1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THẾ MẠNH VỊ NHÓM SẮP THỨ TỰ GIAO HOÁN VÀ GIẢN ƯỚC ĐƯỢC VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2011 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC………………………………………………………………… LỜI NÓI ĐẦU …………………………………………………………… CHƯƠNG I NỬA NHĨM GIAO HỐN……………………………… .4 1.1 Nửa nhóm giao hốn giản ước ………………………………… 1.2 Nửa nhóm giao hốn thứ tự ……………………………… 10 1.3 Tương đẳng nhóm giao hốn ………………………… 15 CHƯƠNG II VỊ NHÓM SẮP THỨ TỰ GIAO HOÁN VÀ GIẢN ƯỚC ĐƯỢC VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN………………… 22 2.1.Giả thứ tự giản ước vị nhóm vị nhóm giao hốn………………………………………………………22 2.2 Vị nhóm thứ tự giao hốn giản ước với biểu diễn hữu hạn…………………………………………………… 32 KẾT LUẬN……………………………………………………………… 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………… 40 LỜI NĨI ĐẦU Các nhóm thứ tự được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu năm đầu kỷ XX Năm 1913, F Lévi chứng minh nhóm Aben phi xoắn thứ tự Năm 1963, Fuchs giải đáp câu hỏi: Các nhóm khơng Aben thoả mãn điều kiện thứ tự tồn phần được? Tuy nhiên, nửa nhóm thứ tự quan tâm nghiên cứu năm gần Năm 1995, N Keayopulu M Tsingelis bắt đầu khảo sát nửa nhóm thứ tự (xem [5], [6]) Sau đó, năm 2000, họ xét số lớp nửa nhóm nhúng vào nhóm thứ tự (xem [7]) Luận văn dựa báo “On finitely presented, cancellative and commutative ordered monoids” Y Cao đăng tạp chí Semigroup Forum số 82, năm 2011 để tìm hiểu vị nhóm thứ tự giao hoán giản ước với biểu diễn hữu hạn Luận văn chia thành hai chương: CHƯƠNG I NỬA NHĨM GIAO HỐN Hệ thống vấn đề liên quan đến nửa nhóm giao hốn giản ước được, nửa nhóm giao hốn thứ tự tương đẳng nửa nhóm giao hốn để làm sở cho việc trình bày chương sau CHƯƠNG II VỊ NHĨM SẮP THỨ TỰ GIAO HỐN VÀ GIẢN ƯỚC ĐƯỢC VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN Trình bày cách chi tiết kết sau: Mỗi vị nhóm thứ tự giao hốn giản ước với biểu diễn hữu hạn xác định giả thứ tự giản ước hữu hạn sinh vị nhóm  n , với số nguyên n n Mỗi giả thứ tự giản ước  , xác định vị nhóm   n nhóm  ,   n Mỗi giả thứ tự  , hữu hạn sinh nhóm tương   n ứng vị nhóm aphin  , (nghĩa vị nhóm hữu hạn   n sinh  , )   Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Lê Quốc Hán, Người định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, động viên khích lệ Tác giả suốt q trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số - Khoa Toán - Trường Đại học Vinh động viên, giúp đỡ trình học tập, trình viết chỉnh sửa Luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hồn thiện Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG I NỬA NHĨM GIAO HỐN 1.1 Nửa nhóm giao hốn giản ước 1.1.1 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi nửa nhóm giao hốn phép tốn S có tính chất giao hốn Khi phép toán S thường ký hiệu theo lối cộng Nếu S vị nhóm đơn vị S thường gọi phần tử không ký hiệu Giả sử  S,+  nửa nhóm khơng có đơn vị, S nhúng vị nhóm S0 = S   t t ký hiệu khơng thuộc S thoả mãn điều kiện x + t = t + x = x