1 Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======== Nguyễn Thị Hằng Về tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ vi phân ngẫu nhiên Ito tuyến tính không đa đợc về dạng cauchy Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán ====Vinh /2005=== 2 Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======== Khoá luận tốt nghiệp đại học Về tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ vi phân ngẫu nhiên Ito tuyến tính không đa đợc về dạng cauchy Ngành học: cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: xác suất thống kê Ngời hớng dẫn khoá luận: PGS. TS Phan Đức Thành Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Hằng Lớp: 41E4 - Khoa Toán ====Vinh /2005=== Mở đầu Bất cứ hệ thống nào dù là hệ thống kỹ thuật, hệ sinh thái hay hế thống kinh tế xã hội bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất. Nh đã biết mọi hệ thống hoạt động trong môi trờng đều đợc mô tả bởi một hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên. Do đó tính ổn định của một hệ thống liên quan chặt chẽ đến tính ổn định của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên. Việc nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân ngẫu nhiên bằng phơng pháp giải tích đã đợc nhiều tác giả quan tâm nh Hasmiski, Gichman và Kushner Khoá luận này nghiên cứu tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính không giải ra đợc đối với đạo hàm. Khoá luận gồm hai chơng: Chơng I: Trình bày những khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định của hệ vi phân tuyến tính theo nghĩaLiapunov. Chơng II: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính không đa đợc về dạng Cauchy. Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS.TS Phan Đức Thành. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Ngời đã giành sự nhiệt tình tận tâm cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán của Tr- ờng Đại học Vinh nói chung và tổ xác suất thống kê nói riêng, đặc biệt là là các ý kiến đóng góp qúy báu của các thầy giáo: PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Trung Hoà, TS Trần Xuân Sinh. Vinh, ngày 30 tháng 04 năm 2005 Tác giả 3 Chơng I: Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính Đ1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định Ta đã biết bất kỳ một hệ thống ( hệ sinh học, hệ kỹ thuật, hệ kinh tế - xã hội . ) hoạt động trong môi trờng chịu tác động của môi trờng và của nhiễu bao giờ cũng đợc mô tả bở một hệ phơng trình vi phân. Xét hệ phơng trình vi phân thờng: ( ) nj j yyytf dt dy .,, 21 = , (j = 1,,n). (1.1). Trong đó: t là biến độc lập ( thời gian ), y 1 , ., y n là các hàm cần tìm, f j là các hàm xác định trong một bán trụ T = I t ì Dy. với I t = { } , 0 << tt và Dy là một miền mở thuộc R n . Hệ ( 1.1) đợc viết dới dạng ma trận. Vectơ nh sau: ( ) ytF dt dy , = (1.2) Trong đó [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] T n T n y y YtfYtfYtFyyY n , ,,, 11 . 