Bộ giáo dục và Đào tạo Trờng Đại học Vinh ----------------------------------------------------- lê đức Minh Về số học thuật toán và thực hành một số tính toán trên maple Luận văn tốt nghiệp cao học thạc sĩ Vinh - 2006 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ------------------------------------------------- Về số học thuật toán và thực hành một số tính toán trên maple Chuyên ngành: Đại số & Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Luận văn tốt nghiệp cao học thạc sĩ Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS. Nguyễn Thành Quang Vinh - 2006 Mở đầu Nếu nh trớc thập kỷ 70 của thế kỷ XX, số học vẫn đợc xem là một trong những ngành lý thuyết xa rời thực tiễn nhất, thì ngày nay, nhiều thành tựu mới nhất của số học có ứng dụng trực tiếp vào các vấn đề của đời sống, nh thông tin mật mã, kỹ thuật máy tính. Một phơng hớng mới của số học ra đời: Số học thuật toán. Vì vậy, trong nhiều con đờng khác nhau để đi vào số học, ta chọn con đờng thuật toán: các khái niệm, định lý của số học đợc trình bày với các thuật toán xây dựng chúng. Khả năng của các phần mềm toán học là rất lớn và có thể khai thác chúng ở nhiều các góc độ khác nhau. Việc giảng dạy cho sinh viên cách sử dụng các công cụ phần mềm toán thông dụng nh Maple, MathCAD, Cabri Geometry, SketchPadlà cần thiết và đem lại hiệu quả thực sự. Hiện nay, mỗi ngời giảng dạy và nghiên cứu số học đều có thể tiếp cận với máy tính và các loại phần mềm khác nhau. Nhiều kết quả số học đã đợc phán đoán hoặc có đợc phản ví dụ nhờ sử dụng máy tính. Thực tiễn chứng minh rằng, muốn có thuật toán tin học tốt trớc hết phải có lí thuyết toán học dẫn đờng và số học chính là một giao điểm hay là một cầu nối quan trọng giữa tin học và toán học. Ngày nay máy tính đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống. Nhiều chơng trình ứng dụng đã đợc phát triển liên quan tới quản lý dự liệu, in ấn, đồ họa, xử lý ảnh Riêng đối với ngành toán đã có những sản phẩm mang tính phổ dụng nh nh Mathematica, Matlat, Maple, và nhiều chơng trình chuyên dụng cho từng bộ môn toán học. Những phần mềm trên giúp ích rất nhiều cho việc giảng dạy toán, học toán cũng nh việc ứng dụng toán trong các ngành kỹ thuật, kinh tế và vì thế tại các nớc phát triển chúng đã trở thành cẩm nang của nhiều sinh viên và các nhà khoa học. Maple cho ta một công cụ tốt để triển khai các thuật toán có độ phức tạp cao mà không có mẹo mực thủ công nào có thể thay thế đợc. Maple có đặc tính u việt là có ngôn ngữ câu lệnh rất giống với ngôn ngữ toán học thông thờng, dễ sử dụng, đòi hỏi cấu hình của máy không lớn, đáp ứng nhu cầu tính toán của nhiều đối t- ợng. Sau một thời gian tìm hiểu số học & thuật toán và một số phần mềm tin học, chúng tôi quyết định chọn đề tài luận văn nhằm lập trình các thuật toán và thực hành một số tính toán cụ thể về phơng diện đại số và số học trên Maple. Luận văn gồm 3 chuơng cùng với phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Nội dung luận văn hớng tới những nội dung cụ thể nh sau: Chơng 1, luận văn giới thiệu các kiến thức cơ sở về thuật toán và phần mềm Maple. Chơng 2, luận văn giới thiệu lý thuyết thặng d chính phơng, trong đó có