với x  S0 Khi t trở thành phần tử đơn vị S Giả sử S nhóm A, B tập khác rỗng S Ký hiệu A + B =  a + b a  A,b  B Tập khác rỗng T nửa nhóm S nửa nhóm S , thân T nửa nhóm với phép toán S cảm sinh T , nghĩa a,b  T kéo theo a + b  T Giả sử  Sα α  I họ nửa nhóm nửa nhóm S cho  Sα αI khác rỗng.Thế T := Sα nửa nhóm S nửa αI nhóm nhỏ S chứa Sα ,α  I Giả sử B tập khác rỗng nửa nhóm S Khi giao tất nửa nhóm S chứa B gọi nửa nhóm nhỏ S sinh B ký hiệu B Rõ ràng B chứa tất phần n tử dạng  bi = b1 + b2 +  + bn bi  B, i = 1,2, ,n i=1 Tập khác rỗng I nửa nhóm S gọi iđêan S I  s + I, s  S , s + I :=  s + a a  I Giao họ tuỳ ý iđêan nửa nhóm S iđêan S , giao khác rỗng Giả sử B tập khác rỗng nửa nhóm S Thế B   B + S iđêan S iđêan nhỏ S chứa B Nếu S vị nhóm B   B + S  nên B + S iđêan S sinh B Giả sử I iđêan S cho I S , I gọi iđêan nguyên tố S x + y  I kéo theo x  I y  I,  x, y  S  Như iđêan thực I nửa nhóm S iđêan nguyên tố phần bù S \ I I S nửa nhóm S Giả sử I iđêan nửa nhóm S  tập hợp tất số   + nguyên dương Khi tập I iđêan s  S  n   cho ns  I iđêan S gọi iđêan S , ký hiệu rad  I  hay 1.1.2 Định lý Giả sử S nửa nhóm (1) S nhóm S iđêan S I (2) Nếu I iđêan S T nửa nhóm S cho I  T = f , tồn iđêan nguyên tố S cho P  I P  I = f (3) Nếu I iđêan S , rad  I  giao tất iđêan nguyên tố chứa I S Chứng minh (1) Giả sử S nhóm I iđêan S Khi I f nên tồn a  I Vì S nhóm nên tồn b  S cho a + b = , đơn vị S Vì I iđêan S a  I nên = a + b  I Khi với x  S có x = + x  I nên S  I Hiển nhiên I  S nên S = I Giả sử a,b  S Khi a + S iđêan S theo giả thiết ( S iđêan S ) có a + S = S b  S nên b  a + S Suy tồn c  S cho a + c = b , phương trình a + x = b có nghiệm S Vì S giao hốn nên phương trình y + a = b có nghiệm S Vậy S nhóm (2) Theo bổ đề Zorn, ta cần chứng minh I iđêan nguyên tố I tối đại iđêan không giao với T Thật giả sử a,b  I Khi I   a   a + S  I   b   b + S iđêan S chứa I nên có giao với T Suy tồn s1,s  S cho a + s1  T b + s  T Từ a + s1 + b + s = a + b +  s1 + s   T với s1 + s  S Vì I  T = f nên a + b  T Vậy I iđêan nguyên tố (3) Suy trực tiếp từ định nghĩa rad  I  kết (2)  1.1.3 Định nghĩa Giả sử  S,+  vị nhóm giao hốn có đơn vị Khi phần tử s  S gọi khả nghịch tồn x  S cho s + x = Tập hợp G tất phần tử khả nghịch S tạo thành nhóm S nhóm lớn S chứa n Một tổng hữu hạn  si phần tử thuộc S khả nghịch i=1 phần tử si khả nghịch Như S \ G iđêan nguyên tố S G S Nếu H nhóm tuỳ ý S chứa 0, trường hợp nhóm H cảm sinh phân hoạch S thành lớp ghép rời s + H Thực tế, quan hệ ρ S xác định aρb a = b + h, h  H đó, ρ quan hệ tương đương S s + H ρ - lớp tương đương chứa s  S 1.1.4 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Phần tử s  S gọi giản ước s + a = s + b kéo theo a = b  a,b  S  Giả sử C tập hợp tất phần tử giản ước S C  n Thế C nửa nhóm S Khi tổng hữu hạn  si phần tử i=1 thuộc C si  C từ S \ C iđêan nguyên tố S S C Trong trường hợp S = C ta nói S nửa nhóm giản ước Một kết quan trọng Lý thuyết nhóm sơ cấp phát biểu nhóm giản ước hữu hạn nhóm Hiển nhiên, nửa nhóm nhóm