Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó.. - Giám thị coi thi không[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề x 16 x A x x Câu (1,5 điểm): Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A mx y 2 x my 5 Câu (1,5 điểm): Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình trên m 10 x 1 x 3 x 7 x 1 x x 1 (với m là tham số) x; y b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn hệ thức: 2015m 14m 8056 x y 2014 m2 Câu (3,0 điểm): a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: a b c P 2 9a 3b c 9b 3c a 9c 3a b b) Tìm tất các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x(1 x x ) 4 y ( y 1) Câu (3,0 điểm): Cho đoạn thẳng AC có độ dài a Trên đoạn AC lấy điểm B cho AC 4 AB Tia Cx vuông góc với AC điểm C , gọi D là điểm thuộc tia Cx ( D không trùng với C ) Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và CD K , E a) Tính giá trị DC.CE theo a b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ c) Chứng minh điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có dây cung cố định 1 1 ; ; ; ; ; 2014 2015 Câu (1,0 điểm): Cho dãy gồm 2015 số: Người ta biến đổi dãy nói trên cách xóa hai số u, v dãy và viết thêm vào dãy số có giá trị u v uv vào vị trí u v Cứ làm dãy thu và sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối cùng còn lại số Chứng minh giá trị số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa lần thực việc biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó -Hết Ghi chú: - Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm (2) Họ và tên thí sinh:…………………………………………………… Số báo danh:…….…………… … SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (05 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm nêu cách giải với ý bản, thí sinh làm bài không theo cách nêu hướng dẫn chấm đúng thì cho đủ số điểm phần thang điểm quy định 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải thống thực với tất giám khảo 3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm Sau cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết 4) Với bài hình học học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó II) Đáp án và thang điểm: Câu Nội dung trình bày Điểm Câu x 16 x x 1 x 7 x A (1,5 đ) : x2 x x 3 x 1 x 1 Cho biểu thức: a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A x 0 x x 0 x 0 x 0 x 2 0 x Điều kiện: 0,25 Từ đó: x 0; x 1; x 4 Biến đổi: 3x 16 x x2 x x 1 x 3 x 7 x1 2 và x x x1 x1 A Từ đó: x x x : x1 x1 x b) (0,5 điểm) Tìm x để A x 1 x x 7 x 6 x 3 x 3 x 3 x 3 x 1 x 3 x 7 x1 0,25 x 7 x1 x 7 2 x1 x 7 x x1 x1 0,25 0,25 (3) A x x x x Biến đổi: x 21 x 9 (thỏa mãn điều kiện) Vậy để A thì x 9 Câu mx y 2 (1,5 đ) 2 x my 5 m Cho hệ phương trình: (với 0,25 0,25 là tham số) a) (0,5 điểm) Giải hệ phương trình trên m 10 Thay m 10 ta hệ: 10 x y 2 2 x 10 y 5 5 x y 1 2 x 10 y 5 50 x-10y=10 x 10 y 52 x=15 2 x 10 y 5 15 15 x 52 x 52 x y y 23 10 52 15 x 52 y 23 52 Kết luận: với m 10 thì hệ có nghiệm nhất: 0,25 0,25 x; y thỏa mãn hệ b) (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm 2015m2 14m 8056 x y 2014 m2 thức: Dùng phương pháp thế, ta có: mx y 2 x m mx 5 2m 10 mx x y m 4 ,m R m m x=2m+10 y m2 2m 10 x m ,m R m y m2 Nên hệ luôn có nghiệm nhất: 2015m2 14m 8056 x y 2014 m2 Thay vào hệ thức: mx y mx y 2 2 x my 5 2 x my 5 Ta được: 2014m 7m 8050 2015m2 14m 8056 m2 m2 0,25 0,25 0,25 (4) 2014m 7m 8050 2015m2 14m 8056 m 1 m 7m 0 m 1 m 0 m 6 Kết luận: để hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y thỏa mãn hệ thức: 2015m2 14m 8056 x y 2014 m2 thì 0,25 m 1 m 6 Câu a) (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị (3,0 đ) lớn biểu thức: P a b c 2 9a 3b c 9b 3c a 9c 3a b Chứng minh: ( a b c )( x y z ) (ax by cz )2 , a, b, c, x, y , z R (1) Thật vậy: (1) ( a y 2abxy b x ) (a z 2acxz c z ) (b y 2bcyz c z ) 0 (ay bx) (az cx)2 (by cz ) 0 (đúng) 0,25 ay bx " " az cx by cz Dấu (9a 3b c)( Áp dụng BĐT (1) ta có: 1 c) (a b c ) 1 9a " " a b c Dấu a 1 1 a( c) c 9a 9a 3b c 9a b 1 c 1 b( a); c( b) 2 9b 9c 3a b 9c Tương tự có: 9b 3c a a bc P 3 (ab bc ca ) 1 (a b c)2 (a b c )2 P 1 3 3 Do ab bc ca Pmax 1 a b c Vậy b) (1,5 điểm ) Tìm tất các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: 9a 3b c 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x(1 x x ) 4 y ( y 1) 2 Có: x(1 x x ) 4 y ( y 1) ( x x ) ( x 1) 4 y y 0,25 (5) ( x 1)( x 1) (2 y 1)2 x, y y 1 (1) x 0 và x chẵn 2 Giả sử ( x 1, x 1) d d lẻ và x 1d ; x 1d 2d d 1 2 Vì ( x 1)( x 1) là số chính phương, ( x 1, x 1) 1 nên ( x 1) và ( x 1) là Vì , nên từ 1 hai số chính phương 2 2 0,25 0,25 0,25 Do x 0 x x ( x 1) x ( x 1) x 0 0,25 y 0 (1) y ( y 1) 0 y 1 Khi x 0 , có x; y 0,25 Vậy có hai cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: (0;0),(0;1) Câu Cho đoạn thẳng AC có độ dài a Trên đoạn AC lấy điểm B cho (3,0 đ) AC 4AB Tia Cx vuông góc với AC điểm C , gọi D là điểm thuộc tia Cx ( D không trùng với C ) Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và CD K , E a) (1,0 điểm) Tính giá trị DC.CE theo a o Ta có: EBC ADC (Cùng bù với góc KBC ); ACD ECB 90 0,25 ACD và ECB đồng dạng với nhau(g-g) DC AC DC.CE AC.BC BC EC a 3a 3a AB ; BC DC.EC AC.BC 4 Do b) (1,0 điểm) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ 0,25 0,25 0,25 (6) SBDE BC.DE S BDE nhỏ và DE nhỏ 0,25 3a DE DC EC 2 DC.EC 2 a Ta có: ( Theo chứng minh phần a) a " " DC EC Dấu 0,5 3a a CD S( BDE ) D thuộc tia Cx cho nhỏ c) (1,0 điểm) Chứng minh điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có dây cung cố định Gọi giao điểm đường tròn đường kính DE với đường thẳng AC là M, N ( M nằm A và B) M, N đối xứng qua DE Ta có: Hai tam giác AKB và ACD đồng dạng (g-g) AK AB AK AD AC AB AC AD (1) Hai tam giác AKM và AND đồng dạng (g-g) AK AM AK AD AM AN AN AD (2) a2 AM AN AC AB T (1) v à (2) suy a ( AC MC )( AC NC ) AC MC (Do MC NC ) 3a a MC MC NC M , N là hai điểm cố định Vậy đường tròn đường kính DE luôn có dây cung MN cố định Câu 1 1 ; ; ; ; ; (1,0 đ) 2014 2015 Cho dãy gồm 2015 số: Người ta biến đổi dãy nói trên cách xóa hai số u, v dãy và viết thêm vào dãy số có giá trị u v uv vào vị trí u v Cứ làm dãy thu và sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối cùng 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 còn lại số Chứng minh giá trị số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa lần thực việc biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó Với hai số thực u,v ta luôn có: u 1 v 1 u v uv u v uv Với dãy số thực a1 ;a2 ; ;a2015 , ta xét “Tích thêm T ”: (*) 0,25 0,25 (7) T a1 1 a2 1 a3 1 a2015 1 Áp dụng cách biến đổi dãy đề bài kết hợp với nhận xét (*), ta nhận thấy “Tích thêm T ” không thay đổi với dãy thu Với dãy đã cho ban đầu bài toán, “Tích thêm T ”: 1 2015 2016 T 1 1 1 1 1 2016 2015 2014 2015 Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy còn lại còn số là x thì “Tích thêm T ” dãy cuối là: T x Vậy ta có: x 2016 x 2015 Bài toán giải quyết; và sau 2014 lần biến đổi dãy theo đúng yêu cầu bài toán ta thu số 2015 -Hết 0,25 0,25 (8)