hai ký hiệu là ký hiệu Legendre, ký hiệu Jacobi và Luật thuận nghịch bình phơng. Một kết quả đáng chú ý trong chơng 2 của luận văn là dùng Luật thuận nghịch bình phơng đã diễn đạt đựoc một tiêu chuẩn để kiểm tra nguyên tố đối với các số Fermat (Định lý 2.2.6) và tiêu chuẩn đó cũng có thể kiểm tra đợc bởi phần mềm Maple. Chơng 3, luận văn thực hành trên phần mềm Maple: Kiểm tra thặng d chính phơng và khai căn bậc 2; Tính toán ký hiệu Legendre; Tính toán ký hiệu Jacobi; Kiểm tra số giả nguyên tố Euler; Kiểm tra số giả nguyên tố mạnh. Kết quả thu đợc của luận văn, phần nào cho chúng ta thấy đợc sự hỗ trợ của phần mềm tin học trong việc kiểm tra tính đúng đắn của các dự đoán số học một cách nhanh chóng, chính xác và đa ra các thông tin quan trọng hỗ trợ quá trình tìm tòi lời giải của bài toán. Mặt khác, qua đó cũng phần nào minh họa cho ý tởng kết hợp giữa t duy toán học với việc sử dụng công cụ phần mềm tin học trong nghiên cứu, học tập bộ môn đại số và số học. Số học thuật toán và các phần mềm tin học là những lĩnh vực mới mẻ mà tác giả đã đợc tiếp cận trong thời gian học tập tại chuyên ngành sau đại học Đại số và Lý thuyết số, tại Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau Đại học - Trờng Đại học Vinh, dới sự hớng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn đã tận tình giúp đỡ tác giả học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn GS.TS. Nguyễn Quốc Thi, PGS. TS Nguyễn Quý Dy, PGS. TS Ngô Sỹ Tùng, PGS. TS Lê Quốc Hán, TS. Mai Văn T, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số, Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau đại học Trờng Đại học Vinh đã động viên, cổ vũ và có những góp ý quý báu, để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu và tập thể giáo viên, học sinh Trờng THPT Trần Phú Sở Giáo dục & Đào tạo Hà Tĩnh đã động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập. Do nhiều nguyên nhân, luận văn chắc chắn còn có thiếu sót. Tác giả mong muốn nhận đợc sự chỉ bảo góp ý của các thầy cô giáo và đồng nghiệp. Đại học Vinh, 2006 Tác giả Mục lục Trang Chơng 1 Sơ lợc về thuật toán và Maple 3 1.1 Thuật toán 3 1.2 Sơ lợc về Maple 6 Chơng 2 Thặng d bình phơng 13 2.1 Thặng d bậc hai theo modun nguyên tố 13 2.2 Ký hiệu Legendre 18 2.3 Ký hiệu Jacobi 24 Chơng 3 Thực hành tính toán với maple 32 3.1 Kiểm tra nguyên tố 32 3.2 3.3. 3.4. Kiểm tra thặng d bình phuơng và khai căn bậc 2 Tính toán ký hiệu Legendre và ký hiệu Jacobi Kiểm tra số giả nguyên tố mạnh trên Maple 37 38 39 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo Chơng 1 Sơ lợc về thuật toán và maple 1.1. Thuật toán 1.1.1. Định nghĩa. Thuật toán là một quy tắc để với những dữ liệu ban đầu đã cho, tìm đ- ợc lời giải sau một khoảng thời gian hữu hạn. Ví dụ. Tìm tất cả các đồng cấu của nhóm cộng các số thực Ă . Trớc hết chúng ta thuật toán hoá bài toán trên nh sau: Bớc 1. Khai báo dạng tổng quát của đồng cấu nhóm cộng số thực: f(a,b,x): = ax + b Bớc 2. Khai báo giả thiết của bài toán: VT: = f(a,b,x) + f(a,b,y) (ax + b) + (ay+b) VP: = f(a,b,x+y) a(x +y) + b Bớc 3. Giải phơng trình VT = VP đối với a, b: Ta sử dụng câu lệnh sau đối với MathCAD: Khai báo phơng trình: