1 Ch-ơng 6 Xoắn thuần tuý thanh thẳng 1 Khái niệm 1. Định nghĩa: Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ xuất hiện 1 thành phần nội lực là mô men xoắn M 2. Ngoại lực gây nên xoắn thuần tuý Ngoại lực th-ờng cho ở 2 dạng: * Cho ở dạng ngẫu lực hoặc mô men nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục của thanh. * Cho ở dạng công suất truyền N(kw) và tốc độ vòng quay của trục n(vòng/phút) Khi đó mô men ngoại lực đ-ợc xác định nh- sau: - Điểm đặt các mô men tại các pu li truyền lực. - Chiều mô men có chiều trùng với tốc độ vòng quay đối với pu li chủ động, và ng-ợc với tốc độ vòng quay đối với pu li bị động. - Giá trị mô men đ-ợc xác định theo biểu thức sau: M= 9550 N kw n v ph ( ) ( / ) (N.m) 3.Nội lực: Nội lực khi xoắn thuần tuý là mô men xoắn M z đ-ợc quy -ớc dấu nh- sau: Mang dấu d-ơng khi nhìn vào mặt cắt thấy mô men xoắn nội lực quay theo chiều kim đồng hồ. Mang dấu âm thì ng-ợc lại. Biểu diễn mô men xoắn nội lực thay đổi theo chiều trục thanh, ta đ-ợc biểu đồ mô men xoắn M z . M M M M z 2 6.2 Thành lập công thức ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh tròn chịu xoắn thuần tuý 1. Thí nghiệm và giả thuyết: Xét 1 mẫu thanh mặt cắt tròn, ta kẻ các đ-ờng song song với trục của thanh đặc tr-ng cho thớ dọc và kẻ các đ-ờng vuông góc với trục của thanh đặc tr-ng cho mặt cắt ngang. Các đ-ờng này tạo nên l-ới hình ô vuông. Tác dụng mô men xoắn, ta thấy các đ-ờng vuông góc với trục của thanh vẫn vuông góc, các đ-ờng song song với trục của thanh trở thành các đ-ơng xiên, ô vuông trở thành ô hình bình hành . Qua các thí nghiệm nh- vậy, ng-ời ta đ-a ra các giả thuyết sau: * Giả thuyết 1:Mặt cắt ngang tr-ớc và sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục của thanh, khoảng cách giữa các mặt cắt ngang không thay đổi. * Giả thuyết 2:Trong quá trình biến dạng, bán kính của mặt cắt ngang vẫn thẳng và có độ dài không thay đổi. Ngoài ra ng-ời ta còn giả thiết vật liệu vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, nghĩa là tuân theo định luật Húc: E. và G 2. Thành lập công thức ứng suất trên mặt cắt ngang * Dựa vào các giả thuyết ta thấy: - Theo giả thuyết 1 thì trên mặt cắt ngang không có thành phần -s pháp vì khoảng cách giữa các mặt cắt ngang không thay đổi. Nh- vậy trên mặt cắt ngang chỉ có thành phần -s tiếp. - Dựa vào giả thuyết 2 ta thấy trên mặt cắt song song với trục của thanh không có thành phần -s pháp, điều đó chứng tỏ:phân tố ở trạng thái -s tr-ợt thuần tuý. *T-ởng t-ợng dùng 1 mặt cắt cắt thanh và xét 1 mặt cắt ngang. Trên mặt cắt ngang có mô men xoắn M z . Xét 1 phân tố diện tích dF xung quanh điểm K cách tâm vòng tròn 1 khoảng là bán kính . Tại điểm K có -s tiếp vuông góc với bán kính (vì thành phần h-ớng kính bằng 0 do không có thành phần nội lực nào cân bằng với nó). Ta có ph-ơng trình cân bằng mô men đối với trục z nh- sau: M z = . .dF F (1) M M M dF x z y 3 * Ta hãy xét quy luật biến thiên của -s tiếp: T-ởng t-ợng dùng 2 mặt cắt cắt 1 đoạn thanh có chiều dài là dz và dùng 2 hình trụ đồng trục có bán kính là và +d cắt thanh (hình vẽ) Ta có : tg d dz . Mặt khác theo định luật Húc ta có: G G d dz . . (2) *Thay (2) vào (1) ta có: M z = G d dz dF F . . . 