1 == = T n dt dy dt dy dt dy dt dy = ,, ,, 21 . Định nghĩa 1: (Về ổn định Liapunov ). Nghiệm z = z(t) ( a < t < ) của hệ (1.2) đợc gọi là ổn định theo Liapunov khi t + ( gọi ngắn gọn là ổn định ). Nếu với 0 > và ( ) 0),(, 00 >= tat sao cho: * Các nghiệm Y = Y(t) ( kể cả nghiệm Z(t) ) thoả mãn điều kiện: (*) 00 )()( < tZtY xác định trong khoảng t 0 < t < . Tức là: Y(t) Dy . khi [ ] , 0 tt . * Với các nghiệm này thì bất đẳng thức sau thoả mãn: < tttZtY 0 (**) ,)()( . * Về ý nghĩa ta luôn luôn có thể chọn Đặc biệt: Khi F (t, 0 ) 0 nghiệm tầm thờng (trạng thái cân bằng), Z(t) 0 ( a < t < ) ổn định nếu ,0 > ),( 0 at 0),( 0 >= t sao cho: 4 < )( 0 tY kéo theo < )(tY khi t 0 < t < . Định nghĩa 2: ( Về ổn định đều ). Nếu số 0 > ta có thể chọn không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu Gt 0 . Tức là ( ) = . thì ổn định đợc gọi là ổn định đều trong miền G. Định nghĩa 3: ( Về không ổn định ). Nghiệm z = z(t) ( a < t < ) của hệ ),( ytF dt dy = đợc gọi là không ổn định theo Liapunốp nếu với > 0, t 0 (a, ) nào đó và với mọi > 0 tồn tại nghiệm )(tY (ít nhất là một), tại thời điểm t 1 = t 1 ( )> t 0 sao cho: < )()( 00 tZtY và )()( 01 tZtY . Đặc biệt: Nghiệm Z(t) 0 không ổn định nếu với 0 > , t 0 (a, ) nào đó và với 0 > nghiệm )(tY , tại thời điểm t 1 = t 1 ( ) > t 0 sao cho: < )( 0 tY , )(tY . Định nghĩa 4: ( Về ổn định tiệm cận). Nghiệm z = z(t) của hệ (1.2). ( a < t < ) đợc gọi là ổn đinh tiệm cận khi t + nếu: + Nghiệm ổn định theo Liapunôp + Với ),( 0 at 0)( 0 >= t sao cho: nghiệm Y(t) ( < tt 0 ) thoả mãn điều kiện: < )()( 00 tZtY có tính chất t Lim 0)()( = tZtY (1.5) Đặc biệt: Nghiệm tầm thờng Z(t) 0 ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và t Lim Y(t) = 0 khi < )( 0 tY . Hình cầu )( 0 tY < với t 0 cố định là miền hút của trạng thái cân bằng 0. Định nghĩa 5: Giả sử hệ ( 1.2 ) xác định trong nửa không gian { } <<= tt 0 x { } < Y . Nếu nghiệm Z = Z(t) ( a< t < ) ( a < t < ) ổn định tiệm cận khi t và tất cả các nghiệm Y = Y(t): ( < tt 0 ,t 0 > a) đều có tính chất (1.5), tức là = , thì Z(t) đợc gọi là ổn định tiệm cận toàn cục. 5 )(tY y' 0 t 0 t 1 t Cùng với hệ (1.2) ta xét có nhiễu: ),(),( ytytF dt yd += (1.6). trong đó (t, y ) là một hàm vectơ trong miền T, liên tục theo t và có các đạo hàm riêng cấp một theo y 1 , y 2 , ., y n liên tục. Định nghĩa 6: Nghiệm Z = Z(t) ( a < t < ) của hệ ( 1.2) đợc gọi là ổn định dới tác động của nhiễu ),( yt nếu với 0 > và ),( 0 at tồn tại 0),( 0 >= t sao cho khi < ),( Yt tất cả các nghiệm )(tY của hệ (1.6) thoả mãn điều kiện: < )( 0 tY xác định trong khoảng ( t 0, ) và < )()( tZtY với < tt 0 . 6 Đ 2. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính 1. Ta xét hệ vi phân tuyến tính: += n jkjk j tfyta dt dy 1 )()( (2.1). trong đó ajk là hệ số, fj(t) là các số hạng tự do, và chúng liên tục trong khoảng (a, ). Ta viết (2.1) dới dạng ma trận - vectơ nh sau: )()( tFYtA dt dy += (2.2) Trong đó ma trận A(t) và vectơ F(t) liên tục trong khoảng (a, ). Giả sử X(t) = [ xjk(t) ] (2.3) (det x (t) 0 ) là ma trận nghiệm cơ bản. (tức là hệ nghiệm cơ bản đợc viết dới dạng ma trận cỡ n ì n của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng: YtA dt yd )( = (2.4) (t là ma trận gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của hệ (2.4) ). 2. Các định nghĩa Định nghĩa 1: Hệ vi phân tuyến tính (2.2) đợc gọi là ổn định (hoặc không ổn định ) nếu tất cả các nghiệm Y = Y(t) tơng ứng ổn định (không ổn định ) theo Liapunôp khi t + . + Ta cũng thấy rằng các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc đồng thời cũng ổn định hoặc đồng thời cũng không ổn định. Còn hệ vi phân không tuyến tính thì có một số nghiệm ổn định còn một số nghiệm còn lại không ổn định. Định nghĩa 2: Hệ vi phân tuyến tính (2.2) đợc gọi là ổn định đều nếu tất cả các nghiệm Y(t) của nó ổn định đều khi t + đối với thời điểm ban đầu t 0 ),( a . Định nghĩa 3: Hệ vi phân tuyến tính (2.2) đợc gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t + . 