VT = VP Giải phơng trình: u: = Find(a,b). Chạy trên MathCAD cho kết quả: f(x) = ax. Ví dụ. Cho n số X[1] , X[2] , ., X[n]. Tìm m, j sao cho : M = X[ j ] = max X[k], 1 k n và j là lớn nhất có thể. Điều đó có nghĩa là cần tìm cực đại của các số đã cho và chỉ số lớn nhất trong các số đạt cực đại. Với mục tiêu tìm số cực đại với chỉ số lớn nhất, ta xuất phát từ giá trị X[n]. Bớc thứ nhất, ta xem m = X[n] và j = n. Tiếp theo, ta so sánh X[n] với X[n-1]. Trong trờng hợp n -1 = 0 tức n = 1, thuật toán kết thúc. Nếu X[n -1] X[n], ta chuyển sang so sánh X[n] với X[n-2]. Trong trờng hợp ng- ợc lại, X[n-1] chính là số cực đại trong hai số đã xét, và ta phải thay đổi m và j : Đặt m = X[n -1] , j = n - 1. Với cách làm nh trên, ở mỗi bớc ta luôn nhận đợc số cực đại trong những số đã xét. Bớc tiếp theo là so sánh nó với số đứng trớc, hoặc kết thúc thuật toán trong tròng hợp không còn số nào đứng trớc nó. Thuật toán trên đây đợc ghi lại nh sau: Thuật toán M tìm cực đại : M1 : [Bớc xuất phát] Đặt j n , k n - 1 , m X[n]. M2 : [Đã kiểm tra xong ] Nếu k = 0 , thuật toán kết thúc . M3 : [So sánh ] Nếu X[k] m, chuyển sang M5. M4 : [Thay đổi m ] Đặt j k , m X[k] (Tạm thời m đang là cực đại ) M5 : [Giảm k ] Đặt k k-1 , quay về M2 . Dấu " " ơ dùng để chỉ một phép toán là phép thay chỗ (replacement). Trên đây ta ghi một thuật toán bằng ngôn ngữ thông thờng. Trong trờng hợp thuật toán đợc viết bằng ngôn ngữ của máy tính ta có một chơng trình. Trong thuật toán M đầu vào (input) là các số X[1] , X[2] , ., X[n] . Trong thuật toán M đầu ra (ouput) là m và j . Ta thấy thuật toán mô tả ở trên thỏa mãn yêu cầu của thuật toán nói chung, đó là : 1. Tính hữu hạn: Thuật toán cần phải kết thúc sau một số hữu hạn bớc. Khi thuật toán dừng làm việc ta phải thu đợc cho vấn đề đặt ra. Thuật toán M rõ ràng thoả mãn điều kiện này , vì ở mỗi bớc ta luôn chuyển từ việc xét một số sang số đứng trớc nó , và số các số là hữu hạn . 2.Tính xác định: ở mỗi bớc, thuật toán cần phải xác định tức chỉ rõ việc cần làm . Ngoài ra còn phải xét đến tính hiệu quả của thuật toán. Sẽ không xét những thuật toán mà thời gian thực hiện nó vợt quá khả năng làm việc của chúng ta; mà chỉ quan tâm đến những thuật toán có thể sử dụng thật sự trên máy tính . 1.1.2. Độ phức tạp của thuật toán. Thời gian làm việc của máy tính khi chạy một thuật toán nào đó không chỉ phụ thuộc vào thuật toán mà còn phụ thuộc vào máy tính đợc sử dụng. Để có một chuẩn chung, ta sẽ đo độ phức tạp của thuật toán bằng số các phép tính phải làm khi thực hiện thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán là một hàm phụ thuộc vào cỡ của bài toán, thuật toán tức là độ lớn của đầu vào. Khi làm việc máy tính dùng hệ đếm cơ số 2; để biểu diễn một số ta dùng hai kí hiệu 0 hoặc 1 mỗi kí hiệu là một bít (viết tắt của chữ binary digit). Một số nguyên n đợc biểu diễn bơỉ k chữ số 1 và 0 đợc gọi là một số k - bit. Độ phức tạp của thuật toán đợc đo bằng số các phép tính bit. Để ớc lợng độ phức tạp của thuật toán ta dùng khái niệm bậc O - lớn. 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử f(n) và g(n) là hai hàm xác định trên tập số nguyên dơng. Ta nói f(n) có bậc O- lớn của g(n), và viết f(n) = O(g(n)) hoặc f = 0(g), nếu tồn tại một số C > 0 sao cho với n đủ lớn, các hàm f(n) và g(n) đều dơng, đồng thời f(n) < Cg(n). 