −1 AT Bài 97 Cho ma trận 2 Bài 104 Cho ma trận A = 1 2 2 3 A = 3 a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A −1 1 b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay không Nếu có hãy ma trận chuyển T và ma Chứng minh ma trận A không chéo hóa trận đường chéo B B = T −1 AT Bài 98 Cho ma trận 3 Bài 105 Cho ma trận A = 1 3 −1 −1 A = −2 −2 a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A −1 b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay không Nếu có hãy ma trận chuyển T và ma Chứng minh ma trận A chéo hóa trận đường chéo B B = T −1 AT Đại học Giao thông Vận tải Tháng năm 2015 (9) Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê Không gian Euclide (Dành riêng cho hệ Bài 114 Cho M là không gian hai chiều tín chỉ) không gian Euclide R4 có sở gồm hai véc tơ u = (2, 1, 0, 2), v = (1, −1, 1, 1) Hãy tìm véc tơ có độ Bài 106 Trong không gian R4 hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M cho véc tơ đó trực giao với dài đơn vị trực giao đồng thời với véc tơ sau: véc tơ w = (1, 2, 3, −2) v1 = (1, 2, −2, 0), v2 = (3, 2, −1, −2), v3 = (1, 1, 1, 1) Bài 115 Cho M là không gian không gian Bài 107 Trong không gian Euclide R4 cho hệ sở Euclide R có sở gồm hai véc tơ u = (2, 1, 2, 1, 1), v = (1, 0, −1, 3, −1) trực chuẩn {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (4, −2, −2, 1), 1 u2 = (−1, −2, 2, 4), u3 = (2, 4, 1, 2) Hãy xác định Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M cho véc 5 tơ đó trực giao với véc tơ w = (−1, 2, 1, −1, 3) tất các giá trị có thể có u4 Bài 116 Trong không gian R5 , cho M là không gian Bài 108 Trong không gian Euclide R4 cho hệ ba chiều có sở gồm véc tơ sở trực chuẩn {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (5, 1, 3, 1), u1 = (1, −3, −1, 1, 1), u2 = (1, −1, 2, −1, 1), 1 u2 = (−1, 3, −1, 5), u3 = (−3, −1, 5, 1) Hãy xác u3 = (−1, 3, −1, −1, −3) 6 định tất các giá trị có thể có u4 Hãy xác định M véc tơ có độ dài đơn vị trực giao Bài 109 Trong không gian Euclide R cho hệ với hai véc tơ v1 = (2, 1, 1, 2, 1), v2 = (1, 1, 2, 3, 5) {u1 , u2 , u3 , u4 } với Bài 117 Trong không gian R6 cho M là không gian ba chiều có sở gồm véc tơ u1 = (2, 1, −1, −2), u2 = (1, −2, 3, −2) u3 = (2, 1, −4, 1), u4 = (−2, 1, −3, 4) u = (1, 1, 1, 1, 1, 1), u = (2, −3, 4, 1, 5, 2), Hãy phần tử x ∈ R4 nào thỏa mãn x ⊥ u1 , x ⊥ u2 , x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4 Bài 110 Trong không gian Euclide R {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (2, −1, 1, 1), u3 = (2, 2, 3, −3), u3 = (3, −4, 10, 2, 1, 3) Hãy xác định M véc tơ có độ dài đơn vị trực cho hệ giao với hai véc tơ v1 = (2, −1, 1, 3, 1, −4), v2 = (3, −2, 1, 2, 1, −1) u2 = (1, 2, 3, −2) u4 = (2, 1, 2, −2) Bài 118 Trong không gian Euclide R4 cho M là không gian hai chiều có sở gồm hai véc tơ u1 = (1, 2, −3, 3); u2 = (2, 1, −1, 5) Hãy phân tích Hãy phần tử x ∈ R4 nào thỏa phần tử x = (6, 1, 4, 8) thành x = u + v đó mãn x ⊥ u1 , x ⊥ u2 , x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4 u ∈ M và v = M ⊥ Bài 111 Trong không gian Euclide R4 cho các véc Bài 119 Trong không gian Euclide R4 , cho véc tơ tơ x = (1, 0, −7, 2) và cho M là không gian hai chiều u1 = (1, −1, 1, 2), u2 = (−2, 1, 2, 3), v = (2, λ, −1, µ) có sở gồm véc tơ u1 = (1, 2, −3, 2), u2 = (2, −1, −2, 1) Hãy tìm các véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈ Hãy xác định giá trị λ và µ để v⊥u1 , v⊥u2 M ⊥ cho ta có đẳng thức x = u + v Bài 112 Trong không gian Euclide R4 cho các véc Bài 120 Trong không gian Euclide R4 , cho véc tơ tơ x = (6, 6, −6, 0) và cho M là không gian hai chiều u = (1, 3, −2, 2), v1 = (1, 3, 2, −1), v2 = (0, −1, 1, 1) có sở gồm véc tơ u1 = (1, 2, −1, 2), u2 = (2, −1, −2, 1) Hãy tìm các véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈ Hãy xác định λ, µ cho w = u + λv1 + µv2 thỏa M ⊥ cho ta có đẳng thức x = u + v mãn điều kiện w⊥v1 , w⊥v2 Bài 121 Trong không gian Euclide R4 , cho véc Bài 113 Cho M là không gian hai chiều tơ x = (4, −1, −5, 4) và cho M là không gian không gian Euclide R4 có sở gồm hai véc tơ u = hai chiều có sở gồm véc tơ u1 = (1, −1, 1, 1), v = (2, −1, 2, 1) Hãy tìm véc tơ có độ (2, −2, −3, 2), u2 = (1, −1, −2, 1) Hãy tìm các véc dài đơn vị thuộc M cho véc tơ đó trực giao với tơ u, v với u ∈ M, v ∈ M ⊥ cho ta có đẳng thức x = u + v véc tơ w = (1, −2, −2, 1) Đại học Giao thông Vận tải Tháng năm 2015 (10) 10 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài 122 Trong không gian Euclide R5 cho M là Bài 130 Trong sở trực chuẩn R4 , cho các không gian hai chiều có sở gồm véc tơ véc tơ u1 = (1, 1, −1, 3, 4); u2 = (2, 3, 1, −3, −14) a1 = (2, 1, −3, −1), a2 = (3, 1, −1, 2) và b = (1, µ, 0, 2λ) Hãy phân tích véc tơ x = (5, −5, 1, −2, −9) thành a) Tìm λ, µ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a và tổng x = u + v với u ∈ M và v ∈ M ⊥ a2 Bài 123 Trong không gian Euclide R4 cho M là b) Với λ, µ tìm được, hãy trực giao hóa hệ {a1 , a2 , b} không gian hai chiều có sở là {u1 , u2 } với Bài 131 Trong không gian Euclide R4 , cho các véc tơ u = (14, 8, 10, 12), v1 = (1, 3, 1, 5), v2 = (7, 1, 11, 3) u1 = (1, 2, 0, 2), u2 = (4, 2, −2, 2) a) Hãy xác định các số λ, µ cho w = u+λv1 +µv2 Hãy tìm x ∈ M cho ||x − u1 || = 4, ||x − u2 || = trực giao với các véc tơ v1 , v2 Bài 124 Trong không gian Euclide R4 cho M là b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1 , v2 , w} theo không gian hai chiều có sở là {u1 , u2 } với thủ tục Gram–Schmidt Bài 132 Trong không gian Euclide R4 , cho các véc tơ u = (6, −10, −4, 17), v1 = (2, 4, 2, 5), v2 = Hãy tìm x ∈ M cho ||x − u1 || = 7, ||x − u2 || = (2, 14, 11, 13) Bài 125 Trong không gian Euclide R4 cho M là a) Hãy xác định các số λ, µ cho w = u+λv1 +µv2 không gian hai chiều có sở là {u1 , u2 } với trực giao với các véc tơ v1 , v2 b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1 , v2 , w} theo u1 = (3, 2, 6, 2), u2 = (2, 2, 7, 2) thủ tục Gram–Schmidt u1 = (2, 2, 7, 2), u2 = (1, 2, 8, 2) Hãy tìm x ∈ M cho ||x − u1 || = 7, ||x − u2 || = Bài 133 Trong sở trực chuẩn R4 cho các Bài 126 Trong không gian Euclide R4 cho M là véc tơ không gian hai chiều có sở là {u1 , u2 } với a = (1, 1, −3, −1), a = (2, 1, −1, 2) và b = (2, γ, 1, α) u1 = (3, 2, 0, 2), u2 = (4, 2, −2, 2) a) Tìm α, γ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1 và Hãy tìm x ∈ M cho ||x − u1 || = 4, ||x − u2 || = a2 b) Với α, γ tìm được, hãy trực giao hóa hệ {a1 , a2 , b} Bài 127 Trong không gian Euclide R4 cho các phần tử a1 = (1, 1, 0, 1); a2 = (1, 0, −1, 1) và không gian Bài 134 Bằng phương pháp trực chuẩn hoá Gram–Schmidt hãy xây dựng sở trực chuẩn L = {x ∈ R4 |hx, a1 i = 0, hx, a2 i = 0} không gian R3 từ sở đã cho sau đây: a) Tìm sở L a1 = (2, −1, 2); a2 = (4, 1, 1); a3 = (−2, 6, −3) b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1 , a2 và các véc tơ sở L đã tìm câu a Tính tọa độ phần tử x = (3, 1, 5) trên sở nhận Bài 128 Trong không gian Euclide R cho các phần tử a1 = (1, 2, 3, −1); a2 = (2, 3, −1, 4) và không gian Bài 135 Bằng phương pháp trực chuẩn hóa Gram–Schmidt hãy xây dựng sở trực chuẩn L = {x ∈ R4 |hx, a1 i = 0, hx, a2 i = 0} không gian R4 từ sở cho sau đây: a) Tìm sở L a1 = (1, 0, 1, −1); a2 = (0, 2, 2, 2); b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1 , a2 và các véc tơ sở L đã tìm câu a a3 = (5, −2, 3, 2); a4 = (3, 1, 1, 1) Bài 129 Trong không gian Euclide R4 cho các phần Tính tọa độ phần tử x = (1, 2, 5, 6) trên sở tử a1 = (1, 1, 2, −1); a2 = (2, 1, −1, 3) và không gian nhận L = {x ∈ R4 |hx, a1 i = 0, hx, a2 i = 0} Bài 136 Trong không gian Euclide R3 cho hệ véc tơ {u1 , u2 , u3 } với a) Tìm sở L b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1 , a2 và các véc tơ sở L đã tìm câu a Đại học Giao thông Vận tải 3 2 u1 = ( , , ), u2 = ( , , − ), u3 = ( , − , ) 7 7 7 7 Tháng năm 2015 (11) Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 11 a) Hãy hệ {u1 , u2 , u3 } là sở trực Bài 143 Hãy xây dựng sở trực chuẩn chuẩn không gian Euclide R3 không gian Euclide R4 cho sở này có chứa hai b) Hãy tìm tọa độ phần tử x = (3, 4, 5) trên phần tử sau sở {u1 , u2 , u3 } 1 u1 = (1, 1, −1, −1); u2 = (1, −1, 1, −1) 2 Bài 137 Trong không gian Euclide R4 cho hệ sở trực chuẩn {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (3, 5, 1, 1), Bài 144 Hãy xây dựng sở trực chuẩn không gian Euclide R4 cho sở này có chứa hai 1 u2 = (−5, 3, 1, −1), u3 = (−1, −1, 3, 5) Giả sử phần tử sau 6 phần tử x = (4, 2, 1, −5) có tọa độ trên {u1 , u2 , u3 , u4 } 1 u1 = (5, 3, −1, −1); u2 = (1, −1, 5, −3) là (x1 , x2 , x3 , x4 ) Hãy tính x24 Bài 138 Trong không gian Euclide R4 cho hệ Bài 145 Chéo hóa ma trận đối xứng thực sau đây sở trực chuẩn {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (2, 4, 2, 5), ma trận trực giao 1 u2 = (−5, 2, −4, 2), u3 = (2, 5, −2, −4) Giả sử 7 A = 2 4 phần tử x = (2, −3, 1, 5) có tọa độ trên {u1 , u2 , u3 , u4 } 4 là (x1 , x2 , x3 , x4 ) Hãy tính x24 Bài 139 Trong không gian Euclide R5 cho M là không gian ba chiều có sở là {u1 , u2 , u3 } với u1 = (1, 1, 1, 1, −1), u2 = (2, 0, 3, −2, 1), u3 = (−1, 2, 1, −1, 2) Hãy xác định sở trực chuẩn và số chiều không gian M ⊥ Bài 146 Cho A2 = A Hãy (A + I)k = I + (2k − 1)A Bài 140 Trong không gian R4 cho hai véc tơ u1 = (2, 1, −2, 2); u2 = (1, −1, −1, −1) Gọi M là tập hợp tất các véc tơ R4 trực giao với u1 , u2 (a + b)2 c2 c2 2 a (b + c) a2 = 2abc(a + b + c)3 b2 b2 (a + c)2 Một số bài tập nâng cao Bài 147 Chứng minh đẳng thức a) Chứng minh M là không gian Bài 148 Chứng minh đẳng thức R4 a b c d b) Xác định sở trực chuẩn M −b a d −c = (a2 + b2 + c2 + d2 )2 −c −d a b Bài 141 Cho ma trận −d c −b a 2 −3 −3 Bài 149 Tính giá trị định thức Q = − − a1 x x x 3 x a2 x x D = x x a3 x x y z x x x an Hãy tìm x, y, z để Q là ma trận trực giao Bài 142 Hãy tìm x, y, z, t để ma trận Q cho Bài 150 Chứng minh ma trận vuông cấp hai sau đây là ma trận trực giao: a b A= c d −1 1 1 −1 1 thỏa mãn phương trình Q= −1 1 2 x y z t X − (a + d)X + (ad − bc)E = Đại học Giao thông Vận tải Tháng năm 2015 (12) 12 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài 151 Chứng minh A là ma trận thực Bài 163 Tính định thức và AA0 = thì A = 1 1 1 Bài 152 Cho hai ma trận vuông cấp hai A = C C C n −1 2 C42 Cn+1 D = C3 và B = a) Hãy tìm ma trận khả nghịch T cho T A = n−1 n−1 n−1 Cn+1 C2n−2 Cn BT b) Tính A2011 Bài 164 Chứng minh không tồn các ma Bài 153 Cho A là ma trận vuông cấp n khả trận A và B cho AB − BA = E nghịch có ma trận phụ hợp là A∗ Hãy chứng minh Bài 165 Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n det(A∗ ) = (det A)n−1 cho r(AB − BA) = Chứng minh (AB − Bài 154 Cho A là ma trận vuông cho A4 = BA)2 = 0 Hãy chứng minh I + A là ma trận khả Bài 166 Cho A, B là các ma trận kích thước × nghịch và × Giả sử tích A.B là Bài 155 Cho A là ma trận vuông cho A10 = Hãy chứng minh I + A2 + A5 là ma trận −2 khả nghịch AB = −2 Bài 156 Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp cho (AB)10 = I Chứng minh (BA)10 = I Hãy Bài 157 Cho A là ma trận vuông thực cấp ba có ba giá trị riêng thực phân biệt Hãy chứng minh BA = ma trận A3 có ba giá trị riêng thực phân biệt Bài 167 Cho A, B là các ma trận vuông cấp với Bài 158 Cho A là ma trận vuông thực cấp ba các phần tử thực cho có ba giá trị riêng thực phân biệt Hãy chứng minh ma trận A5 − A4 + A có ba giá trị riêng det A = det B = det(A + B) = det(A − B) = thực phân biệt Chứng minh det(xA + yB) = với cặp số Bài 159 Cho A là ma trận vuông thực cấp n thực x, y khả nghịch và có n giá trị riêng phân biệt Chứng minh ma trận A3 + 2A − 3A−1 có n giá trị Bài 168 Cho A là ma trận vuông cấp n Chứng riêng thực phân biệt minh A là ma trận luỹ linh và B là ma trận giao hoán với A thì I − AB và I + AB là các ma Bài 