3. Định lí tổng quát về tính ổn định Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.2) ổn định với số hạng tự do bất kỳ là nghiệm tần thờng 0 0 Y ( ),(, 00 << attt . Của hệ thuần nhất tơng ứng (2.4) ổn định. 7 Định lí 2: Hệ vi phân tuyến tính (2.2) ổn định đều khi và chỉ khi nghiệm tầm thờng 0 0 Y của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2.4) ổn định đều khi t + . Định lí 3: Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (2.2) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nghiệm tầm thờng 0 0 Y của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2.4) ổn định tiệm cận khi t + . 4. Các hệ quả Từ việc chứng minh điều kiện cần và đủ của định lý 1 ta có thể suy ra rằng tính ổn định của nghiệm tầm thờng 0 0 Y của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (2.4) đợc suy ra từ tính ổn định của ít nhất một nghiệm của hệ (2.2) với số hạng tự do F(t), nào đó ( có thể F(t) 0). Hệ quả 1: Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi ít ra 1 nghiệm của nó ổn định và ngợc lại nếu ít ra 1 trong những nghiệm của nó không ổn định thì hệ không ổn định. Hệ quả 2: Hệ vi phân tuyến tính (2.2) ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân thuần nhất tơng ứng ổn định. Hệ quả 3: Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính ( 2.2) với số hạng tự do bất kỳ F(t) ổn định tiệm cận là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2.4) ổn định. 8 Đ3. Tính ổn định của hệ vi phân thuần nhất Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất YtA dt dy )( = (3.1). Trong đó A(t) liên tục trong khoảng (a, ). Định lí sau đây sẽ cho ta thấy rằng tính ổn định của (3.1) sẽ tơng đơng với tính giới nội của tất cả các nghiệm của nó. Định lí 1: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3.1) ổn định theo Liapunov khi và chỉ khi mỗi nghiệm Y=Y(t), (t 0 t < ) của hệ đó bị chặn trên nửa trục t 0 t < . Hệ quả: Nếu hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định thì tất cả các nghiệm của nó hoặc giới nội hoặc không giới nội khi t + . Định lí 2: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó dần tới không khi t + tức là: 0)( = tYLim t . Hệ quả: Hệ vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận sẽ ổn định toàn cục. 9 Đ 4. ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng Xét hệ Ay dt dy = (4.1) trong đó A= [a jk ] là ma trận hằng ( n x n ). Định lí 1: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) với ma trận hằng A ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j (A) của A đều có phần thực không dơng. Re j (j = 1,2, .,n) và các nghiệm đặc trng có các phần thực bằng không đều có ớc cơ bản đơn. Định lí 2: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) với ma trận hằng A ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng = j (A) của A đều có các phần thực âm, tức là: Re j < 0 (j = 1,2, .,n). 10 . bản của lý thuyết ổn định của hệ vi phân tuyến tính theo nghĩaLiapunov. Chơng II: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ vi phân ngẫu nhiên. luận tốt nghiệp đại học Về tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ vi phân ngẫu nhiên Ito tuyến tính không đa đợc về dạng cauchy Ngành học: cử nhân