1.1.4. Nhận xét. 1) Giả sử ( )f n là đa thức: 1 1 1 0 ( ) d d d d f n a x a x a x a = + + + +L , trong đó 0 d a > . Khi đó, ta có ( ) ( ). d f n O n= 2) Nếu 1 2 ( ) (( )), ( ) (( ))f n Og n f n Og n= = thì 1 2 ( ).f f O g+ = 3) Nếu 1 1 2 2 ( ), ( )f O g f O g= = thì 1 2 ( ).f f O g+ = 4) Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ( ) lim ( ) x f n g n thì ( )f O g= . 5) Với mọi > 0, ta có log ( ).n O n = 1.1.5. Định nghĩa. Một thuật toán đợc gọi là có độ phức tạp đa thức, hoặc có thời gian đa thức, nếu số các phép tính cần thiết khi thực hiện thuật toán không vợt quá (log ) d O n , trong đó n là độ lớn của đầu vào và d là số nguyên dơng nào đó. Nói cách khác nếu đầu vào là các số k- bit thì thời gian thực hiện thuật toán là ( ) d O k , tức là tơng đơng với một đa thức của k. Các thuật toán với thời gian ( )O n , > 0 , đợc gọi là các thuật toán với độ phức tạp mũ, hoặc thời gian mũ. Nếu có một thuật toán nào đó có độ phức tạp ( )O g , thì cũng có thể nói nó độ phức tạp ( )O h với mọi hàm h > g. Cũng có những thuật toán có độ phức tạp trung gian giữa đa thức và mũ. Chẳng hạn thuật toán nhanh nhất đợc biết đến hiện nay để phân tích một số nguyên n ra thừa số nguyên tố là thuật toán có độ phức tạp: exp ( nn logloglog ). 1.2. Sơ lợc về Maple Ngày nay máy tính đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống. Nhiều chơng trình ứng dụng đã đợc phát triển liên quan tới quản lý dự liệu, in ấn, đồ họa, xử lý ảnhRiêng đối với ngành toán đã có những sản phẩm mang tính phổ dụng nh nh Mathematica, Matlat, Maple, và nhiều chơng trình chuyên dụng cho từng bộ môn toán học. Những phần mềm trên giúp ích rất nhiều cho việc giảng dạy toán, học toán cũng nh việc ứng dụng toán trong các ngành kỹ thuật, kinh tế và vì thế tại các nớc phát triển chúng đã trở thành cẩm nang của nhiều sinh viên và các nhà khoa học. Maple cho ta một công cụ tốt để triển khai các thuật toán có độ phức tạp cao mà không có mẹo mực thủ công nào có thể thay thế đợc. Maple có đặc tính u việt là có ngôn ngữ câu lệnh rất giống với ngôn ngữ toán học thông thờng, dễ sử dụng, đòi hỏi cấu hình của máy không lớn, đáp ứng nhu cầu tính toán của nhiều đối tợng. Maple là một hệ phần mềm chuyên dụng cho công việc tính toán bao gồm các tính tóan thuần tuý bằng ký hiệu toán học, các tính toán số và các tính tóan bằng đồ thị. Sản phẩm này do Trờng Đại học Tổng hợp Waterloo (Canada) và Trờng Đại học kỹ thuật Zurich (ETZ) xây dựng và đa vào thơng mại đầu tiên năm 1985. Qua nhiều lần cải tiến Maple đã đợc phổ biến rộng rãi trên thế giới. Dới đây chúng tôi giới thiệu sơ lợc các tính năng của Maple thông qua một số tính toán cụ thể về phơng diện đại số và số học. 1.2.1. Các quy định chung của Maple. a) Cụm xử lý (Execution group). Cụm xử lý là thành phần tính toán cơ bản trong môi trờng làm việc của Maple. Mọi tính toán đều thực hiện trong cụm xử lý. Trong cụm xử lý có chứa lệnh của Maple cùng với kết quả tính toán, kể cả đồ thị,Trong Maple có thể nhận biết một cụm xử lý bằng dấu ngoắc vuông [ bên trái