2 Tích phân , ta đ-ợc: M z = G. d dz .J p Suy ra d dz = M GJ z p (6.2) Thay 6.2 vào (2) và rút gọn,ta đ-ợc: M J z p . (6.3) Đây chính là biểu thức xác định -s tiếp trên mặt cắt ngang. 3.Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp: Theo công thức 6.3 ta thấy:-s tiếp phân bố bậc nhất theo bán kính. Ta có: Khi =0 (tâm vòng tròn) thì =0 Khi =R=D/2 (tại chu vi vòng tròn) thì -s tiếp có giá trị lớn nhất là: max M W z P (6.4) Trong đó W p = J R p gọi là mô men chống xoắn. Ta có biểu đồ phân bố -s tiếp trên hình vẽ * Mô men chống xoắn của 1 số hình đơn giản: - Hình tròn đ-ờng kính là D=2R. Ta đã biết : J p =0,1D 4 cho nên W P =0,2D 3 * Hình vành khăn: có đ-ờng kính ngoài D và đ-ờng kính trong d. Ta đã biết: J p =0,1D 4 (1- 4 ) cho nên W p = 0,2.D 3 (1- 4 ) max M W z P 4 4.Điều kiện bền: Tách 1 phân tố ngoài chu vi, ta thấy: phân tố ở trạng thái -s tr-ợt thuần tuý. Trong ch-ơng trạng thái -s và thuyết bền, ta đã chứng minh đ-ợc điều kiện bền cho phân tố tr-ợt thuần tuý. Ta sẽ áp dụng cho xoắn thuần tuý: Ta có điều kiện bền: max M W z p Tuỳ theo từng thuyết bền mà ta có -s tiếp cho phép khác nhau: - Theo thuyết bền -s tiếp lớn nhất: ta có 2 - Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại, ta có 3 - Theo thuyết bền Mor, ta có k 1 Trong đó k n Theo tính chất của thuyết bền, thì vật liệu dẻo sử dụng 2 thuyết bền trên, còn vật liệu dòn thì sử dụng thuyết bền Mor 4-Dạng phá hỏng của thanh tròn chịu xoắn Theo hình vẽ trên, ta thấy: khi chịu xoắn thuần tuý thì phân tố ở trạng thái -s tr-ợt thuần tuý. Tìm phân tố chính, ta thấy phân tố chính nghiêng 45 0 so với phân tố tr-ợt thuần tuý(hình vẽ). - Vật liệu dẻo bị phá hỏng do chịu cắt kém, cho nên mặt cắt bị phá hỏng là mặt cắt ngang là mặt cắt có -s tiếp lớn nhất. - Vật liệu dòn: vì chịu kéo kém, cho nên mặt cắt bị phá hỏng nghiêng 45 0 so với ph-ơng ngang là mặt cắt có -s pháp kéo lớn nhất. *Trong tr-ờng hợp thanh chịu kéo thì -s pháp lớn nhất đạt trên mặt cắt ngang cho M M max 3 1 - (Phá hỏng vật liệu dẻo (Phá hỏng vật liệu dòn khi xoắn) khi xoắn) 5 nên vật liệu dòn bị phá hỏng theo mặt cắt ngang. Còn -s tiếp đạt giá trị lớn nhất trên mặt cắt nghiêng 45 0 cho nên vật liệu dẻo bị phá hỏng trên mặt cắt nghiêng 45 0 . 3 Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn thuần túy Khi chứng minh công thức -s trên mặt cắt ngang ta đã có công thức 6.2: = d dz = M GJ z p Trong đó gọi là góc zoắn tỉ đối: là góc xoắn giữa 2 mặt cắt cách nhau 1 đơn vị chiều dài. Để tính góc xoắn tuyệt đối , ta chuyển vế và tích phân, ta có: M GJ dz z p l 0 (6.5) Trong đó tích số GJ p gọi là độ cứng chống xoắn. Nếu trong 1 đoạn thanh chiều dài l có M z , GJ p là hằng số thì ta có: M l GJ z p . . (6.6) Nếu có nhiều đoạn thanh có chiều dài l i ,và M zi , G i , J pi là hằng số, khi đó góc xoắn đ-ợc tính theo biểu thức sau: M l G J zi i i pi i n . . 