160 Cho A là mộtma trận vuông cấp hai đồng trận khả nghịch dạng với ma trận B = Hãy tính giá trị 2015 −2014 Bài 169 Cho ma trận vuông A = định thức det(A3 + 3A) 2014 −2013 Hãy xác định số nguyên dương n cho tồn ma −1 Tính trận vuông cấp hai X với các phần tử nguyên để Bài 161 Cho ma trận A = 0 −1 X 2015 + X n = 2A 2004 1002 det B với B = A −A Bài 162 Tính định thức −1 D = −1 −2 −1 −2 −3 Đại học Giao thông Vận tải n n n MẪU ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê trân trọng giới thiệu số mẫu đề thi kết thúc học phần môn Đại số tuyến tính Để có chuẩn bị tốt cho kỳ thi sinh viên cần lưu ý các điểm sau: Tháng năm 2015 (13) Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 13 Sinh viên học ĐSTT tín chỉ làm bốn câu Hãy phần tử x ∈ R4 nào thỏa đầu tiên Thời gian làm bài đề thi là mãn x ⊥ u1 , x ⊥ u2 , x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4 70 phút ĐỀ SỐ 2 Sinh viên học ĐSTT tín chỉ làm câu Bài Tính hạng ma trận sau theo x Thời gian làm bài đề thi là 90 phút x 3 x Không mang tài liệu phòng thi A = x x x Không mang điện thoại vào phòng thi x x x x Mang thẻ sinh viên thi, mang máy tính (nếu cần) để sử dụng thi Bài Giải hệ phương trình Sinh viên không nháp vào đề thi, phải nộp lại đề thi cùng bài làm hết làm bài ĐỀ SỐ −3 Bài Cho ma trận A = −2 a) Tính A215 b) Tính det(A512 + 4A215 + 2A251 ) 3x1 − x2 + 5x3 − x4 = 2x1 + x2 + x3 + 4x4 = 2x1 − x2 + 4x3 − 2x4 = Bài Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } với a1 = (1, 1, −1), a2 = (2, 1, 3) a3 = (1, 4, 2), a4 = (5, 0, 2) Hãy tìm tất các biểu diễn tuyến tính có thể có a4 trên hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } Bài Giải và biện luận hệ phương trình −1 Bài Cho ma trận A = 1 −1 x1 − x2 + 2x3 − x4 = −5 2x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng A 4x1 − x2 + 7x3 + λx4 = b) Ma trận A có chéo hóa không? Tại sao? Nếu hãy tìm ma trận T và ma trận đường chéo B để Bài Trong không gian R cho hệ véc tơ {a1 , a2 , a3 } cho B = T −1 AT với Bài Trong không gian Euclide R4 , cho véc tơ x = (2, 4, −5, 6) và cho M là không gian hai chiều a1 = (1, 1, 3, −2), a2 = (2, 1, 2, 1), a3 = (1, 3, 3, 2) có sở gồm véc tơ u1 = (2, 1, 3, −1), u2 = a) Chứng minh hệ {a1 , a2 , a3 } là hệ độc lập tuyến (1, −1, 1, 2) Hãy tìm các véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈ M ⊥ cho ta có đẳng thức x = u + v tính b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) phần tử x = (4, 0, 4, −2) qua hệ {a1 , a2 , a3 } ĐỀ SỐ Bài Cho hai ma trận 2 A = 2 −2 , B = −1 1 f (x) = (3x1 + x2 + 2x3 , 2x1 + 2x2 − 3x3 , 3x1 + x2 − x3 ) 1 −1 Bài Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định công thức với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Hãy tìm ma trận f a) Tính nghịch đảo ma trận A trên sở {a1 , a2 , a3 } R3 với b) Giải phương trình AX = B a1 = (2, 1, 4), a2 = (1, −1, 1), a3 = (2, 2, 1) Bài Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số λ Bài Trong không gian Euclide R cho hệ x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = {u1 , u2 , u3 , u4 } với 2x + 3x + x − x = u1 = (1, 1, 1, 2), u2 = (2, 1, 1, −1) 3x + 5x + 3x + 4x = u3 = (3, 2, −1, 3), u4 = (5, 2, 5, −4) 6x1 + 10x2 + λx3 + 5x4 = 15 Đại học Giao thông Vận tải Tháng năm 2015 (14) 14 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín −1 Bài Trong không gian tuyến tính R4 cho không Bài Cho ma trận A = 1 2 gian −1 M = {(x1 , x2 , x3 , x4 )|x1 + x2 − 2x3 + 4x4 = 0} a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay và phần tử w ∈ M với w = (1, 1, 3, 1) Hãy xác định không Nếu có hãy ma trận chuyển T và ma sở và số chiều M và cho biết tọa độ trận đường chéo B B = T −1 AT w trên sở đưa Bài Trong không gian Euclide R4 , cho các véc 3 Bài Cho ánh xạ tuyến tính f : R −→ R xác định tơ u = (3, −2, −2, 11), v1 = (2, −1, 3, 3), v2 = công thức (1, 1, −1, 2) a) Hãy xác định các số λ, µ cho w = u+λv1 +µv2 f (x) = (4x1 +3x2 −3x3 , x1 −2x2 −3x3 , x1 +3x2 +2x3 ) trực giao với các véc tơ v , v b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1 , v2 , w} theo với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 thủ tục Gram–Schmidt a) Hãy lập ma trận ánh xạ f trên sở chính tắc R3 ĐỀ SỐ b) Xác định x ∈ R3 để f (x) = f (2, −1, 3) Bài Giải phương trình Bài Bằng phương pháp trực chuẩn hoá x 1 x Gram–Schmidt hãy xây dựng sở trực chuẩn x x x x không gian R từ sở đã cho sau đây: =0 x x 2 x x a1 = (2, 2, 1); a2 = (4, 10, −1); a3 = (2, 7, 3) Tính tọa độ phần tử x = (1, 8, 9) trên sở nhận Bài Giải hệ phương trình x1 + 2x2 + 2x3 − 3x4 − 4x5 = 11 ĐỀ SỐ 3x1 + x2 + 3x3 − 9x4 − 2x5 = 14 Bài Cho hai ma trận 2x1 − 2x2 + 5x3 − 6x4 + 4x5 = 13 1 Bài Hãy tìm tọa độ véc tơ x = (3, 10, −2, 3) A = −2 1 , B = 3 −2 sở đây không gian tuyến tính R4 : −2 −2 a1 = (1, 1, −1, 2); a2 = (2, 3, 1, 1); a3 = (−1, 2, −2, 1); a4 = (1, 1, 1, −1) a) Tính det(2A3 B + 3A2 B ) Bài Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định b) Tính hạng ma trận A + 2B công thức Bài Cho hệ phương trình f (x) = (4x1 + x2 − x3 , 2x1 + 3x2 − x3 , −x1 − 3x2 + 2x3 ) x + x + x + x = 3x + x − x − 2x = với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f trên sở chính tắc 2x − 4x2 + x3 − 2x4 = R3 2x1 + 6x2 − x3 + x4 = λ b) Hãy ma trận f trên sở Xác định λ để hệ trên có nghiệm Giải hệ với λ tìm {a1 , a2 , a3 } R3 với a1 = (1, 1, 4), a2 = (3, −1, 5), a3 = (−1, −1, 1) Bài Trong không gian tuyến tính R3 cho hai hệ là ma trận đường chéo sở (a) = {a1 , a2 , a3 } và (b) = {b1 , b2 , b3 } với Bài Trong không gian Euclide R4 cho hệ sở trực chuẩn {u1 , u2 , u3 , u4 } với u1 = (4, 2, 1, 2), u2 = a1 = (2, 1, −1), a2 = (3, 1, 2), a3 = (2, 1, 4) 1 b1 = (1, 2, 3), b2 = (−1, 0, 2), b3 = (5, 1, 2) (−1, 2, 4, −2), u3 = (2, −4, 2, −1) Hãy xác định 5 tất các giá trị có thể có u4 Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b) Đại học Giao thông Vận tải Tháng năm 2015 (15)