của dấu nhắc lệnh [> b) Lệnh của Maple. Lệnh của Maple đợc đa vào trang công tác sau dấu nhắc lệnh (command prompt) trong các cụm xử lý. Lệnh thực hiện các phép toán và các biểu thức số học đợc viết trực tiếp nh khi nhập văn bản thông thờng. Ví dụ, để tính 99 + 452 ta viết câu lệnh nh sau: [> 99+452; Tiếp đến, nhấn phím [Enter] cho thực hiện lệnh, ta sẽ thấy kết quả là: 551 Ký hiệu của các phép toán trong Maple: Phép nhân đợc biểu thị bởi dấu * Phép chia đợc biểu thị bởi dấu / Phép luỹ thừa đợc biểu thị bởi dấu ^ Phép khai căn bậc hai đợc biểu thị bởi dấu Sqrt (square root). Kết thúc của dòng lệnh phải là dấu chấm phẩy ; hoặc dấu hai chấm : và lệnh đợc thực hiện bằng cách nhấn phím [ Enter] khi con trỏ ở cuối dòng lệnh. Nếu dòng lệnh kết thúc bằng dấu chấm phẩy thì kết quả của nó sẽ đợc hiển thị trên màn hình sau khi lệnh đ- ợc thực hiện. Nếu kết quả tính toán là những biểu thức cồng kềnh chiếm nhiều chỗ hoặc là những kết quả tính toán trung gian không cần cho hiển thị, thì ta kết thúc câu lệnh bằng dấu hai chấm. Nếu có nhiều dòng lệnh trong một cụm xử lý thì việc nhấn phím [Enter] sau một dòng lệnh nào đó (trong số các lệnh) cũng tức là thực hiện tất cả các dòng lệnh trong cụm xử ý đó. Lệnh của Maple có 2 loại: trơ và trực tiếp. Lệnh trực tiếp cho ta ngay kết quả của lệnh; còn lệnh trơ chỉ cho ra biểu thức tợng trng và khi cần biết giá trị đích thực của biểu thức đó ta phải dùng thêm lệnh lấy giá trị của biểu thức Value (%). Maple ngầm hiểu ký hiệu % là biểu thức ngay trớc đó. Lệnh trơ và lệnh trực tiếp sai khác nhau chỉ ở chữ cái dầu tiên. Lệnh trực tiếp có chữ cái đầu là chữ thờng, còn lệnh trơ có chữ cái đầu là chữ hoa. Các lệnh trơ cho phép ta tiết kiệm thời gian nhờ tránh đợc các tính toán trung gian không cần thiết. c) Kết quả của Maple. Sau khi nhấn phím [Enter] ở cuối dòng lệnh trong một cụm xử lý thì kết quả tính toán sẽ đợc hiện ra ngay dới dòng lệnh. Kết quả của lệnh sẽ là số, giá trị logic: đúng (true) - sai (false), biểu thức toán học, hoặc là đồ thị. Ghi nhớ : Cuối dòng lệnh phải là dấu chấm chấm phẩy ; hoặc dấu hai chấm: Nếu không có một trong hai dấu kết thúc của dòng lệnh này thì máy sẽ báo lỗi (Error) và không thực hiện tính toán. Muốn thực hiện dòng lệnh nào thì đa con trỏ về sau dấu kết thúc dòng lệnh đó và nhấn phím [Enter]. Thực hiện dòng lệnh theo đúng trình tự trớc sau vì một số tính toán trong các bớc sau có thể yêu cầu kết quả từ các bớc trớc. 1.2.2. Một vài lệnh số học phổ thông 1) Tính giai thừa. Ta tính 99! giai thừa bằng lệnh sau: [> 99!; Sau khi nhấn phím [Enter] cho thực hiện lệnh, ta sẽ thấy hiện ra kết quả: 933262154494415268169923885626670049071596826438162146859296389521759999 322991156089414639761565182862569792082722375825118521091686400000000000 00000000000 2) Tìm ớc số chung lớn nhất. Để tìm ớc số chung lớn nhất (most grand commn divisor) của hai số nguyên ta dùng lệnh gcd (. , . ). Ví dụ tìm UCLN của 5524 và 120, ta dùng lệnh nh sau: [> gcd(5524 , 120 ); 24 3) Tìm bội số chung nhỏ nhất. Để tìm bội số chung nhỏ nhất (smallest commn multiple) của hai số nguyên ta dùng lệnh lcm (. , . ). Ví dụ: Tìm UCLN của 5524 và 120, ta dùng lệnh có cú pháp nh sau: [> lcm(18230,3224); 29386760 Tìm BCNN của nhiều số: [> lcm(1234,2345,3456,4567); 22836668964480 4) Phân tích thành thừa số nguyên tố (Decomposition into prime factor). Muốn phân tích một số ra thừa số nguyên tố ta dùng lệnh ifactor(.). [>ifactor (720); (2) (2) (2) (2)(3)(3)(5) [> ifactor (9993); (3) (3331) 5) Phân tích số Fermat. Nhà Toán học Fermat dự đoán: số F n = 12 2 + n là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n. Điều này đúng với n = 0, 1, 2, 3, 4. Tuy nhiên, vào năm 1732 Euler chỉ ra với n = 5 thì điều này không đúng: Số F 5 có ứớc nguyên tố là 641. Với Maple ta có thể tiếp tục công việc của Euler một cách nhanh chóng. Thật vậy, với n = 6 ta có [>ifactor ( 2^(2^6) + 1); (67280421310721)(274177) Với n = 7 ta có [>ifactor ( 2^(2^7) + 1); (5704689200685129054721) (59649589127497217) Muốn thiết lập lại tích của các thừa số ta dùng lệnh khai triển (Expansion) biểu thức trên có cú pháp nh sau: [>expand (%); 340282366920948463463374607431768211457 (Maple ngầm hiểu ký hiệu % là biểu thức ngay trớc đó). 6) Tìm số nguyên tố đứng trớc hoặc sau ngay một số cho trớc. Muốn tìm số nguyên tố đứng trớc một số tự nhiên cho trớc ta dùng lệnh prevprime ( . ); Ví dụ: Tìm số nguyên tố đứng trớc ngay số 3335 [prevprime (3335); 3331 Muốn tìm số nguyên tố đứng sau ngay một số tự nhiên cho trớc ta dùng lệnh nextprime ( . ); 7) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình (To solve equation on set of integers). Để tìm nghiệm nguyên của phơng trình ta dùng lệnh isolve với cú pháp nh sau: [>isolve (eqns, vars); Trong đó: eqns - tập các phơng trình, vars - tập các tên biến vô định. Lệnh ísolve (giải phơng trình trên tập các số nguyên) cho phép tìm nghiệm nguyên tơng ứng với mọi ẩn tham gia trong các phơng trình. Tập tên các biến vô định (vars) đợc sử dụng biểu diễn nghiệm, các biến này có giá trị nguyên. Nếu ta không chỉ rõ biến này, hoặc khai báo không đủ thì chơng trình sẽ tạo ra các tên - Z1, - Z2, Nếu ta khai báo thừa (nhiều hơn biến vô định thực tế) thì cũng không sao, chơng trình sẽ không đụng chạm đến các biến thừa. Nếu phơng trình không có nghiệm nguyên (hoặc Maple không có khả năng tìm nghiệm) thì máy khai báo NULL hoặc không trả lời. Xem ví dụ sau: [> isolve(x+y+z=0,{a,b,c,d}); { }, , = y a = z b = x a b [> isolve(3*x-4*y=7); { }, = x + 5 4 _Z1 = y + 2 3 _Z1 [> isolve(x+2*y+3*z=4,{a}); { }, , = z _Z2 = y a = x 4 2 a 3 _Z2 Trong thí dụ này ta chỉ khai báo tên một tham số tự do {a} mà phơng trình có hai biến tự do, nên chơng trình tự động sinh ra thêm một tham số tự do nữa là _ Z2. [> isolve(x+2*y+3*z=4, {a}); { }, , = z _Z2 = y a = x 4 2 a 3 _Z2 8) Tìm thơng và d (quotient and remainder). Lệnh irem Tìm phần d nguyên Iquo - Tìm thơng nguyên Cú pháp irem (m, n) irem (m, n, q) Iquo(m, n) iquo(m, n, r ) . các thuật toán và thực hành một số tính toán cụ thể về phơng diện đại số và số học trên Maple. Luận văn gồm 3 chuơng cùng với phần mở đầu, kết luận và danh. ------------------------------------------------- Về số học thuật toán và thực hành một số tính toán trên maple Chuyên ngành: Đại số & Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Luận văn tốt nghiệp cao học thạc