giản ước Định lý 1.1.5 sau khẳng định kết ngược lại 1.1.5 Định lý Giả sử  S ,  nửa nhóm giao hốn C nửa nhóm S cho phần tử thuộc C giản ước S , tồn phép nhúng f từ S vào vị nhóm giao hốn T cho điều kiện sau thỏa mãn: (1)Với c  C, f  c  có khả nghịch T (mà ta ký hiệu  f  c  ) (2) T  f  s   f  c  s  S ,c  C  Hơn nửa vị nhóm T xác định tính chất (1) (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm Nếu S nửa nhóm giản ước S C T nhóm Chứng minh Chúng ta nêu lên cách xây dựng vị nhóm T tương tự cách xây dựng vành số nguyên  từ tập hợp tất số ngun khơng âm Giả sử A = S× C  quan hệ  s1,c1   s ,c2  A xác định s1 + c2 = s + c1 Vì C giản ước nên  quan hệ tương đương A Ký hiệu  s,c lớp tương đương chứa  s,c  T tập tất lớp tương đương  s,c  với s  S,c  C Thế T với phép toán cho  s1,c1  +  s ,c2  =  s1 + s ,c1 + c2  vị nhóm đơn vị  c,c  với c  C Hơn ánh xạ f : S  T xác định f  s  =  s + c,c  phép nhúng từ S vào T Nếu c  C , f  c  =  2c,c  có nghịch đảo  c,2c T , phần tử  s,c tuỳ ý thuộc T viết dạng  s + c,c  +  c,2c  = f  s  - f  c  Rõ ràng T xác định (Bởi tính chất (1) (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm, nghĩa g :S  T ' Là phép nhúng từ S vào vị nhóm giao hốn T cho hai điều kiện (1) (2) thoả mãn tồn đẳng cấu nửa nhóm j: T  T’ cho jof = g , nghĩa biểu đồ sau giao hoán f S g T  T’ 10 Hơn nữa, S = C phần tử tuỳ ý [r,c] T có nghịch đảo [c,r] T nên T nhóm Điều kết thúc phép chứng minh  1.1.6 Định nghĩa Vị nhóm thương xây dựng phép chứng minh Định lý 1.1.5 gọi vị nhóm thương S theo C Vì f đơn cấu nên ta đồng f  s  với s, phần tử T viết dạng s - c để thay cho f  s  - f  c  Nếu S giản ước được, nhóm T Định lý 1.1.5 gọi nhóm thươngcủa S khơng kể đến sai khác đẳng cấu T nhóm Aben nhỏ mà S nhúng vào 1.1.7 Chú ý Từ Định nghĩa 1.1.6 Định lý 1.1.5, ta phân lớp nửa nhóm giao hốn giản ước theo thuật ngữ nhóm thương chúng Ta nhắc lại nhóm Aben G gọi phi xoắn phần tử G có cấp hữu hạn G gọi nhóm xoắn phần tử G có cấp hữu hạn Thế từ Định lý 1.1.5 suy Giả sử S nửa nhóm giao hốn giản ước G nhóm thương Thế G nhóm phi xoắn S thoả mãn điều kiện: (*) Đối với nguyên dương n x, y  S tuỳ ý, đẳng thức nx ny kéo theo x y Từ ta đến định nghĩa 1.1.8 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi nửa nhóm phi xoắn điều kiện (*) thoả mãn Chú ý Định nghĩa 1.1.8 dùng trường hợp S giản ước hay không giản ước ... GIAO HOÁN VÀ GIẢN ƯỚC ĐƯỢC VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN………………… 22 2.1.Giả thứ tự giản ước vị nhóm vị nhóm giao hốn………………………………………………………22 2.2 Vị nhóm thứ tự giao hốn giản ước với biểu diễn hữu hạn? ??…………………………………………………... Mỗi vị nhóm thứ tự giao hốn giản ước với biểu diễn hữu hạn xác định giả thứ tự giản ước hữu hạn sinh vị nhóm  n , với số nguyên n n Mỗi giả thứ tự giản ước  , xác định vị nhóm   n nhóm. .. hiểu vị nhóm thứ tự giao hoán giản ước với biểu diễn hữu hạn Luận văn chia thành hai chương: CHƯƠNG I NỬA NHĨM GIAO HỐN Hệ thống vấn đề liên quan đến nửa nhóm giao hốn giản ước được, nửa nhóm giao