1 (6.7) Trong các biểu thức trên: Dấu của phụ thuộc vào dấu của M z . Điều kiện cứng: Điều kiện cứng đ-ợc xác định trên cơ sở hạn chế biến dạng không cho phép quá lớn. Đó là: M l GJ z p . . và max max M GJ z p Trong đó góc xoắn tuyệt đối, tỉ đối cho phép đ-ợc xác định theo yêu cầu kỹ thuật, dựa theo các bảng tra. 6 4 Tính lò so xoắn ốc hình trụ b-ớc ngắn 1.Các thông số xác định lò so: Lò so đ-ợc xác định bởi các thông số sau: - Đ-ờng kính trung bình của lò so D. - Đ-ờng kính dây lò so d - B-ớc lò so h. - Góc nâng của lò so . - Số vòng dây làm việc của lò so: n Lò so gọi là b-ớc ngắn khi tỉ số : h/D rất bé. 2.Tính ứng suất trong lò so: Giả sử có 1 lò so xoắn ốc hình trụ b-ớc ngắn, chịu kéo bởi lực P. * Xác định nội lực trong lò so: T-ởng t-ợng dùng 1 mặt phẳng di qua lò so cắt lò so ở 1 vị trí. Vì lò so b-ớc ngắn, cho nên ta coi mặt cắt lò so là tròn. Ta thấy nội lực tại mặt cắt lò so gồm: - Lực cắt Q=P - Mô men xoắn: M xoắn = P D. 2 * Tính -s trong lò so: Ta thấy cả lực cắt và mô men xoắn đều gây nên -s tiếp. áp dụng nguyên lý cộng tác dụng: - Lực cắt gây nên -s tiếp coi là phân bố đều. Nghĩa là: Q Q F P d 4 2 . - Mô men xoắn gây nên -s tiếp có giá trị lớn nhất tại chu vi vòng tròn và có giá trị: max . M xoan p M W PD d 8 3 (vì W p = .d 3 16 ) Qua hình vẽ ta nhận thấy: điểm A là điểm nguy hiểm vì tại đó -s tiếp do lực cắt và mô men xoắn gây nên cùng chiều. Khi đó ta có -s tiếp do cả 2 thành phần gây nên sẽ là: max . . . ( ) 8 4 8 1 2 3 2 3 PD d P d PD d d D Ta nhận thấy d/2D rất bé hơn so với 1 cho nên có thể bỏ qua, nh-ng khi đó: ta đã bỏ qua ảnh h-ởng của lực cắt. Để kể đến ảnh h-ởng của lực cắt và ảnh h-ởng của mặt cắt không tròn, ng-ời ta thêm vào hệ số k. Khi đó ta có: max . . k PD d 8 3 (6.8) P d h P D P M xoắn Q 7 Trong đó k đ-ợc xác định bằng công thức thực nghiệm k= D d D d 0 25 1 , 2 Biến dạng của lò so: Gọi độ co, độ dãn của lò so khi có lực tác dụng là . Ng-ời ta đã chứng minh đ-ợc rằng: 8 3 4 PD n Gd = P C (6.9) Trong đó C gọi là độ cứng của lò so và C= Gd D n 4 3 8 3-Điều kiện bền,điều kiện cứng: - Điều kiện bền của lò so max . . k PD d 8 3 - Điều kiện cứng của lò so 8 3 4 PD n Gd = P C 5 Bài toán siêu tĩnh Trong thực tế, có nhiều tr-ơng hợp gặp phải, nếu chỉ với ph-ơng trình cân bằng tĩnh học thì không đủ số l-ợng ph-ơng trình để giải. Bài toán này gọi là bài toán siêu tĩnh. Để giải bài toán siêu tĩnh, ng-ời ta phải lập thêm ph-ơng trình biến dạng,d ựa trên cơ sở chuyển vị tại 1 điểm nào đó mà theo kết cấu của nó, ta có thể xác định đ-ợc. Ta hãy xem xét 1 tr-ờng hợp sau đây: Xét 1 thanh mặt cắt tròn liên kết ngàm 2 đầu, chịu tác dụng bởi mô menM nh- trên hình vẽ: Ta có ph-ơng trình cân bằng mô men: M a +M B -M=0 Ta lập thêm ph-ơng trình biến dạng bằng cách: Giải phóng ngàm B, khi đó mô men M B phải có giá trị sao cho góc xoắn tuyệt đối tại mặt cắt qua B phải bằng 0. Nghĩa là: B BC CA 0 Suy ra: M l GJ M M l GJ B p B p 2 0 ( ) Giải ph-ơng trình ta đ-ợc: M B = M 3 Sau khi xác định đ-ợc M B thì bài toán trở lại bài toán tĩnh định, ta giải bình th-ờng nh- đã biết. M A (M-M B ) A M C GJ p B M B M B 8 . 1 Ch-ơng 6 Xoắn thuần tuý thanh thẳng 1 Khái niệm 1. Định nghĩa: Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi trên mọi mặt cắt ngang. tr-ợt thuần tuý. Trong ch-ơng trạng thái -s và thuyết bền, ta đã chứng minh đ-ợc điều kiện bền cho phân tố tr-ợt thuần tuý. Ta sẽ áp dụng cho xoắn thuần tuý: